《不等式》PPT课件
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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式及其性质ppt课件
1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>
.
证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
基本不等式ppt课件
a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.
7.不等式的基本性质PPT课件(沪科版)
知识总结
不等式的基 不等式的两边都乘以(或除以)同 本性质3 一个负数，不等号的方向改变．
变号
不等式的基 本性质4
不等式的基 本性质5
如果a＞b，那么b＜a 如果a＞b，b＞c，那么a>c
变号
注意传递 性
方法规律总结： 不等式的基本性质与等式的基本性质的区分和联系． 区分：等式两边都乘(或除以)同一个负数时，等式仍然
性质5 如果a＞b， b＞c那么a＞c. 例如，由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°.
(来自《教材》)
例4•〈绵阳〉设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的 物体，现用天平称两次，情况如图所示，那 么▲，●，■这三种物体按质量从大到小排列 应为( ) C
•A．■，●，▲
B．▲，■，●
•C．■，▲，●
cc
(来自《教材》)
知2－讲
例2 已知实数a、b ，若a＞b ，则下列结论正确
的是( D )
A．a－5＜b－5
a
C．3
＜
b 3
B．2＋a＜2＋b D．3a＞3b
知2－讲
导引：不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号 的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一 个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C 错误，选D.
• 这样，对于不等式a＞b，两边同乘以－3， 会得到什么结果呢？
知3－导
×(－1)
×3
a＞b a×(－1)＜b×(－1) a×(－3)＜b×(－3).
×(－3)
3. 如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？
(来自《教材》)
归纳
知3－导
性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负 数，不等号的方向改变.即 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，a ＜ b .
《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)
先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并 说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
三 利用不等式的性质解简单的不等式
例4 利用不等式的性质解下列不等式：
第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 (1)x＞-1 ；
示不含此点
(2)
x＜
1 2
.
表示
1 2
的点
-1 0
表示-1的点
方向向右
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
则都点点大表因不A于示此等右2的可式，边数以的而所都像解点有小图集A的于左那x点>2边样2表. 所表示有示的的数 先在数轴上标出表示2的点A
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表 示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示.
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
典例精析 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 > b+3 解： 因为 a>b，两边都加上3，
《不等式》课件
示为一组数的集合。
3
数集表示法
将不等式的解集表示为一组数字的集 合。
区间表示法
使用圆括号、方括号和省略号来描述 不等式的解集。
不等式的性质
1 可加性
两个不等式相加的结果仍是一个不等式。
2 可乘性
两个不等式相乘的结果仍是一个不等式，前提是两个不等式的乘积不为零。
3 传递性
如果a > b且b > c，那么a > c。
不等式的求解方法
1
代数法
通过代数运算（加减乘除、移项等）求解不等式，找出使得不等式成立的解。
2
图形法
通过绘制图形（数轴图、坐标图等）找出使得不等式成立的解。
3
估算法
通过估算数值找出使得不等式成立的解。
不等式的应用
商业应用力、风险控制和市场预测。
不等式可以用于评估运动员的 能力、竞争对手之间的差距和 优胜劣汰。
不等式在数学和实际生活中起着重要作用，它们帮助我们理解和解决各种问题。
不等式的表示方法
符号表示法
数学符号（>、<、≥、≤）用于 表示不同的不等式关系。
数轴表示法
可以通过数轴来直观地表示不 等式的解集。
图像表示法
使用图形来展示不等式的解集， 帮助我们更好地理解。
不等式的解集表示
1
集合表示法
2
使用大括号表示法将不等式的解集表
《不等式》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我将为你们带来有趣而又实用的不等式知识。让 我们一起探索这个令人兴奋的数学领域！
什么是不等式
定义
不等式是通过不等于号（>、<、≥、≤）表示的数学陈述。它描述了两个数之间的大小关系。
不等式的应用教学课件ppt
判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
不等式证明课件
在金融学中，不等式常被用于投 资组合优化问题，以确定最佳的 投资组合策略，使得投资收益最
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
不等式ppt课件
我们可通过平方法、作差法、作商法、倒 数法、取近似值法等方法来比较大小.
