固体物理CH1-5晶体的对称性讲解

x1 x1
x2 x2 cos x3 sin x3 x2 sin x3 cos
1 0
0
A
0
cos
sin
0 sin cos
A 1
(2) 中心反映
• 取中心为原点，经过中心反应后，图形中任一点（x1，x2， x3 ），变为另一点（（-x1，-x2，-x3 ），则：
x1 x1 x2 x2 x3 x3
即: 要求平移、旋转、镜面和中心反演对称互相制约，协同共存
旋转 镜面 中心
平移 限制
七种晶系 十四种布喇非格子
讨论: 与平移不变相互自恰原则下 存在那些旋转和反演(反映)对称操纵
● 对旋转操纵的限制
平
● 对中心反演操纵的限制
移
● 对镜象反演操纵的限制
● 对三者组合的限制
结论:
点不动的对称操纵: c1, c2, c3, c4, c6, i, m, 4
• 如果用矩阵表示，即： x Ax
x1
x
x2
x3
x1
x
x2
x3
a11 a12 a13
A
a21
a22
a23
a31 a32 a33
• 操作前后，两点距离保持不变，要求
x12 x22 x32 x12 x22 x32
xx AxAx xAAx xx
• 因此，要求 AA I
点动的对称操纵: n 度螺旋轴, 滑移反映面 (Page14)
平移对称对旋转对称的限制
设 C1BCB1为任一晶列 且: C1B=BC=CB1
B` C`
- -
过B点转,
C1
C'
过C点转- , B1
B'
C1
B
C
B1
∵ B', C' 均为格点, B'C'与BC平行, 且同属一个晶列族 ∴ B'C'=mBC
i
Ferromagnetism
二.晶体中的对称性与对称操作
晶体结构 → 空间对称操作:
平移 旋转 反演(反映)
1.一般空间对称操作
● 平移(translation)
● 旋转(rotation) ● 中心反演(inversion) ● 镜象反演(mirror)
0
r` =x`i+y`j+z`k r =xi+yj+zk
(b) n度旋转-反演轴
若绕某一固定轴 u 旋转角度2/n以后，再经过中心反演 ( x -x，y -y，z -z)，晶体能自身重合，则称 u为n度旋转反演旋转轴，这样的对应轴只有1，2，3，4，6，不能有5度或6
度以上对称轴。为区别于转轴，表示为 1, 2, 3, 4, 6
1 就是中 心反演， 称为对称 心，用i表 示，即
I 是单位矩阵
A A1
即A为正交矩阵
A为正交矩阵，因此
aijajk
ij
ij
1(i 0(i
k) k)
如令 A 代表A的行列式，得
A A 1 A A A2 1
A 1
3. 几种简单操作的变换关系
转动、中心反映和镜像 (1) 转动
将某图形绕x1轴转过角，该图形中的任一点（x1，x2，x3 ）， 变为另一点（（x’1，x’2，x’3 ），则变换关系是：
a) 旋转角 0 2
B'C'=BC(1+2cos)，
因此， cos=0,1/2,1;
b) 旋转角 2
B'C'=BC(1+2cos)
2, 3,0
2 , 2 3 ,
综上所述，旋转角 可写成2/n，n=1,2,3,4,6
因此，晶体中只可具有1,2,3,4,6度转轴
1 cos N 2 1 N 2, 1, 0
§ 1.5 晶体的对称性
一. 晶系：
按晶胞基矢a,b,c的大小与夹角不同仅有七种晶系 立方： a＝b＝c α＝β＝γ＝90° 四角： a＝b≠c α＝β＝γ＝90° 正交： a≠b≠c α＝β＝γ＝90° 三角： a＝b＝c α＝β＝γ≠90° 六角： a＝b≠c α＝β＝90°，γ＝120° 单斜： a≠b≠c α＝γ＝90°，β≠90° 三斜： a≠b≠c α≠β≠γ≠90°
一、一般对称性
1.慨念:
物理系统在某些满足一定规则变换下具有的不变性
2. 物理学中的对称性
◆ 时-空对称性 (包括标度不变性) ◆ 内禀对称性
(电荷共轭对称,重子,轻子,自旋,同位旋,全同粒子等)
谢宾斯基垫片
谢宾斯基地毯与海绵
3.对称性与物理学
1). 结构认识:
元素周期表, 基本粒子标准模型(八重态,十重态)
N
cosθ
θ
2 /n
符号
-2
-1
180
2
c2
-1
-1/2
120
3
c3
0
0
90
4

c4
1
1/2
60
6
c6
2
1
360
1
c1
B'C'=BC(1+2cos) B'C'=mBC=(N+1)BC
1 cos N 2 1 N 2, 1, 0
(a) n度旋转对称轴
晶体绕某一固定轴 u 旋转角度2/n以后能自身重合，则称 u 为n度或n次旋转对称轴，n只能取1，2，3，4，6，不能有5度或 6度以上对称轴。
2. 线性变换
• 概念：晶体中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变， 这些操作就是线性变化。
• 设经过线性操作，把晶格中任一点x变为x’，则有：
xj ajk xk ( j, k 1, 2,3)
数学上， x和x’等也可认为是空间中同一点在两个坐标系中的坐标，即：
x ix1 jx2 kx3 ix1 jx2 kx3
2). 物理规律:
◇ 空间反演不变 ─ 宇称守恒 ◇ 空间平移不变 ─ 动量守恒 ◇ 空间旋转不变 ─ 角动量守恒 ◇ 空间标度不变 ─ 临界现象规律 ◇ 时间平移不变 ─ 能量守恒
3).对称破缺: 相变问题
Symmetry Broken
M mi 0
i
Paramagnetism
M mi 0
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
(3) 镜像 • 如以x3=0面作为镜面，镜像对称操作是将图形中的任何一点
（x1，x2，x3 ），变为另一点（（x1，x2，-x3），则：
1 0 0
A
0
1
0
0 0 1
A 1
4. 晶体可能的对称操作
晶体微结构的基本特征是: 同时具有平移对称、旋转对称、镜面对称和中心反演对称
Why ? Only 90°
and 120°?
三斜: ≠≠
=?
平移对称与旋转对称的自恰!
§ 1.5 晶体的对称性
# 引入:
晶体结构的两个特征:
平移不变(周期性) → 几何: 点阵（原胞、晶胞）等
对称性
解析几何：坐标系（基矢、格矢）等
旋转不变
→
?
# 内容： 三个层次
一般对称性的慨念 晶体的对称性 晶体的对称性的组合原则─ 对晶体分类