自动控制原理 习题解答

3-8
已知系统的闭环传递函数为 GB (s)
=
Y (s) R(s)
=
(s2
15.36(s + 6.25)
，试估算
+ 2s + 2)(s + 6)(s + 8)
系统性能指标。
解：高阶系统可以降阶，系统有一对零极点 − 6.25 和 − 6 ，是对偶极子，可以相消。 系统剩下三个极点 −1 ± j 和-8，显然 −1 ± j 是系统的主导极点，所以系统降阶后，闭环传
解 (1) 当τ = 0时则原系统 的开环传递函数为
G(s) = 10 s(s + 2)
3-2
与G(s) =
ω
2 n
比较可知
s(s + 2ζωn )
由
ω2ζn2ω=n
10 =
2
得
ωn = 10
ζ =
10
10
(2) 当τ ≠ 0时则原系统 的开环传递函数为
G(s) =
10
s(s + 2 +10τ )
3-10 设单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定系统稳定时 K 的取值范围。
（1） G(s)H (s) =
K
s(s + 1)(0.2s + 1)
(2) G(s)H (s) = K (0.2s + 1) s(s + 1)(s + 1)
解 (1) 闭环传递函数为
∴GB (s)
=
K s(s + 1)(0.2s + 1) + K
=
0.2s 3
K + 1.2s 2
+s+
K
∴ 特征方程为 ： D(s) = 0.2s3 + 1.2s 2 + s + K = 0
方程中无缺项，且各项系数均大于 0，列劳斯表：
s3
0.2
1
s2
1.2
K
s1 1.2 − 0.2K 0 1.2
s0
K
要使系统稳定，则劳斯阵列第一列元素均要大于 0，
从而有
1.2 − 0.2K K > 0
− 0.37 = 0.06 < 5 − 5.76 可以确定 s1,2 为系统的主导极点。
（2）与主导极点 s1,2 对应的阻尼比、无阻尼自然振角频率和各暂态响应性能指标求得
如下：
ωn = 1.74 = 1.32rad / s ；
ζ = 0.74 = 10.74 = 0.28 2ωn 2 ×1.32
tp = ωn
系统的单位阶跃响应 y(t) = L−1[Y (s)] = 1(t) + 2e−2t − 4e−t (t ≥ 0) 。
若系统的初始条件为零，则
Y (s)
=
G(s)R(s)
=
s3
2 + 3s 2
+
2s
1 s
=
1 s
+
s
1 +
2
+
−2 s +1
系统的单位阶跃响应 h(t) = L−1[Y (s)] = 1(t) + e−2t − 2e−t (t ≥ 0) 。
， 从而ω(2n2+=110τ0) = 2ζωn ; 又ζ = 0.7
∴τ = 0.24
3-7
已知系统的传递函数为：
GB (s)
=
Y (s) R(s)
=
s2
+
2 3s
+
2
，系统的初始条件为
y(0) = −1, y&(0) = 0 ，试求系统的单位阶跃响应。
解：由系统的传递函数可得系统的微分方程为： &y&(t) + 3y&(t) + 2 y(t) = 2r(t) ，
递函数变为 GB'
(s)
=
(s2
K + 2s
+
2)
，变化前后要保证稳态值（系统稳态增益）不变，所以
有
GB (0)
=
15.36 ⋅ 6.25 2⋅6⋅8
=
K 2
= GB' (0) ⇒
K
=
2
系统降阶后的参数为：
ζ

ω
=
n
1/ =
2， 2
M ×100%
=
4.3% ， ts
= 150.5°
h(t) = 1 − 0.06e−5.76t + 1.07e−0.37t cos(1.27t + 150.5°)
3-4
已知根据主导极点 s1,2 确定的调整时间为 10.82s，考察这一时刻系统单位阶跃响应中
的指数项值 − 0.06e−5.76t |t=10.82 = −5.15 ×10−29 ，可见指数项值在 ts = 10.82 时已经衰减到 微不足道的程度。事实上，在峰值时间 t p = 2.48s ，指数项的值为 − 3.7 ×10−8 ，可见对
Ts 2 Ts 2
s
