论文留数定理及其应用
论文：留数法在拉普拉斯反变换中的应用
留数法在拉普拉斯反变换中的应用摘要：本文研究了留数法求解；拉普拉斯反变换的基本原理，分析表明，留数法用于求解反变换有着归纳详尽、使用灵活方便等特点，对实际因果系统的分析求解有着很高的实用价值。
关键词：留数法；拉普拉斯反变换；像函数；原函数 引言采用留数法计算拉氏反变换（或者z 反变换）是一种很重要的用数学方法求解系统变换域问题的方法。
本文着重介绍了留数法进行拉普拉斯反变换的求解，这不仅可以比较详尽的分析问题，对于理解和设计实际问题也有着借鉴价值。
正文一．留数定理《复变函数》中，根据柯西定理，如果被积函数f(z)在回路l 所围的闭区域上是解析的，则回路积分等于零。
如果l 包围的区域有f （z ）的奇点，则需要应用留数定理来求解。
根据重要例题结论：0,1211()0.12l n ll dz iz l z dz n i απαααπ⎧=⎨-⎩-=≠⎰⎰不包围，包围 可以推导出 1()2Re ()n j l j f z dz i sf z π==∑⎰Resf(z)为函数的留数。
留数定理即复变函数的回路积分为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。
关于留数的具体求法在课程《数学物理方法》中已进行过深入研究与练习，在此不再赘述。
二、留数法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换即由像函数反求原函数的过程。
通常有两种求拉普拉斯反变换的方法，即部分分式展开法与围线积分法。
部分分式展开法是将像函数分解为若干简单变换式之和，然后逐项反变换求取原函数，此方法仅限于像函数是有理数的情况。
围线积分法是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行的，适用范围较宽。
由拉普拉斯反变换的定义知道直接求解这个积分是十分困难的，但由复变函数理论知可以将此转换成求F(s)在一个闭合围线内部全部留数的代数和。
在此，F(s)e^st 的积分等于围线C 内所包围的所有F(s)e^st 的极点的留数之和.积分围线C 为如图所示的半径为无穷大的圆弧.三、留数法求有理分式的拉普拉斯反变换若pi 为一阶极点，留数 ds e s F j s F L t f t s j j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1ip s st i i e s F p s =-=])()[(γ∑∑⎰=-∞+∞--======ni i i i st t s j j s F L t f p s e s F ds e s F j s F L t f 111)]([)(,])([)(21)]([)(γγπσσ则有处的留数为若设极点的留数极点若pi 为k 阶极点，在此例举一具体问题 求32()(1)s F s s s -=+的拉普拉斯反变换。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它在求解不同类型的积分问题上有着广
泛的应用。
留数定理是由法国数学家庞加莱于19世纪末提出的，它为求解复变函数的积分问题提供了一种简洁而有效的方法。
让我们来回顾一下留数的概念。
对于一个在有限个点上解析的函数f(z)，如果z_0是这些解析点中的一个孤立奇点，那么我们可以定义它在z_0处的留数为Res[f(z), z_0]，留数的计算公式如下：
Res[f(z), z_0] = lim (z->z_0) [ (z - z_0) * f(z) ]
对于一个复变函数f(z)，如果它在有限个孤立奇点上解析，并在这些孤立奇点上有界，那么留数定理告诉我们：函数f(z)在包含这些孤立奇点的简单闭合曲线上的积分等于这些孤立奇点的留数之和。
在实际应用中，留数定理可以用于求解三类不同类型的积分问题：无界函数的积分、
函数有界但无法直接积分的积分以及含奇点的积分。
第一类问题是无界函数的积分。
对于一个在复平面上有无穷远点的奇点的函数f(z)，我们可以通过在其它到无穷远点的奇点上计算留数，从而求解其在无穷远点的积分。
利用
留数定理，我们可以将这样的无穷远点的积分转化为计算有限个孤立奇点的留数的问题，
从而更容易求解。
留数定理在求解不同类型的积分问题上具有广泛的应用。
它通过将复杂的积分计算转
化为计算有限个孤立奇点的留数的问题，极大地简化了积分的求解过程，并为复变函数的
应用提供了有力的工具。
留数定理及其在积分中的运用
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在积分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus）姓名：刘燕学号：0507010122学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：易才凤（教授）完成时间：2009年*月*日留数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。
在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容--留数定理，并得到留数定理的推广。
然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问题.【关键词】解析孤立奇点留数留数定理Residue theorem and the use in the Calculus 【Abstract】This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc.On this basis,We described and proved the main contents of this article--the Residue theorem,and the promotion of the Residue theorem .This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems.【Key words】Analysis Isolated singular point Residue Residue theorem目录1引言 .................................................. 2预备知识.......................................2.1 复积分.............................................2.2 解析函数极点及留数.................................2.3留数的计算方法.................................3留数定理..........................................3.1留数定理........................................3.2 留数定理的证明...................................3.3 留数定理的推广..............................4 应用留数定理计算积分............................4.1复积分的计算.....................................4.2实积分的计算....................................5参考文献6 致谢1 引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数)(x f 在实数轴上的某一段Γ上的积分，我们在Γ上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2 预备知识2.1 复积分复变函数积分的定义定义2.1 设有向曲线C ：)(),(βα≤≤=t t z z顺着C 从a 到b 的方向在C 上取分点：b z z z z a n n ==-,,,,110把曲线C 分成若干个弧段（如图1）。
留数定理及其应用论文
摘要留数定理是复积分和复级数理论相结合的重要产物之一，只有正确理解并掌握孤立奇点的概念，进一步研究孤立奇点的分类，还有函数在孤立奇点的留数概念，才能解决一些实际问题中涉及留数的应用。
理解并掌握留数的计算方法，尤其是极点处留数的求解方法，以及实际求解中会应用留数求一些实积分。
我们现在所学习还有研究的留数理论就是是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。
留数在复变函数论本身和实际应用中都是有其重要地位的，尤其是与计算周线积分的问题密切相关。
此外，我们还可以运用留数理论已知条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题。
关键词：留数理论；留数的计算；积分；留数的应用ABSTRACTResidue theorem is the combination of the theory of integral and series, need to correct understanding of the concept and the classification of isolated singularity of isolated singularity and function in the isolated singularity residue concept. Mastering the residue method, especially in pole residue, practice with residue and some solid points. Residue is one of important concepts in the theory of complex function, and analytic function in the isolated singularity, cauchy composite Laurent expansion of closed circuit theorem and so on all are closely linked. Now research of residue theory is a continuation of cauchy integral theory. The insert in the middle of the Taylor series and Laurent series is a powerful tool to study analytic function. Residue in the complex variable function theory and practical application is important it and calculating contour integral (or boil down to examine cycle line integral) problems have close relationship. In addition the residue theory, we have conditions to solve the problem of "large scale" integral calculation, can also examine zero point of function in the area of distributionKey words：Residue theory; The calculation of residue; Integral; The application of residue目录摘要 ............................ I ABSTRACT .......................... I 1.引言 ........................... 1 2．留数 .......................... 1 2.1留数的定义及留数定理 ................. 1 2.2留数的求法 ...................... 2 2.3函数在无穷远点的留数 ................. 3 3.用留数定理计算实积分 . (4)3.1计算2(cos ,sin )R d型积分 ··············· 5 3.2 计算()()P x dx Q x 型积分 (7)3.3计算()()imxP x e dx Q x 型积分 ················· 8 3.4 计算()ln R x xdx 型积分 (10)3.5 计算积分路径上有奇点的积分 ............ 10 3.6.留数定理在级数求和中的应用 ..... 错误!未定义书签。
留数在物理学中的应用
留数在物理学中的应用留数在物理学中的应用摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。
本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。
关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导目录第一章 留数..........................................3 1.1 引言 1.2 留数的定义 1.3 留数定理1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展第二章 留数定理在电磁学中的应用.........................6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用第三章 留数定理在物理学其他领域的应用.......................15 3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分dx xx⎰∞sin 中的 3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分dx dx x x ⎰⎰∞∞22cos ,sin 中的应用3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的⎰∞->0),0(cos 2为任意实数b a bxdx x ea积分中的应用第四章 结语 (18)参考文献 (19)第一章 留数]1[1.1 引言留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.1.2 留数的定义如果函数)(z f 在z 0的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理0)(=⎰dz z f c（1）其中C 为z 0邻域内的任意一条简单闭合曲线.但是如果z 0是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在z 0的某个去心邻域内，并包围点，则积分⎰cdz z f )(的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 ⎰cdz z f )(＝ic π21- （2）我们把（留下的）这个积分值除以2πｉ后所得的数为)(z f 在0z 的留数,记作Res ]),([0z z f ，即Res ]),([0z z f =⎰cdz z f i )(21π （3） 从而有Res ]),([0z z f =c 1- （4） 此处的c 1-是函数)(z f 通过洛朗级数展开的第负一次项系数.1.3 留数定理定理一 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇1z ，2z ，...，n z 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ⎰cdz z f )(=2πi∑=nk 1]),([k z z f （5）利用这个定理，求沿封闭曲线C 的积分，就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.