倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制

倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制(齐国元，陈增强，袁著祉)（１.天津科技大学自动化系,天津30０222;２．南开大学自动化系,天津３000７1)摘要：利用提取的系统高阶微分信息，提出了自适应高阶微分反馈控制器.某种程度上该控制器不依赖于单输入单输出(SISO）非线性仿射系统的模型．并且分析了闭环系统的稳定性和鲁棒性.通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入,将倒立摆系统转化成相互影响的两个SISO仿射系统,从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与调节.数字仿真表明,控制器对摆的基准模型实现了较为满意的控制，而且该控制方法对非线性摩擦项，对摆长、摆质量、小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性．关键词:倒立摆系统；高阶微分器；自适应高阶微分反馈控制器;不依赖模型控制器;鲁棒性１.引言作为一个典型的不稳定非线性装置,倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子。

例如,基于郑和约翰提出摆动能量的非线性控制器的模型是使用L 小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡。

咔哇他你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型，然后通过使用状态反馈增益载体和全状态观测器设计了一个稳定性控制器。

姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型，然后根据这个模型设计出极点分配控制器使系统稳定。

这些文献中涉及到的控制器取决于非线性基准模型或倒立摆的线性化模型。

一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项。

但是不确定性低于基准模型。

实际上,基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论的重要特征。

我们发现可测量的信息和它们的ｎ阶微分方程在放射系统中具有重要的意义。

微分不仅是可变输出速率,而且也是系统的内部状态，翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器。

但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法。

在文献6中，我们设计了高阶微分器独立于控制装置，取决于信号本身。

高阶微分器可以接近实际信号和提取ｎ阶微分。

高阶微分器的稳定性和收敛性是已经证明了的。

利用提取的微分信息,我们设计了自适应高阶微分反馈控制器,它不取决于系统的模型,但是取决于n阶微分。

理论分析方法表明自适应高阶微分反馈控制器使闭环系统获得稳定性和收敛性。

如果我们把加速度看作是摆角动态方程的控制输入,把小车加速度看作是小车的位移动态方程的控制对象,然后倒立摆系统转换成双非线性SISO放射系统。

因此，用两个高阶微分反馈控制器,我们能使倒立摆镇定和调节。

当摆角变成零度，小车的位移可以通过控制器达到目标位移。

因为某种程度上该控制器取决于倒立摆的模型，高阶微分反馈控制器的扰动及参数变化具有强鲁棒性。

仿真和展示了所提出理论的有效性。

而且,高阶微分反馈控制器不取决于位移和速度和角的速度。

但是取决于摆位和摆角。

因此控制器是可适应的。

本论文有以下几部分组成；第二部分是，根据高阶微分呈现了自适应高阶微分反馈控制器的ＳIＳＯ放射系统。

第三部分,把倒立摆系统转换成放射系统和用自适应高阶微分反馈控制器使倒立摆镇定和调节。

第四部分,通过数字演算证明倒立摆控制的有效性。

2．自适应高阶微分反馈控制器考虑扰动的ＳIＳＯ放射系统,自适应高阶微分反馈控制器的微分方程表示为:()(,)()n yf X t d t u =++∏(1）其中u是控制输入,y是可测量的输出，()i y表示ｙ的i阶,X =1,2,...,Tn X X X ⎡⎤⎣⎦=(1)(1)(),,...,Tn n y y y R -⎡⎤∈⎣⎦表示输出微分向量,也是系统的状态向量。

()f •是未知稳定非线性有界时变函数，ｄ(t ）是未知有界稳定扰动，起始条件00()X t X =给定的对象的轨线r y 出现阶n 微分,()n r y 是连续的。

如果r y 不满足这些条件，我们使改变r y 直到满足条件。

设置已知的微分输入向量(1)(1),,...,n nr r r r x y y y R -⎡⎤=∈⎣⎦，设置已知的广义微分输入向量,(1)()1,,...,,Tn n r r r r y y y r R +⎡⎤=∈⎣⎦，广义微分输出向量(1)()1,,...,Tn n Z y y y R+⎡⎤=∈⎣⎦，广义微分误差向量[](1)()1121,,...,,,...,TTn n n e r z e e e e e e R ++⎡⎤=-==⊂⎣⎦,其中r e y y =-。

一般输出量y 和给定的输入量r y 是已知的，但是广义微分输出向量z 和给定的广义微分输入向量r 是未知的。

在文献6中提出一种高阶微分,这高阶微分为任一个具有n 阶微分的可测量信号提取了ｎ阶微分。

设置ˆz=［ˆ,y (1)ˆ,y ()ˆ...,n y ]T 用来表达，广义微分向量(1)(),,...,Tn Z y y y ⎡⎤=⎣⎦的估计量。

（注()ˆi y 表示()i y 的估计量，而不表示ˆy 的i 阶）。

现在的高阶微分用组合表达式来表示。

将n 阶动态系统(2）和n+1阶代数方程表示（3）连起来:∑ˆi x =1ˆi x ++10ˆ(),11i a y xi n -≤≤- (２)0ˆn x=01ˆ()n a y x -ˆy =1ˆx , ()ˆi y=1ˆi x ++ia (y -1ˆx)，2,...,i n =（3)其中0n 是系统∑的阶数,通常，设01,n n ≥+1ˆ,x2ˆx ,…,ˆn x 是系统∑的状态,0(1,...,)i a i n =是参数。