估计 的值在（ ） A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
什么是等式？
含有等号的式子.
今天我们就来学 习不等式
先看一下一些数学符号
表示出数量的不等关系
符号
实际意义
读法
<
小于、少于、低于、不足、不够、 小于
解：设小明的分数为x分 小明可能得到的最高分： 小明可能得到的最低分： 所以小明的分数范围是：
下列式子是不等式的有( )
A.①②③ C.①③④
B.①②④ D.①②③④
用不等式来表示下列不等关系 (1)a的4倍与b的3倍的差大于8. (2)m是一个非负数. (3)x的相反数与y的和不大于4. (4)x的一半小于y的三分之一.
我体重不高于3 千克
知识导入
不等式的பைடு நூலகம்念：
用不等号（ 的式子.
）连接而成
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大.
“ ”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小.
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于或等于（不小于）”，表示左边的量 不小于右边的量. “ ”读作“小于或等于（不大于）”，表示左边的量 不大于右边的量. “ ”读作“不等于”，表示左边的量不等于右边的量.
(3)x的2倍与1的和不小于4
不小于用“ ”表示；
(4)x的一半与4的差小于x
小于用“ ”表示；
用不等式来表示下列数量关系
(1)m是非负数 (2)a与1的差是负数 (3)x的2倍与1的和不小于4 (4)x的一半与4的差小于x
例：学校举行唱歌比赛，共有五个评委，每 个评委可以打10分，满分为50分.小明在参 加比赛时，每个评委给出的分数都在7分到9 分之间.求小明的分数范围.
估计 的值在（ ） A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
什么是等式？
含有等号的式子.
今天我们就来学 习不等式
先看一下一些数学符号
表示出数量的不等关系
符号
实际意义
读法
<
小于、少于、低于、不足、不够、 小于
解：设小明的分数为x分 小明可能得到的最高分： 小明可能得到的最低分： 所以小明的分数范围是：
下列式子是不等式的有( )
A.①②③ C.①③④
B.①②④ D.①②③④
用不等式来表示下列不等关系 (1)a的4倍与b的3倍的差大于8. (2)m是一个非负数. (3)x的相反数与y的和不大于4. (4)x的一半小于y的三分之一.
我体重不高于3 千克
知识导入
不等式的பைடு நூலகம்念：
用不等号（ 的式子.
）连接而成
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大.
“ ”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小.
不等式的读法及表示的意义：
“ ”读作“大于或等于（不小于）”，表示左边的量 不小于右边的量. “ ”读作“小于或等于（不大于）”，表示左边的量 不大于右边的量. “ ”读作“不等于”，表示左边的量不等于右边的量.
(3)x的2倍与1的和不小于4
不小于用“ ”表示；
(4)x的一半与4的差小于x
小于用“ ”表示；
用不等式来表示下列数量关系
(1)m是非负数 (2)a与1的差是负数 (3)x的2倍与1的和不小于4 (4)x的一半与4的差小于x
例：学校举行唱歌比赛，共有五个评委，每 个评委可以打10分，满分为50分.小明在参 加比赛时，每个评委给出的分数都在7分到9 分之间.求小明的分数范围.
《基本不等式》PPT课件
一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的基本步骤
01
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
解一元一次不等式需要注意的事项
02
在解不等式的过程中，要确保每一步都是等价变换，不改变不
等式的解集。
解一元一次不等式的实例分析
03
通过具体例子展示解一元一次不等式的详细步骤和注意事项。
一元一次不等式的应用举例
课程目标与要求
知识与技能
掌握不等式的定义、性质及基本 不等式，能够运用所学知识解决
相关问题。
过程与方法
通过探究、归纳、证明等方法， 培养学生的数学思维和解决问题
的能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和热爱， 认识到数学在解决实际问题中的 重要作用。同时，通过基本不等 式的学习，培养学生的严谨、细
排序不等式的概念与性质
性质 反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和。
当且仅当$a_i = b_i$（$i = 1, 2, ldots, n$）时，反序和等于顺序和。
切比雪夫不等式的概念与性质
概念：对于任意两个实数序列$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，若它们分别单调不 减和单调不增，则有$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_i cdot frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}b_i leq frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}a_ib_i$。
1 2
一元一次不等式在生活中的应用 例如比较两个数的大小、判断某个数是否满足某 个条件等。
一元一次不等式在数学中的应用 例如在解方程、求函数值域等问题中，经常需要 利用一元一次不等式进行求解。
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分析： 1.题目中的关键信息是什么？
答:速度v必须超过11.2公里/秒. 2.关键词是__超__过__，可以用__＞______符号表示.
