系统开环频率特征
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4.2开环频率特性
Bode Diagram 100 System: G Frequency (rad/sec): 0.0998 Magnitude (dB): 51.9
Magnitude (dB)
50 System: G 0 Frequency (rad/sec): 0.496 Magnitude (dB): 35.4 -50
绘制L(ω)例题
L((s)H(s) s(2s 1)(s / 30 1) 的L(ω)曲线
[-20]
40 20 0dB -20 -40 [-40] [-20] 10 20 ω 100
0.1 0.2
1
2
[-40]
40 低频段： 0.1 时为52db 0.5 时为38db S 转折频率：0.5 2 30 斜率： -20 +20 -20
K G ( s) (1 T1s )(1 T2 s )
Q( )
A( ) K
1
1 T12 2
1
1 T22 2
( ) arctanT1 arctanT2
例
设某I型系统的开环频率特性为 绘制开环幅相频率特性。
K (T1 T2 ) P ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 ) K (1 T1T2 2 ) Q ( ) (1 T12 2 )(1 T22 2 )
j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
K G ( j ) v ( j )
i 1 i
经过ωi后，斜率变化量为+20dB/dec。 经过ωk后，斜率变化量为+40dB/dec。 经过ωj后，斜率变化量为-20dB/dec。 经过ωl后，斜率变化量为-40dB/dec。
开环系统的频率特性绘制伯德图
开环系统的频率特性绘制伯德图 1 开环系统的伯德图绘制
设系统的开环传递函数由若干典型环节串联而成，则其对应的对 数幅频和相频特性分别为
L() 20lg G( j) 20lg G1( j) 20lg G2 ( j) 20lg Gn ( j) L1 () L2 () Ln () () G1( j) G2 ( j) Gn ( j)
i 1
k 1
n1
n2
20 log 20 log 1 Tp2 2 20 log (1 Tl 2 2 )2 (2 lTl)2
p 1
l 1
相频特性：()
m1
tg 1i
i 1
m2 k 2
2
n1
tg 1Tp
p1
n2 l 1
tg 1
2 lTl 1 Tl 2 2
8,4
1 0.05
20,
2、低频渐进线斜率为 20 40dB ，过（1，-60）点。
3、高频渐进线斜率为 ： 20 (n m) 60
4、画出波德图如下页：
2
1
2
(1,60)
3
红线为渐进线，兰线为实际曲线。
线性系统的频域分析法>>开环频率特性曲线的绘制
[例]具有延迟环节的开环频率特性为：Gk ( j) 波德图。
T2
，试
[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。
线性系统的频域分析法>>开环频率特性曲线的绘制
1
1
T1
T2
20 40 60 80
然后，在图上相加。
()
45
1
90
135
180
270
设系统的开环传递函数由若干典型环节串联而成，则其对应的对 数幅频和相频特性分别为
L() 20lg G( j) 20lg G1( j) 20lg G2 ( j) 20lg Gn ( j) L1 () L2 () Ln () () G1( j) G2 ( j) Gn ( j)
i 1
k 1
n1
n2
20 log 20 log 1 Tp2 2 20 log (1 Tl 2 2 )2 (2 lTl)2
p 1
l 1
相频特性：()
m1
tg 1i
i 1
m2 k 2
2
n1
tg 1Tp
p1
n2 l 1
tg 1
2 lTl 1 Tl 2 2
8,4
1 0.05
20,
2、低频渐进线斜率为 20 40dB ，过（1，-60）点。
3、高频渐进线斜率为 ： 20 (n m) 60
4、画出波德图如下页：
2
1
2
(1,60)
3
红线为渐进线，兰线为实际曲线。
线性系统的频域分析法>>开环频率特性曲线的绘制
[例]具有延迟环节的开环频率特性为：Gk ( j) 波德图。
T2
，试
[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环 节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。
线性系统的频域分析法>>开环频率特性曲线的绘制
1
1
T1
T2
20 40 60 80
然后，在图上相加。
()
45
1
90
135
180
270
5-5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
d [γ (ωc )]
ωc d( ) ω1
=
ωc 2 ωc 2 1+ ( ) 1+ ( ) ω1 nω1
1
1/ n
=0
ωc 2 ω 2 ωc ) =n 或 = = n 或 ωc = ω1ω2 ω1 ωc ω1 ωc = n 时,相位裕量有最大值. 选择 K 使 ω1 lg ω2 lg ωc = lg ωc lg ω1 即ωc 在对数频率特性中频段的几何中点,或中频段对称于ωc . 按上式确定穿越频率的系统(–2/–1/–2)为对称最佳系统.
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
1
5.5 系统瞬态特性与开环频率特性
1 开环对数频率特性的基本性质 2 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ξ 之间的关系
ωc = 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1ωn
ωc (ωc ) = arctan 2 2ξωn π
γ (ωc ) =
π
2
arctan
ωc 2ξωn = arctan ωc 2ξωn
2ξ
γ (ωc ) = arctan
2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
19
2 系统瞬态特性和开环频率特性
ω1
相角位移
ωc 2 1+ ( ) K ω1 K = KT1 A(ωc ) = 2 = 1 ωc = ωc 2 , ωc 1 + ( ) ω1 ω2
ωc
ω2
ω
ωc d( ) ω1
=
ωc 2 ωc 2 1+ ( ) 1+ ( ) ω1 nω1
1
1/ n
=0
ωc 2 ω 2 ωc ) =n 或 = = n 或 ωc = ω1ω2 ω1 ωc ω1 ωc = n 时,相位裕量有最大值. 选择 K 使 ω1 lg ω2 lg ωc = lg ωc lg ω1 即ωc 在对数频率特性中频段的几何中点,或中频段对称于ωc . 按上式确定穿越频率的系统(–2/–1/–2)为对称最佳系统.
