浙江大学概率论与数理统计(盛骤-第四版)

X 0
Sn
~ t(n
P 当H0为真拒绝H0 P0
P 0
X S
n
k
0
S
n
P 0
X S
n
S
k
n
1)
X
0
S
k
n
思考题 :
H0 : 0 , H1 : 0
请给出检验的拒绝域.
解答 :
拒绝域形式为: X 0 k, (k 0)
P 0
X S
0
n
S
k
n
拒绝域为:
Sw
11 n1 n2
t (n1 n2 2)
18
H0 : 1 2 , H1 : 1 2
12
2 2
2,
2未知
检验拒绝域形式为： X Y c
Sw
11 n1 n2
源自文库
其中
Sw2
n1
1 S12 n2 1 S22
n1 n2 2
, Sw
Sw2
X Y
当1 2时，
Sw
1 1 ～t n1 n2 2
检验拒绝域的形式为：X Y k
即等价于 X Y c
Sw
11 n1 n2
其中
S
2 w
n1
1 S12 n2 1 S22
n1 n2 2
, Sw
Sw2
在原假设成立时，t X Y
Sw
1 n1
1 n2
~ t n1 n2 2
X Y
检验拒绝域为： t Sw
1 1 t 2 n1 n2 2
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为 X 0 k.
由于 2未知，故不能用 X 0 来确定拒绝域了。 n
用的估计量S代替，
采用t X 0 作检验统计量。
Sn
当原假设成立时, X 0 ~ t n 1
Sn 拒绝域的形式为: X 0 c,
Sn
1
2
t 2(t0n 1)
2
t 2 (nt01)
n1 n2
X Y
从而，拒绝域为：t Sw
1 n1
1 n2
t (n1 n2 2)
19
例4：某厂使用两种不同的原料A,B生产同一类型产品。 各在一周的产品中取样分析。取用原料A生产的样品220件， 测得平均重量为2.46（公斤），样本标准差s=0.57（公 斤）。取用原料B生产的样品205件，测得平均重量为2.55 （公斤），样本标准差为0.48（公斤）。设两样本独立， 来自两个方差相同的独立正态总体。问在水平0.05下能否 认为用原料B的产品平均重量较用原料A的为大。
解：按题意需检验
H0 : 0 1000， H1 : 1000.
拒绝域为：
t
X 0
Sn
t (n 1).
n 25, t0.05 (24) 1.7109. x 950, s 100
计算得：t
X S
0
n
2.5
1.7109
t0.05 (24).
t落在拒绝域内，故拒绝原假设，
认为这批元件的平均寿命小于1000小时，不合格。 16
计算得： X Y 1.733 1.645,从而拒绝原假设。
Sw
11 n1 n2
20
基于成对数据的检验
例5：为了试验两种不同谷物种子的优劣，选取了十块土质不同的土 地，并将每块土地分为面积相同的两部分，分别种植这两种种子。 设在每块土地的两部分人工管理等条件完全一样。下面给出各块土 地上的产量。
z 2.
Z检验法
11
右边检验 H0 : 0 , H1 : 0 1 2已知时
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为X 0 k.
在H
为真时，
0
X
n
~
N
0,1,
0
P 当H0为真拒绝H0 P0 X 0 k
思考题 : 左边检验
H0 : 0, H1 : 0
请给出检验的拒绝域.
土地
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
种子A(xi) 23 35 29 42 39 29 37 34 35 28
种子B(yi) 26 39 35 40 38 24 36 27 41 27
di=xi-yi -3 -4 -6 2 1 5 1 7 -6 1
问：以这两种种子种植的谷物产量是否有显著的差异（取显著性水 平为0.05)?
• 2. 根据样本X_i，确定检验统计量T(X_i)以及拒绝域（拒 绝原假设的区域）的形式；
• 3. 给定显著性水平，按照“在原假设H0成立时，拒绝原假 设的概率不大于显著性水平 ”这一原则，确定拒绝 域；
• 4．根据样本观测值作出决策，接受原假设还是拒绝原假 设。
5
例1 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别 为： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0 根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0, 0.36), 现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？ 解：设 , 分别表示干燥时间总体的均值和标准差，
n1 n2
t检验法
17
H0 : 1 2 , H1 : 1 2
12
2 2
2,
2未知
检验拒绝域形式为： X Y c
Sw
1 n1
1 n2
其中
Sw2
n1
1 S12 n2 1 S22
n1 n2 2
, Sw
Sw2
当1
2时，
Sw
X Y 1 n1
1 n2
～t n1 n2
2
从而，拒绝域为：t X Y
X1, X2, , Xn来自N , 2 , X 和S 2分别为样本均值和方差,显著性水平为
H0 : 0 , H1 : 0
1 2已知时
检验拒绝域形式为：X 0 c n
在H0为真时，
X 0 n
~ N 0,1
根据犯第一类错误概率不大于 ,
即P
X
0
n
z
2
拒绝域为：
Z
X 0 n
P0
X 0
0.2
z
2
1,
P0
X 0
0.2
z
2
,
X 6.0
显著性水平为 的检验拒绝域为：
X 6.0
0.2
z
,
2
接受域为： 0.2
z 2
即拒绝域可以这样得到：将置信区间不等号反向，将原假设
成立时的值代入到参数中即可。
10
§2 正态总体均值方差的假设检验
一 单个正态总体N , 2 均值的检验
t没有落在拒绝域内，故接受原假设，
认为元件的平均寿命不大于225小时。
15
例3 要求某种元件的平均使用寿命不得低于1000小时，生 产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其平均寿命 为950小时，标准差为100小时。已知这批元件的寿命服 从正态分布。试在显著性水平0.05下确定这批元件是否 合格？
P0
(
X
0
n
k) n
k
,
0
n
0
1
(
k
0 ) n
解答 :
拒绝域形式为:
X
0
k,
(k
0)
由于 ( 0 k )是 的增函数， n
拒绝域为:
X
0
n
z
故只要( k ) , n
即 k
n
z 便可，
因此，拒绝域为：
Z
X
0
n
z .