定理二 如果函数)(z f 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.1.4 留数求法及一般规则I 如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么 Res ]),([0z z f =0，以为此时)(z f 在0z 的展开式是泰勒展开式，所以c 1-=0II 如果0z 是本性奇点，那就往往只能把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求c1-.III 在0z 是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果0z 为)(z f 的一级极点，那么Res ]),([0z z f =lim 0z z →（z-0z ）)(z f （6）规则二 如果0z 为)(z f 的m 级极点，那么Res ]),([0z z f ={})()(lim 0)!1(111z f z z dzd mm m z z m ---→- （7） 规则三 设)(z f =)()(z Q z P ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果P(z)≠0，Q （z ）=0，Q '(z)≠0，那么0z 为)(z f 的一级极点，而Res ]),([0z z f =)(')(z Q z P （8） 规则四 ]0,1)1([Re ]),([Re 2zz f s z f s ⋅-=∞ （9）1.5 留数定理的拓展对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及． 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出． 当被积函数满足一定的条件]2[，即区域D 的境界线为C ，函数 )(z f 在D 内解析且在C 上连续并满足Hölder 条件: a z z K z f z f |||)()(|2121-≤-，(0≤α＜1 ) ，其中K 、α 都是实常数，1z 、2z 为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式:)(),()(000C z z if dz z z z f ∈=-⎰π (10) 鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 )(z f 在闭曲线l 所围的区域D 上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为∑∑⎰+=内上l l z f R i z f R i dz z f )(es )(es 2)(ππ （11）经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．第二章 留数定理在电磁学中的应用]3[2.1 安培环路定理及其与留数定理的区别电磁学中安培环路定理的表述：磁感应强度B 沿任何闭合琦璐L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 u 0倍.即⎰∑==⋅L a k k I u l d B 1（12）其中电流I 的正负规定如下；当穿过回路L 的电流方向与回路L 的环路方向服从右手法则时，I>O ，反之，I<O.该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理．但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.(12)式和(5)式的左边都是沿着某一闭合回路的线积分，面其右边又都是表示某些标量的代数和．而这些量都直接同方程左边的函数有着某种内在的联系.从以上的分析我们能否得出；直接利用复变函数的方法导出电磁学中的安培环路定理．而不要直接计算线积分？ 回答是肯定的.2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导我们知道留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度B是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此我们考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图1所示.图1 无限长截流导线周围空间的磁场分布设无限长载流导体中的电流为I ，电流的方向指向纸面的外部．由电磁学知，空间的磁感应强度B为202/r r I u B π= （13） 其中r 为极径。
《留数方法在组合恒等式证明中应用》范文
《留数方法在组合恒等式证明中应用》篇一留数方法在组合恒等式证明中的应用一、引言在数学中，组合恒等式是描述各种不同类型对象的排列、组合与规律之间关系的一种重要表达方式。
它们不仅具有深刻的数学价值，而且对于各种数学问题和现实生活中的决策模型化都有重大影响。
随着数学的进步，不断有新的证明技巧被用于揭示和证明这些恒等式，其中，留数方法就是一种强有力的工具。
本文旨在深入探讨留数方法在组合恒等式证明中的具体应用，分析其独特性和适用性。
二、留数方法概述留数理论，或称剩余定理，是一种代数计算理论。
其主要应用在多项式的除法以及特殊点上的函数值求解上。
具体到本文所提及的组合数学领域，留数方法主要用于通过特定的函数和变量关系，将复杂的组合问题转化为更易于处理的形式，从而得出结论。
三、留数方法在组合恒等式证明中的应用（一）对称性的利用在对称性强的组合恒等式中，通过合理构造含变量x的幂级数和等式两边互换对应的变量形式，运用留数的性质得出相关变量的求导法则与因子的提取技巧。
这个过程中通过精心挑选系数函数的因式和生成函数的属性可以构建相应的模型进行问题转换，以此来降低问题难度，找到更好的求解方法。
（二）用于分析概率论问题在概率论的某些问题中，往往涉及到大量可能的情况和复杂的关系。
这时我们可以通过建立合适的函数模型，然后利用留数方法来计算一些特定的参数值（如期望值、方差等），进而推导出组合恒等式。
这一过程中，留数方法能够帮助我们更好地理解问题的本质和结构，从而找到更有效的解决方案。
（三）解决组合问题中的递归关系在解决一些涉及递归关系的组合问题时，我们可以通过建立相应的生成函数并利用留数方法找出这些函数的根或零点。
然后通过这些根或零点我们可以进一步得出关于原始问题的组合恒等式。
这种方法的优点在于可以处理非常复杂的递归关系，且易于理解和实现。
四、实例分析为了更清晰地展示留数方法在组合恒等式证明中的应用，我们可以考虑一个具体的例子：使用留数方法证明二项式定理的对称性恒等式。
留数定理及其应用
留数定理及其应用
留数定理是复变函数理论中的重要定理，用于计算函数在奇点处的留数。
具体来说，如果函数f(z)在区域D内解析，除了有
限个孤立奇点外，则对于D内的任意简单闭曲线C，有如下
留数定理：
∮Cf(z)dz = 2πi * sum(Res(f, z_k))
其中，∮C表示沿C的积分，Res(f, z_k)是函数f(z)在奇点z_k
处的留数。
留数定理的应用主要包括以下几个方面：
1. 计算积分：通过计算函数在奇点处的留数，可以用留数定理来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
这样可以简化积分计算，尤其对于实数不易计算的积分，留数定理非常有用。
2. 计算极限：通过留数定理，可以计算复变函数在某个奇点处的极限。
如果函数的极限存在，那么它等于该点处的留数。
3. 解析延拓：通过计算函数在奇点处的留数，可以确定函数在奇点处的性质，如极点的类型（一级极点、二级极点等）以及解析延拓的可能性。
4. 解析函数恢复：留数定理可以用于还原函数原本的性质，即通过计算函数在奇点处的留数，可以还原函数在奇点前的数值。
总之，留数定理是复变函数理论中的重要工具，广泛应用于多个数学和工程领域，如积分计算、边界值问题、电路分析等。
它简化了复变函数的计算和研究，为解决实际问题提供了有效的方法。
留数理论及其在计算实积分中的应用
指导教师：论文题目：留数理论及其在计算实积分中的应用学院：专业：班级：学号：姓名：留数理论及其在计算实积分中的应用摘要：留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物。
留数定理为某些类型积分的计算，提供了极为有效的方法。
在此主要探讨留数定理对实积分的计算。
把求实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分，然后应用留数定理，使沿围线的积分计算，归结为留数计算。
本文主要介绍留数定义、留数定理定义、留数计算方法、利用留数定理计算实积分的方法。
关键词：留数，留数定理，实积分。
引言：留数的一个很重要的应用是计算一些特殊类型的实积分。
如，在研究阻尼振动时计算积分dx x x sin 0⎰∞；在研究光的衍射时，需要计算菲涅尔积分dx 2sinx 0⎰∞；在热学中需要计算积分⎰∞-0cos e bxdx ax （a>0，b 为任意实数）等。
如果用实函数分析中的方法来计算这些积分几乎是不可能的，即便能计算某些积分，过程也很繁琐且易出错。
因此，利用留数定理将实变函数的积分化为复变函数沿围线的积分来进行计算，就相对简单多了。
要使用留数计算，需要两个条件：一是被积函数与某个解析函数有关；其次，实积分可化为某个沿闭路的积分。
下面主要介绍留数及留数定理的定义和计算，还有利用留数定理计算类型为⎰πθθ20)sin ,(cos R ，dx e x Q x P dx x i a -)()(,Q(x )P(x )⎰⎰+∞∞-+∞∞（a>0）的实积分和积分路径上有奇点的积分。
另外还会介绍利用留数定理计算物理学中常用的实积分。
一、留数 1.1留数定义设0z 是解析函数f(z)的孤立奇点，我们把f(z)在0z 处的洛朗展开式中负一次幂项的系数1-C 称为f(z)在0z 处的留数。
记作Res[f(z),0z ],即 Res[f(z),0z ]=1-C 。
显然，留数1-C 就是积分⎰c dz z f )(i21π 的值，其中C 为解析函数f(z)在0z 的去心邻域内绕0z 的闭曲线。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复分析中的一个重要定理，它在求解不同类型的积分中起着至关重要的作用。
留数定理将复变函数的积分转化为对函数在奇点处留数的求解，通过计算留数来得到对应积分的值，从而简化了复变函数的积分计算过程，提高了计算效率。
在实际应用中，留数定理在求解围道积分、实变函数积分、不定积分等方面都有着广泛的应用。
1.留数定理的基本概念留数定理是复变函数中的重要定理，它主要用于计算沿着封闭曲线的围道积分。
对于一个具有奇点的函数f(z)，留数定理指出了当围道不包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值为0；当围道包含奇点时，函数f(z)的围道积分的值等于围道内所有奇点的留数之和。
留数的概念很简单，对于奇点z0，它的留数Res(z0)定义为f(z)在z0处的Laurent级数中-1次幂的系数。
2.留数定理在围道积分中的应用对于具有围道的积分来说，留数定理是非常有用的。
当我们需要计算一个函数沿着一个封闭曲线的积分时，如果围道内有奇点，我们只需要求出这些奇点的留数，然后将它们求和，就能得到整个围道积分的值。
这极大地简化了积分计算的过程。
举个例子，考虑计算函数f(z)=1/z²在单位圆周|z|=1上的围道积分∮f(z)dz。
该函数在z=0处有一个一阶极点，我们只需要计算出该极点的留数就能得到围道积分的值。
在这个例子中，函数f(z)的极点留数为Res(0)=1，根据留数定理，围道积分的值为2πi*Res(0)=2πi。
虽然留数定理是针对复变函数的，但实变函数积分中也可以通过适当的拓展来应用留数定理。
对于实变函数f(x)来说，我们可以将其扩展为复变函数f(z)，然后寻找函数f(z)的奇点和对应的留数，最后通过留数定理来求解原实变函数的积分。
考虑计算实变函数f(x)=1/(x²+1)的不定积分∫f(x)dx。
在实数轴上，函数f(x)的奇点为x=i和x=-i，对应的留数分别为Res(i)=1/(2i)和Res(-i)=-1/(2i)。
留数定理的计算及应用
留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
学士学位论文—-开题报告留数定理及其应用
毕业论文任务书课题名称 留数定理及其应用姓 名 学 号院 系 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学指导教师2015年 10 月 17日※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※※※2016届学生 毕业论文材料 （一）一、论文的教学目的通过该课题研究，培养学生初步掌握学科专业科研涉及的专业知识和基本方法，综合运用所学基础理论及基本技能分析、解决实际问题的能力；培养学生独立思考并能充分把理论联系到实际问题的解决中的技巧；培养学生进行调查研究、查阅文献和资料以及推理论证和系统表述的技能；培养学生全方位看待每一个问题，深刻认识和理解每一个知识面的综合素养；培养学生的创新意识及主动提出问题、分析问题并解决问题的能力。
二、论文的主要内容留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，本课题通过引进留数的概念，介绍留数的计算方法以及留数定理，对留数定理及其应用加以深入研究。
具体研究内容有：1.了解留数及留数定理；2.探究留数在定积分计算中的应用；3.留数定理的推广及其他方面的应用。
三、论文的基本要求论文撰写应严格按教学计划安排与设计进行，论文要在充分占有资料和认真分析研究的基础上，做到立论有据、逻辑严密、层次分明。
论文书写过程中要积极与指导老师交流联系，杜绝抄袭、力求创新。
研究内容要进行系统的研究论证，提出的观点要求以实际情况为基础，在把握本学科某一问题研究现状的基础上，要有新发现、新观点、新概括、新发展，全文做到内容充实、结构完整、首尾一贯,有观点、有材料、有参考文献等。
同时论文字数不得少于6000字，最后附上参考文献和致谢辞。
四、进度安排五、主要参考文献[1] 钟玉泉．复变函数论（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2003．[2] 钟玉泉．复变函数学习指导书 [M]．北京：高等教育出版社，1996．[3] 陆生琪．留数理论及其应用[J]．科技信息，2009，33：947-949．[4] 章自振．留数定理的应用．高等函授学报，2003，16(1)：13-14、17．[5] 许平,张海亮. 留数定理在定积分计算中的应用[J]. 数学学习与研究,2012,03：79-80.[6] 戴海峰. 留数定理在一类物理问题中的应用[J]. 淮北师范大学学报(自然科学版),2012,02：85-88.[7] 李鸿振. 留数定理的推广及其应用[J]. 河北大学学报(自然科学版),1988,04：7-10.[8] 智丽丽,李艳青. 留数定理在积分计算中的应用[J]. 昌吉学院学报,2014,01：74-76.[9] 郭晓梅. 用留数解决实积分的计算问题[J]. 枣庄学院学报,2009,05：78-81.[10]龚冬宝.复变函数典型题[M].西安：西安交通大学出版社.2002：151-152.学生毕业论文 开题报告书课题名称 留数定理及其应用姓 名 学 号院 系 数学与计算科学学院 专 业 数学与应用数学指导教师2015年 10 月17日※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※※※2016届学生 毕业论文材料 （二）毕业论文指导记录留数定理及其应用课题名称李振发姓名1209401-11学号数学与计算科学学院院系数学与应用数学专业指导教师李俊锋职称教授填写时间 2015 年下学期湖南城市学院教务处制毕业设计（论文）指导进程表教师如实填写对学生毕业设计（论文）写作进度情况、相关问题等，对毕业设计（论文）具体修改意见签在设计（论文）文稿上；3．定稿意见是指对毕业设计（论文）的整体评价意见。
论文—留数计算的应用.