第5章 频域分析法
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 频率特性及其表示法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性的绘制 用频率特性分析控制系统的稳定性 系统瞬态特性和开环频率特性的关系 闭环系统频率特性 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系
1
5.5 系统瞬态特性与开环频率特性
1 开环对数频率特性的基本性质 2 系统瞬态特性和开环频率特性的关系
ξ 之间的关系
ωc = 2ξ 2 + 4ξ 4 + 1ωn
ωc (ωc ) = arctan 2 2ξωn π
γ (ωc ) =
π
2
arctan
ωc 2ξωn = arctan ωc 2ξωn
2ξ
γ (ωc ) = arctan
2ξ 2 + 4ξ 4 + 1
19
2 系统瞬态特性和开环频率特性
ω1
相角位移
ωc 2 1+ ( ) K ω1 K = KT1 A(ωc ) = 2 = 1 ωc = ωc 2 , ωc 1 + ( ) ω1 ω2
ωc
ω2
ω
4.7 用系统开环频率特性分析闭环系统性能
2
相位裕量为
c
arctg
2 c
在高频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 小的程度与 2 的值有关。
c 由图可知，ω2不会小于 ωc，因此相位裕量不会小于45°。 ω2离ωc越远，相位裕量越大。
4.7.4 结论
结论
一个设计合理的系统，其开环对数幅频特性在低频段要满足稳态 精度的要求；中频段要根据动态过程的要求来确定其形状。
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常是指开环对数 幅频特性在第一个转折频率以前的区段。
中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率ωc附近的区 段。
高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段(ω>10ωc)，这部 分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.7.2 低频段
稳态位置误差系数KP、稳态速度误差系数Kv和稳态加速度 误差系数Ka，分别是0型系统、I型系统和Ⅱ型系统的开环 放大系数。
各频段的大致形状
中频段的斜率以-20dB/dec为宜。 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大，可以提高系
统的稳态性能；高频段斜率大，可以排除高频干扰，但中频段必 须有足够的带宽，以保证系统的相位裕量。中频段带宽越宽，相 位裕量越大。 中频段幅值穿越频率ωc的选择，取决于动态过程的速度要求。一 般来说，要求提高系统的响应速度，ωc应选大一些，但ωc过大又 会降低系统的抗干扰能力。
其幅值为
L lim 20lg G jH j 20lg KP
0
0
即低频渐进线是20lgKp分贝的水平线，如图所示。
此时，稳态位置误差系数KP= K0。
4.7.2 低频段
4.7.2 低频段
相位裕量为
c
arctg
2 c
在高频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 小的程度与 2 的值有关。
c 由图可知，ω2不会小于 ωc，因此相位裕量不会小于45°。 ω2离ωc越远，相位裕量越大。
4.7.4 结论
结论
一个设计合理的系统，其开环对数幅频特性在低频段要满足稳态 精度的要求；中频段要根据动态过程的要求来确定其形状。
低频段取决于开环增益和开环积分环节的数目，通常是指开环对数 幅频特性在第一个转折频率以前的区段。
中频段是指开环幅频特性曲线在幅值穿越频率ωc附近的区 段。
高频段是指开环幅频特性曲线在中频段以后的区段(ω>10ωc)，这部 分特性是由开环传递函数小时间常数环节决定的。
4.7.2 低频段
稳态位置误差系数KP、稳态速度误差系数Kv和稳态加速度 误差系数Ka，分别是0型系统、I型系统和Ⅱ型系统的开环 放大系数。
各频段的大致形状
中频段的斜率以-20dB/dec为宜。 低频段和高频段可以有更大的斜率。低频段斜率大，可以提高系
统的稳态性能；高频段斜率大，可以排除高频干扰，但中频段必 须有足够的带宽，以保证系统的相位裕量。中频段带宽越宽，相 位裕量越大。 中频段幅值穿越频率ωc的选择，取决于动态过程的速度要求。一 般来说，要求提高系统的响应速度，ωc应选大一些，但ωc过大又 会降低系统的抗干扰能力。
其幅值为
L lim 20lg G jH j 20lg KP
0
0
即低频渐进线是20lgKp分贝的水平线，如图所示。
此时，稳态位置误差系数KP= K0。
4.7.2 低频段
4.7.2 低频段
自动控制原理5.3 系统开环频率特性
20 lg K的
[20 ]的 斜
率线。
20lgK
0
[ 20 ]
1
§5-3 系统开环频率特性
j
lim b0 sm a0 sn
s j
lim b0 a0 snm
s j
lim
b0 a0 nm
[(n
m)
2
]
0[(n m) ] 2
j
0
以确定Байду номын сангаас角度 收敛于原点
