第二章 测试系统的基本特性动态特性

m m 1
频率响应函数是传递函数的特例。
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的 特性；频率响应函数H(ω)是在频域中描述和 考察系统特性。
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m m 1
第2章 测试系统的基本特性
Y ( j ) bm ( j ) bm1 ( j ) b1 ( j ) b0 H ( j ) n n 1 X ( j ) an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0
h(t ) L1 H ( s) F
1
Y ( s) X ( s) H ( s)
时间 t
h(t )
H ( )
y(t ) x(t ) h(t )
频率或f
H ( )
H ( ) H ( s)( s j ) F h(t )
Y ( ) X ( ) H ( )
2
1
1 0.9868 1.32%
arctan( ) arctan(2f ) arctan(2 50 5.23 104 ) 9o1950
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第2章 测试系统的基本特性
练习
一温度传感器为一阶系统，其时 间常数τ=0.001s，求当测量频率 f=100Hz信号时的幅值误差和相位误差。
H(j)一般为复数，写成实部和虚部的形式：
其中：
H (j ) A( )e
j ( )
Re( ) jIm( )
A(w) H ( jw)

Re(w)

2
Im(w)

2

Hale Waihona Puke Baidu
Ay ( w) Ax ( w)
Im(w) ( w) H ( jw) arctg( ) y ( w) x ( w) Re(w)
3. 脉冲响应函数 (Weight function)
Y ( s) H ( s) X ( s)
若x(t)=δ(t)，则： X (S ) L1[ (t )] 1
Y (S ) H (S ) 1 H (S )
1 y ( t ) L [ H (S )] h(t ) 进行拉氏逆变换：
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第2章 测试系统的基本特性
频率响应函数 H ( j )
1 1 j 2 2 H(( S )) j 1 1 ( ) 1 1 1 S 1 H ( j ) j 2 它的幅频、相频特性的为： j 1 1 ( ) 1 ( ) 2 1 A( )= H(j )
2 2
信号 x1 : f1 0.5Hz
A( f1 ) 0.537
( f1 ) 57.52o
信号 x2 : f 2 2Hz
o ( f ) 80.96 A( f 2 ) 0.157 2
y1 (t ) 0.537sin(t 57.52o ) y2 (t ) 0.157sin(4t 80.96o )
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第2章 测试系统的基本特性
系统串联 系统并联
H ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s ) H ( s ) H1 ( s ) H 2 ( s )
H ( s) H ( s)
Y ( s)
X ( s)
X ( s)
H 2 ( s)
H1 (s)
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第2章 测试系统的基本特性
练习
求周期信号 x(t ) 0.5 cos10t 0.2 cos(100t 45 )
0
通过传递函数为 H ( s )
1 0.005 s 1
的装置后得到的稳态响应?
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1
它的幅频、相频特性的为： 1 A( )= H(j )
( ) H ( j ) arctan( ) 幅频特性曲线图 A(ω)－ωτ
( ) H ( j ) arctan( ) 负值表示相角的滞后
1 ( ) 2
1 ( )
2
φ(ω) －ωτ
H ( )
n 1 2 2 2 jn n 1 ( ) 2 j 2 ( ) n n
A( )
1
n
1 4 2 n
2
2 2
2 n ( ) arctg 2 1 n
y(t)
1
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第2章 测试系统的基本特性
传递函数的特点
H(S)只反映系统对输入的响应特性，与测量 信号无关。 H(S) 描述了测试系统的传输特性，对任一具 体的输入x(t)都明确的给出了相应的输出y(t)。 H(S)是实际物理系统抽象为数学模型后的拉 普拉斯变换，因此，物理性质不同的系统或 元件，可以具有相同类型的传递函数H(S)。 分母中s的幂次n代表系统微分方程的阶数， 如当n=1或n=2时，分别称为一阶系统或二阶 系统。
第2章 测试系统的基本特性
一阶系统在典型输入下的响应
• 脉冲响应
x(t ) (t ) X ( s) 1 1 t / 一阶系统的响应： y (t ) e 其拉氏变换：

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第2章 测试系统的基本特性
• 阶跃响应
0 t 0 x(t ) 1 t 0 1 其拉氏变换： X ( s) s 一阶系统的响应： y (t ) 1 e t /
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第2章 测试系统的基本特性
练习
对某一阶装置输入一阶跃信号,其
输出在2S内达到输入信号最大值的
20%,试求: 1 装置的时间常数 2 经过40S后,输出幅值达到多少?
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第2章 测试系统的基本特性
练习
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第2章 测试系统的基本特性
例 用一个一阶系统作100Hz正弦信号测量。(1)如果 要求限制振幅误差在-5%以内，则时间常数 应取多 少？(2)若用具有该时间常数的同一系统作50Hz信号的 测试，此时的振幅误差和相角差各是多少？