题目：留数在计算积分中的应用学院：数学院专业：信息与计算科学姓名：指导教师：完成日期：2013年5月15摘要留数是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由柯西于1825年提出. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项10()z z --，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.本文将分别梳理留数定理的相关概念及其在计算积分上的应用.给出孤立奇点的定义和分类. 接着给出函数零点与极点的关系，留数定理的相关定义与定理及其求法. 本文的核心内容是留数定理在计算积分上的应用.关键词：孤立奇点；留数；留数定理；积分；AbstractResidue is an important concept in the complex variable function theory. The concept of residue is put forward first by Cauchy in 1825. As a result of the function of the Laurent expansion during integral leaving only 10()z z -- so called residue. It has important application in many issues, such as definite integral computation, function zeros and poles number calculation, will be launched as part of the meromorphic function fraction, the entire function as an infinite product, stability theory, the asymptotic estimate, etc.This article will combing the related concepts of residue theorem and its application, the definition and classification of isolated singularity will be given. The next section will be give the relationship between function zeros and poles, and relevant definition and theorem of residue and its calculation methods. The core content of this article is the applications of the residue theorem integral calculation.Keywords: isolated singularities; residue; residue theorem; integral;目录序言 ............................................................................................... 1 第1章基本定理 (2)1.1 孤立奇点 ............................................................................................. 2 1.2 孤立奇点的分类 .................................................................................. 2 1.3 解析函数在无穷远点的性态................................................................. 5 1.4 函数的零点与极点的关系 .................................................................... 6 1.5 留数定理 ............................................................................................. 6 1.6 留数的计算 (7)第2章 留数计算在积分中的应用 (10)2.1 型如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰的积分 (10)2.2 型如20()R x dx π⎰的积分 (11)2.3 型如(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰的积分 (13)2.4 应用多值函数来计算实变函数的积分 (14)第3章 总结 ................................................................................ 17 参考文献 ...................................................................................... 18 致谢 (19)序言留数又称残数，是复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由..A L -柯西于1825年提出. 如果0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作 0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项 10()z z --，因此称为留数. 它在很多问题上都有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理 论,渐近估计等.本文将从两大部分分别梳理留数的相关概念及其应用.在第1章的基本概念部分中，将给出孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 我们把不解析的点称做奇点，函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.根据洛朗展式的不同形式又将其分为可去奇点、极点和本性奇点. 本文将讨论无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着将介绍留数定义和留数定理及留数的4种计算规则. 留数定理：D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线C . 设函数()f z 在内除去有孤立奇点 1z ，2z ，，n z 外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点也解析.那么我们有1()2Re (,)nn k Ck f z dz i s f z π==∑⎰.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰，20()R x dx π⎰，(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰.最后将通过对 0(1)dx I x x α+∞=+⎰和30ln (1)xI dx x +∞=+⎰的计算简单的了解应用多值函数来计算实变函数的积分.第1章基本定理本章将首先讨论留数相关的基本定理. 讨论孤立奇点,孤立奇点的分类，无穷远点，极点与零点的关系，这是对留数定理及留数的计算是必要的准备. 接着开始对留数的讨论，给出留数定理，留数的计算. 首先将从孤立奇点开始.1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义[2]:若函数()f z 点0z 不解析，但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析，则称0z 为()f z 的孤立奇点.例如,0z =是函数 1()f z z=的孤立奇点. 0z =和1z =-都是21()(1)f z z z =+ 的孤立奇点. 但并不是所有的奇点都是孤立奇点. 如0z =和负实轴上的点都是函数 ()ln f z z =的奇点.但它们不是孤立奇点.下面我们看一下函数()f z 在 00||z z r <-<内的洛朗展式0()()n n f z C z z +∞-∞=-∑ , (1.1)101()(0,1,2,)2()pn n C f C d n i z ζζπζ+==±±-⎰ . (1.2) 1.2 孤立奇点的分类根据(1.1)式，可将孤立奇点分为如下几类. 1.2.1可去奇点当(1.1)中0n <时，0n C =，则称孤立奇点0z 为()f z 的可去奇点，即2010200()()()n n C C z z C z z C z z +-+-++-+. (1.3)此时，式(1.2)的和函数()S z 在0z 点解析. 当0z z ≠时，()()f z S z =；当 0z z =时0()S z C =. 但由于 000lim ()lim ()z z z z f z S z C →→===，所以不论()f z 在0z 有无定义.若令00()f z C =，则在0||z z r -< 内有2010200()()()()n n f z C C z z C z z C z z =+-+-++-+. (1.4)于是()f z 在0z 点解析. 这就是孤立奇点0z 被称可去奇点的原因. 例如，sin ()zf z z=，0z =为可去奇点. 这是由于()f z 在0z =的洛朗级数 35111z ()3!5!f z z z z -+（）=24613!5!7!z z z =-+-+.中不含负幂项，若约定函数sin ()z f z z =在0z =处的值为0. 则函数 sin ()zf z z= 在0z =处解析.定理1.1[1] 设函数()f z 在 00||z z r <-<(0)r <≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的可去极点的必要与充分条件是：存在着极限 00lim ()x x f x C →=其中0C 是一个复数.定理1.2[1] 在定理1.1的假设条件下，0z 是()f z 的可去极点的必要与充分条件是：存在着某一正数r p ≤，使得()f z 在 00||z z p <-<内有界. 1.2.2 极点如果只有有限个（至少一个）整数0n <，使得0n C ≠，那么我们说0z 是函数()f z 的极点. 如果式(1.1)只含有有限多个0z z -的负幂项，且关于0z z -的最高次幂项为 0()m z z --，即1201001020()()()()()m m f z C z z C z z C C z z C z z ----=-++-++-+-+(1.5)其中1m ≥，0m C -≠. 称孤立奇点0z 为()f z 的m 阶极点. 令21020()+m m m g z C C C --+-+=++（z-z ）（z-z ）.则(1.4)式可表示为 01()=()z-mf zg z （z ），其中()g z 在 0||z z r -<内解析，且0()0g z ≠. 反之，若(1.4)式成立，则称0z 是()f z 的m 阶极点. 按照1m =或1m >，我们也说0z 是()f z 的单极点或m 重极点.定理1.3[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的极点的必要与充分条件是 0lim ()z z f z →=∞．定理1.5[2] 0z 是函数()f z 的m 阶极点的充要条件是 01()=()z-mf zg z （z ）. 其中，()g z 在0z 点解析，且0()0g z ≠.例如，2()(1)(2)zf z z z =-+，1z =，2z =分别是()f z 的一阶极点和二阶极点.1.2.3 本性奇点在(1.1)式中如果有无穷多个0z z -的负幂项，则称孤立奇点0z 为()f z 的本性奇点. 例如,1()zf z e =,0z =是本性奇点，这是由于()f z 在0z =的去心领域的洛朗级数+中含有无穷多个z 的负幂项. 不难发现， 当z 沿负实轴趋于0时，有10ze →. 当z 沿正实轴趋于0时，有 1ze →+∞.故01lim z z→不存在，也不为∞.定理1.6[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无限的极限0lim ()z z f z →.定理1.7[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是 内一定有收敛于0z 的序列{}n z ，使得 lim ()n n f z p →+∞=.定理1.8[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<<≤+∞内解析，那么0z 是()f z 的本性奇点的必要与充分条件是：对任何复数p ≠∞，至多有一个例外，在00||z z r <-<内，一定有一个收敛于0z 的序列{}n z ，使得 ()(1,2,3)n f z p n ==.1.3 解析函数在无穷远点的性态设函数()f z 在区域||(0)r z r <<+∞≥内解析，那么无穷远点称为()f z 的孤立奇点. 