正整数指数函数-PPT
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《指数函数的概念》课件
2023
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
指数函数的概念PPT课件.ppt
4.截距:在 x 轴上没有,在y 轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
高中数学《指数函数》ppt课件
课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。
图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。
指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。
当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数没有周期性。
值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。
其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。
幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。
特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。
对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。
其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。
复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。
其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。
02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。
乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。
高中数学北师大版必修1 正整数指数函数 课件(35张)
是正整数指数函数． (3)是．因为 y＝(π －3)x 的底数是大于 0 且小于 1 的常数，所 以函数 y＝(π －3)x 是正整数指数函数且是减函数．
方法归纳 (1)按正整数指数函数的 4 个特征来判定； (2)注意与幂函数的区别．
1．(1)若函数 y＝(a2－3a＋3)· ax 为正整数指数函数，则实数 a 2 的值为________ ． 16 2， ，则此函数的解析式 (2)正整数指数函数的图像经过点 x 9 4 N＋ 为 y＝________ ，定义域为________ ． 3 解析：(1)若函数 y＝(a2－3a＋3)· ax 为正整数指数函数，则 ax 的系数 a2－3a＋3＝1， 且底数 a＞0 且 a≠1.由此可知， 实数 a 的值为 2. 16 16 2 4 x (2)把2， 9 代入 y＝a (a>0 且 a≠1)，得 ＝a ，所以 a＝ ， 9 3 x 4 ，N＋. y＝ 3
正整数指数函数的图像与性质
x 3 (x∈N＋)的图像，并说明函数的单调 画出函数 y＝ 2
性和值域． [解] (1)列表：
x y
1 3 2
2 9 4
3 27 8
4 81 16
„ „
(2)描点：图像如图所示．
x 3 (x∈N＋)在其定义域上是增函数， 根据图像知 y＝ 其值域为 2
1．正整数指数函数的概念、图像和性质 y＝ax (1)一般地，函数__________ (a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数 指数函数，其中 x 是自变量，定义域是正整数集 N＋. (2)正整数指数函数的图像和性质
①图像特征 共同特征：正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的； 分类特征： a. 当底数 a ＞ 1 时，正整数指数函数的图像是
高一上学期数学必修课件第章正整数指数函数
对数的性质
如 log_a 1 = 0, log_a a = 1, log_a (M/N) = -log_a (N/M), log_a (M*N) = log_a M + log_a N 等。
指数函数与对数函数关系探讨
指数函数与对数函数互为反函数
对于函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 和 y = log_a x，它们是互为反函数的，即如果 y = a^x，则 x = log_a y。
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数性质
当a>1时，函数在定义域内单调 递增；当0<a<1时，函数在定义 域内单调递减。
指数运算规则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加，即 a^m*a^n=a^(m+n)。
同底数幂相除
底数不变，指数相减，即 a^m/a^n=a^(m-n)。
分数指数幂的性质
如 a^0 = 1 (a ≠ 0), a^(-m/n) = 1/a^m/n, (a^m/n)^p = a^(m*p)/n 等。
对数概念和运算规则
01
对数定义
如果 a^x = N (a > 0, a ≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
x = log_a N。
02 03
高一上学期数学必修课件
第章正整数指数函数
汇报人：XX
20XX-01-12
