三角形相似性质重心(1)

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相似三角形的重心与外心

相似三角形的重心与外心相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

在这篇文章中，我们要探讨相似三角形的重心与外心的特性和性质。

一、相似三角形的重心相似三角形的重心是指相似三角形中所有三角形重心的连线所交于一点。

在相似三角形ABC和DEF中，假设重心分别为G和O。

那么我们可以推导出以下结论：1. 重心G和重心O对应的边分为一比分，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

2. 重心G和重心O之间的距离为原始三角形重心间距的相似比例的平方根，即GO^2=3G^2。

3. 重心G和重心O之间的连线分别平行于相应三角形的边。

二、相似三角形的外心相似三角形的外心是指相似三角形外接圆的圆心。

在相似三角形ABC和DEF中，外心分别为O和O'。

那么我们可以推导出以下结论：1. 外接圆的半径（即外心到三角形顶点的距离）在相似三角形中保持不变。

2. 外心O与原始三角形的三个顶点A、B、C的连线构成的角度相等。

3. 外心O与原始三角形的三个顶点A、B、C之间的连线相互垂直。

4. 外心O位于原始三角形的外接圆上。

5. 对于相似三角形，它们的外心处于相应顶点连线的垂直平分线上。

三、重心与外心的特殊情况在某些特殊情况下，重心和外心的位置有一些特殊的性质。

以下是其中两种情况的描述：1. 等边三角形：在等边三角形中，重心和外心重合于一个点，且位于等边三角形内部的正中心。

2. 直角三角形：在直角三角形中，重心位于斜边上与直角相对的那个点，而外心则位于斜边的中点。

结论通过以上的论述，我们可以得出以下几个结论：1. 对于相似三角形，它们的重心和外心的位置是有一定规律可循的。

2. 重心和外心的位置会受到三角形的形状和尺寸的影响。

3. 重心和外心在解决几何问题中有着重要的应用，可以帮助我们推导出更多有关相似三角形的性质和定理。

总结相似三角形的重心和外心是相似三角形中重要的几何点，它们的位置和性质对于理解和应用相似三角形有着重要的意义。

相似三角形的重心垂心和外心的性质

相似三角形的重心垂心和外心的性质相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。

在本文中，我们将探讨相似三角形的重心、垂心和外心的性质。

1. 重心：相似三角形的重心是三条中线的交点，记为G。

中线是连接三角形的顶点与对边中点的线段。

重心具有以下性质：(1) 重心G到三角形的顶点的距离与重心G到对边的距离成比例，比例为2:1。

(2) 重心G将三角形分成三个面积相等的小三角形。

2. 垂心：相似三角形的垂心是三条高线的交点，记为H。

高线是连接三角形顶点与对边垂直的线段。

垂心具有以下性质：(1) 垂心H到三角形三个顶点的距离相等，且垂心到对边的距离最短。

(2) 垂心H到相似三角形对边的距离成反比例，即垂心到对边的距离与对边的长度成反比。

3. 外心：相似三角形的外心是三个外接圆的交点，记为O。

外接圆是与三角形的三条边相切的圆。

外心具有以下性质：(1) 外心O到三角形的三个顶点的距离相等，且外心到三角形顶点的连线与三角形边相等。

(2) 外心是相似三角形三个顶点与对边中点的垂直平分线的交点。

通过对相似三角形的重心、垂心和外心的性质进行研究，我们可以发现它们在构造几何问题和解决几何难题中具有重要的应用价值。

通过利用重心、垂心和外心的性质，我们可以推导出许多有关相似三角形的定理和公式，进而解决一些复杂的几何问题。

总之，相似三角形的重心、垂心和外心是三角形内涵丰富的特殊点，它们具有独特的性质和重要的几何意义。

通过深入研究它们的性质，我们可以更加深入地理解相似三角形的性质，并在实际问题中应用它们。

这些特殊点的性质不仅在解决几何难题时有用，而且在建筑、地理、物理等领域也有广泛的应用。

相似三角形的重心、垂心和外心，将继续为几何学家和研究者提供新的思路和挑战！。

三角形的重心的性质(一)