答： v ＞ 11.2.
动脑筋
飞船返回地球时
（1）天气的能见度s不小于10公里，怎样表示s和10之间 的关系？
分析：关键词是_不__小__于_，可以用_≥_______符号表示.
符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“不大于”； 符号“≠”读作“不等于”.
小知识
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地，用 纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严 格不等式，用不小于号“≥” （大于或等于号）、不大 于号)“≤”（小于或等于号）连接的不等式称为非严格 不等式，或称广义不等式.
不相等的关系问题，如果是两个具体的数，我们可以直接比 较出大小关系，并表示出来.那么对于无法比较大小的式子，我 们又如何找出大小关系并表示呢？
例如，如果小明的身高为155cm，小聪的身高为xcm，且小 明比小聪矮，那我们又如何用不等号“>”或 “<”来表示它 们的高度之间的关系呢？
题目里面表示不等量关系的关键是什么？“矮”.“矮” 代表小明的身高小于小聪的身高.“小于”转化为符号则可 表示为x>155 或155<x.
动脑筋
1. 处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码， 左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g 的砝码之间具有怎样的关系？
分析：天平平衡时左右托盘所放物品质量相同.分别放入物体后向左倾斜则 代表左盘圆球的质量大于右盘砝码的质量，也就是xg大于50g，“大于”可以用 符号“>”来表示，则结果可以表示.
做一做
已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.小 华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元， 则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之 间的关系？
分析： 1.x支圆珠笔需要支付__1_.5_x_元， 10支签字笔需要支付_(_2_+_1_.5_)_x_1_0__元，
分析：抓住题目中的关键词，并会进行符号的转化.
（1）“非负数”可用__≥_0_表示； （2）“比-3小”，“小”可用_<___表示；
（3）“大于”可用__＞__表示.
练习
2.奥运射箭比赛，每一箭满分为10分. 某选手在参加比赛时， 前十箭中最低得分为7分，求该选手前十箭总得分x的范围.
分析： 1.该选手每一箭的得分范围是什么？ 答:最低得分为7分，最高得分为10分.
分析：关键词是不__超__过__，可以用___≤_____符号表示.
答：v ≤ 15.
动脑筋
（4）国家为了神舟六号和七号的发射付出了巨额费用， 但两次的费用是不相等的，神舟六号的具体费用是a亿人 民币，而神舟七号的费用高达19亿人民币，怎样表示a与 19之间的关系？
分析： 1.题目中的关键信息是什么？ 两次的费用是不相等的.
3.轿车行驶x（h）的路程不低于_6_0_x_（__k_m__），且不高于1_0_0_x_（__k_m__）___.
答：s≥60x，且s≤100x.
动脑筋
3.神舟飞船以7.5公里/秒的速度进入轨道，在轨道中以 7.9公里/秒的速度在地球上空飞行.若飞船要脱离地球的 引力，飞入太空，则它的速度v必须超过11.2公里/秒， 怎样表示v和11.2之间的关系？
做一做
判断下列式子是不是不等式？
(1)3＞2 (2)x＜2x+1
(3)3x2+2x (4)x=2x-5
(5)a+b≠c (1)(2)(5)是， (3)(4)不是.
关键：看是 否有不等号 连接.
说一说
你能列举生活中不等量关系吗？
注意不大于、不超过、至 多、不小于、不低于、至 少、正数等一些关键词的 应用.
答：x > 50.