§5-3 系统开环频率特性
3. 确定幅相曲线与实轴的交点：
令Im[Gk ( j)] 0，求得，代入Re[Gk ( j)]中即可
s 20lgK为水平线。所以此时
L() 20lg K 20lg 20lg K 20 lg
顺序斜率迭加法（续）
§5-3 系统开环频率特性
当 1时，L() 20lg K，而 20 lg为 1处
过0db的[20 ]的斜率线。
因此低频起
始段为在
1处过
(n
m)
1、 0的起始段：
lim
0
G
j
lim
0
(
K
j
)
K
lim
0
(
)
2
υ =2
j
υ =3
K 0
υ =0
起始段只取决于和K。
不同，起始段的差异很大。
υ =1
§5-3 系统开环频率特性
开环幅相频率特性的绘制（续）
2、 的终止段：
lim G
得到曲线与实轴的交点。
[20 ]的 斜
率线。
20lgK
0
[ 20 ]
1
§5-3 系统开环频率特性
j
lim b0 sm a0 sn
s j
lim b0 a0 snm
s j
lim
b0 a0 nm
[(n
m)
2
]
0[(n m) ] 2
j
0
以确定Байду номын сангаас角度 收敛于原点
§5-3 系统开环频率特性
3. 确定幅相曲线与实轴的交点：
令Im[Gk ( j)] 0，求得，代入Re[Gk ( j)]中即可
s 20lgK为水平线。所以此时
L() 20lg K 20lg 20lg K 20 lg
顺序斜率迭加法（续）
§5-3 系统开环频率特性
当 1时，L() 20lg K，而 20 lg为 1处
过0db的[20 ]的斜率线。
因此低频起
始段为在
1处过
(n
m)
1、 0的起始段：
lim
0
G
j
lim
0
(
K
j
)
K
lim
0
(
)
2
υ =2
j
υ =3
K 0
υ =0
起始段只取决于和K。
不同，起始段的差异很大。
υ =1
§5-3 系统开环频率特性
开环幅相频率特性的绘制（续）
2、 的终止段：
lim G
得到曲线与实轴的交点。
5-2(2) 开环系统的频率特性
分子分母同乘以 1
•
K [(an 1bm1 2 1) (bm1 an 1 )( j )] 2 [a n2 1 2 1] 2型系统， 2
K (an 1bm1 2 1) U ( ) 2 (an2 1 2 1)
1
2
1
3
2
所以，开环频率特性为：
G ( j ) A( ) e j ( ) G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j )
A1 ( ) A2 ( ) A3 ( ) e j ( ) ( ) ( )
1 2 3
开环幅频特性 开环相频特性
第五章 线性系统的频域分析法
第二节 典型环节与开环系统的 频率特性
5-2-2 开环系统频率特性的绘制
项目 内 容
教 学 目 的 数坐标图的绘制方法。
掌握控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对
教 学 重 点 标图的绘制。
控制系统的概略极坐标图和渐近线形式的对数坐
教 学 难 点 渐近线形式的对数坐标图幅频特性的绘制。
i 1
n
对数幅频特性和相频特性都符合叠加原则。
K 例题2：设系统的开环传递函数 G( s) H ( s) sT1 s 1T2 s 1
（T1 ＞T2 ＞ 0，K ＞ 0），试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解： 因为系统的开环频率特性为：G( j ) 1）对数幅频特性
K j ( jT1 1)( jT2 1)
0
lim G ( j ) K0
lim G ( j ) 0 180
曲线与坐标轴的交点
可由G（jω）=0分别求得曲线与实轴或虚轴的交点:（也可能不存在 交点，而有渐近线的情形，如本例和P201例5的情况）
5.3开环系统频率特性的绘制详解
2 2 i 1 k 1 m1 m2
20 lg 20 lg 1 Tp 2 20 lg (1 Tl 2 ) 2 (2 lTl ) 2
2 2 p 1 l 1
n1
n2
2 k k 相频特性： ( ) tg i tg 2 2 1 k i 1 k 1
0.2 3.85 -5.77
1 5
0
5 6
0.8 -0.79 -1.72
0 0
( ) tg 1 tg 15 相角：
0 ( ) 0
0.2 -56.31
1 5
0.8
-114.62
-180
-90
用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。
Thursday, October 11, 2018
1 1 1 4, 2 2,20lg k 20dB 则， T1 T2
2、低频渐进线：斜率为 20 0dB，过点（1，20）
3、波德图如下：
A( )
20
40
4 60
1
2
10
lg
Thursday, October 11, 2018
16
40 60
2
4
3
k (1 jT1 )(1 jT2 ) 试列出实频和虚频特性的表达式。当 k 1, T1 1, T2 5 绘制奈氏 G( j ) [例5-1]设开环系统的频率特性为：
图。
k (1 jT1 )(1 jT2 ) k (1 T1T2 2 ) 解：G( j ) 2 2 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T1 2 )(1 T2 2 ) k (T1 T2 ) j P( ) jQ( ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 )