• 正整数指数函数基本概念 • 正整数指数函数运算 • 正整数指数函数在生活中的应用 • 正整数指数函数与方程求解 • 正整数指数函数在几何图形中的应用 • 正整数指数函数拓展与提高
01
如 log_a 1 = 0, log_a a = 1, log_a (M/N) = -log_a (N/M), log_a (M*N) = log_a M + log_a N 等。
指数函数与对数函数关系探讨
指数函数与对数函数互为反函数
对于函数 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 和 y = log_a x，它们是互为反函数的，即如果 y = a^x，则 x = log_a y。
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数性质
当a>1时，函数在定义域内单调 递增；当0<a<1时，函数在定义 域内单调递减。
指数运算规则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加，即 a^m*a^n=a^(m+n)。
同底数幂相除
底数不变，指数相减，即 a^m/a^n=a^(m-n)。
分数指数幂的性质
如 a^0 = 1 (a ≠ 0), a^(-m/n) = 1/a^m/n, (a^m/n)^p = a^(m*p)/n 等。
对数概念和运算规则
01
对数定义
如果 a^x = N (a > 0, a ≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
x = log_a N。
02 03
高一上学期数学必修课件
第章正整数指数函数
汇报人：XX
20XX-01-12
• 正整数指数函数基本概念 • 正整数指数函数运算 • 正整数指数函数在生活中的应用 • 正整数指数函数与方程求解 • 正整数指数函数在几何图形中的应用 • 正整数指数函数拓展与提高
01
高中数学 3.1《正整数指数函数》课件(1) 北师大版必修1
(5)y＝xx(x∈N＋)； (6)y＝(2a－1)xa>12，a≠1，x∈N＋. [分析] 严格按照正整数指数函数的定义进行判断，注意 它的形式特征．
[解析] (1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数 指数函数的定义．
(2)为幂函数． (3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义． (4)中函数的底数 a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定 义． (5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指 数函数的定义．
所以经过 x 年后木材蓄积量为 200(1＋5%)x. 所以 y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)．
(2)作函数 y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图像，如图所示．
设直线 y＝300 与函数 y＝200(1＋5%)x 的图像交于 A 点， 则 A(x0,300)，A 点的横坐标 x0 的值就是 y＝300 时(木材蓄积量 为 300 万立方米时)所经过的年数 x 的值．因为 8<x0<9，则取 x0＝9，所以经过 9 年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万立 方米．
y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255. 由计算器得 y＝1117.68(元)． 所以函数关系式为 y＝a(1＋r)x,5 期后的本利和为 1117.68 元．
[方法总结] 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的 问题，如果原来产值数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值或总产量 y，可以用公式 y＝N(1＋p)x 表示．
3．正整数指数幂的运算性质(a>0，a≠1，m，n∈N＋) (1)am·an＝________ (2)am÷an＝________ (3)(am)n＝________ (4)(ab)m＝________ (5)(ab)m＝________(b≠0)
2024版高一数学指数函数及其性质PPT课件图文
学习方法建议
深入理解指数函数的概念
掌握指数函数的定义、图像和性质， 理解底数、指数和幂的含义。
多做练习题
通过大量的练习题，加深对指数函数 的理解和掌握，提高解题能力。
系统学习指数函数的运算
学习指数函数的四则运算，掌握运算 规则和技巧。
解题技巧分享
换元法
通过将指数函数中的变量 进行换元，简化问题，使 问题更容易解决。
指数函数在数学模 型中的应用举例
在经济学中，指数函数被用来描 述复利、折旧等问题；在物理学 中，指数函数被用来描述放射性 元素的衰变等问题；在工程学中， 指数函数被用来描述材料的疲劳 寿命等问题。
数学模型在解决实际问题中的价值
提高解决问题的效率
揭示问题的本质和规律
通过建立数学模型，可以将实际问题转化为 数学问题，利用数学方法和技术进行求解， 从而提高解决问题的效率。
05
指数函数与数学模型
数学模型简介
01
数学模型的定义
数学模型是描述客观事物或它的本质和本质的一系列数学形 式。它或能利用现有的数学形式如数学公式、数学方程、数 学图形等加以表述，或能抽象出数学的基本概念和基本结构。
02
数学模型的分类
根据研究目的，可以将数学模型分为描述性模型和预测性模 型。
03
数学模型的作用
指数方程求解
通过对方程两边取相同的底数的对数或者 利用换元法等方法求解指数方程。
指数函数性质应用
利用指数函数的单调性、奇偶性、周期性 等性质解决相关问题。
03
指数函数性质探究
单调性