= K (1 − e−Ts ) − K e−Ts
Ts 2
s
或 利用定义
题 3-1 图
∫ ∫ ∫ G(s) = ∞ g(t)e−st dt = T K te−st dt = − K T tde−st
0
0T
Ts 0
∫ = − K [te−st Ts
T 0
− T e−st dt] = − K
求系统的传递函数。
解 Q y(0) = 0 − 0.9 + 0.9e0 = 0, y&(0) = 9 − 9e0 = 0 ，所以以上响应是系统在零初始条件 下的单位阶跃响应，对其取拉氏变换
Y (s) = L[ y(t)] = L[9t − 0.9 + 0.9e−10t ] = 9 − 0.9 + 0.9 = 90 s 2 s s + 10 s 2 (s + 10)
1−ζ 2 = π
ζ
3
2π
tr
=
π −β ωd
=
3 3
=
23 9
π
；t p
=π ωd
=
π 3
=
3π 3
−ζ π
M p = e 1−ζ 2 ×100% = 16.3% ；
t
5% s
=3 ζω n
=
3s,
t
2% s
=4 ζω n
= 4s
3-6 系统结构图如题 3-6 图所示，试求当τ = 0 时，
系统的ζ 和ωn 之值，如要求ζ =0.7，试确定参数τ 。
0
2
s0 K
1 + 0.2K > 0 要使系统稳定，则 2(1 + 0.2K ) − K > 0
K > 0
3-5
即：0 < K < 10 3
3-11 单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s) =
K (s + 1)
s3 + 0.8s 2 + 2s + 1
试确定系统临界增益 K 之值及响应的振荡频率。
y(t) = 1 − 2e−t + e−2t ;Y (s) = 1 − 2 + 1 =
2
s s + 1 s + 2 s(s + 1)(s + 2)
输入 R(s) = 1 s ，故
Y (s) =
2
R(s) (s + 1)(s + 2)
3-5 设单位反馈的典型二阶系统的开环传递函数为
G(s)H (s) = 4 s(s + 2)
试求系统的单位阶跃响应和各项性能指标。
解
QG(s)H (s)
=
4 s(s + 2)
=
s2
4 + 2s
=
ω
2 n
s(s + 2ζωn )
∴ 系统的单位阶跃响应
∴ωn
= 2,ζ
=
1 2
h(t) = 1−
1 1−ξ 2
e −ζωnt
sin(ωd t
+
β)

ωd = ωn
1−ζ 2 =
3; β = arctan
又 Q R(s) = L[r(t)] = L[1(t) + t ⋅1(t)] =
1+ s
1 s2
=
s +1 s2
3-1
Y (s) =
90
R(s) (s + 10)(s + 1)
3-4 已知系统非零初始条件下的单位阶跃响应为： y(t) = 1 + e−t − e−2t ，求系统传递
函数Y (s) R(s) 。
超调量 M p 的影响也是可以忽略的。该指数项只对阶跃响应的起始部分有一些影响。因此
可以用主导极点所表示的二阶系统近似原三阶系统，得到简化后系统的闭环传递函数为
Y '(s) =
1.74
R' (s) s 2 + 0.37s + 1.27
其单位阶跃响应为
h' (t) = 1 −1.04e−0.37t sin(1.27t + 73.74°)
s2
0.8
1+ K
s1 0.8(2 + K ) − (1 + K ) 0
0.8
s0 1+ K
Q 系统临界稳定
∴ 0.8(2 + K ) − (1 + K ) = 0
即K = 3 即系统的临界增益K = 3
由s 2行构成辅助多项式：0.8s 2 + (1 + K ) = 0
即0.8s 2 + 4 = 0 ∴ s1,2 = ± j 5 = ± j2.24 ∴系统的振荡频率为ωn = 2.24rad / s
π=
π
= 2.48s
1 − ζ 2 1.32 1 − 0.282
M p = exp(−
ζπ ) = exp(− 1−ζ 2
0.28π ) = 40% 1 − 0.282
ts