20 lg 20 lg 1 Tp 2 20 lg (1 Tl 2 ) 2 (2 lTl ) 2
2 2 p 1 l 1
n1
n2
2 k k 相频特性： ( ) tg i tg 2 2 1 k i 1 k 1
0.2 3.85 -5.77
1 5
0
5 6
0.8 -0.79 -1.72
0 0
( ) tg 1 tg 15 相角：
0 ( ) 0
0.2 -56.31
1 5
0.8
-114.62
-180
-90
用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。
Thursday, October 11, 2018
1 1 1 4, 2 2,20lg k 20dB 则， T1 T2
2、低频渐进线：斜率为 20 0dB，过点（1，20）
3、波德图如下：
A( )
20
40
4 60
1
2
10
lg
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16
40 60
2
4
3
k (1 jT1 )(1 jT2 ) 试列出实频和虚频特性的表达式。当 k 1, T1 1, T2 5 绘制奈氏 G( j ) [例5-1]设开环系统的频率特性为：
图。
k (1 jT1 )(1 jT2 ) k (1 T1T2 2 ) 解：G( j ) 2 2 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 ) (1 T1 2 )(1 T2 2 ) k (T1 T2 ) j P( ) jQ( ) 2 2 2 2 (1 T1 )(1 T2 )
典型环节与系统频率特性
2．积分环节
<1>
G(s)= s1
A(ω )=ω1
G(ωj
)=
1 jω
φ (ω )=-90o
奈氏图
∞
Im 0
Re
<2> 伯德图 对数幅频特性：
ω=0 L(ω ) dB
20 -20dB/dec
L(ω )=20lgA(ω )=-20lgω
0 0.1 -20
1
10 ω
ω=1 L(ω )=-20lg1=0dB φ (ω )
节串联而成的：
幅频特性:
开积环分G(增环s)益节= sKυΠjΠ=ni=1υ-m1((τTjiss++11))系n时>统间m的常A阶数(ω次)=ωKυΠjΠi1=n=m-υ1
1+(ωτ i )2 1+(ω Tj )2
的个数
相频特性:
φ
(ω )=υ- 90o+
∑m tg-ω1 τ
i =1
i
∑nυ- tg-ω1
Im
1 0
L(ω ) dB
20 0
φ (ω )
0 -100 -200 -300
ω=0 Re
ω ω
第二节 典型环节与系统的频率特性
8．非最小相位环节
最小相位环节: 开环传递函数中没有s右半平面上
的极点和零点. 非最小相位环节:
开环传递函数中含有s右半平面上 的极点或零点.
最小相位环节对数幅频特性与对数相 频特性之间存在着唯一的对应关系.对非最 小相位环节来说,不存在这种关系.
第五章 频率特性法
第二节 典型环节与系统频率特性
频率特性法是一种图解分析法,它 是通过系统的频率特性来分析系统的性 能,因而可避免繁杂的求解运算.与其他 方法比较,它具有一些明显的优点.
频率特性法的最大特点是根据系统的开环系统频率特性曲线分
ω
=0o
第二节 典型环节与系统的频率特性
2．积分环节
传递函数和频率特性 1 G(jω)= 1 G(s)= jω S
幅频特性和相频特性 1 A(ω)= ω φ(ω)=-90o (1) 奈氏图
积分环节奈氏图
Im
∞
0
Re
ω=0
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图
对数幅频特性：
L(ω)=20lgA(ω) =-20lgω 对数相频特性：
0
1
Re
φ(ω)=tg-1ωT
注：G(j)实部恒为1
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图 一阶微分环节的伯德图 一阶微分环节的频率特性与惯性环节 L(ω)/dB 成反比 , 所以它们的伯德图对称于横轴 . 精确曲线
1 G(jω)= G(jω)=1+j -20 ωT 渐近线 1+jωT φ(ω) 对数幅频特性：
4．惯性环节
惯性环节的奈氏图
Im (1) 奈氏图 传递函数和频率特性 ω ∞ 0 ω=0 取特殊点： 绘制奈氏图近似方法: -45 Re 1 ω=0 A(ω)=1 1 根据幅频特性和相频特性求出特殊 G(s)= 1 ω= T A(ω)=0.707 Ts+1 G(j ω )= o φ (ω)=0 o j.ωT+1 点,然后将它们平滑连接起来 ω= 1 φ (ω)=-45 T ω=∞幅频特性和相频特性 A(ω)=0 可以证明： φ(ω)=-90o 1 惯性环节的奈氏图是以 (1/2,jo) -1 A(ω)= φ ( ω )=-tg ωT 2 1+( ωT ) 为圆心，以1/2为半径的半圆。
0dB
=0.8 =0.6
=0.4 =0.2
(完整版)系统开环频率特性