问题是根据可测量的信号怎样能获得滤波信号,此外,怎样才能获得估计信号(1)ˆy，…,()ˆn y。

显然,高阶微分的稳定性相等于系统∑,对方程（2)拉氏变换,我们易获得从y 到1ˆx的转变函数。

0000000111111...()...n n n n n n n a s a s a s s a s a s a φ----+++=++++如果没有准确给出参数0(1,..,)i a i n =的话,通过高阶微分来提取的差距是不可能是理想的，甚至系统∑是不稳定的。

在文献【6】中,我们根据轨迹分析系统的参数设计思想。

参数通过下列方程给出:[]0001111000,(1),2,30,1,2,...,n n i i i n a KC a K n a n a i n ----==-∈=（4）注意高阶微分精简成了两个可调的参数0n 和ａ。

通过参数公式(4）我们对高阶微分有下列讨论。

(看文献6）： 1) 高阶微分不取决于估算系统∏的模型,它是基于信号()y t 的附加系统；2) 高阶微分是一个渐进性稳定性系统； 3) 高阶微分支持较高的收敛性满足()ˆlim ,0,...,i a yi n →∞= (5)其中(0)ˆy表示ˆy,a →∞在数学上精确地。

在实际中只取[]2,30a ∈，高阶微分有较高的精确度。

下面我们将学习基于n 阶微分的控制问题。

假设1输入量z 的广义微分向量和相对输入量ｒ的广义微分向量都已知,()n y是连续。

定理1未知模型的时变非线性系统(1)和未知扰动的时变非线性系统,高阶微分反馈控制器可表示为ˆu ke u=+ （６）其中[]11,,...,,1n n k k k k -=1(1)n R ⨯+∈,多项式11...n n n s k s k -+++是一个赫维茨多项式，ˆu是控制量u 的滤波值，它满足ˆu=ˆu u λλ-+ (７）其中λ是一个较大的正数,00ˆ0,0uu ==。

高阶微分反馈控制器使闭环系统渐近稳定，对参数系统的扰动的变化具有强鲁棒性,应付收敛性lim lim rt x x λ→∞→∞=(8)证明从方程（１)和e的定义中，我们有()()()()()()((,)())((,)())n n n n n n n r r r e y y y f x t d t u y y y f x t d t u =-=-++=-+-++此外,以下方式满足1223()()()((,)())n n n r e e e e e y y y f X t d t u ===-+-++（９）设1,2,...,Tnr n x x e e e R ε⎡⎤=-=∈⎣⎦121010001000001000100,,000010001000001n n nn n m nn n A R b R A R k k k k ⨯⨯--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=∈=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从方程（9)中,我们有()()()()()()(((,)()))(((,)()))(((,)()))n n n r n n m r n m A b y y y f X t d t u A b K y y f X t d t u A b Ke y f X t d t u εεεεε=+-+-++'=++--++=++-++(１0）其中[]1()11,,...,n n n k k k k R⨯-'=∈制定m A 是一个赫维茨矩阵,它意味着存在矩阵0Tp p=,对任意一个正定矩阵Q 满足Tm m PA A P Q +=-同样地，k 使11...n n n s k s k -+++成为了一个赫维茨多项式，在方程(10）中，使()((,)())0n ke y f X t d t u +-++=（11)我们有控制规律()((,)()n u ke y f X t d t =+-+(１2）因为求和项(,)()f X t d t +是未知的,控制规律不能够实现，从系统（1)中，我们有()((,)())n y f X t d t u-+=（13)但是u 是控制规律，它要求增值，因为它也不能够实现。

我们考虑到u 的滤波值ˆu 能够实现，因为从公式(7）中知滤波有延迟性，用ˆu代替ｕ，它意味着 ()ˆ((,)())n uy f X t d t ≈-+（14）把（14）代入（12)，我们获得控制器（６),再把（6)代入（1０）,我们对闭环系统有一个重要表达式ˆ())m A b u uεε=+-(15)下面我们证明闭环系统（１５)的稳定性,收敛性和鲁棒性。

方程（7)是一个滤波表达式。

滤波ˆu通过积分电路来实现,所以无论是否连续,滤波ˆu 是必定连续的。

它意味着只要是u 是可积的滤波ˆu 是连续性不取决于u 。

此外，假设1中()n y和()n r y 是连续的，由于in ，因此()i y 和()(0,...,1)i r y i n =-必定是连续的。

因此,我们获得的ｅ是连续的。

因此从(6）中我们得到的控制规律u 是一定连续的,再(7）,我们得到ˆuu s λλ=+（1６）从（１6）和u 的连续性，我们获得ˆlim uu λ→∞=（1７）因为m A 是一个赫维茨矩阵,闭环控制系统是渐近稳定，再从（５)和（17）中，我们获得lim lim 0t λε→∞→∞=（1８)因为我们用收敛性评论(８)。