在这区域内，()f z 有洛朗级数展式：()nnn f z C z+∞=-∞=∑. (1.6)其中n C 由(1.2)相似的公式确定.令1z w =，按照00r r >=或，我们得到在 10||0||+w w r<<<<∞或内解析的函数 1()()w f wϕ=，其洛朗级数展式是：()nnn C w wϕ+∞=-∞=∑. (1.7) 如果是()w ϕ的可去奇点、（m 阶）极点或本性奇点. 这样，(1) 如果当1,2,3n =时，0n C =那么z =∞是函数()f z 的可去奇点.(2) 如果只有有限个（至少一个）整数0n >，使得0n C ≠, 那么z =∞是()f z 的极点. 设对于正数m ，0m C ≠；而当n m >时，0n C =，那么z =∞是()f z 的（m 阶）极点. 按照1m =或1m >，我们也说z =∞是()f z 的单极点或m 重极点.(3)如果有无穷个整数0n >，使得0n C ≠，那么z =∞是()f z 的本性奇点.定理1.8[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<≤内解析，那么z =∞是()f z 的可去奇点、极点或本性奇点的必要与充分条件是： 存在着有限、无穷极限lim ()z z f z →或不存在有限或无穷的极限0lim ()z z f z →.定理1.9[1] 设函数()f z 在 00||(0)z z r r <-<≥内解析，那么z =∞是()f z 的可去奇点的必要与充分条件是： 存在着某一数0r ρ≥， 使得()f z 在 0||z ρ<<+∞内有界．1.4 函数的零点与极点的关系如果函数()f z 在0z 点解析且 0()0f z =则称0z 为()f z 的零点；若()f z 能表示成0()()()m f z z z z ϕ=-.(1.8)其中()z ϕ在0z 解析，且0()0z ϕ≠，m 为正整数，则0z 为()f z 的m 极零点. 例如，z i =-与1z =是 32()(1)()f z z z i =-+的2级零点和1级零点．由此我们有下面的定理：定理1.10[1] 设函数()f z 在0z 解析，则0z 为()f z 的m 级零点的充要条件是()()0(0,1,2,,1)n f z n m ==-，()()0n f z ≠.例如，1z =是 3()1f z z =-的1级零点. 因为(1)0f =，(1)30f '=≠.函数的零点与极点有下面的关系：定理1.11[2] 0z 是()f z 的m 极极点的充要条件是0z 是1()f z 的m 级零点. 例如，1z =是 31()1f z z =-的1级极点，是 3()1f z z =-的1级零点. 1.5 留数定理留数定义[3] 设0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，我们把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=.显然，留数1C -就是1()2cf z dz i π⎰在0z 处的值，其中C 为解析函数()f z 的0z 的去心领域内绕0z 的闭曲线. 关于留数我们有如下定理：定理1.12（留数定理[1]） 设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭合曲线C . 设函数()f z 在 内除去有孤立奇点1z ，2z ，，n z 外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点也解析.那么我们有1()2Re (,)nn k Ck f z dz i s f z π==∑⎰. (1.9)这里沿C 的积分是关于区域D 的正向取的.证 以D 内每一个孤立奇点k z 为心，做圆k γ，使以它以边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点.从D 中除去以这些k γ为边界的闭圆盘得以区域G ，其边界是C 以及k γ在G 及其边界所组成的闭区域G 上，()f z 解析.因此根据柯西定理，1()()knCk f z dz f z dz γ==∑⎰⎰.这里沿C 的积分是按关于区域D 的正向取的，沿k γ的积分是按反时针方向取的.根据留数的定义可推出(1.9).1.6 留数的计算在本段中，我们讲述在几种常见的情形下如何计算留数.先考虑一阶极点的情形. 设0z 是函数()f z 一个一阶极点. 这就是说，在去掉中心0z 的某一圆盘内0()z z ≠，01()()f z z z z ϕ=-. 其中()z ϕ在这圆盘内包括在0z z =解析，其泰勒级数展式是：00()()n n n z C z z ϕ+∞==-∑， (1.10)而且 00()0C z ϕ=≠. 显然，在()f z 的洛朗级数中，01z z -的系数等于0()z ϕ. 因此00Re (,)lim()()n z x s f z z z f z →=-.如果容易求解出展式(1.10)，那么由此可得 0Re (,)n s f z C =；否则要采用其它方程求留数.如果在上述去掉中心0z 的圆盘内0()z z ≠，()()()P z f z Q z =. (1.11) 其中()P z 及()Q z 在这圆盘内包括在0z z =解析，0()0P z ≠，0z 是 ()Q z 的一阶零点，并且()Q z 在这圆盘内没有其它零点，那么0z 是()f z 的一阶极点，因而有规则1 如果0z 是()f z 的一阶极点，则00Re (,)lim()()z z s f z z z f z →=-. (1.12)规则2 设00()()()P z f z Q z ='，()R z 和()Q z 在0z 都解析，如果0()0P z ≠，0()0Q z ≠，0()0Q z '≠，则0z 为()f z 的一阶极点，并且000()Re (,)()P z s f z Q z ='. (1.13) 例 1.1 函数 2()1iz e f z z =+有两个一阶极点z i =±，这时()1()2izP z e Q z z='. 因此 Re (,)2i s f i e =-，Re (,)2i s f i e -=. 其次，我们考虑高阶极点的情形，设0z 是函数()f z 的一个k 阶极点. 这就是说，在去掉中心0z 的某一圆盘内0()z z ≠，01()()()kf z z z z ϕ=-. 其中()z ϕ在这圆盘内包括在0z z =解析，而且0()0z ϕ≠. 在这圆盘内，0()z ϕ有展式(1.13). 由此可见01Re (,)k s f z C -=. (1.14)因此问题成了求解()z ϕ的泰勒展式的系数.显然，0(1)(1)01()()lim(1)!(1)!k k k z z z z C k k ϕϕ---→==--. 因此，我们还可有以下规则规则3 如果0z 是()f z 的一阶极点，则01001[()()]1Re (,)lim (1)!k k k z z d z z f z s f z k dz--→-=-. (1.15)例1.2 函数 3sec ()zf z z =在0z =有三阶极点.因此 1Re (,0)2s f =. 由(1.15)有，Re (,0)s f 也可以由下列公式求得：232301sec 1Re (,0)lim 22z d z s f z dz z →⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.下面给出函数在无穷远点处的留数 规则4211Re (,)Re ,0s f s f z z ⎛⎫⎛⎫∞=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (1.16)第2章 留数计算在积分中的应用在本章中，我们将讲述留数计算积分的应用. 在数学分析以及实际问题中，往往要求一些定积分或反常积分的值，而这些积分中被积函数的原函数，不能用初等函数，有的即便可以求出原函数，计算也往往比较复杂.利用留数定理，要计算某些类型的定积分或反常积分，只须计算某些解析函数在孤立奇点的留数.我们只考虑几种特殊类型的积分，并且指出怎样计算这些类型的积分的问题化为计算留数的问题，重点讨论几种单值函数.2.1 型如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰的积分被积函数(,s i n )R c o n θθ为cos θ与sin θ的有理函数. 令i z e θ=，那么i d z i e d z θ=,211sin ()2i i z e e zi iz θθθ--=-=，211cos ()2i i z e e z zθθθ-+=+=. 从而，所求积分化为沿正向单位圆的积分22||1||111,()22z z z z dz R f z dz z iz iz==⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎰⎰. (2.1) 其中()f z 在曲线||1z =上为z 的有理函数，且在单位圆上分母不为零. 所以，满足留数定理的条件，根据留数定理，得所求的积分值为 012Re ((),)nk i s f z z π=∑.其中 (1,2,,)k z k n =为包含()f z 的孤立奇点例 2.1 计算积分20sin dtI a tπ=+⎰. (2.2)其中常数1a >.令it e z =，那么 11sin 2t z i z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，dz dt iz =，而且当t 从0增加到2π时，z 按反时针方向绕圆 :||1C z =一周. 因此2221c dzI z iaz =+-⎰. (2.3)于是应用留数定理，只须计算2221dzz iaz +-在||1z <内极点处的留数，就可求出I .积分(2.3)中被积函数有两个极点：211z ia i a =-+-及221z ia i a =---. 显然，1||1z <，2||1z >. 因此被积函数在||1z <内只有一个极点1z ，而它在这点的留数是2121221z ia i a =+-. 于是求得 2212211I i i a a ππ=⋅=--. 例2.2 计算积分 220sin dxa xπ+⎰，(0)a >2222202211sin 2sin (12)cos 22(12)cos 2dx dx dx d a x a x a x a πππππππθθ---===+++-+-⎰⎰⎰⎰ 令i z e θ= ，则 1cos 2z z θ-+=，dz dz iz =当θ有π-变到π时，z 依反时针方向绕圆:1C z =一周，从而有：212(12)cos 22(21)1()()C C d dz dzi i a z a z z z ππθθαβ-==+--++--⎰⎰⎰ 其中 2(21)(21)1a a α=+++-，2(21)(21)1a a β=+-+- 是被积函数的一阶极点，显然1α>，1β<. 故被积函数的两个极点中只有β在C 内，而11Re ,()()4(1)dz s z z a a βαββα⎡⎤==-⎢⎥---+⎣⎦ 有留数定理得：22012sin ()()4(1)2(1)C dx dz i i i a x z z a a a a πππαβ⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪+--++⎝⎭⎰⎰ 2.2 型如20()R x dx π⎰的积分令1111()()()n n nm m mz a z a P z R z Q z z b z a --+++==+++，(2)m n -≥. (1) ()Q z 比()P z 至少高两次. (2) ()Q z 在实轴上无零点.(3) ()R z 在上半平面0m I z >内的极点为(1,2,,)k z k n =，则有1()2Re ((),)nk k R x dx i s R z z π+∞-∞==∑⎰.例 2.3 计算积分22,(0)ixe dx a x a+∞-∞>+⎰. (2.4) 令221()F z z a=+，选择积分路径，则()F z 在R C 内只有一个一阶极点z ai =对于R z C ∀∈，显然有2222lim lim ()R ix ixiz C R R e e dx dx F z e dz x ax a +∞+∞-∞-∞→+∞→+∞=+++⎰⎰⎰ 222Re ,iz a e i s ai z a ae ππ⎛⎫== ⎪+⎝⎭. 例 2.4 计算积分221(1)I dx x +∞=+⎰. (2.5) 显然，该积分收敛，应用留数定理来计算它比较简单. 为此，考虑函数221(1)z +这函数有两个二阶极点，在上半平面的一个是||z i =作以O 为心、r 为半径的圆盘. 考虑着一圆盘在上平面的部分，设其边界为r C . 取1r >，那么z i =包含在r C 的内区域. 沿r C 取221(1)z +的积分，我们有22222112Re ,2(1)(1)(1)42r rr dx dz i s i i x z z i πππ-Γ⎛⎫+==⋅= ⎪+++⎝⎭⎰⎰. (2.6) 其中r Γ表示r C 上的圆弧部分，沿它的积分是按辐角增加的方向取的.现在估计(2.6)左边第二个积分. 我们有22221(1)(1)r dz r z r πΓ≤⋅+-⎰. 因此22lim0(1)rr dzz Γ→+∞=+⎰.在(2.6)式中令r 趋于+∞，就得到221(1)2dx x π+∞-∞=+⎰. 从而4I π=. 2.3 型如(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰的积分()R x 是真分数，在实轴上无奇点，则()()2Re ((),)()niaxiaxk k iP x R x e dx e dx i s f z z Q x π+∞+∞-∞-∞===∑⎰⎰. 