三角形的重心的性质（一）引言：三角形是几何学中非常重要的一个形状，而重心则是三角形的一个重要特征。

本文将深入探讨三角形重心的性质，包括定义、重心的位置与性质、与其他特殊点的关系以及相关的定理。

正文：一、三角形重心的定义1. 定义：三角形的重心是三条中线的交点，即三边中点连线的交点。

二、重心的位置与性质1. 重心的位置：重心位于三角形中线上的2:1处，离每条中线的起点的距离是中线长度的2/3。

2. 重心的坐标：根据三角形顶点的坐标可以求得重心的坐标，即三个顶点的坐标的均值。

3. 重心的性质：重心将三角形分成六个小三角形，其中三个小三角形的面积相等。

4. 重心与几何中心的关系：重心也是三角形的质心、内心和外心的连线的交点。

三、重心与其他特殊点的关系1. 重心与垂心的关系：重心是垂心到三顶点连线的中点。

2. 重心与重心连线：三角形的重心之间连成一线段，这条线段称为重心连线，且重心连线与垂心连线垂直。

四、重心相关的定理1. 重心定理：三角形的三个顶点与重心的距离之和等于三角形边长之和的三分之一。

2. 已知重心求顶点坐标：已知三角形重心的坐标，可以求得顶点的坐标，通过重心的定义和坐标计算可得。

五、总结通过以上的探讨，我们得出了以下关于三角形重心的性质：1. 重心是三角形中线的交点，位于中线上的2:1处。

2. 重心将三角形分为六个面积相等的小三角形。

3. 重心是三角形的质心、内心和外心连线的交点。

4. 重心与垂心连线垂直，是垂心到三顶点连线的中点。

5. 已知重心的坐标可以求得三角形顶点的坐标。

6. 重心定理给出了重心与三角形顶点之间距离的关系。

本文仅对三角形重心性质进行了初步介绍，未来的研究中还有更多的性质和定理值得深入探索。

初中数学竞赛专题-第十四章三角形重心的性质及应用

第十四章三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心,三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心,连AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,()22221124AD AB AC BC =+-,且21AG GD =∶∶．性质2设G 为ABC △的重心,过G 作DE BC ∥交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF AC ∥交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作KH AB ∥交AC 于K ,交BC 于H ,则（1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心,P 为ABC △内任一点,则（1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点,则对APG △和DPG △分别应用余弦定理,有2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-,2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠, 而2AG DG =,cos cos AGP DGP ∠=-∠,于是,有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ,DG 分别是BPC △的BC 边,BGC △的BC 边上的中线,有2222122PD PB PC BC +-=,2222122DG BG CG BC =+-,从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1,有()2222911424AG AB AC BC =+-,()2222911424BC AB BC AC =+-, ()2222911424CG BC AC AB =+-,此三式相加,整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++．注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++．性质4设G 为ABC △内一点,G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一：（1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ,CA ,AB 上的射影分别为D ,E ,F 时,GD GE GF ⋅⋅值最大；（3）当AG ,BG ,CG 的延长线交三边于D ,E ,F 时,AFG BDG CEG S G S ==△△△；（4）过G 的直线交AB 于P ,交AC 于Q 时,3AB ACAP AQ+=；（5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ,则D 为BC 中点,有BDA CDA S S =△△,BDG CDG S S =△△,故AGB AGC S S =△△．同理,AGB BGC S S =△△,故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1,令G 为ABC △内一点,连AG 并延长交BC 于D ,连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△,BC a =,CA b =,AB c =,1BDG S S =△,2CDG S S =△,BD x =,DG y =．由11sin 2S xy BDG =⋅∠, ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠,故211S a S x =-．即2211111S S S a S x S S S +=+==,亦即1S S a =,()2SS a x a=-．又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理,得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠,于是,由上述两式,有2x a x a x a x +=--,于是2ax =,即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理,可证BE 为ABC △边AC 上的中线．故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比．（2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ．记GD x =,GE y =,GF z =,由 12GBC S ax =△,12GAC S by =△,12GAB S cz =△,知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式,有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤,即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时,即GBC GAC GAB S S S ==△△△时等号取得,即G 为ABC △的重心时,结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2,设1APF BPD CPE S S S ===△△△,APE S x =△,BPF S y =△,CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==,111BP z y PE x ++==,111CP x z PFy ++==,有 1yz z x +=+,①1zx x y +=+,②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-,即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+,⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==,再代入①得1x =,故1x y z ===．若x y ≠,则y x ≠,z x ≠,由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=,⑦而x ,y ,z 为正数,则11x +>,11y +>,11z +>,等式⑦无正数解, 故只有正数解1x y z ===,即证．（4）必要性：如图14-3,设M 为ABC △的边BC 上任一点,直线PQ 分别交AB ,AM ,AC 于P ,N ,Q ,连PM ,QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△．