01
指数函数的单调性取决于底数a的 大小
02
当a>1时，指数函数在整个定义 域上是增函数；
正整数指数函数与指数概念(PPT)5-2
温故知新
• 正整数指数an=a×a × … × a（n个）
• 0指数a0=1(a≠0) 1
• 负整数指数 a-n= an
ห้องสมุดไป่ตู้
•
正分数指数
m
an
n
am
• 幂的运算性质p72
·负分数指数
·无理数指数p79
0n=0,n为正无理数
〈书〉用荆条、竹子等编成的篱笆或其他遮拦物。 【筚篥】同“觱篥”。 【筚路蓝缕】ǚ《左传?宣公十二年》：“筚路蓝缕，以启山林。”意思是说驾着柴 车，穿着破旧的衣服去开辟山林（筚路：柴车；蓝缕：破衣服）。形容创业的艰苦。也作荜路蓝缕。 【湢】〈书〉浴室。 【愊】［愊忆］（）〈书〉形烦闷。 也作腷臆。 【愎】〈书〉乖戾；执； 好运吧； 拗：刚～自用。 【弼】（弻）〈书〉辅助：辅～。 【蓖】［蓖麻］（）名一年生 或多年生草本植物，叶子大，掌状分裂。种子叫蓖麻子，榨的油叫蓖麻油，医上做泻，工业上做润滑油。也叫大麻子（）。 【跸】（蹕）〈书〉帝王出行时， 开路清道，禁止通行；泛指跟帝王行止有关的事情：驻～（帝王出行时沿途停留暂住）。 【腷】［腷臆］（）同“愊忆”。 【痹】（痺）痹症：风～｜ 寒～｜湿～。 【痹症】名中医指由风、寒、湿等引起的肢体疼痛或麻木的病。 【煏】〈方〉动用火烘干。 【滗】（潷）动挡住渣滓或泡着的东西，把液体 倒出：～汤｜把汤～出去。 【裨】〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 【裨益】〈书〉①名益处：学习先进经验，对于改进工作，大有～。 ②动使受益：植树造林是～当代、造福子孙的大事。 【辟】①〈书〉君主：复～。②（）名姓。 【辟】〈书〉①排除：～邪。②同“避”。 【辟】〈书〉 帝王召见并授与官职：～举（征召和荐举）。 【辟谷】动不吃五谷，方士道家当做修炼成仙的一种方法。 【辟邪】∥动避免或驱除邪祟。一般用作迷信语， 表示降伏妖魔鬼怪使不侵扰人的意思。 【辟易】〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，～数里。 【碧】①〈书〉青绿色 的玉石。②青绿色：～草｜澄～。③（）名姓。 【碧波】名碧绿色的水波：～荡漾｜～万顷。 【碧空】名青蓝色的天空：～如洗。 【碧蓝】形状态词。青 蓝色：～的大海｜天空～～的。 【碧绿】ǜ形状态词。青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 【碧螺春】名绿茶的一种，蜷曲呈螺状，产于太湖洞庭山。 【碧落】 〈书〉名天空。 【碧血】名《庄子?外物》：“苌弘死于蜀，藏其血，三年而化为碧。”后多用“碧血”指为正义事业而流的血：～丹心。 【碧油油】（口 语中也读）（～的）形状态词。绿油油：～的麦苗。 【碧玉】名绿色或暗绿色的软玉。 【蔽】遮盖；挡住：掩～｜遮～｜衣不～体｜浮云～日。 【蔽芾】 〈书〉形形容树干树叶微小。 【蔽塞】①〈书〉动堵塞；壅塞。②形不开通；闭塞。 【蔽障】①动遮蔽；阻挡：浓雾～了视线｜防
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正整数指数函数
学习目标
学习导航
重点难点 重点：正整数指数函数的概念及性质． 难点：正整数指数幂的运算及函数性质．
新知初探·思维启动
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数_____y_＝__a_x____ (a＞0，a≠1， x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自
变量，定义域是正整数集N＋.
做一做
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩 留量在逐渐减少，该函数为减函数． (4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4. 即约经过4年，剩留量是原来的一半． 【思维总结】在实际生活中，增长率问题、降低 率问题、复利问题、浓度问题等都是常见的正整 数指数函数．
变式训练
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找 回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出 去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过 程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
如函数 y＝12x，y＝2x(x∈N＋)的图像(如图所
示)．由图像可得：
(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图
像是__上__升_____的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的
图像是___下__降____的． 由此得出正整数指数函数的单调性：
(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是_增__函数; (2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是_减___函
例2 (本题满分10分)在同一平面直角坐标系 中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底 数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快 慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋； (2)y＝12x，x∈N＋与 y＝13x，x∈N＋.