5-2 系统开环频率特性若系统开环传递函数由典型环节串联而成，即)()()()()(21s G s G s G s H s G n开环频率特性为)()()()()(21 j G j G j G j H j G n12()()()12()()()n j j j n G j e G j e G j e K ni j i n i i ej G 1)(1)( 可见，系统开环幅频特性为nj i j G j H j G 1)()()(开环相频特性为ni i j H j G 1)()()()(而系统开环对数幅频特性为n i i n i i j G j G j H j G L 11)(lg 20)(lg 20)()(lg 20)(由此可见，系统开环对数幅频特性等于各串联环节的对数幅频特性之和；系统开环相频特性等于各环节相频特性之和。
综上所述，应用对数频率特性，可使幅值乘、除的运算转化为幅值加、减的运算，且典型环节的对数幅频又可用渐近线来近似，对数相频特性曲线又具有奇对称性质，再考虑到曲线的平移和互为镜象特点，这样，一个系统的开环对数频率特性曲线是比较容易绘制的。
【例5-1】已知系统开环传递函数为)1)(10(100)( s s s s G 试绘制该系统的开环对数频率特性曲线。
解 (1) 首先将系统开环传递函数写成典型环节串联的形式，即)1)(11.0(100)(s s s s G 可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成：放大环节：10)(1 s G积分环节：s s G 1)(2惯性环节：)1(1)(3 s s G 和)11.0(1)(4 s s G(2) 分别作出各典型环节的对数幅频、相频特性曲线，如图5-19所示。
为了图形清晰，有时略去直线斜率单位。
(3) 分别将各典型环节的对数幅频、相频特性曲线相加，即得系统开环对数幅频、相频特性曲线，如图5-19中实线所示。
由系统开环对数幅频特性曲线可以看出，系统开环对数频率特性渐近线由三段直线组成，其斜率分别为20 、40 、60 dB/dec ，直线与直线之间的交点频率按 增加的顺序分别为两个惯性环节的交接频率1、10。
孙炳达版 《自动控制原理》第5章 控制系统的频率特性分析法-4
渐近线
5.4 系统开环频率特性绘制
相频特性表达式为
ω
φ(ω)/° -40
-80 -120 -160 -200 -240
arctan 0.25 arctan
5.4 系统开环频率特性绘制
对渐近线进行误差修正 在振荡环节转折处，ζ=0.4/(2*0.5)=0.4， 修正值+6dB； 在惯性环节转折处，修正值-3dB。
40
L(ω)/dB
精确曲线
20dB 1
+6dB
20
0 -20 -40
-40dB/dec ω1=2 ω2=4
振荡
-3dB
10
惯性
ω /s-1
-60dB/dec
1 2 3
5.4 系统开环频率特性绘制
一、极坐标图 方法一： 根据不同的ω值，计算出相应的P(ω)和Q(ω)或A(ω) 和φ (ω) ，并在直角坐标平面上描出相应的点，然 后用光滑线段连接各点。 方法二：利用典型环节的频率特性，步骤为 (1)分别计算出各典型环节的幅频特性和相频特性； (2)各典型环节的幅频特性相乘得到系统的幅频特性， 各典型环节的相频特性相加得到系统的相频特性。 (3)给出不同的ω值，计算出相应的A(ω)和φ (ω)，描点 连线。
5.4 系统开环频率特性绘制
起点 G(0) 15 j 零虚频特性为0，解得 1 / 2 将此代入实频特性，求 得与实轴交点为-3.33。
终点
G() 0 j 0
根据幅相频率特性曲线的起 点、与实轴交点及终点，幅 相频率特性曲线如图所示。
5.4 系统开环频率特性绘制
10 例 设系统的频率特性为 Gk ( j ) j ( j 0.2 1)( j 0.05 1)
系统开环频率特性和系统性能的关系
GK (s)
K s
1. 低频段与稳态精度
L() 20lg GK ( j)20lg NhomakorabeaK
20lg K 20 lg
对应低频段开环对数频率特性曲线：
放大系数K与低频段高
度的关系：
20 lg K 20 lg 0 K
1. 低频段与稳态精度
2) 低频段特性与稳态精度 系统稳态精度， 即稳态误差ess的大小， 取决 于系统的放大系数K(开环增益)和系统的型别 (积分个数ν)。 积分个数ν决定着低频渐近线的 斜率； 放大系数K决定着渐近线的高度。 0型系统: ν=0时, L(ω)=20 lgK。
L() / dB
低 频段
中 频段
高 频段
－ 20 dB / dec
0
c
/ (rad/ s)
1. 低频段与稳态精度
1) 低频段特性曲线 在对数频率特性图中， 低频段通常是指L(ω)曲 线在第一个转折频率以前的区段。 此段的特性 由开环传递函数中的积分环节和开环放大系数决 定。 设低频段对应的开环传递函数为
GK (s)
K s2
c2
s2
其闭环传递函数为
GB
(s)
1
GK (s) GK (s)
1
(c / (c
s)2 / s)2
c2 s2 c2
2. 中频段与动态性能
结论：中频段斜率小于-40 dB/dec时，闭环系 统难以稳定。因此，通常中频段斜率取-20 dB/dec，可以获得较好的稳定性，依靠提高穿
2. 中频段与动态性能
2) 中频段特性与系统的动态性能
系统开环中频段的频域指标ωc和γ反映了闭环 系统动态响应的稳定性σ和快速性ts。 由开环 中频段特性可分析对系统动态性能的影响。
系统开环频率特性的绘制
