高一数学 抽象函数
抽象函数定义域 课件 高一上学期数学人教A版 必修一
函数定义域
• 一：函数的概念
一般的，设 , 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个 ,按照某种对应关系 ，再集合 中都有唯
一确定的数y和它对应，那么就称 : → 为从集合 A到集合 的一个函数，记作 = , A .其中， 叫做自
变量， 的取值范围 叫做函数的 定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函
的定义域为（）
A. 1，4
B. 0，5
C. 0,20
. 1，9
3)
总结抽象函数定义域
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体
2.利用整体求得所求函数的定义域 即x的范围
A. − ∞,
答案：c
0
B. −∞,
0
−
的定义域为 （）
2 2 − 3 − 2
1
1
C. − ∞, − 2 ∪ − 2 ,
0
1
D. − 2 ,
0
• 总结：常见函数的定义域
• （1） 为整式型函数时，定义域为R，但需注意函数 = 0 中的不为0；
• （2）出现分式时分母不为零，所以当 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合
• （3）偶次根式的被开方数非负，所以当 为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合
• （4）如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么他们的定义域时各个简单函数定义域的交集。
抽象函数的定义域
抽象函数：没有具体解析是的函数
抽象函数定义域的方法和技巧：
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等
新高一抽象函数知识点归纳
新高一抽象函数知识点归纳抽象函数作为高中数学中的重要内容之一，是数学家们用来描述函数与函数之间关系的一种工具。
在新高一数学中，抽象函数的学习也被赋予了更高的要求。
本文将从抽象函数的概念、性质以及应用等方面进行归纳和总结。
一、抽象函数的概念及基本性质抽象函数，顾名思义，即把一个具体的函数抽象化，用符号表示。
在新高一数学中，我们通常用字母f、g或h来表示抽象函数。
抽象函数具有以下几个基本性质：1. 定义域和值域：抽象函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围，而值域是函数定义的因变量的取值范围。
2. 函数值和变量：抽象函数根据自变量的不同取值，得到相应的函数值。
在求函数值时，通常用x来表示自变量。
3. 函数表达式：抽象函数可以通过一个表达式来表示，其中包括自变量和函数值之间的关系。
例如，可以用f(x) = 2x + 1来表示一个抽象函数。
二、抽象函数的基本类型抽象函数可以分为多种类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
下面简要介绍几种常见的抽象函数类型：1. 线性函数：线性函数是最简单的抽象函数类型，其函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数：二次函数是由平方项构成的函数，其函数表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
3. 指数函数：指数函数是以常数为底的幂函数，其函数表达式为f(x) = aⁿ，其中a为底数，n为指数。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，其函数表达式为f(x) = logᵤx，其中u为底数，x为真数。
三、抽象函数的应用抽象函数不仅仅是高中数学中的一个概念，更是应用于实际问题的重要工具。
下面将介绍几个具体的应用场景：1. 金融领域：在金融领域中，抽象函数可以用来描述投资收益率、贷款利率等与时间和金额之间的关系。
2. 自然科学：在自然科学研究中，抽象函数可以用来描述生物种群的增长、物体的运动轨迹等问题。
高一抽象函数专题课件精编版
(1)求证： f ( x 4) f ( x) ;
(2)若 f (1) 2014 ，求 f (2001) 的值。
3．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0 恒成立，求 x 的取值范围．
中 g( x) D ,从中求出 x 的范围即为 f g( x) 的定义域。
(注意：定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围)
问题二：.抽象函数求值问题
例 2. 已知 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x y) f (x) f (y) 对一切正实
数 x，y 都成立，若 f (8) 4 ，则 f (2) _______。
5.函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且 x>0 数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
x 0时 1 f (x) 0 , 且 对 任 意 a,b R , 满 足
f (a b)
f (a) f (b)
.
