2021届湖南省长沙市第一中学高一上学期数学期末测试卷(附答案)

12. 若点 P 在圆 C1 : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 1 上，点 Q 在圆 C2 : (x + 2)2 + (y + 1)2 = 4 上，则 |P Q| 的最小值是 ．
13. 在三棱柱 ABC − A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平
ABCD 是平行四边形， 与 BD 的交点，E 为棱
P B 上一点．
(1) 证明：平面 EAC ⊥ 平面 P BD；
(2) 若 P E = 2EB，求二面角 E − AC − B 的大小．
19. 已知函数 f (x) 的定义域为 R，若对于任意的实数 x，y，都有 f (x) + f (y) = f (x + y)，且 x > 0 时，有 f (x) > 0． (1) 判断并证明函数 f (x) 的单调性；
2a
−
a
(a
∈
R)
在
[
1
,
) +∞
上单调递增，则
a
的取值范围是
(
)
A.
[
9 4
,
) +∞
x+1 B. [2, +∞)
2
C.
( −∞,
9 4
]
D. (−∞, 2]
=%DE(#,+(&$ ! 11. 若函数 y = f (x) 的定义域 [0, 3]，则函数 g (x) = f (3x) 的定义域是 x−1
A. 平行
B. 相交但不垂直
C. 垂直
5. 设
a
=
31 3
，b
=
(
1 4
)3.1 ，c
=
log0.4
3，则
a，b，c
的大小关系为
(
D. 相交于点 (2, −1) )
A. c < a < b
B. c < b < a
C. b < a < c
D. a < b < c
6. 已知圆 (x + a)2 √
A. ±2 2
(2) 设 f (1) = 1，若 f (x) < m2 − 2am + 1 对所有 x ∈ [−1, 1]，a ∈ [−2, 2] 恒成立，求实数 m 的取值范围．
20. 已知圆 O：x2 + y2
=
2，直线 l 过点 M
(
3 2
,
3 2
) ，且 OM
⊥
l，P
(x0, y0) 是直线 l 上
的动点，线段 OM 与圆 O 的交点为点 N ，N ′ 是 N 关于 x 轴的对称点．
6. 易知圆的圆心为 (−a, 0)，半径为 2，又圆截直线 x − y − 4 = 0 所得的弦的长度为 2√2，则圆心到直
C%FG(#FGHI/JKLM%NMOPQRS TU! 15. 设集合 A = {x | 1 < x < 2}，B = {x | 2a − 1 < x < 2a + 1}． (1) 若 A ⊆ B，求 a 的取值范围； (2) 若 A ∩ B = ∅，求 a 的取值范围．
16. 已知函数 f (x) = kx2 − 2x + 4k． (1) 若函数 f (x) 在 R 上恒小于零，求实数 k 的取值范围； (2) 若函数 f (x) 在区间 [2, 4] 上单调递减，求实数 k 的取值范围．
C. {1, 3, 6, 7}
D. {1, 3, 5, 7}
2. 幂函数 y = xα（α 是常数）的图象 ( ) A. 一定经过点 (0, 0) B. 一定经过点 (1, 1)
C. 一定经过点 (−1, 1) D. 一定经过点 (1, −1)
3. 设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 ( )
17. 已知以点 A (−1, 2) 为圆心的圆与直线 l1 : x + 2y + 7 = 0 相切，过点 B (−4, 0) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M ，
N 两点．
(1) 求圆 A 的方程；
(2)
当
|M
N
|
=
√ 2 11
时，求直线
l
的方程．
18.
如∠B图A，D在=四6棱0◦，锥APB−=A2B，CPDD中=，√P3D，A⊥D平=面BADB，COD，为底A面C
A. 若 l ⊥ α，α ⊥ β，则 l ⊂ β
B. 若 l ∥α，α∥β，则 l ⊂ β
C. 若 l ⊥ α，α∥β，则 l ⊥ β
D. 若 l ∥α，α ⊥ β，则 l ⊥ β
4. 若直线 l1：2x − ay − 1 = 0 过点 (1, 1)，则直线 l1 与 l2：x + 2y = 0( )
+ y2
=
4 截直线 x − y B. 6
−4
=
0
所得的弦的长度为 2√2，则 a 等于 (
C. 2 或 6
D. −2 或 −6
)
7. 函数 f (x) = x ln |x| 的大致图象是 ( )

A
B
C
D
8. 点 P (x, y) 是直线 kx + y + 3 = 0 上一动点，P A，P B 是圆 C : x2 + y2 − 4y = 0 的两条切线，A，B 是切
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1. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A = {2, 4, 5}，则 ∁U A = ( )
A. ∅
B. {2, 4, 6}
面 BB1C1C 所成角的大小是
．
14. 已知函数
fK
(x)
的定义域为实数集
R，满足
fK
(x)
=
1, 0,
x ∈ K （K 是 R 的非空真子集），若在 R 上有 x ∈/ K
两个非空真子集 M ，N ，且 M ∩ N = ∅，则 F (x) = fM (x) + fN (x) + 1 的值域为
．
fM∪N (x) + 1
点，若四边形 P ACB 面积的最小值为 2，则 k 的值为 ( )
√
√
A. 2 2
B. ±2 2
C. 2
9. 设
f
(x)
=
2ex−1, x < 2, log3 (x2 − 1) ,
x
⩾
2,
则 f [f (2)] 的值为 (
)
D. ±2
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10. 函数 f (x) = ln x +
(1) 求直线 l 的方程；
(2) 若在圆 O 上存在点 Q，使得 ∠OP Q = 30◦，求 x0 的取值范围； (3) 已知 A，B 是圆 O 上不同的两点，且 ∠AN N ′ = ∠BN N ′，试证明直线 AB 的
斜率为定值．
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数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CBCCBDADC D