5.3 系统开环频率特性的绘制对自动控制系统进行频域分析时，通常是根据开环系统的频率特性来判断闭环系统的稳定性和 估算闭环系统时域响应的各项性能指标，或者根据开环系统的频率特性绘制闭环系统的频率特性， 然后再分析及估算时域性能指标。
因此，掌握开环系统的频率特性曲线的绘制和特点是十分重要的。
5.3.1 开环幅相曲线的绘制开环系统的幅相频率特性曲线简称为开环幅相曲线。
准确的开环幅相曲线可以根据系统的开环 幅频特性和相频特性的表达式，用解析计算法绘制。
显然，这种方法比较麻烦。
在一般情况下，只 需要绘制概略开环幅相曲线，概略开环幅相曲线的绘制方法比较简单，但是概略曲线应保持准确曲 线的重要特征，并且在要研究的点附近有足够的准确性。
下面首先介绍幅相频率特性曲线的一般规律与特点， 然后举例说明概略绘制开环幅相曲线的方 法。
设系统开环传递函数的一般形式为式中，K 为开环增益；v 为系统中积分环节的个数。
则系统的开环频率特性为mK (j i 1)G(j )H(j ) 七(5-50)(j )v (j T j 1)j 11.开环幅相曲线的起点 在低频段当0时，由式(5-50)可得由式(5-51)可知，当0时，开环幅相曲线的起点取决于开环传递函数中积分环节的个数v 和开环增益K ，参见图5-23 (a )。
0型(v =0)系统，开环幅相曲线起始于实轴上的 (K, j0)点。
1型(v =1)系统，开环幅相曲线起始于相角为90的无穷远处。
当于与虚轴的平行的直线，其横坐标G(s)H(s)K ( i S 1)i 1 n vs v(T j S 1)j 1(n m)(5-49)lim 0G(j )H(j ))vlimeJ( v90)(5-51)0时，曲线渐近图5-23不同类型系统的幅相频率特性即开环幅相曲线以(n m) 90方向终止于坐标原点，如图5-23 (b )所示。
3.开环幅相曲线与实轴的交点 开环幅相曲线与实轴的交点频率X 可由下式求出，即令式(5-50)的虚部为零Im G(j )H(j )(5-54)将求出的交点频率x 代入式(5-50)的实部，即ReG( j x )H (j x )(5-55)由式(5-55)可计算出开环幅相曲线与实轴的交点坐标值。
4.7 用系统开环频率特性分析闭环系统性能
对于最小相位系统，对数幅频特性和对数相频特性是一一对应的。
开环对数频率特性的低频段、中频段、高频段分别表征了 系统的稳定性、动态特性和抗干扰能力。
4.7.1 概述
开环对数频率特性的低频段、中频段、高频段的划分并没 有严格的界限，但它反映了对控制系统性能影响的主要方 面，为进一步确定开环频域指标与闭环系统性能之间的关
4.7.2 低频段
4.7.2 低频段
静态速度误差系数Kv
对于Ⅰ型系统，其对数幅频特性曲线在低频段是一条 斜率为-20分贝的线段，如图所示。
4.7.2 低频段
当ω=1时，其幅值为
L 20 lg Kv 20 lg K v j 1
即速度误差系数Kv与对数幅频特性曲线低频段（或其 延长线）在ω=1时对应的幅值相等。
其开环频率特性为
K G j H j j 1 jT2
4.7.3 中频段
相频特性为 90 arctg 相位裕量为 c arctg 2 c 在高频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 小的程度与 2 的值有关。 c 由图可知，ω2不会小于 ωc，因此相位裕量不会小于45°。
其开环频率特性为
K 1 jT1 G j H j j 2
4.7.3 中频段
相频特性为 180 arctg 相位裕量为 c arctg c 1 在低频段有更大的斜率时，系统的稳定裕量将减小，其减 c c 小的程度与 的值有关，ωc离ω1越远影响越小。当 1 2 1 时，相位裕量由90°减小到63.6°。
中频段幅值穿越频率ωc的选择，取决于动态过程的速度要求。一
般来说，要求提高系统的响应速度，ωc应选大一些，但ωc过大又 会降低系统的抗干扰能力。
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式中：A(ω)=A1(ω)·A2(ω)…… An(ω) φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω)+φn(ω)
开环频率特性的计算，可利用“幅值相乘、相角 相加” 原则计算或直接计算G(jω)的实部和虚部。
绘制概略曲线
G(
j )
(
K(
j )
j 1 1)( j 2 1) ( ( jT1 1)( jT2 1)
j m 1) ( jTn 1)
nm
Im
0
2型系统 1型系统
0
0
0型系统 0
1、起始段(低频段)
Re
lim G(
0
j )
lim
0
K
90
ν=0：点(K，j0)。位于正 实轴上的有限值。
ν=1：无穷远处与虚轴平 行的渐进线。
渐进线与实轴交点的坐标： Vx
lim
0
Re[G(
j)终止段(高频段)
0
低频渐进线与实轴交点的坐标：
Vx
lim
0
Re[G(
j)]
KT
-KT
0
Nyquist Diagram
-1
-2
Imaginary Axis
-3
-4
-5
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-27
K 极坐标图
j(1 jT )
图5-25 幅相曲线
G(s)
K (T1s 1)2
(T2s 1)(T3s 1)(T4s 1)
i1
i1
开环对数幅频特性
n
n