动脑筋
2 .一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于 100km/h的高速公路上行驶， 如何用式子来表示轿车在该 高速公路上行驶的路程s（km）与行驶时间x（h）之间的关 系呢？
分析： 1.路程s（km）与行驶时间x（h）和速度的关系是什么？
答:路程=时间 x 速度. 2.轿车车速为60 km/h时行驶x（h）的路程为___6_0_x_（__k_m_），轿车车速为100 km/h时行驶x（h）的路程为_1_0_0_x_（__k_m__）.
2.该选手的最低总得分为_7___1_0__=_7_0_分，最高总得分为1_0___1_0__=_1_0__0_分.
本章内容 第4章
一元一次不等式(组)
本课节内容 4.1
不等式
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系．相等 的关系问题我们可以用等式（用“=”连接的式子）来表示， 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为155 cm，小聪的身高为156 cm，则 我们可以用不等号“>”或 “<”来表示它们的高度之间的关 系，如156>155 或155<156.
答：s ≥ 10.
（2）地面积雪的厚度h必须在0.5米以下，怎样表示h和 0.5之间的关系？
分析：
1.题目中的关键信息是什么？ 答:厚度h必须在0.5米以下.
2.关键词是___以__下_，可以用___＜_____符号表示.
答：h ＜ 0.5.
（3）300米以下的浅层风速v不超过15米/秒，怎样表示v 和15之间的关系？
共需要支付_1_.5_x_+__(_2_+_1_.5_)_x_1_0____元.
2.“付50元仍找回若干元”代表支付金额少于50元.
答：1.5x+(2+1.5) x 10<50.
练习
1.用不等式表示下列数量关系.
（1）a是非负数；
答： a ≥0；
（2）x比-3小；
答： x<-3；
（3）两数m与n的差大于5. 答： m-n>5.
2.关键词是___不__相__等__，可以用__≠______符号表示？
答：a ≠ 19.
探究
观察由上述问题得到的关系，它们有什么共同的特点？x > 50；源自s≥60x，且s≤100x；
v ＞ 11.2； v ≤ 15；
s ≥ 10； a ≠ 19.
h ＜ 0.5；
结论
把用不等号（>， ＜， ≥， ≤， ≠） 连接而成的式子叫作不等式（inequality）.
答:速度v必须超过11.2公里/秒. 2.关键词是__超__过__，可以用__＞______符号表示.
答： v ＞ 11.2.
动脑筋
飞船返回地球时
（1）天气的能见度s不小于10公里，怎样表示s和10之间 的关系？
分析：关键词是_不__小__于_，可以用_≥_______符号表示.
符号“≥”读作“大于或等于”，也可读作“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可读作“不大于”； 符号“≠”读作“不等于”.
小知识
不等式分为严格不等式与非严格不等式.一般地，用 纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严 格不等式，用不小于号“≥” （大于或等于号）、不大 于号)“≤”（小于或等于号）连接的不等式称为非严格 不等式，或称广义不等式.
不相等的关系问题，如果是两个具体的数，我们可以直接比 较出大小关系，并表示出来.那么对于无法比较大小的式子，我 们又如何找出大小关系并表示呢？
例如，如果小明的身高为155cm，小聪的身高为xcm，且小 明比小聪矮，那我们又如何用不等号“>”或 “<”来表示它 们的高度之间的关系呢？
题目里面表示不等量关系的关键是什么？“矮”.“矮” 代表小明的身高小于小聪的身高.“小于”转化为符号则可 表示为x>155 或155<x.
动脑筋
1. 处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码， 左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g 的砝码之间具有怎样的关系？
分析：天平平衡时左右托盘所放物品质量相同.分别放入物体后向左倾斜则 代表左盘圆球的质量大于右盘砝码的质量，也就是xg大于50g，“大于”可以用 符号“>”来表示，则结果可以表示.
做一做
已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2元.小 华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元， 则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之 间的关系？
分析： 1.x支圆珠笔需要支付__1_.5_x_元， 10支签字笔需要支付_(_2_+_1_.5_)_x_1_0__元，
分析：抓住题目中的关键词，并会进行符号的转化.