【思路点拨】正整数指数函数的图像是由一些孤 立的点组成的．由(1)(2)的图像可推广出正整数 指数函数的底数对函数单调性的影响以及正整数 指数函数随底数的增大，其图像改变快慢的问 题．
9 (4)是正整数指数函数，因为 y＝(
74)x 的底数
是大于 1 的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为 y＝(π－3)x 的底数
是大于 0 且小于 1 的常数，所以是减函数．
【名师点睛】 根据函数的解析式判断是否为 正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函
数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1， 自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0， a≠1.
题型探究
题型一 正整数指数函数的概念
例1 若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数
函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－5 9)x；(2)y＝x4；(3)y＝25x；
9 (4)y＝(
74)x；(5)y＝(π－3)x.
【解】 (1)因为 y＝(－5 9)x 的底数－5 9小于
0，所以 y＝(－5 9)x 不是正整数指数函数； (2)因为 y＝x4 中自变量 x 在底数位置上，所以 y＝x4 不是正整数指数函数，实际上 y＝x4 是 幂函数； (3)y＝25x＝15·2x，因为 2x 前的系数不是 1，所以 y＝25x不是正整数指数函数；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
…… 一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系 式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x1234来自5y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)
的图像，它的图像是由一些孤立的点组 成的．
解：设第n天共有yn只蜜蜂，则： y1＝5＋1＝6， y2＝6×5＋6＝62， y3＝62×5＋62＝63 yn＝6n， ∴y6＝66＝46656， ∴第6天共有46656只蜜蜂．
备选例题
1．比较下面几个幂的大小： 0.910 、0.911 、 1.14 、 1.15 、 0.010
解:可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋),
【解】 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点 在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上 的点连接)。（5分）
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞ 0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像 上升的越快； 当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越 快。（10分） 【问题技巧】描点作图是常用的作图方法，根据 图像研究函数的性质又是常用的研究函数的方法， 其间用到数形结合的数学思想．
数．
想一想 y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋， 而N＋ 不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数， 却没有单调区间．
做一做 2.函数 f(x)＝23x(x∈N＋)，则 f(2)＝________.
解析：f(x)＝232＝49.
答案：49
典题例证·技法归纳
所以 2x＞3－2x，解得 x＞34(x∈N＋)，
所以不等式的解集为x|x＞34，x∈N＋
.
方法感悟 方法技巧
根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a＞0， a≠1，x∈N＋)的特征来判断，如果是正整数
指数函数，那么根据底数与1的大小关系来确 定其单调性．
失误防范
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区 别：正整数指数函数解析式中的底数是常数， 而幂函数解析式中的指数是常数． 2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而 是{a，a2，a3，…}．
1.下列函数是正整数指数函数的为( )
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋)
答案：D
D．y＝12x(x∈N＋)
2．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域 是正整数集N＋，所以用描点 法画正整数指数函数的图像时， 不能用平滑的曲线将各点连接 起来．也就是说，正整数指数 函数的图像是由一些__孤__立__的__点____组成的．
因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再
考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函
数 是 增 函 数 ， 所 以 1.15 ＞ 1.14 ＞ 1. 因 此 0.911 ＜ 0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．
解：由 4x＞23－2x 知 22x＞23－2x，
变式训练
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数 a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
题型二 正整数指数函数的图像与性质
题型三 正整数指数函数的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年剩留的这种物质是原来的
84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化
的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性； (4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
【解】 (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年， 剩留量是y，由题意得 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
变式训练
2．比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜” 填空)． (1)1.5819________1.5820； (2)0.52012________0.52013. 解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋. ∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820. (2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋. ∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数． 又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013. 答案：＜ ＞
学习目标
学习导航
重点难点 重点：正整数指数函数的概念及性质． 难点：正整数指数幂的运算及函数性质．
新知初探·思维启动
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数_____y_＝__a_x____ (a＞0，a≠1， x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自
变量，定义域是正整数集N＋.