L() 20lg A() 20lg Ai () Li ()
i1
i1
n
开环对数相频特性 () G( j) i () i1
绘制法则：对数幅频特性相加；对数相频特性相加。
例 已知开环传递函数
K
G(s) s(T1s 1)(T2s 1)
(K 1,T2 T1 1)
试绘制其开环对数频率特性。
解：开环传递函数由一个比例环节、一个 积分环节和两个惯性环节构成。
(1)比例环节 (2)积分环节 (3)惯性环节(时间常数T1) (4)惯性环节(时间常数T2)
G(s)
10
s(0.2s 1)(0.02s 1)
(3) (2)
(1) (4)
开环系统伯德图的绘制步骤如下：
1、将开环传递函数写成各环节串联的时间常数标准形， 以便正确确定开环增益。
当n>m时，开环幅相曲线将沿着-(n-m)×90°方向终 止于坐标原点。并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
lim G( j) lim 0 (n m)90
当n=m时，开环幅相曲
线将终止于实轴。
nm2
m
K j
lim G( j)
j 1 n
Ti
i1
Im nm3
Re 0
n m 1
3、与负实轴的交点
图5-29(b) 幅相曲线
G(s)
K1
(s a)(s 1)
(a=2、K1=2)
() tan1( / a) 180 tan1
二、开环对数频率特性的绘制
开环传递函数
n
G(s) G1(s)G2(s) Gn (s) Gi (s)
开环频率特性为
i1
n
n
n
ji ( )
G( j) Gi ( j) Ai ()e i1
根据频率特性的虚部等于零求交点频率，由实部求 交点幅值。即
Im[G(jω)]=0
求交点频率
Re[G(jω)]
求交点坐标
4、零点的影响
无零点时，当ω=0→∞连续变化，开环频率特性的幅 值通常是连续衰减的，相位连续滞后，开环幅相曲线是 一条连续的平滑曲线。有零点时，由于相位的增减，开 环幅相曲线会出现凹凸形状变化。
G(s) 0.5s 1 0.2s 1
() tan1 0.2 tan1 0.5 图5-30 幅相曲线
图5-29(a) 幅相曲线
G(s)
(s
100(s b)2 1)(s2 s
a)
(a=5、b=3)
() tan1 360 tan1( /(a 2 )) 2 tan1( / b)
图5-26 幅相曲线
非最小相位系统
若开环传递函数中含有不稳定内回路、 局部正反馈或其它非最小相位环节时，则应 注意非最小相位环节对相位的影响。当频率 特性较复杂时，可将解析计算作图法与概略 作图法相结合进行。
G(s) 0.5s 1 0.2s 1
() 180 tan1 0.2 tan1 0.5
() tan1T2 tan1T3 tan1T4 2 tan1T1
ω：0→∞ A(ω)：K→0 φ(ω)：0°→ -90°
图5-26 幅相曲线
G(s)
K (s 1)
s2 (Ts 1)
() 180 tan1 T tan1
ω：0→∞ A(ω)：∞→0 φ(ω)：-180°→ -180°
2、确定各环节的转折频率，并由小到大依次标在频率轴上。
3、绘制开环对数幅频曲线渐近线的起始段。
lim G( j)
0
lim
0
K
90
L(
)
20
lg
K
20lg K 20lg
低频段的斜率为-20νdB/dec。
在ω=1处，L(ω)=20lgK。
➢起始段与0dB线交点频率为 0 K
ν=1 ν=2 L(ω)(dB)
➢低频段的斜率为-20νdB/dec。 ➢在ω=1处，L(ω)=20lgK。 ν= ➢起始段与0dB线交点频率为 020lgK
0 K
ω=1
例5-1 考虑下列二阶开环传递函数：G(s) K s(Ts 1)
试画出这个传递函数的极坐标图。
解： 开环频率特性 G( j)
K
j(1 jT )
G( j)
K
j(1 jT )
KT
1 (T )2
K
j (1 (T )2 )
K
(90 tan1 T )
1 (T )2
lim G( j) 90 lim G( j) 0 180
5.3 系统开环频率特性 系统开环频率特性主要用于判断闭环系统的稳定 性，所以只需要确定几个关键点的准确位置和绘制图 形的大致形状。
一、开环幅相频率特性曲线(简称开环幅相曲线)
解析计算作图 系统开环传递函数常写成各环节串联组成的形式
G(jω)= G1(jω)·G2(jω)·G3(jω) …… Gn(jω) = A(ω)ejφ(ω=) X(ω)+jY(ω)
G(s)
4(6s 1)2
(10s 1)(8s 1)(0.5s 1)
G(s)
4(2s 1)2
(20s 1)(5s 1)(0.5s 1)
图5-25 幅相曲线
G(s)
4(2s 1)2
(20s 1)(5s 1)(s 1)
图5-25 幅相曲线
G(s)
2(5s s2 (s
1) 1)
G(s)
2(s 1) s2 (5s 1)
开环频率特性的计算，可利用“幅值相乘、相角 相加” 原则计算或直接计算G(jω)的实部和虚部。
绘制概略曲线
G(
j )
(
K(
j )
j 1 1)( j 2 1) ( ( jT1 1)( jT2 1)
j m 1) ( jTn 1)
nm
Im
0
2型系统 1型系统
0
0
0型系统 0
1、起始段(低频段)
Re
lim G(
0
j )
lim
0
K
90
ν=0：点(K，j0)。位于正 实轴上的有限值。
ν=1：无穷远处与虚轴平 行的渐进线。
渐进线与实轴交点的坐标： Vx
lim
0