A1 A0 1 A( ) A1 0
相频特性曲线图
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第2章 测试系统的基本特性
一阶系统的幅相频特性
A( )
1 1 ( )
2
( ) arctg( )
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第2章 测试系统的基本特性
一阶系统频率特性的特征
• 当ω<1/5τ时，A(ω)≈1(误差不超过2%)； • 当ω》1/ τ时，系统相当于积分环节，幅 值衰减成线性，相位滞后接近90°； • 当ω=1/τ时，A(ω)=0.707，相角滞后45°；
2 f 6.28 100 628 1/s,
A( ) 1 1 ( ) 2 1 1 (628 0.001) 2 0.849
( ) arctan( ) 32.13
A( ) 1 0.849 1 100% 100% 15.1% 1 1 32.13
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第2章 测试系统的基本特性
1. 传递函数 (Transfer function)
拉普拉斯变换
定义系统的传递函数H(s) 为输出量和输入量的拉普 拉斯变换之比
Y (S ) H (S ) X (S )
传递函数： 描述系统动态特性
输入量
输出量
x(t)
bm S m bm1S m1 b1S b0 an S n an1S n1 a1S a0
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第2章 测试系统的基本特性
A()称为系统的幅频特性，为H()的模，是给 定频率点输出信号幅值与输入信号幅值之比， 反映测试系统对信号中频率为的信号分量在幅 值上的缩放程度。
一阶系统的幅频特性曲线
()-相频特性
一阶系统的相频特性曲线
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第2章 测试系统的基本特性
例:
某测试系统传递函数 H s
1 ，当输入信号 1 0.5s
分别为 x1 sin t ， x2 sin 4t 时，试分别求系统 稳态输出。 1 1 jf H ( jf ) 1 j 0.5 2f 1 2 f 2 1 A( f ) ( f ) arg tan(f ) 1 f
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第2章 测试系统的基本特性
练习
求周期信号 x(t ) 0.2 cos(100t 450 )
通过传递函数为 H ( s )
1 0.005 s 1
的装置后得到的稳态响应?
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第2章 测试系统的基本特性
称h(t)为测试装置的脉冲响应函数
系统特性在时域可以用h(t)来描述，在频域可以 用H(ω)来描述，在复数域可以用H(s)来描述。三 者的关系是一一对应的。
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第2章 测试系统的基本特性
三种函数的关系
复频 s j
H ( s)
H (s) Lh(t )
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工程测试与信号处理
第2章 测试系统的基本特性
二阶系统的幅相频特性
1) 、ω/ω A(ω) 近似水平直线， φ(ω) =-180º 4)、当 ω=ω 时， A(ω)=1/(2ξ) ， φ(ω) =-90º ， 。 n>2 n， 幅值剧增，共振。
用一个具有一阶动态特性的测 量仪表( =0.35s ),测量阶跃信 号,输入由25单位跳变到240单位,求当 t=0.35s, 0.7s, 2s 时的仪表示值 分别为多少?
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第2章 测试系统的基本特性
L R
2. 二阶系统（Second-order system） 微分方程 传递函数
ur (t ) C u0 (t ) dy 2 (t ) dy(t ) a2 a1 a0 y (t ) b0 x(t ) 2 dt dt 2 n 1 H (S ) 2 2 1 2 2 S 2n S n S 1 2 2n n
频率响应函数
幅频特性和相频特性
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第2章 测试系统的基本特性
典型系统的频率响应特性 1. 一阶系统(First-order System)
dy a1 a0 y b0 x 数学表述： dt 1 K 传递函数： H ( S ) H (S ) S 1 S 1
τ为一阶系统的时间常数,K为灵敏度
Y ( s)
H 2 ( s)
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第2章 测试系统的基本特性
2. 频率响应函数 (Frequency response function) s j
Y ( j ) bm ( j ) bm1 ( j ) b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) an ( j )n an1 ( j )n1 a1 ( j ) a0
| | ≤ 5% 0.05
2
1 A( ) ≤ 0.05
1
1 ( ) 1
2
≤ 0.05
1 ( ) ≤ 1 0.108 2 0.95
1 (2 50 5.23 10 ) 1
4 2
0.000523
1
1 ( ) 1
2
1
1 (2f ) 1