（1）“非负数”可用__≥_0_表示； （2）“比-3小”，“小”可用_<___表示；
（3）“大于”可用__＞__表示.
练习
2.奥运射箭比赛，每一箭满分为10分. 某选手在参加比赛时， 前十箭中最低得分为7分，求该选手前十箭总得分x的范围.
分析： 1.该选手每一箭的得分范围是什么？ 答:最低得分为7分，最高得分为10分.
分析：关键词是不__超__过__，可以用___≤_____符号表示.
答：v ≤ 15.
动脑筋
（4）国家为了神舟六号和七号的发射付出了巨额费用， 但两次的费用是不相等的，神舟六号的具体费用是a亿人 民币，而神舟七号的费用高达19亿人民币，怎样表示a与 19之间的关系？
分析： 1.题目中的关键信息是什么？ 两次的费用是不相等的.
3.轿车行驶x（h）的路程不低于_6_0_x_（__k_m__），且不高于1_0_0_x_（__k_m__）___.
答：s≥60x，且s≤100x.
动脑筋
3.神舟飞船以7.5公里/秒的速度进入轨道，在轨道中以 7.9公里/秒的速度在地球上空飞行.若飞船要脱离地球的 引力，飞入太空，则它的速度v必须超过11.2公里/秒， 怎样表示v和11.2之间的关系？
做一做
判断下列式子是不是不等式？
(1)3＞2 (2)x＜2x+1
(3)3x2+2x (4)x=2x-5
(5)a+b≠c (1)(2)(5)是， (3)(4)不是.
关键：看是 否有不等号 连接.
说一说
你能列举生活中不等量关系吗？
注意不大于、不超过、至 多、不小于、不低于、至 少、正数等一些关键词的 应用.
答：x > 50.
动脑筋
2 .一辆轿车在一条规定车速不低于60 km/h，且不高于 100km/h的高速公路上行驶， 如何用式子来表示轿车在该 高速公路上行驶的路程s（km）与行驶时间x（h）之间的关 系呢？
分析： 1.路程s（km）与行驶时间x（h）和速度的关系是什么？
答:路程=时间 x 速度. 2.轿车车速为60 km/h时行驶x（h）的路程为___6_0_x_（__k_m_），轿车车速为100 km/h时行驶x（h）的路程为_1_0_0_x_（__k_m__）.
2.该选手的最低总得分为_7___1_0__=_7_0_分，最高总得分为1_0___1_0__=_1_0__0_分.
本章内容 第4章
一元一次不等式(组)
本课节内容 4.1
不等式
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系．相等 的关系问题我们可以用等式（用“=”连接的式子）来表示， 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为155 cm，小聪的身高为156 cm，则 我们可以用不等号“>”或 “<”来表示它们的高度之间的关 系，如156>155 或155<156.
答：s ≥ 10.
（2）地面积雪的厚度h必须在0.5米以下，怎样表示h和 0.5之间的关系？
分析：
1.题目中的关键信息是什么？ 答:厚度h必须在0.5米以下.
2.关键词是___以__下_，可以用___＜_____符号表示.
答：h ＜ 0.5.
（3）300米以下的浅层风速v不超过15米/秒，怎样表示v 和15之间的关系？
共需要支付_1_.5_x_+__(_2_+_1_.5_)_x_1_0____元.
2.“付50元仍找回若干元”代表支付金额少于50元.
答：1.5x+(2+1.5) x 10<50.
练习
1.用不等式表示下列数量关系.
（1）a是非负数；
答： a ≥0；
（2）x比-3小；
答： x<-3；
（3）两数m与n的差大于5. 答： m-n>5.
2.关键词是___不__相__等__，可以用__≠______符号表示？
答：a ≠ 19.
探究
观察由上述问题得到的关系，它们有什么共同的特点？x > 50；源自s≥60x，且s≤100x；
v ＞ 11.2； v ≤ 15；
s ≥ 10； a ≠ 19.
h ＜ 0.5；
结论
把用不等号（>， ＜， ≥， ≤， ≠） 连接而成的式子叫作不等式（inequality）.