其中()()iax f z R z e =.定理2.1[1] 设()f z 是闭区 12Argz θθ≤≤,0||r z ≤<+∞012(0,0)r θθπ≥≤<≤ 上连续的复变函数，并且设r Γ是以O 为心、r 为半径的圆弧在这闭区域上的一段0()r r ≥. 如果当z 在闭区域上时，lim ()0z f z →∞=. (2.7)那么我们有lim ()0riz r f z e dz Γ→+∞=⎰. (2.8)例 2.5 计算积分 20cos 1xI dx x +∞=+⎰. 取0r >，我们有22200cos 112(1)21ix ix ixrr r r x e e e dx dx dx x x x --+==+++⎰⎰⎰. (2.9)函数 21ixz z +在 0y ≥上除去有一阶极点 z i =外，在其每一点解析. 取 1r >.于是我们有2222Re ,111r ix iziz rre e e dx dz i s i x z z eππ-Γ⎛⎫+== ⎪+++⎝⎭⎰⎰. (2.10) 其中r Γ的意义及沿它的积分的方向同(2.6)由定理(2.1)取 1221(),0,,21f z r z θθπ====+，那么在这定理(2.1)中所设各条件显然成立. 因此在(2.10)在令r 趋于+∞，就得到 2lim1ix rrr e dx x eπ-→+∞=+⎰；从而由(2.9)，可见积分I 收敛，并且 2I eπ=.()iax R x e dx +∞-∞⎰中()f z 在 Im 0z ≥上时可能有有限个孤立奇点外，在其他每一点解析，并且当z 在 Im 0z ≥上时，(2.7)成立.对于例2.5还可以有如下的做法： 对任意0R >均有22200cos 112(1)21ix ix ixRR R R x e e e dx dx dx x x x --+==+++⎰⎰⎰. 令21()1F z z =+，则()F z 在R C 内只有一个一阶极点z i = 22220cos 11lim 2Re ,1211212R ix iziz R R C R x e e e dx dx dz i s i x x z z eππ+∞-→∞⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰. 2.4 应用多值函数来计算实变函数的积分下面我们再讨论多值函数来计算某些实变函数的积分.应用多值函数来计算实变函数的积分，需要对多值函数的某些解析分支应用留数定理. 对此，先要在复平面上取适当的割线，使得在得到的区域内可以把多值函数分成解析分支. 在此，本文仅作简单讨论.例2.6 计算积分(1)dxI x xα+∞=+⎰. (2.11) 其中01α<<.考虑多值函数1(1)z zα+. 在平面上取正实轴作割线. 得一区域，并且在这区域内除去1z =-. 在最后所得到区域内，这函数可以分成解析分支；取在割线上沿取实值的解析分支，并且用 01(1)()z z α+表示它. 显然它在1z =-有一阶极点.把1(1)()z z α+沿着如下的一条闭合曲线(),C r ε积分：首先沿着正实轴的上沿从ε到 ()01r r ε<<<<+∞；其次按反时针方向，沿以O 为心、ε为半径的圆r Γ.1(1)()z z α+在(),C r ε的内区域有唯一极点1z =-. 又由于在正实轴下沿，20()||i z e z απαα=，我们有()2001(1)(1)()(1)()r ri dx dz dze x x z z z z επααααεΓΓ-+++++⎰⎰⎰022Re ,1(1)()i dzi i s z z eαπαππ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭. (2.12) 现在我们估计(2.12)中 第三个积分. 我们有10(1)()(1)1r dz z z αααπεπεεεε-Γ≤=+--⎰.因此 0lim 0(1)()dz z z εαεΓ→∞=+⎰. 类似可证明 0lim 0(1)()r r dzz z αΓ→∞=+⎰. 在(2.12)中令ε趋近于0，r 趋进于+∞，我们就可看出(2.11)中的积分I 收敛，并且 ()221i i i e I e παπαπ-=，因此 sin I ππα=. 例2.7 计算积分3ln (1)xI dx x +∞=+⎰. (2.13) 考虑多值解析函数 23()(1)Lnz z +. 在复平面上取正实轴作割线，得一区域. 在这一区域内除去1z =-，在最后所得区域内，可把 23()(1)Lnz z +分成解析函数分支；取在割线上沿实值的一分支，并用 23()(1)lnz z +表示它. 显然，它在-1有三阶极点. 作闭合曲线 (,)(01)C r r εε<<<. 于是 23()(1)lnz z +的极点1z =-在εΓ及r Γ之间. 因而2233(,)()()2Re ,1(1)(1)C r lnz lnz dz i s z z επ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰， (2.14)其中沿 (,)C r ε的积分是按例2.4中同样的方向取的.另一方面，在正实轴下沿，22(ln )(ln 2)z x i π=+. 因此2222233333(,)()(ln )(ln )(ln 2)(ln )(1)(1)(1)(1)(1)r r r C r lnz x z x i z dz dx dz dx dz z x z x z εεεεπΓΓ+=++++++++⎰⎰⎰⎰⎰2223333ln (ln )(ln )44(1)(1)(1)(1)r rr x dx z z i dx dz dz x x z z εεεππΓΓ=-+++++++⎰⎰⎰⎰ 由于 2233(ln )(ln 2)(1)(1)z z z z z z π≤+++，我们有 23(ln )lim 0(1)z z z z →+∞⋅=+, 于是与例2.6一样，22330(ln )(ln )lim lim 0(1)(1)r z z z dz dz z z εεΓΓ→+∞→==++⎰⎰. 结合(2.13)及(2.14)，并且我们取0,r ε→→+∞时的极限. 由于 3(1)dxx +∞+⎰存在，可见(2.13)中的积分I 存在，并且我们有2233(ln )442Re ,1(1)(1)dxz iI i s x z πππ+∞⎛⎫-+=- ⎪++⎝⎭⎰. (2.15) 现在求上式右边的留数，ln z 在1z =-有泰勒展式[]21ln ln 1(1)(1)(1)2z z i z z π=-++=-+-++，而2(ln )z 在1z =-的展式恰好是上一展式的平方，其中含2(1)z +项的系数是1i π-. 因此 23(ln )Re ,11(1)z s i z π⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭. 把这一结果代入(2.15)，并比较两边的虚部就得到 12I =-.第3章 总结本文通过两大部分分别梳理了留数的相关概念及其应用. 在第1章的基本概念部分中，给出了孤立奇点的定义和分类、函数零点与极点的关系. 根据洛朗展式中n 的不同范围又可分为可去奇点、极点和本性奇点，讨论了无穷远点的性态，函数零点与极点的关系，接着介绍了留数定义，留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念. 留数的概念最早由..A L -柯西于1825年提出. 如果0z 是解析函数()f z 的孤立奇点，把()f z 在0z 处的洛朗展式中一次幂项的系数1C -称为()f z 在0z 处的留数. 记作 0Re [(),]s f z z ，即01Re [(),]s f z z C -=. 由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项10()z z --，因此称为留数. 留数定理：1()2Re (,)nn k C k f z dz i s f z π==∑⎰，留数的4种计算规则.第2章将重点介绍利用留数定理计算3种经典类型的积分，它们分别是形如20(cos ,sin )R d πθθθ⎰，20()R x dx π⎰，(),(0)iax R x e dx a +∞-∞>⎰ 的积分计算，最后通过对 0(1)dx I x x α+∞=+⎰和30ln (1)x I dx x +∞=+⎰的计算简单的了解了应用多值函数来计算实变函数的积分.而本文的主要内容是留数在计算积分上的应用，其中重点是应用单值解析函数计算积分. 除本文介绍的之外，留数还应用在将亚纯函数展开为部分分式，将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等.参考文献[1] 余家荣.复变函数[M]. 北京:高等教育出版社,2007.[2] 张鸿艳.复变函数与积分变换[M]. 北京:化学工业出版社,2010.[3] 钟玉泉.复变函数论[M]. 北京:高等教育出版社,2007.[4] 路线.复变函数与积分变换[M]. 北京:科学出版社,2010.[5] 杨降龙，杨帆.复变函数与积分变换[M]. 北京:科学出版社,2011.[6] 李汉龙，繆淑贤.复变函数[M]. 北京：国防工业出版社，2011.[7] 孙清华，孙昊. 复变函数内容、方法与技巧[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2003.[8] 祝同江.工程数学—复变函数[M].北京：电子工业大学出版社，20009.[9] 李庆忠.复变函数[M]. 北京：科学出版社，2000.[10] 孙清华，孙昊. 复变函数疑难分析与解题方法[M]. 武汉：华中科技大学出版社，2010.致谢首先非常感谢辽宁大学给了我这么好的一个继续深造的机会，通过四年的计算数学学习，使我不仅获得了很多知识，而且实际工作的能力也有很大的提升. 在此特别感谢我的毕业论文指导导师赵胜芝老师，在论文撰写期间，导师给予了我很大的帮助和指导、孜孜不倦地审阅和改进意见，使我受益匪浅，顺利地完成论文.同时感谢各位授课老师，在我大学期间，正是你们的教诲使我能够顺利完成学业，你们的潜移默化使我在这四年多的学习生涯中积累了一笔宝贵的财富，这将使我在今后的学习工作中受益终生. 感谢我的大学同学、感谢我的家人和朋友，在我求学的过程中，给予我莫大的支持和帮助，没有你们就没有我今天的收获和成果.本论文撰写过程中，参考并引用了许多作者的文献，他们的研究成果给了我极大的帮助和启迪，在此谨表示衷心的感谢! 最后向在百忙之中抽出时间对本论文进行评审及评阅的各位专家表示衷心的感谢!陆林2013年5月于沈阳。
柯西留数定理及其应用
淮北师范大学2013届学士学位论文柯西留数定理及其应用学院、专业数学科学学院、数学与应用数学研究方向函数论学生姓名刘军学号 ***********指导教师姓名张杰指导教师职称副教授2013年4月15日柯西留数定理及其应用刘军(淮北师范大学数学科学学院,淮北,235000)摘要本文首先通过介绍柯西留数定理的重要性、定义及证明过程,然后进一步研究柯西留数定理在一些广义积分中的应用.此后,通过一些实例结合自己的学习体会做出应用柯西留数定理在一些复杂定积分中的巧妙运算,目的是使我们在掌握定积分基本运算方法之后,熟悉一些复杂定积分,如反常积分、广义定积分的一些特性及巧妙运算方法,增强解题能力.接着研究柯西留数定理在级数求和中的应用,最后研究柯西留数定理在其他方面的应用.关键词留数定理,广义积分,定积分,级数求和Cauchy residue theorem and its applicationsLiu Jun(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, huaibei, 235000)AbstractThis article firstly introduce the importance of the cauchy residue theorem basis, definition and the process of proof, and then studies the applications of the cauchy residue theorem in some generalized integrations. Since then, throughing some examples combined with own learning experience to make the application of the cauchy residue theorem in complex skillful operation of definite integration, the purpose is to make familiar with some complex definite integration after we master the basic operation method of definite integration, such as improper integration, some of the generalized integration and clever operation methods, strengthen the solving ability of some problems. Then study the applications of the cauchy residue theorem in series summation, and the cauchy residue theorem in other applications finally.Keywords：residue theorem，the generalized integration，definite integration，series summation目录引言 (1)一、柯西留数定理的理论基础 (1)二、柯西留数定理的概念及其证明 (4)三、柯西留数定理的应用 (4)（一）辐角原理 (4)（二）在广义积分中的应用 (7)（三）在级数求和中的应用 (11)（四）柯西留数定理的推广应用 (12)结束语 (15)参考文献 (15)致谢 (16)引言柯西留数定理是《复变函数论》中留数理论中的一个重要定理,利用柯西留数定理在围线积分中的应用计算,探求柯西留数定理在一些特殊实积分,如反常积分、广义积分等中的应用,可以起到事半功倍的作用,它是研究计算定积分,尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将其划归为复变函数的周线积分,再把计算周线积分的整体问题,化为计算各孤立奇点处留数的局部问题,继而就可得到解决.柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点,如何在教学中突出重点,化难为易,是教学研究的重要内容之一.一、柯西留数定理的理论基础在复分析中,通过对函数的罗朗级数负幂项的系数与函数曲线积分的关系研究,得出函数在孤立奇点的留数概念,因此产生了留数理论,而利用留数理论来计算围线积分,特别是计算复杂的实积分,提供了一种工具,而作为留数理论中的一个最基本、最重要的定理——柯西留数定理,是柯西积分定理和柯西积分公式的推广而来的,是计算解析函数沿闭曲线路径积分的一个有力工具.下面先介绍留数理论中的基本概念——留数.（一）留数的定义定义1[]1设()a a ≠∞是函数()f z 的孤立奇点,若函数()f z 在0z a R <-<内解析,则称积分1()2c f z dz iπ⎰为()f z 在孤立奇点a 的留数,记作Re (,)s f a ,其中c 为圆周(0)z a R ρρ-=<<.注 （1）由上述定义可以看出,Re (,)s f a 只有当点a 是函数()f z 的孤立奇点时才有意义.（2）留数Re (,)s f a 与圆c 的半径ρ无关.由11()Re (,)2c c f z dz s f a iπ-==⎰,可以得到Re (,)s f a 等于()f z 在点a 的罗朗展式中1z a-这一项的系数. （3）若a 为()f z 的可去奇点,则Re (,)0s f a =. 在此,要介绍另一个概念——对数留数. 定义2[]1 称积分'1()2()c f z dz i f z π⎰为函数()f z 的对数留数,其中c 为一条围线,()f z 在c 上解析且不为零,()f z 在c 的内部为亚纯函数.由于'()(ln ())()f z d f z f z dz =,所以称上面的积分为对数留数.显然,函数()f z 的零点和极点都可能是'()()f z f z 的奇点.这个定义将在柯西留数定理的应用——辐角原理中起到很大的作用.下文中会具体介绍.（二）留数的计算对于留数的计算,有以下几种方法：1、直接使用定义,通过计算函数的曲线积分而直接得到函数在某一点的留数,该方法主要有理论上的价值,实际计算中一般不用.2、利用1Re (,)s f a c -=,把函数()f z 在点a 展成罗朗级数,其中的系数1c -即为函数()f z 在点a 的留数Re (,)s f a .例1 设函数241()ze f z z -=,求Re (,0)s f 和Re (,)s f ∞.解 由于44325114122()2234!!n n n z f z z z z n -+∞==-----∑(0)z <<+∞,所以4Re (,0)3s f =-.又0z =是唯一有限奇点, 故4Re ()Re ()3z z s f z s f z =∞==-=. 3、设b 是()f z 的一级极点,则 . 例2 设函数61()(1)z f z z z -=-,求Re (,1)s f .解 由于161lim(1)50(1)z z z z z →--=≠-,且61(1)z z z --在点1的某个去心邻域中解析,从而1z =是()f z 的一级极点,所以161Re (,1)lim(1)5(1)z z s f z z z →-=-=-.4、设a 是()()()z g z z ϕψ=的一级极点,()z ϕ、()z ψ均在a 解析,且 ()0a ψ=,'()0a ψ≠,()0a ϕ≠,则()Re (,)'()a s g a a ϕψ=. 例3 设函数52()(1)z h z z z -=-,求Re (,0)s h .解 易知0z =是函数()h z 的一级极点, 令()52z z ϕ=-,()(1)z z z ψ=-,可得(0)20ϕ=-≠,'(0)10ψ=-≠,(0)0ψ=所以(0)2Re (,0)2'(0)1s h ϕψ-===-. 5、设a 是()f z 的一个m 级极点，则111Re (,)lim [()()](1)!m m m z a d s f a z a f z m dz--→=--. 例4 设函数3sin ()zf z z =,求Re (,0)s f .解 易知0z =是函数()f z 的3级极点, 所以223220011Re (,0)lim (())lim sin 02!2z z d d s f z f z z dz dz→→===.通过以上的几种留数求法可以看出,在以后遇到的具体问题中要具体对待,更要学会灵活运用.二、柯西留数定理的概念及证明柯西留数定理[]1 设D 是复平面上的一个有界区域,其边界是一条或有限条简单闭曲线C .设()f z 在D 内除去有限个孤立奇点1z ,2z ,…,n z 外,在每一点都解析,并且它在D D C =⋃上除1z ,2z ,…,n z 外连续,则1()2Re (,)nC k k f z dz i s f z π==∑⎰.证 以D 内每一个孤立奇点k z 为心,作圆周k γ,使以它为边界的闭圆盘含在D 内,并且任意两个这样的闭圆盘彼此不相交.从D 中除去以这些k γ为边界的闭圆盘得到一个区域G ,其边界是C 以及k γ（1k =,2,…,n ）.()f z 在G 内解析,()f z 在G 上连续.因此由文献[1]中的柯西积分定理推广到复围线的情形,我们有1()()knCk f z dz f z dz γ==∑⎰⎰,而()2Re (,)kk f z dz i s f z γπ=⎰(1,2,,)k n =,所以1()2Re (,)nCk k f z dz i s f z π==∑⎰.三、柯西留数定理的应用（一）辐角原理在介绍该原理之前,先看下面的两个引理.由留数的相关概念,易得：引理1[]1 （1）设a 为()f z 的n 级零点,则a 必为'()()f z f z 的一级极点,并且'()Re (,)()f z s a n f z =;（2）设b 为()f z 的m 级极点,则b 必为'()()f z f z 的一级极点,并且'()Re (,)()f z s b m f z =-. 引理2[]1 假设（1）C 为一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;则函数()f z 在C 的内部只有有限个零点和极点.由上述的两个引理,易证： 定理1[]1 假设（1）C 为一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;则:'1()(,)(,)2()C f z dz N f C P f C i f z π=-⎰ ① 其中(,)N f C 与(,)P f C 分别表示()f z 在C 内部零点的个数与奇点的个数（一个n 级零点算作n 个零点,一个m 级奇点算作m 个奇点）.为了进一步说明①式的意义,我们给出下面的定理. 定理2（辐角原理）[]1 假设（1）C 是一条围线,()f z 在C 的内部是亚纯的,且连续到C ; （2）()f z 在C 上不为零;则'1()1arg ()(,)(,)2()2C C f z dz f z N f C P f C i f z ππ=∆=-⎰, 其中1arg ()(,)(,)2C f z N f C P f C π∆=-表示z 沿C 的正向绕行一周时,函数()f z 辐角的改变量.特别若()f z 在C 内部解析,则1(,)arg ()2C N f C f z π=∆. 下面就辐角原理的具体应用,结合实例具体分析.例1 设()(1)(3)(5)g z z z z z =---,:4C z =,用辐角原理证明()g z 在C 的内部有3个根.解 ()g z 在曲线C 上没有零点,在C 内解析,在C 内部有3个零点,而没有奇点,所以(,)(,)3N f C P f C -=. 另一方面arg ()(1)(3)(5)C C C C C f z z z z z ∆=∆+∆-+∆-+∆-222πππ=++ 6π=. 于是1arg ()(,)(,)2C f z N f C P f C π∆=-. 由此可以看出,在一些题目的计算中,辐角原理是个很便捷而有效的工具.而其中一个较重要的应用就是儒歇定理,它在考察零点分布时会起到很大的作用.下面就儒歇定理的应用做具体介绍.定理3[]2（儒歇定理）设C 是一条周线,函数()f z 及()z ϕ满足条件: (1)它们在C 的内部均解析,且连续到C ; (2)在C 上,()()f z z ϕ>;则函数()f z 与()()f z z ϕ+在C 的内部有同样多(几阶算作几个)的零点,即(,)(,)N f C N f C ϕ+=.例 2 设()z ϕ在:1C z =内部解析,且连续到C ,在C 上()1z ϕ<.试证:在C 内部只有一个点0z 使00()z z ϕ=.证 设()f z z =-,()()g z z ϕ= 则在C 上有()()1()g z z z f z ϕ=<=-=由儒歇定理知,()f z 与()()()f z z z z ϕϕ+=-在C 内零点个数相同,而()f z z =-在C 内只有一个零点,所以()()()f z z z z ϕϕ+=-在C 内有且只有一个零点,记为0z ,使得00()0z z ϕ-=,即00()z z ϕ=.（二）在广义积分中的应用1、计算20(cos ,sin )R d πθθθ⎰型积分其中(cos ,sin )R θθ为sin ,cos θθ的有理函数,在[]0,2π是连续.设i z e θ=,则dzd izθ=,由欧拉公式得1cos 22i i e e z z θθθ--++==,1sin 22i i e e z z i i θθθ----==.当θ从0变化到2π时,z 沿单位圆周正方向绕行一周,因此我们有以下的计算积分公式：1121(cos ,sin )(,)22z z z z z dzR d R i izπθθθ--=+-=⎰⎰可以看出上式右端是关于变量z 的有理函数的围线积分,且设其中的被积函数在1z =上没有奇点,则可利用柯西留数定理来计算实积分20(cos ,sin )R d πθθθ⎰.注 这里关键一步是利用变数代换i z e θ=,至于被积函数(cos ,sin )R θθ在[]0,2π上的连续性可不必考虑,只要看变换后的函数在1z =上有无奇点.例1 计算积分205cos 4d I πθθ=-⎰.解 令i z e θ=,则dz d izθ=. 这样就有1111()(1)22z dzI i z z ==--⎰,且在圆1z <内1()11()(1)22f z z z =--,只以12z =为一阶极点,在1z =上无奇点, 由Re ()()z as f z a ϕ==可知12114Re ()1131124z pz s f z z =====-- 因此由柯西留数定理得112821131144I i i πππ===--. 注 此题也可利用数学分析中的方法来求解,这里就不详细解答了,但比较起来,用复变函数中的柯西留数定理来求解要显得简单的多.2、计算()()P x dx Q x +∞-∞⎰型积分 为了计算这种类型的反常积分,首先证明下面的一个引理.它的作用是估计辅助曲线Γ上的积分.引理1[]2 设()f z 沿圆弧:Re i R S z θ=12(,R θθθ<<充分大）上连续,且lim ()R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立（既与12θθθ≤≤中的θ无关）,则有21lim()()RS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰.由上述引理,易证： 定理1[]2 设()()()P z f z Q z =为有理分式,其中101()m m m P z c z c z c -=+++0(0)c ≠与101()n n n Q z b z b z b -=+++0(0)b ≠为互质多项式,且符合条件：（1）2n m -≥; （2）在实轴上()0Q z ≠; 于是有Im 0()2Re ()kk z a a f x dx is f z π+∞-∞=>=∑⎰.例2 设0a >,计算积分2222()x dx x a +∞-∞+⎰.解 设2222()()z f z z a =+因为2222lim ()lim 0()z z z zf z z z a →∞→∞==+, 所以2222222Re ()()2x z dx i s x a z a aππ+∞-∞==++⎰. 例3 求积分222(1)(4)x I dx x x +∞=++⎰的值. 解 因为2212(1)(4)dxI x x +∞-∞=++⎰ 由定理1知道2212(1)(4)6dx I x x π+∞-∞==++⎰. 