1 f (a) f (b)
(1)求 f (0)的值;
(2)求证 f ( x)是奇函数；
(3)判断 f ( x)在R上的单调性
练习
1.若 f (x 2) 的定义域是 1,0 ，求 f ( 2x 1) 的定义域。
f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x >0 时，f(x)<0
(1)判断f ( x)的奇偶性；
(2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)若 f(1)=-2，求 f(x)在[-3,3]上 的最大值和最小值。
高一期中抽象函数知识点
高一期中抽象函数知识点高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要重点掌握的知识点之一。
抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念和特点需要认真理解与掌握。
本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数的知识。
一、抽象函数的定义抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。
通常，我们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。
举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内层函数。
二、抽象函数的图象与性质抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作用的结果。
要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数的图象，然后观察两个图象的叠加效果。
在绘制图象时，需要注意变量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。
关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。
对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。
2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而与内层函数的奇偶性无关。
具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。
3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。
一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的导数存在且小于0，那么抽象函数是递减函数。
三、常见的抽象函数类型1. 复合函数：复合函数是抽象函数的一种常见类型，它将两个函数进行组合，其中一个函数作为另一个函数的自变量。
例如，f(g(x))就是一种典型的复合函数。
2. 函数的逆运算：在函数的逆运算中，内层函数和外层函数的关系是倒置的。
高一抽象函数五大模型总结学生版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。
高一抽象函数练习题
高一抽象函数练习题高一抽象函数练习题高一数学课程中，抽象函数是一个重要的概念。
它是一种特殊的函数，其自变量和因变量都可以是函数。
抽象函数的引入，使得数学问题的描述和解决更加灵活和简洁。
为了帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数，以下将给出一些高一抽象函数练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。
1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求抽象函数g(x) = f(f(x))的表达式。
解析：首先，我们需要求出f(f(x))的表达式。
根据抽象函数的定义，我们可以将f(f(x))展开为f(x^2 + 3x - 2)。
将f(x) = x^2 + 3x - 2代入，得到f(f(x)) = (x^2 +3x - 2)^2 + 3(x^2 + 3x - 2) - 2。
化简后，得到g(x) = x^4 + 7x^3 + 16x^2 +13x - 6。
2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求抽象函数g(x) = f^3(x)的表达式。
解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f^3(x)的表达式。
f^3(x)表示f(f(f(x)))，即将f(x)连续作用三次。
根据给定的函数f(x) = 2x - 1，我们可以计算出f(f(x))和f(f(f(x)))的表达式，进而得到g(x) = 8x - 9。
3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求抽象函数g(x) = f(f^2(x))的表达式。
解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f(f^2(x))的表达式。
f^2(x)表示f(f(x))，即将f(x)连续作用两次。
根据给定的函数f(x) = x^2 + 2x，我们可以计算出f(f(x))的表达式，进而得到g(x) = (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x)。
通过以上练习题，我们可以看到抽象函数的运用非常灵活。
在解题过程中，我们需要将给定的函数代入到抽象函数的定义中，然后进行计算和化简，最终得到所求的抽象函数表达式。
高一数学抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中， 由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ，得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
高一抽象函数的所有知识点
高一抽象函数的所有知识点抽象函数是数学中重要的概念之一，在高中数学中也占据了重要地位。
本文将详细介绍高一阶段抽象函数的所有知识点，包括定义、性质和应用等方面。
一、抽象函数的定义抽象函数是一种用数学语言表示的一般规律或映射关系。
一般来说，抽象函数由定义域、值域和映射关系三个部分组成。
定义域是函数的自变量所在的集合，值域是函数的因变量可能取值的范围，映射关系则决定了自变量和因变量之间的对应关系。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是函数的基本特征。
定义域可以是实数集、自然数集、整数集等不同集合，而值域可以根据实际问题的需要而变化。
2. 奇偶性：抽象函数可以分为奇函数和偶函数两类。
当函数满足f(-x) = -f(x)时，被称为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，被称为偶函数。
3. 单调性：抽象函数的单调性指函数图象上的点按照自变量的增大而增大或减小。
函数的单调性可分为增函数和减函数两种情况。
4. 周期性：一些抽象函数具有周期性，即在一定范围内函数值呈现出循环出现的现象。
周期函数常用正弦函数和余弦函数来表示。
5. 对称性：对称性是指函数图象在某一直线或坐标轴上关于某一点对称。
常见的对称有关于x轴对称、y轴对称和关于原点对称等。
三、抽象函数的应用1. 函数求值：抽象函数可以用来求函数在特定自变量取值下的因变量取值。
通过函数的映射关系，我们可以根据给定的自变量值，求出相应的函数值。
2. 函数图象绘制：抽象函数的图象可以通过将自变量的取值范围映射到函数的值域中，绘制出对应的函数图象。
函数图象的绘制有助于观察函数的性质和规律。
3. 函数的应用问题：抽象函数在实际问题中有广泛的应用。
通过将实际问题转化为数学语言，我们可以利用抽象函数来解决实际问题，如数学建模、物理问题等。
四、抽象函数的注意事项1. 定义域的确定：在使用抽象函数时，需要明确函数的定义域。
合理确定定义域可以保证函数的映射关系是可行的。
抽象函数的单调性奇偶性周期性课件高一上学期数学人教A版
f (x)在R上是增函数
2a 3 2, 解得a 5 2
例题讲解
题型一 抽象函数的单调性
例3. f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有 f(xy)=f(x)＋f(y),
又当x>1时, f(x)>0且 f(3)＝1.