Re[G(
j)终止段(高频段)
0
低频渐进线与实轴交点的坐标：
Vx
lim
0
Re[G(
j)]
KT
-KT
0
Nyquist Diagram
-1
-2
Imaginary Axis
-3
-4
-5
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-27
K 极坐标图
j(1 jT )
图5-25 幅相曲线
G(s)
K (T1s 1)2
(T2s 1)(T3s 1)(T4s 1)
i1
i1
开环对数幅频特性
n
n
L() 20lg A() 20lg Ai () Li ()
i1
i1
n
开环对数相频特性 () G( j) i () i1
绘制法则：对数幅频特性相加；对数相频特性相加。
例 已知开环传递函数
K
G(s) s(T1s 1)(T2s 1)
(K 1,T2 T1 1)
试绘制其开环对数频率特性。
解：开环传递函数由一个比例环节、一个 积分环节和两个惯性环节构成。
(1)比例环节 (2)积分环节 (3)惯性环节(时间常数T1) (4)惯性环节(时间常数T2)
G(s)
10
s(0.2s 1)(0.02s 1)
(3) (2)
(1) (4)
开环系统伯德图的绘制步骤如下：
1、将开环传递函数写成各环节串联的时间常数标准形， 以便正确确定开环增益。
当n>m时，开环幅相曲线将沿着-(n-m)×90°方向终 止于坐标原点。并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
lim G( j) lim 0 (n m)90
当n=m时，开环幅相曲
线将终止于实轴。
nm2
m
K j
lim G( j)
j 1 n
Ti
i1
Im nm3
Re 0
n m 1
3、与负实轴的交点
图5-29(b) 幅相曲线
G(s)
K1
(s a)(s 1)
(a=2、K1=2)
() tan1( / a) 180 tan1
二、开环对数频率特性的绘制
开环传递函数
n
G(s) G1(s)G2(s) Gn (s) Gi (s)
开环频率特性为
i1
n
n
n
ji ( )
G( j) Gi ( j) Ai ()e i1
根据频率特性的虚部等于零求交点频率，由实部求 交点幅值。即
Im[G(jω)]=0
求交点频率
Re[G(jω)]
求交点坐标
4、零点的影响
无零点时，当ω=0→∞连续变化，开环频率特性的幅 值通常是连续衰减的，相位连续滞后，开环幅相曲线是 一条连续的平滑曲线。有零点时，由于相位的增减，开 环幅相曲线会出现凹凸形状变化。
G(s) 0.5s 1 0.2s 1
() tan1 0.2 tan1 0.5 图5-30 幅相曲线
图5-29(a) 幅相曲线
G(s)
(s
100(s b)2 1)(s2 s
a)
(a=5、b=3)
() tan1 360 tan1( /(a 2 )) 2 tan1( / b)
图5-26 幅相曲线
非最小相位系统
若开环传递函数中含有不稳定内回路、 局部正反馈或其它非最小相位环节时，则应 注意非最小相位环节对相位的影响。当频率 特性较复杂时，可将解析计算作图法与概略 作图法相结合进行。
G(s) 0.5s 1 0.2s 1
() 180 tan1 0.2 tan1 0.5
() tan1T2 tan1T3 tan1T4 2 tan1T1
ω：0→∞ A(ω)：K→0 φ(ω)：0°→ -90°
图5-26 幅相曲线
G(s)
K (s 1)
s2 (Ts 1)
() 180 tan1 T tan1
ω：0→∞ A(ω)：∞→0 φ(ω)：-180°→ -180°
2、确定各环节的转折频率，并由小到大依次标在频率轴上。
3、绘制开环对数幅频曲线渐近线的起始段。
lim G( j)
0
lim
0
K
90
L(
)
20
lg
K
20lg K 20lg
低频段的斜率为-20νdB/dec。
在ω=1处，L(ω)=20lgK。
➢起始段与0dB线交点频率为 0 K
ν=1 ν=2 L(ω)(dB)
➢低频段的斜率为-20νdB/dec。 ➢在ω=1处，L(ω)=20lgK。 ν= ➢起始段与0dB线交点频率为 020lgK
0 K
ω=1
例5-1 考虑下列二阶开环传递函数：G(s) K s(Ts 1)
试画出这个传递函数的极坐标图。
解： 开环频率特性 G( j)
K
j(1 jT )
G( j)
K
j(1 jT )
KT
1 (T )2
K
j (1 (T )2 )
K
(90 tan1 T )
1 (T )2
lim G( j) 90 lim G( j) 0 180
5.3 系统开环频率特性 系统开环频率特性主要用于判断闭环系统的稳定 性，所以只需要确定几个关键点的准确位置和绘制图 形的大致形状。
一、开环幅相频率特性曲线(简称开环幅相曲线)
解析计算作图 系统开环传递函数常写成各环节串联组成的形式
G(jω)= G1(jω)·G2(jω)·G3(jω) …… Gn(jω) = A(ω)ejφ(ω=) X(ω)+jY(ω)
G(s)
4(6s 1)2
(10s 1)(8s 1)(0.5s 1)
G(s)
4(2s 1)2
(20s 1)(5s 1)(0.5s 1)
图5-25 幅相曲线
G(s)
4(2s 1)2
(20s 1)(5s 1)(s 1)
图5-25 幅相曲线
G(s)
2(5s s2 (s
1) 1)
G(s)
2(s 1) s2 (5s 1)