3、计算()()imxP x e dx Q x +∞-∞⎰型积分 引理2[]2 设函数()g z 沿半圆周:Re i R z θΓ=(0,)R θπ≤≤充分大上连续,且lim ()0R g z →+∞=在R Γ上一致成立,则lim()0Rimz R g z e dz Γ→+∞=⎰(0)m >.该引理也称为若尔当引理,应用上述引理,和证明定理1一样,可得: 定理2[]3 设()()()P z g z Q z =,其中()P z 及()Q z 是互质多项式,且符合条件: （1）()Q z 的次数比()P z 的次数高; （2）在实轴上()0Q z ≠; （3）0m >; 则有Im ()2Re [()]k kimx imz z a a g x e dx i s g z e π+∞-∞==∑⎰.将上述式子的实虚部分开,可以得到形如()cos ()P x mxdx Q x +∞-∞⎰和()sin ()P x mxdxQ x +∞-∞⎰的积分.由数学分析中的结论,可知上面两个反常积分都存在,其值就是柯西主值.例4 计算积分2cos 710x xdx x x +∞-∞-+⎰. 解 因为2()710zf z z z =-+在上半平面25x =内无奇点,在实轴上只有两个一级极点12x =,25x =. 于是{}2(),2(),5710iziz iz ze dz i Res f z e Res f z e z z π+∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-+⎰, 所以252cos Re (25)(2sin 25sin 5)710i ix x dx s i e e x x ππ+∞-∞⎡⎤=-+=-⎣⎦-+⎰. 例5 计算积分2cos 1xdx x +∞-∞+⎰.解 因为被积函数为偶函数, 故220cos 1cos 121x xdx dx x x+∞+∞-∞=++⎰⎰， 根据定理4得222Re 11ix iz z i e e dx i s x z π+∞-∞=⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰1122e i e i ππ--==， 于是有12cos 1x dx e x π+∞--∞=+⎰和120cos 12x dx e x π+∞-=+⎰. 4、计算0()ln R x xdx +∞⎰型积分计算此种类型的积分,其主要方法是[]4:设()R x 是有理函数,且分子比分母至少低二次,设函数2()()(ln )F z R z z =.将复平面沿正实轴(包括原点)作支线割开,得其单位值域D ,取ln z 在正实轴上为实值的分枝,其对应()F z 记为2()()(ln )f z R z z =,若k z 是2()(ln )R z z 在D 内的各个极点,则:211()ln Re Re ()(ln ),2n k k R x xdx s R z z z +∞=⎧⎫⎡⎤=-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑⎰① 例6 计算4ln (1)xdx x +∞+⎰的值. 解 设辅助函数241()(ln )(1)f z z z =+,显然()f z 在1z =-处有四阶极点,其留数为24(ln )2Re ,11(1)3z s i z π⎡⎤-=-⎢⎥+⎣⎦. 根据公式①即得[]{}40ln 1121Re Re (),1Re 1(1)2232x dx s f z i x π+∞⎧⎫=--=--=-⎨⎬+⎩⎭⎰. 通过上述的一些实例可以看出,应用柯西留数定理计算某些类型实函数的积分,其大概思想是[]5:为了求实函数()f x 在实轴或者实轴上的某一段L 上的积分,我们要适当增加某一曲线使其构成一简单闭曲线C ,其内部为D ,选取合适的函数()f z ,然后对()f z 应用柯西留数定理,就大大简化了计算问题.（三）在级数求和中的应用设()R z 是分子次数比分母至少低两次的有理函数,且其极点12,,,n z z z 都不为整数,则有1()Re R()cot(),njk j R k s z z zππ+∞=-∞=⎡⎤=-⎣⎦∑∑;1(1)()Re ()csc(),nkj k j R k s R z z z ππ+∞=-∞=⎡⎤-=-⎣⎦∑∑例1[]6 求级数241cos (4)n nn n +∞=-∑的和. 解 设24cos ()(4)zf z z z =-,则()f z 有一个一阶极点0和四个一阶极点:1234c c c c ===-由文献[6]中的一个公式（6）得244224011cos cot()4cos 1lim lim cot()()()(4)22!m m z z c n m z z d z z n dz z z c f z n n ππππ+∞→→==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑21cosh ))1624π⎤=---⎦.例2[]6 求级数11(1)n n n +∞=+∑的和.解 因为120,1111(1)(1)(1)n n n n n n n n n n +∞+∞+∞=-∞==-≠-=++++∑∑∑,22211111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n -∞+∞+∞+∞=-======+--+-+∑∑∑∑, 所以10,1111(1)2(1)n n n n n n n -∞+∞==-∞≠-=++∑∑. 设1()(1)f z z z =+，显然()f z 有一阶极点0和-1，且都是()cot()()F z z f z ππ=的二阶极点，从而有10,1()2(Re ()Re ()Re ())nc z jz z j j F z dz i s F z s F z sF z π+∞===-=-∞≠-=++∑⎰,所以110,111()()(1)2n n n n f n f n n n +∞+∞+∞===-∞≠-==+∑∑∑ 011cot()cot()11lim lim 2z z z z d z d z z z dz dz ππππ→→-⎡+⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1=.（四）柯西留数定理的推广应用这里有必要对推广的柯西留数定理稍作陈述,其定义如下: 推广的留数定理[]7设()f z 在D 内解析,在D 上有极点12,,,n z z z (其中有些可能在Γ上),此外,在D 上()f z 除去Γ上有限个点处有奇异性外,处处连续,则11()()Re ()2nk k k f d a z sf z i ξξπΓ==∑⎰. 上述推广的留数定理,相较于原有的只是将条件稍加放宽了,在计算一些复杂的积分时,可以发挥很好的效果,对此,还要结合一下定理,这样会使计算更加便捷.定理1[]8 假设:（1）D 为一区域,C D =∂是一条或有限条简单闭曲线;{}n a 为D 内一孤立点列,0lim n n a a a D →∞=∈;()f z 在D 内除去n a (0,1,2,)n =外解析,在D D C =+上除去n a (0,1,2,)n =外为连续;（2）级数1Re (,)n n s f a ∞=∑收敛;则()2Re (,)nn Cf z dz i s f a π∞==∑⎰由上述定理,易证:定理2[]8 设{}n a 为复平面上一孤立奇点列,0lim n n a a →∞=;()f z 在扩充复平面上除去01,,,a a ∞外为解析.若级数1Re (,)n n s f a ∞=∑收敛,则0Re (,),()nn s f a a∞==∞∑Re (,)Re (,)0nn s f a s f ∞=+∞=∑在应用中特别重要的是下面介绍的两个定理:定理3[]8在定理1的条件下，若()f z 在D 内某一收缩于0a 的正常曲线族{}n C 上满足1max ()()nz C nf z o d ∈=,其中n d 的意义如前,则: 0Re (,)0s f a =1()2Re (,)nn Cf z dz i s f a π∞==∑⎰定理4[]8 在定理1中条件（1）的假定下,若存在收缩于0a 的正常曲线族{}n C 使n C 与1n C +围成的区域内仅含有点列{}n a 的一点n a ,并且在n C 上()f z 满足条件1max ()()n z C n f z o d ∈=,则有级数1Re (,)n n s f a ∞=∑收敛. 上述的每个定理是对区域内仅有一个极限点的点列的情形来表述的.但是,我们很容易把这些结果推广到有若干个极限点的孤立点列的情形.例1 函数2()k g x x ctgx =（k 为正整数）在以1()(1)2n i π+±为顶点的正方形曲线族{}n C 上满足1max ()()nx C n g x o d ∈=,21Re (,)()k s g n n ππ= (1,2,)n =±±,利用ctgx 的Laurent 展式可得222Re (,0)(1)(2)!k kkB s g k =-,式中n B 为Bernoulli 数.由定理2及定理3,即得211222121(1)(2)!k k k k k n B n k π-∞-==-∑(1,2,)k =. 把定理2和定理3顺次应用于函数2csc k x x -与21sec k x x --（k 为正整数）, 则有21221(21)1(1)(1)(2)!k nk k kn B n k π-∞=--=-∑ (1,2,)k =, 122111(1)(1)()(21)2(2)!2n kk k n E n k π∞-+=-=-+∑ (1,2,)k =, 其中n E 为Euler 数.结束语本文主要介绍了柯西留数定理的应用,当一些广义积分无法运用正常的求解方式解答时,柯西留数定理就是一个有效便捷的途径.值得一提的是,柯西留数定理在级数求和中的应用,使得级数求和又有了一个简便的方法.在一些广义积分中,有些问题给出的数学对象所具有的求解因素并不明显外露,我们可以借助一定的方法构造辅助线,从而为问题的解法寻找简捷的途径.通常情况下,在利用柯西留数定理计算实积分时,一般总是针对那些原函数不易求出的;在计算级数求和中,先求出极点,进而利用相关的公式和定理去求解;而在其它学科中的应用,同样要结合数学中的相关知识将其转化并解答.利用柯西留数定理可以巧妙灵活地解答一些特殊实积分问题,使解题更为方便简洁.总之,应用柯西留数定理时,要结合其它的一些方法,如导数、极限、不等式及定积分等,其应用之广,技巧性之灵活,需要我们好好理解掌握.参考文献：[1]王信松,张节松.复变函数[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2011.[2]钟玉泉.复变函数论[M].第三版.北京:高等教育出版社,2004.[3]陆生琪.留数理论及其应用[J].三江学院,2009,(33):947-949.[4]邓志颖,潘建辉.留数定理在积分计算和级数求和中的应用[J].专家论坛,2011,8:437- 438.[5]林金火.留数定理在广义积分中的应用[J].九江职业技术学院学报,2007,1:84-85.[6]林金楠.基于留数定理的一种级数求和方法[J].高等数学研究,2009,12,(4):110-113.[7]路见可.推广的留数定理及其应用[J].武汉大学学报(自然科学版),1978,10,1:1-6.[8]李鸿振.留数定理的推广及应用[J].河北大学学报,1988,(4):7-10.致谢时光荏苒,大学四年的生活即将结束,完成论文成了最后一题“作业”,为了检验自己四年所学,为了给大学生活划上一个完美句号,为了一个新的开始,我积极、认真地完成论文.本文的完成离不开数学科学学院张杰老师的热情指导,同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书管电子资源,为课题的研究工作提供了良好的条件,另外,本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨,在此,对他们一并表示感谢.。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复变函数中的一个重要定理，它在求解不同类型积分上有着广泛的应用。
从留数定理的定义和性质出发，我们可以探究留数定理在求解不同类型积分上的具体应用。
本文将从留数定理的基本原理出发，分别探讨留数定理在求解定积分、无穷积分、奇异积分和复积分中的应用，以及其在物理和工程等实际问题中的应用。
一、留数定理的基本原理留数定理是复变函数理论中的一个重要定理，它给出了复变函数在孤立奇点处的留数与该函数在该奇点所作割线积分之间的关系。
设F（z）在孤立奇点z0处解析，即在z0的某个邻域内解析，并且在z0处的留数为R，若C是以z0为内点的简单闭曲线，则有\[\oint _{C} \! F ( z ) \, dz = 2\pi iR\]留数定理的一个重要推论是：如果f(z)在孤立奇点z0的邻域内解析，并且在z0处的留数为R，则有其中Res(f,zk)表示f(z)在zk处的留数。
这个结论为我们在实际问题中利用留数定理求解积分提供了重要的理论基础。
二、留数定理在定积分中的应用留数定理在求解定积分中有着重要的应用。
对于某些定积分，可以通过构造合适的闭合曲线，并利用留数定理来求解。
考虑积分\[\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}\]可以构造复平面上的单位圆上的积分路径，然后利用留数定理来求解这个积分。
在复平面上，积分变量z的标量为e^{i\theta}，则积分可以表示为其中z0和z-1分别是函数f(z)在z=0处和z=∞处的留数。
通过计算这两个留数，我们可以求解出原定积分的值。
留数定理在求解无穷积分中也有重要的应用。
考虑积分可以通过构造合适的积分路径，然后利用留数定理来求解这个无穷积分。