(1) f (xy) f (x) f ( y)
（1）求 f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性 f (11) f (1) f (1)
f ( x2 ) f [( x2 x1 ) x1]
归纳总结
题型一 抽象函数的单调性
抽象函数 (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为 f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；
①利用定义证明单调性的一般步骤：
1、取值：在指定的区间上任意取两个数x1，x2，不妨设x1<x2 ； 2、 作差： f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]； 3、变形 ：通过因式分解，配方有理化等， 转化为易判断正负的式子 4、 定号：确定 f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]的符号； 5、下结论。
第三章 函数
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
2024/9/26
探究新知
抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等， 一般（1)通过代入特殊值(赋值法）求值、
（2）通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、 （3）出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性， （4）换x为x＋T确定周期性.
归纳总结
题型一 抽象函数的单调性
新高一抽象函数知识点归纳总结
新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。
抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。
接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。
函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。
二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。
抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。
在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。
三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。
四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。
首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。
其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。
另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。
五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。
通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。
抽象函数定义域课件高一上学期数学人教A版
即x的范围
括号内x就是整体
只指2x+1 中x的范围
总结抽象函数定义域
记住两句话：1.定义域只指x的范围 2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体 2.利用整体求得所求函数的定义域 即x的范围
Hale Waihona Puke TITLE函数定义域
定义域值域必须写成集 合或区间的形式
具体函数的定义域
例；求下列函数的定义域
学会了吗
抽象函数的定义域
抽象函数：没有具体解析是的函数 抽象函数定义域的方法和技巧：
记住两句话：1.定义域只指x的范围 2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体 2.利用整体求得所求函数的定义域
高一数学抽象函数知识点归纳_知识点总结
高一数学抽象函数知识点归纳_知识点总结
高一数学抽象函数知识点归纳
(1)将抽象函数的内容与具体函数的性质结合起来。
抽象函数作为理解函数的一个上位的要求，对于所有的具体函数都具有指导意义。
高一学习的指数，对数和幂三种函数的具体性质，都是抽象函数性质在具体函数中的表现。
函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，这些内容既是抽象函数的核心内容，又是具体函数具体性质的表现。
结合起来记忆，效果更好。
(2)所有和抽象函数相关的综合问题，一定首先想办法将抽象函数的条件化为具体条件，转化的方法，就是利用抽象函数的性质。
很多综合题中都会出现抽象函数的条件，对于这种题目，首先要解决的就是将这些条件中的f去掉。
高一上学期抽象函数知识点
高一上学期抽象函数知识点在高一上学期的学习中，我们接触到了一种非常重要的数学概念——抽象函数。
抽象函数是函数的一种推广形式，它不仅仅可以用来描述数学问题，还可以应用于其他许多领域。
本文将为大家介绍抽象函数的基本概念、性质以及应用。
一、抽象函数的定义和基本概念抽象函数是指一种将一个集合中的元素映射为另一个集合中的元素的规则。
与常见的一一对应函数不同，抽象函数可以将多个元素映射为一个元素，或者一个元素映射为多个元素。
它的定义形式为：f：A→B，其中A为定义域，B为值域。
在抽象函数的定义中，我们需要了解几个基本概念。
首先是定义域，它表示函数能够接受的输入。
其次是值域，它表示函数的输出范围。
还有一个重要的概念是像，它是通过抽象函数映射得到的值。
像可以用来描述函数的实际应用中的结果。
二、抽象函数的性质抽象函数具有一些重要的性质，我们在学习中需要重点掌握。
1. 单值性：抽象函数的像只有唯一的值。
也就是说，对于定义域中的每一个元素，在抽象函数中只能映射为一个值。
2. 多值性：抽象函数的像可以有多个值。
与单值性相反，抽象函数可以将一个输入映射为多个输出。
3. 一对一性：抽象函数中的每一个值只能由一个输入得到。
也就是说，不会有两个或多个不同的元素映射为相同的值。
4. 映射性：每一个定义域中的元素都要在抽象函数中有对应的像。
也就是说，抽象函数中不能有未被映射的元素。
三、抽象函数的应用抽象函数的应用非常广泛，在不同领域都有着重要作用。
1. 数学领域：在数学中，抽象函数可以用来描述有限集合与无限集合之间的关系。
通过抽象函数，我们可以对集合中的元素进行分类和描述，从而深入理解它们的性质。
2. 计算机科学：在计算机科学中，抽象函数被广泛应用于编程语言和算法设计中。