(2%)
=
4 ζω n
=
4 0.28 ×1.32
= 10.82s
(3) 根据公式，系统的单位阶跃响应为
h(t) = 1 + A1e−5.76t + D1e−0.37t cos(1.27t + θ1 )
第 3 章 控制系统的时域分析习题及解答
3-1 已知系统在零初始条件下的脉冲响应曲线如题 3-1 图所示，求其传递函数。 解 题 3-1 图所示曲线可以看作三个函数的叠加
g(t) = K t ⋅1(t) − K t ⋅1(t − T ) − K ⋅1(t − T )
T
T
G(s) = K − K e−Ts − K e−Ts
GB (s)
=
G(s) 1+ G(s)
=
s3
+
10 6.5s 2 +
6s
+ 10
由系统的特征方程
s3 + 6.5s3 + 6s + 10 = (s + 5.76)(s 2 + 0.74s + 1.74) = 0
解得系统的闭环极点： s1,2 = −0.37 ± 1.27 j, s3 = −5.76
因为靠近虚轴的一对共轭复数极点 s1,2 的实部和负实数极点 s3 实部的比值。
题 3-2 图
ωζ n==03.335.674954
∴系统的开环传递函数：G(s) =
ω
2 n
= 1135.69
s(s + 2ζωn ) s 2 + 24.26s
3-3 已知系统在 r(t) = 1(t) + t ⋅1(t) 作用下的响应为： y(t) = 9t − 0.9 + 0.9e−10t ，试
式中系数可求得如下
A1
=
s(s 2
+
10 0.74s
+ 1.74)
|s=−5.76 =
−0.06
于是有：
D1
=
2
10
s(s + 5.76)(s + 0.37 + 1.27 j)
s=−0.37+1.27 j
= 1.07
θ1
=
∠ s(s
10

+ 5.76)(s + 0.37 + 1.27 j) s=−0.37+1.27 j
解 闭环传递函数为
QGB (s)
=
s3
+
0.8s 2
K (s + 1) + 2s +1+
K (s
+ 1)
=
s3
+
0.8s 2
K (s + 1) + (2 + K)s
+
(K
+ 1)
∴ 特征方程为：D(s) = s3 + 0.8s 2 + (2 + K )s + (K + 1) = 0
劳斯阵列
s3
1
2+K
解：初始条件只影响暂态响应的系数，故可设本系统在零初始条件下的单位阶跃响应
为：
y(t) = 1 + A1e−t − A2e−2t
故：
y&(t) = − A1e−t + 2 A2e−2t
y(0) = 1 + A1 − A2 = 0 ； y&(0) = − A1 + 2 A2 = 0
解上两式可得： A1 = −2, A2 = −1 ，将系数代入第一式可得：
=
3~4 ζω n
=
3~
4。
3-3
3-9 单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)H (s) =
10
s(s + 5.375)(s + 1.125)
(1) 求系统的闭环极点，并判断系统是否存在主导极点；
(2) 若存在主导极点，确定对应的 ζ 、ωn 、 M p 、 t p 和 ts ；
(3) 求系统的单位阶跃响应，并讨论非主导极点对过渡过程的影响。 解：（1）系统的闭环传递函数为
对等式两边取拉氏变换得： s 2Y (s) − sy(0) − y&(0) + 3sY (s) − 3y(0) + 2Y (s) = 2R(s) 将 y(0) = −1, y&(0) = 0, R(s) = 1/ s 代入上式可得：
Y (s) = − s 2 − 3s + 2 = 1 + 2 + − 4 s3 + 3s 2 + 2s s s + 2 s + 1
>0
即0< K < 6
(2) 闭环传递函数为
QGB (s)
=
s(s
K (0.2s + 1)(s + 1) +
+ 1) K (0.2s
+ 1)
∴ 特征方程为 D(s) = s3 + 2s 2 + (1 + 0.2k)s + K = 0
列劳斯阵列：
s3
1
1 + 0.2K