12
H0 : 0, H1 : 0
2 2未知时
二 两个正态总体N
1,12
,N
2
,
2 2
均值差的检验
X1, X2, , Xn1来自N 1, 2 ,Y1,Y2, ,Yn2来自N 2, 2 , 1, 2, 2未知
X ,Y , S12,S22分别为第一,二个总体的样本均值和方差,显著性水平为 .
H0 : 1 2 , H1 : 1 2 . (为已知常数)
根据样本得x 5.87,
x 6 0.2
0.67 1.96 z0.025.
即 x 不落在拒绝域内，x 与 6的差异不显著，因此
接受原假设，认为干燥时间的均值与以往无显著差异。
上述检验法则符合实际推断原理。
7
注释1：假设检验中的4种可能结果
决策
不拒绝H0 拒绝H0
原假设H0
真的
假的
正确决策 第二类错误
21
分析：本题中每对数据的差异仅是由这两种种子的差异造成的，
将每对数据作差就能排除其它因素的影响，从而能比较种子产量的差异。
一般，设有n对独立的观测结果：(X1,Y1),(X2,Y2 ),...,(Xn ,Yn ),
这是一对矛盾，要同时减少犯第一、第二类错误，只有增大样本
容量。
9
注释2：假设检验与区间估计的比较。
在上例中，若总体的均值未知，即X ~ N (, 0.62 )
对于样本X1, X 2 ,..., X9 ,设置信度为1－，
则置信区间为：X
0.2z
2
X
0.2z
，
2
即：P
X
0.2
z
2
1
对于假设检验问题 H0 : 0 6.0, H1 : 6.0,
PH0 ( X 6.0 c)
6
给定显著性水平 0.05, 当原假设成立时，
总体X
~
N (6.0, 0.62 ),因此，X
~
N (6.0,
) 0.62 9
X 6.0
P( X 6.0 c) P(
c
)
0.6 3 0.6 3
X 6.0 拒绝域为： 0.2 z 2 z0.025 1.96
3
例1 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别 为： 6.0 5.7 5.5 6.5 7.0 5.8 5.2 6.1 5.0
根据以往经验，干燥时间的总体服从正态分布N(6.0, 0.36), 现根据样本检验均值是否与以往有显著差异？
例2 一种摄影药品被其制造商声称其贮藏寿命是均值180天、 标准差不多于10天的正态分布。某位使用者担心标准差可 能超过10天。他随机选取12个样品并测试，得到样本标准 差为14天。根据样本有充分证据证明标准差大于10天吗？
显著性水平为0.05）
解：按题意需检验
H0 : 0 225， H1 : 225.
拒绝域为：
t
X S
0
n
t (n 1).
n 16, t0.05 (15) 1.7531. x 241.5, s 98.7259
计算得：t
X S
0
n
0.6685 1.7531 t0.05(15).
原假设 H0 : 6.0，备择假设 H1 : 6.0
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为 X 6.0 c.
由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实 际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的决策。 这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错 误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数α (0<α<1)（称为显著性水平）,使得
第一类错误 正确决策
第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策； 第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。
通常，犯第一类错误的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可 以看作为“三方拔河”。
8
例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率 和 5.4时犯第二类错误的概率：
解：第一类错误的概率P6 (
数理统计
1
第八章 假设检验
关键词： 假设检验 正态总体参数的假设检验
分布拟合检验 秩和检验
2
§1 假设检验
统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。它包括 （1）已知总体分布的形式，但不知其参数的情况，提出参
数的假设，并根据样本进行检验. （2）在总体的分布函数完全未知的情况下，提出总体服从
某个已知分布的假设，并根据样本进行检验.
例3 孟德尔遗传理论断言，当两个品种的豆杂交时，圆的 和黄的、起皱的和黄的、圆的和绿的、起皱的和绿的豆的 频数将以比例9：3：3：1发生。在检验这个理论时，孟德 尔分别得到频数315、101、108、32、这些数据提供充分证 据拒绝该理论吗？
4
参数的假设检验问题处理步骤
• 1. 根据实际问题的要求，提出原假设 H和0 备择假设 ；H1
X S
0
n
t (n 1)
即 S k n t (n 1)
因此，拒绝域为：
t
X 0
Sn
t (n 1).
14
例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布 N (, 2 ),
, 均2 未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264
222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取
拒绝域满足 :
P
X
0
S n
t 2 n 1
因此,拒绝域为：
t
X 0
Sn
t 2 (n 1)
t检验法
13
H0 : 0, H1 : 0
2 2未知时
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为X 0 k.
由于未知，用估计量S代替，采用t X 0 作检验统计量。
当 0时，
X 6.0 0.2
z
2)
X 6.0 第二类错误的概率P5.4 ( 0.2 z 2 )
X 5.4 P5.4 (3 z 2 0.2 3 z 2 ) (3 z 2 )
从中可以看出，当样本量固定时，
， z 2 ，(3 z 2 ) ；
反之，(3 z 2 ) , z 2 , 。
解：检验假设 H0:1 2,H1:1 2
拒绝域为： X Y
Sw
1 n1
1 n2
t (n1 n2 2)
n1 220, x 2.46, s1 0.57；n2 205, y 2.55,
s2 0.48
t0.05 423 z0.05 1.645, sw 0.535,
1 1 0.097 n1 n2