通过抽象函数，我们可以将复杂的问题进行抽象和简化，从而提高程序的运行效率和可读性。
3. 物理学：在物理学中，抽象函数可以用来描述系统的状态和性质。
通过抽象函数，我们可以建立物理现象与数学模型之间的关系，从而推导出一些重要的定理和规律。
高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳
高一数学抽象函数常见重点题型解析归纳对于刚上高一的学生而言，掌握好抽象函数常见题型的解法，有助于他们在高考数学的考试中发挥的更加出色。
下面是小编为大家整理的高一数学必修1常见题型解法，希望对大家有所帮助!高一数学抽象函数常见题型高一数学填空题解题方法一、直接法从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
高一数学复习答疑问题1:我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。
答:数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。
当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。
为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。
有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。
所谓理解就是听了老师的一段讲解，看了老师的一个解题过程，你要把他提炼、升华成理性认识，在你的头脑中，应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题，他所体现出来的规律性的东西。
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抽象函数
1. 函数()f x 的定义域为R ，对任意实数12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x +-=，当0x >时，()0f x >，且(2)3f =。
（1）判断()f x 的奇偶性与单调性；
（2）求()f x 在区间[2,4]-上的最大值与最小值。
2. 函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1,f a b f a f b +=+-并且当0x >时，()1,f x >
（1）求证：()f x 是R 上的增函数；
（2）若()67,f =解不等式()
2334f m m -+<。
3. 定义在R 上的函数()y f x = ,当0x >时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=
(1) 求证：(0)1f =
(2) 求证：对任意的x R ∈恒有()0f x >
(3) 求证：()f x 是R 上的增函数；
(4) 若2()(2)1f x f x x ⋅->,求x 的取值范围？
4. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()()f x f y f xy +=,且1x >时()0f x >, 求证:（1）()(),,;y x y R f f y f x x +⎛⎫∈=-
⎪⎝⎭ （2）()10f =;
（3）在(0,)+∞上单调递增。
（4）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋5 )－f (
x
1) ＜2 ．
5.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足()()()f ab af b bf a =+。
（1）求(0),(1)f f 的值；
（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论。
6.已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，若,[1,1],0a b a b ∈-+≠，有
()()0f a f b a b +>+成立。
（1）判断函数()f x 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式11()(
)21
f x f x +<-
7. 设函数()f x 定义域为R ，则下列命题中：
(1)()y f x =为偶函数，则()2y f x =+ 的图象关于y 轴对称；
(2)()2y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称；
(3)若()()22f x f x -=-，则()y f x =关于直线2x =对称；
(4)()2y f x =-和()2y f x =-的图象关于直线2x =对称． 其中正确的命题序号是 .
8. 已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则有（ ）
（A ）(6)(7)f f > （B ）(6)(9)f f >
（C ）(7)(9)f f > （D ） (7)(10)f f >
9. 设()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，若10x <，且120x x +>，则（ ）
（A ）12()()f x f x >- （B ）12()()f x f x -=-
（C ）12()()f x f x -<- （D ）1()f x -与2()f x -大小不确定
10. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，当2x >时，()f x 单调递减；如果124x x +> 且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值（ ）
（A ）等于0 （B ）是不等于0的任何实数 （C ）恒大于0 （D ）恒小于0
11.设()f x 是定义在R 上的减函数，且对于任意的t R ∈，都有(1)(1)2f t f t -++--=，若2a b +<-，则有（ ）
（A ） ()()2f a f b +>（B ）()()2f a f b +<（C ） ()()1f a f b +>（D ）()()1f a f b +<
12. 设()f x 是连续的偶函数，且当0x >时，()f x 是单调函数，则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为___________．
13. 定义在R 上的单调函数()f x 满足(3)f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+．
(1)求证()f x 为奇函数；
(2)若2()(21)0f kx f kx +-<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．。