第十二讲(2多元函数微分法)

( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
2) 构造拉格朗日函数 ,利用极值必要条件列方程;
3) 解方程组求出驻点 (稳定点); 4) 根据问题的实际意义判断驻点是否为所求最值点 .
三 . 实例分析
例 1. 设函数 f的二阶偏导数连续, 分别求下列函数的二
y (2) z f ( x ) ; x z y2 2 y x f ( ) 解 : (1) y x x 3 2y 2 f 2 y f x
s1 s 2 cos s1 s 2 2z 2 2 = 常数 2 2 6 3z 2 z
故本题结论成立 。
例 9.设函数F 可微,试证曲面
所有切平面通过一定点 . (上交大1998)
的
证 : 对曲面方程两边取微分, 得
F1
F2
F1 ( y b) F1 ( z c) F2 d x d y dz F2 ( x a) F2
, z F1 F2
二、多元函数微分法的应用方法指导
1. 偏导数的几何应用 ( P256-P257 ) (1) 空间曲线的切线和法平面

参数方程情形
一般方程情形 在 时对应
• 光滑曲线
点 处的方向向量为
• 光滑曲线 向量为
在点
处的方向
x
y
z
(2) 空间曲面的切平面和法线

Hale Waihona Puke 设切平面上的动点坐标为 ( X ,Y, Z ) , 则得切平面方程:
即得所证.
例 8. 证明曲线
与圆锥面 的各条母线相交的角度相同 . 解 : M (x, y, z ) , 则该点切线方向向量为
a e (cos t sin t ) , a e (cos t sin t ) , a e
t t
t

且
圆锥面上过点 M 的母线的方向向量为 故 与 夹角 的余弦为
0
这说明 f 与 x 无关, 仅是 t 的函数 , 即
例 7. 设 f ( x , y , z ) 为 n 次齐次函数 , 试证
2 ( x y z ) f ( x, y, z ) n (n 1) f ( x, y, z ) x y z (上交大 1986 )
证 : 已知
F2 F1 dy dx dz F1 F2 F1 F2 F1 z , x F1 F2 F2 z y F1 F2
设函数 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 x y
方法 2: 直接法. 方程两边对 x 求导, 得
z z F1 (1 ) F2 0 x x F1 z , x F1 F2 z z ) F2 (1 )0 方程两边对 y 求导, 得 F1 ( y y F2 z y F1 F2
故曲面在点 (x,y,z) 处切平面的法向量为
F1 ( y b) F1 ( z c) F2 , 1 , n z x , z y , 1 : 求出切平面 F2 ( x a) F 2 思路
方程 ,分析其特点
n
1 ( y b) F1 ( z c) F2 , ( x a) F1 , ( x a) F2 ( x a) F2
)
处可微 , 且
例 2 设函数
在点
f f 2, 3, f ( 1, 1 ) 1, x (1,1) y (1,1)
( x) f ( x , f ( x , x ) ) ,
求
( 2001考研题）
解:
( x) f ( x , f ( x , x ) ) (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1 d 2 3 ( x ) dx x 1
两边对 t 求导, 得 再对 t 求导, 得
z f3 nt x f 1 y f 2
n 1
f
y f 22 z f 23 ) y ( x f 21
令 t = 1 ,得
y f 32 z f 33 ) z ( x f 31
2 y z f 23 2 x z f13 2 x y f 21
设函数 z = z ( x , y ) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数, 求 x y
方法 3: 代公式法. 令
( x, y, z ) F ( x z , y z )
则
, x F1 , y F2 x z F1 x z F1 F2 y z F2 y z F1 F2
代入原方程 , 得
z u v
2
2z 0 2 v
,得 a=3.
P253 例12 z g (u ) 与此题类似 .
依题意应有
说明 : 由变换后的方程易求得 :
z f (u ) (v)
其中 为任意二阶可微函数 .
u
2 z 2 z 2 z 2 0, 说明：设 z f ( x, y ) 满足方程 6 2 x xy y 2 x 2 y z 证明变换 0. 可将方程化简为 x 3 y
z z 4 2 2a 2 u y 2 2 z z 2 2 x y u
2
2
z y
2z 2 v
2 z 2 a 2 v
z
u
v
x yx y
z a 2 v 代入原方程
2
2 2 2 u x 2 y z z z 可把方程 6 例 5.设变换 0 2 2 v x a y x y y x 2 z 转化为 0 , 求常数 a . ( 考研1996, P272 题18 ) u v
3 5
接5.
3 ( 5 f1 1 2 z 5 f2 ) y 3 x y 1 x f 22 ) ) ( f 21 ( f11 f12 5 5
1 f12 f 22 ) (6 f11 5 2 z 2 z 2 z 6 2 2 0 x xy y
第十二讲（2）
多元函数微分法 及其应用
一、多元函数微分法方法指导
1. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐阶求导法
(当高阶混合偏导数连续时,与求导顺序无关, 应选择简便的求导顺序)
机动
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结束
显式结构 2. 复合函数结构
3 2 ( x) f1( x, f ( x, x))
3 2 3 (2 3) 51
x1
f f 2, 3, f ( 1, 1 ) 1, x (1,1) y (1,1)
例 3. 设
证明:
u u u 3 x y z x yz
隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 独立方程个数 自变量及因变量根据问题所求确定 ,其关系 可通过作树状图分析
3. 复合函数求导法则 ( 链式法则 ) 分段用乘 , 分叉用加 ; 单路全导 , 叉路偏导 .
z f ( x, u, v) , u ( x) , v ( x) , 则 z d z f f du f dv d x x u d x v d x x u v f1 f 2 ( x) f 3 ( x) x x 又如 , 设 z f ( x, y, u ) , u ( x, y ) , 则 z z f1 f 3 1 x y u x z z x y f 2 f 3 2 注意: f1 y x
解:
x 2y
x1 5 (3 2 ) y1 5 ( )
x 3y
z f ( x, y )
z z x z y x y
3 ( 5 f1 1 2 z 5 f2 )
f1 1 f 5 2
隐式方程情形 显式方程情形
• 光滑曲面
方向向量为
在点
处的法线
• 光滑曲面
方向向量为
在点
处的法线
2. 多元函数极值和最值应用 ( P257-P260 )
(1) 多元函数极值的必要条件和充分条件
• 条件极值的求法
方法 1 升元法 方法 2 消元法 拉格朗日乘数法 将条件代入目标函数
(3) 解最值问题的步骤
2 z 0
例 6. 试证可微函数 的函数的充要条件为
证 : 先证“必要性”. 设 则
是
(上交大 1989 )

z b b a x
则 z f ( x, y )
再证“充分 性” 令 .
思考题: P272 题 20
因
z a f1 f 2 ( ) x b
说明 : 若用直接方法 , 注意
消去 dy , dz
练习
1 1 1 1 设 f (u) 可微, 且 f ( ) , 求 y x z x 2 z 2 z x y ( 京1996 竞赛题 ) x y
提示 : 利用全微分法 , 有
z2 d z 2 (1 f ) d x x z x
z2 f d y 2 y z 2 代入原式 , 得 z y
例 5. 设变换
2 2 2 z z z 可把方程 6 0 2 2 x y y x
转化为
求常数 a .
( 考研1996, P272 题 18 )
z 解: x 2z 2z 2 2 x u