正整数指数函数-PPT

题型探究
题型一 正整数指数函数的概念
例1 若x∈N＋，判断下列函数是否是正整数指数
函数，若是，指出其单调性．
(1)y＝(－5 9)x；(2)y＝x4；(3)y＝25x；
9 (4)y＝(
74)x；(5)y＝(π－3)x.
【解】 (1)因为 y＝(－5 9)x 的底数－5 9小于
0，所以 y＝(－5 9)x 不是正整数指数函数； (2)因为 y＝x4 中自变量 x 在底数位置上，所以 y＝x4 不是正整数指数函数，实际上 y＝x4 是 幂函数； (3)y＝25x＝15·2x，因为 2x 前的系数不是 1，所以 y＝25x不是正整数指数函数；
因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1;再
考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋),因为此函
数 是 增 函 数 ， 所 以 1.15 ＞ 1.14 ＞ 1. 因 此 0.911 ＜ 0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
2．解不等式4x＞23－2x(x∈N＋)．
解：由 4x＞23－2x 知 22x＞23－2x，
9 (4)是正整数指数函数，因为 y＝(
74)x 的底数
是大于 1 的常数，所以是增函数；
(5)是正整数指数函数，因为 y＝(π－3)x 的底数
是大于 0 且小于 1 的常数，所以是减函数．
【名师点睛】 根据函数的解析式判断是否为 正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函
数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1， 自变量x∈N＋，且x在指数位置上，底数a＞0， a≠1.
如函数 y＝12x，y＝2x(x∈N＋)的图像(如图所
示)．由图像可得：
(1)当底数a＞1时，正整数指数函数的图
像是__上__升_____的；
(2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数的
图像是___下__降____的． 由此得出正整数指数函数的单调性：
(1)当底数a＞1时,正整数指数函数是_增__函数; (2)当底数0＜a＜1时，正整数指数函数是_减___函
1.下列函数是正整数指数函数的为( )
A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋)
答案：D
D．y＝12x(x∈N＋)
2．正整数ห้องสมุดไป่ตู้数函数的图像和性质
由于正整数指数函数的定义域 是正整数集N＋，所以用描点 法画正整数指数函数的图像时， 不能用平滑的曲线将各点连接 起来．也就是说，正整数指数 函数的图像是由一些__孤__立__的__点____组成的．
变式训练
1．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则实数a的值为________．
解析：根据正整数指数函数解析式的结构特征，
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数， 则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数 a＞0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
答案：2
题型二 正整数指数函数的图像与性质
解：设第n天共有yn只蜜蜂，则： y1＝5＋1＝6， y2＝6×5＋6＝62， y3＝62×5＋62＝63 yn＝6n， ∴y6＝66＝46656， ∴第6天共有46656只蜜蜂．
备选例题
1．比较下面几个幂的大小： 0.910 、0.911 、 1.14 、 1.15 、 0.010
解:可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋),
例2 (本题满分10分)在同一平面直角坐标系 中，分别画出下列两组函数的图像，并分析底 数的不同对函数的单调性和图像递增或递减快 慢的影响．
(1)y＝2x，x∈N＋，与y＝3x，x∈N＋； (2)y＝12x，x∈N＋与 y＝13x，x∈N＋.
【思路点拨】正整数指数函数的图像是由一些孤 立的点组成的．由(1)(2)的图像可推广出正整数 指数函数的底数对函数单调性的影响以及正整数 指数函数随底数的增大，其图像改变快慢的问 题．
【解】 两组函数的图像如下(为了便于辨认某点 在哪一函数图像上，特用虚线将同一函数图像上 的点连接)。（5分）
由上图可以看出，对于正整数指数函数y＝ax(a＞ 0，a≠1，x∈N＋)，当a＞1时，底数a越大，图像 上升的越快； 当0＜a＜1时，底数a越小，图像下降的越 快。（10分） 【问题技巧】描点作图是常用的作图方法，根据 图像研究函数的性质又是常用的研究函数的方法， 其间用到数形结合的数学思想．
正整数指数函数
学习目标
学习导航
重点难点 重点：正整数指数函数的概念及性质． 难点：正整数指数幂的运算及函数性质．
新知初探·思维启动
1．正整数指数函数的概念
一般地，函数_____y_＝__a_x____ (a＞0，a≠1， x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自
变量，定义域是正整数集N＋.
做一做
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩 留量在逐渐减少，该函数为减函数． (4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4. 即约经过4年，剩留量是原来的一半． 【思维总结】在实际生活中，增长率问题、降低 率问题、复利问题、浓度问题等都是常见的正整 数指数函数．
变式训练
3．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找 回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出 去，各自找回了5个伙伴，…，如果找伙伴的过 程这样继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后， 蜂巢中一共有多少只蜜蜂？
数．
想一想 y＝2x(x∈N＋)的单调增区间是N＋吗？
提示：不是 由于正整数指数函数的定义域是N＋， 而N＋ 不是区间，因此正整数指数函数虽然是单调函数， 却没有单调区间．
做一做 2.函数 f(x)＝23x(x∈N＋)，则 f(2)＝________.
解析：f(x)＝232＝49.
答案：49
典题例证·技法归纳
所以 2x＞3－2x，解得 x＞34(x∈N＋)，
所以不等式的解集为x|x＞34，x∈N＋
.
方法感悟 方法技巧
根据正整数指数函数的解析式y＝ax(a＞0， a≠1，x∈N＋)的特征来判断，如果是正整数
指数函数，那么根据底数与1的大小关系来确 定其单调性．
失误防范
1．要注意正整数指数函数与幂函数y＝xa的区 别：正整数指数函数解析式中的底数是常数， 而幂函数解析式中的指数是常数． 2．正整数指数函数的值域不是[a，＋∞)，而 是{a，a2，a3，…}．
题型三 正整数指数函数的实际应用
例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1年剩留的这种物质是原来的
84%.(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化
的函数关系式； (2)画出该函数的图像； (3)说明该函数的单调性； (4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
【解】 (1)设这种物质最初的质量是1，经过x年， 剩留量是y，由题意得 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
变式训练
2．比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜” 填空)． (1)1.5819________1.5820； (2)0.52012________0.52013. 解析：(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋. ∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820. (2)考虑正整数指数函数y＝0.5x，x∈N＋. ∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数． 又∵2012＜2013，∴0.52012＞0.52013. 答案：＜ ＞
经过2年,剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
…… 一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系 式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x1
2
3
4
5
y 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)
的图像，它的图像是由一些孤立的点组 成的．