我们可以沿着实轴积分，然后在上半平面做半圆弧积分。
留数定理还可以用来解决奇异积分。
考虑积分六、留数定理在物理和工程实际问题中的应用留数定理在物理和工程实际问题中也有着重要的应用。
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用
探究留数定理在求解不同类型积分上的应用留数定理是复变函数论中一个非常重要的定理，它在求解不同类型的积分中具有广泛的应用。
留数定理是复变函数理论的基石之一，它给出了在Residue Calculus中计算复变函数的积分的方法。
通过留数定理，可以简洁而有效地求解很多复杂的积分，包括实数域上很难处理的积分。
本文将探究留数定理在求解不同类型积分上的应用，深入理解留数定理在复变函数积分计算中的重要性和广泛性。
我们来介绍一下留数定理的基本思想。
留数定理指出，在解析函数的奇点上的积分，可以简化为在这些奇点上计算留数的求和。
对于一个具有有限个孤立奇点的解析函数，我们可以通过计算这些奇点上的留数，从而得到整个函数的积分值。
这个定理的应用范围非常广泛，从计算简单的积分到复杂的线积分和环积分，都可以通过留数定理得到简洁的结果。
留数定理在计算线积分和环积分上也有重要的应用。
对于一条闭合曲线C上的积分∮f(z)dz，可以利用留数定理将这个积分转化为计算函数f(z)在曲线C内的奇点上的留数，从而简化了对闭合曲线上的积分计算。
同样地，对于一个简单闭合曲线上的环积分∮f(z)dz，也可以通过留数定理将这个积分转化为计算函数f(z)在曲线内奇点上的留数，从而简化了计算的过程。
留数定理还可以应用在计算实数域上的积分问题。
对于实数域上的一些复杂函数的积分，可以通过将实函数延拓到复平面上，然后利用留数定理在复平面上求解，最后通过取实数域上的部分得到实数函数的积分值。
这样就可以通过复平面上的计算得到实数域上的积分值，从而简化了对实数域上积分的计算问题。
留数定理在求解微分方程和傅里叶变换中也有重要的应用。
对于一些复杂的微分方程，可以通过留数定理将微分方程转化为复变函数的积分问题，从而简化了微分方程的求解过程。
对于傅里叶变换，可以通过留数定理将傅里叶变换转化为复变函数的积分问题，从而简化了对傅里叶变换的计算。
留数定理在求解不同类型积分上具有广泛的应用。
论文（留数定理及其应用）
论文（留数定理及其应用）石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1.引言·············································2.留数·············································2.1留数的定义及留数定理························2.2留数的求法··································2.3函数在无穷远处的留数························3.用留数定理计算实积分3.1计算形如的积分············3.2计算形如的积分····················3.3计算形如的积分················3.4计算形如和的积分3.5计算积分路径上有奇点的积分····················参考文献1.引言留数理论是柯西积分理论的延续。
留数理论及其应用
是，如果点 ∞ 为 f(z)的可去奇 点 （或 解 析 点 ），则Res f(z)可 以 不 是 零 例 z=∞
如 f(z)=2+ 1 以 z=∞ 为可去奇点，但Res f(z)=-1
z
z=∞
下面引入计算留数 f(z)的另一公式
令 t= 1 z
于是
φ(t)=f(
1 t
)=f(z)
且 z 平面上无穷远点的去心邻域 N-{∞}:0≤γ<|z|<+∞ 被变成 t 平
解 命 z=eiθ，则 dθ= dz ,当 p≠0 时， iz
1-2pcosθ+p2=1-p(z+z-1)+p2= (z-p)(1-pz) . z
这样就有
乙 I= 1
dz .
i z =1 (z-p)(1-pz)
且在圆|z|<1 内
f(z)=
1 (z-p)(1-pz)
.
只以 z=p 为一阶极点，在|z|=1 上无奇点，
zrei00r充分大充分大上连续且limrgz0在r上一致成立则limrr乙gzeimzdz0m0证对于任给的0存在r00使当rr0时有gzzr于是就有r乙gzerimzdz0乙greieireireiid0乙emrsind这里利用了greieireiir以及mrsineimremrsinimrcose于是由2sin02将上式化为r乙gzeimzdz2r20乙emrsind2r20乙e2mrd2re2mr2mr02m1emrm定理6设gzpzqz其中pz及qz是互质多项式且符合条件1qz的次数比pz的次数高2在实轴上qz03m0则有0乙gxeimxdx2iimar0rezarsgzeimz例5计算积分0乙cosmx1x2dxm0解被积函数为偶函数故cosmx0乙根据定理得1x2dx12乙cosmx1x2dx12乙eimx1xm2dx2ireziseimz1z22ie2iem于是有乙cosmx1x2dxem0乙cosmx1x22em例6计算积分乙xcosx22x10xdx解不难验证函数fzzeizz22z10满足若尔当引理的条件这里m1gzzz22z10函数fz有两个一阶极点z13i及z13iizresz13ifzzez3i22z10z13i13ie6i乙xe22x10ixdxx2i13ie3i6i于是3e313iacos1isin13e3cos13sin1i3e33cos1sin1比较等式两端的实部与虚部就得xcosx22x10乙xdx3e3cos13sin1乙xcosx22x10xdx3e33cos1sin1参考文献1钟玉泉编复变函数第三版北京高等教育出版社2004年2钟玉泉编复变函数学习指导书北京高等教育出版社1996年责任编辑张新雷高校讲坛949
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石河子大学本科毕业论文（设计）留数定理及其应用院系师范学院专业数学与应用数学姓名向必旭指导老师曹月波职称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。
综观复分析理论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义。
同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。
1825 年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于留数的定义。
随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。
柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要的概念。
因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义。
随着留数的发展，复积分的相关问题得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。
关键字：留数；留数定理；积分目录摘要···············································1. 引言·············································2. 留数············································· 2.1 留数的定义及留数定理························ 2.2 留数的求法·································· 2.3 函数在无穷远处的留数························3. 用留数定理计算实积分3.1 计算形如∫f (cos x ,sin x )dx 2π0的积分············ 3.2 计算形如∫f (x )+∞−∞dx 的积分···················· 3.3 计算形如∫P (x )Q (X )+∞−∞e imx dx 的积分················3.4 计算形如∫P (x )Q (x )+∞−∞cos mxdx 和∫P (x )Q (x )+∞−∞sin mxdx 的积分3.5 计算积分路径上有奇点的积分···················· 参考文献1. 引言留数理论是柯西积分理论的延续。
其中的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具。
留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系。
此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。
2.留数留数的定义及留数定理如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有∫f(z)Cdz=0但是，如果a是f(z)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内，并包围点a,则积分∫f(z)Cdz的值，一般说来，不再为零。
并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。
概括起来，我们有定义设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心领域0< |z−a|<R内解析，则称积分1 2πi ∫f(z)τdz(τ:|z−a|=ρ,0<ρ<R)为f(z)在点a的留数，记为f(z)z=aRes由柯西积分定理知道，当0<ρ<R时，留数的值与ρ无关，利用洛朗系数公式，有1 2πi ∫f(z)dz=τc−1即f(z)z=aRes=c−1这里c−1是f(z)在z=a处的洛朗展式中1z−a这一项的系数。
留数的求法如果z0为f(z)的简单极点，则Res[f(z),z0]=limz−z0(z−z0)f(z)法则2：设f(z)=P(x)Q(X)，其中P(x),Q(x)在z0处解析，如果P(z)≠0，z0为Q(z)的一阶零点，则z0为f(z)的一阶极点，且Res[f(z),z0]=P(z)Q′(Z)法则3：如果z0为f(z)的m阶极点，则Res[f(z),z0]=1(m−1)!limz−z0d m−1dz[(z−z0)m f(z)].例 1 求函数f(z)=e iz1+z2在奇点处的留数解f(z)有两个一阶极点z=±i，于是根据法则得Res[f,i]=P(i)Q(i)=e i22i=−i2eRes[f,i]=P(−i)Q′(−i)=e i2−2i=i2e例 2 求函数f(z)=e izz(1+z2)2在奇点处的留数解f(z)有一个一阶极点z=0与两个二阶极点z=±i，于是由法则可得Res(f,0)=limz→0e iz(1+z2)2=1Res(f,i)=limz→i [(z−i)2?e izz(1+z)]′=limz→i[e izz(1+z)]′=−34eRes(f,−i)=limz→i [e izz(z−i)]′=6+i4e函数在无穷远点的留数定义设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R<|z|<+∞内解析，则称12πi ∮f (z )dz (C:|z |=ρ>R )C为f (z )在点∞的留数，记为Res [f (z ),∞]，这里C −是指顺时针方向 （这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）。
如果f (z )在R <|z |<+∞的洛朗展开式为f (z )=∑C n z n∞n=−∞，则Res [f,∞]=−C −1这里，我们要注意，z =∞即使是f (z )的可去奇点，f (z )在z =∞的留数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。
定理 如果f (z )在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内） 为z 1,z 2,?z n ,∞，则f (z )在各点的留数总和为零 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则 法则 Res [f (z ),∞]=−Res [f (1z )?1z 2,0]例3 求下列函数在所有孤立奇点处的留数： （1）z 2sin 1z； （2）1sin1z；分析 对于有限的孤立奇点a ，计算留数Res [f (z ),a ]最基本的方法就是寻求洛朗展开式中负幂项C −1(z −a )−1的系数C −1。
但是如果能知道孤立奇点的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。
例如当a 为可去奇点时，Res [f (z ),a ]=0（切记当a =∞时此结论不成立）对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。
对于无穷远点的留数Res [f (z ),∞]，一般是寻求f (z )在R <|z |<+∞内洛朗展开式中负幂项C −1z −1的系数变号−C −1，也可转变为求函数−1z 2f (1z)在z =0处的留数，还可以用公式Res [f (z ),∞]=−∑Res [f (z ),a k ]n k=1，其中a 1,a 2,a 3,?a n 为f (z )的有限个奇点。