做一做
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩 留量在逐渐减少，该函数为减函数． (4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4. 即约经过4年，剩留量是原来的一半． 【思维总结】在实际生活中，增长率问题、降低 率问题、复利问题、浓度问题等都是常见的正整 数指数函数．
变式训练
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找 回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出 去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过 程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
如函数 y＝12x，y＝2x(x∈N＋)的图像(如图所
示)．由图像可得：
(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图
像是__上__升_____的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的
图像是___下__降____的． 由此得出正整数指数函数的单调性：
(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是_增__函数; (2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是_减___函
例2 (本题满分10分)在同一平面直角坐标系 中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底 数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快 慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋； (2)y＝12x，x∈N＋与 y＝13x，x∈N＋.
【思路点拨】正整数指数函数的图像是由一些孤 立的点组成的．由(1)(2)的图像可推广出正整数 指数函数的底数对函数单调性的影响以及正整数 指数函数随底数的增大，其图像改变快慢的问 题．
9 (4)是正整数指数函数，因为 y＝(
74)x 的底数
是大于 1 的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为 y＝(π－3)x 的底数
是大于 0 且小于 1 的常数，所以是减函数．
【名师点睛】 根据函数的解析式判断是否为 正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函
数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1， 自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0， a≠1.
题型探究
题型一 正整数指数函数的概念
例1 若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数
函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－5 9)x；(2)y＝x4；(3)y＝25x；
9 (4)y＝(
74)x；(5)y＝(π－3)x.
【解】 (1)因为 y＝(－5 9)x 的底数－5 9小于
0，所以 y＝(－5 9)x 不是正整数指数函数； (2)因为 y＝x4 中自变量 x 在底数位置上，所以 y＝x4 不是正整数指数函数，实际上 y＝x4 是 幂函数； (3)y＝25x＝15·2x，因为 2x 前的系数不是 1，所以 y＝25x不是正整数指数函数；
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
…… 一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系 式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x1234来自5y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)
的图像，它的图像是由一些孤立的点组 成的．
解：设第n天共有yn只蜜蜂，则： y1＝5＋1＝6， y2＝6×5＋6＝62， y3＝62×5＋62＝63 yn＝6n， ∴y6＝66＝46656， ∴第6天共有46656只蜜蜂．
备选例题
1．比较下面几个幂的大小： 0.910 、0.911 、 1.14 、 1.15 、 0.010
解:可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋),
【解】 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点 在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上 的点连接)。（5分）
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞ 0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像 上升的越快； 当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越 快。（10分） 【问题技巧】描点作图是常用的作图方法，根据 图像研究函数的性质又是常用的研究函数的方法， 其间用到数形结合的数学思想．
数．
想一想 y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋， 而N＋ 不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数， 却没有单调区间．
做一做 2.函数 f(x)＝23x(x∈N＋)，则 f(2)＝________.
解析：f(x)＝232＝49.
答案：49
典题例证·技法归纳
所以 2x＞3－2x，解得 x＞34(x∈N＋)，
所以不等式的解集为x|x＞34，x∈N＋
.
方法感悟 方法技巧
根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a＞0， a≠1，x∈N＋)的特征来判断，如果是正整数
指数函数，那么根据底数与1的大小关系来确 定其单调性．
失误防范
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区 别：正整数指数函数解析式中的底数是常数， 而幂函数解析式中的指数是常数． 2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而 是{a，a2，a3，…}．
1.下列函数是正整数指数函数的为( )
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋)
答案：D
D．y＝12x(x∈N＋)
2．正整数指数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域 是正整数集N＋，所以用描点 法画正整数指数函数的图像时， 不能用平滑的曲线将各点连接 起来．也就是说，正整数指数 函数的图像是由一些__孤__立__的__点____组成的．
因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再
考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函
数 是 增 函 数 ， 所 以 1.15 ＞ 1.14 ＞ 1. 因 此 0.911 ＜ 0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．
解：由 4x＞23－2x 知 22x＞23－2x，
变式训练
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数 a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
题型二 正整数指数函数的图像与性质
题型三 正整数指数函数的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年剩留的这种物质是原来的
84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化
的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性； (4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
【解】 (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年， 剩留量是y，由题意得 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
变式训练
2．比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜” 填空)． (1)1.5819________1.5820； (2)0.52012________0.52013. 解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋. ∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820. (2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋. ∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数． 又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013. 答案：＜ ＞