当N 为ABC △的重心时,M 为BC 中点,有BM MC =,且32AM AN =∶∶,由此即证得结论3AB ACAP AQ+=．充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ,2P 两点,在另一边AC 上有1Q ,2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=,则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心．事实上,如图14-4,连AG 并延长交BC 于M ,过B ,C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ,22P Q 分别于1X ,1Y ,2X ,2Y ,于是,图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+,即11BX CY AG +=．同理,22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+,即1221BX BX CY CY -=-．亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥,从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =,即AM 为ABC △的BC 边上的中线,亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=,故2AG GM =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线,G 为ABC △的重心时,由中线长公式（即性质1）,有()()222222AD AB CA BC =+-,从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理,()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+．充分性：注意到结论,给定ABC △后,若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数,则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线,并且这条直线过ABC △的重心．事实上,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立坐标系,设(),G x y ,则222AG x y =+,()222BG x c y =-+,其中AB c =．因此,由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-,得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+⎪⎝⎭,即证得前一断言,后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度,可求得AC 上的线段AQ的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-,故3AB AC AP AQ +=,即证．性质5设P 是锐角ABC △内一点,射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5,设PEF α∠=,CPE β∠=,CPD γ∠=,EBC α'∠=,并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDABC在DEF △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--．设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x x f x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ,B x -,B x βγπ---+,A B x βγ-π+++-,C x β-+,0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,易知()f x 递增,于是由()()f f αα'=可得αα'=,所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥,DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =,AF DC FB BD =,DC ECBD AE=．所以AF FB =,BD DC =,EC AE =．故P 为ABC △的重心．必要性：显然（略）．故命题获证,性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离,等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一．事实上,若设三顶点A ,B ,C ,重心G ,BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ,B d ,C d ,G d ,M d ,则()23G A M G d d d d =+-,()12M B C d d d =+．两式相加,即有 ()13G A B C d d d d =++．注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零,则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切．性质7设G 为ABC △的重心,若222AG BG CG +=,则两中线AD 和BE 垂直；反之,若两中线AD ,BE 垂直,则222AG BG CG +=．【典型例题与基本方法】例1如图14-6,在ABC △中,G 为重心,P 为形内一点,直线PG 交直线BC ,CA ,AB 于A ',B ',C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ,GC ,PB ,PC ,分别过G ,P 作GG BC '⊥于G ',作PP BC '⊥于P ',则PP GG ''∥,PP A PGG A G''=''．又PBC GBC S PP S GG '='△△,有PBC GBC S A P S A G '='△△．同理PCA GCA S B P S B G '='△△,PAB GAB S C PS C G'='△△．因G 为重心,有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△．例2如图147-,设ABC △的重心为G ,AG ,BG ,CG 分别交对边于D ,E ,F ,交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =,CA b =,AB c =,这三边上的中线分别记为a m ,b m ,c m ,应用相交弦定理,有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===．同理224b B E b EB m '=,224c C F C FC m '=．则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式,可求出2a ,2b ,2c ,即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边,即证得结论成立．3A D B E C FDA EB FC'''．例3如图14-8,过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分,试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8AB CEFG证明把三角形的每条边三等分,过每一分点作平行于其他两边的直线,这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分,观察这两部分面积之差,显然不超过BEF △的面积,即ABC △面积的19．例4如图14-9,已知P 为ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M ,N 分别为PB ,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证：（1）P ,Q ,O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ,设PO 与AN ,DM 分别交于点Q ',Q ''．在PAC △中,AO OC =,PN NC =,则Q '为其重心,且2PQ OQ ''=．在PDB △中,DO BO =,BM M P =,则Q ''为其重心,且2PQ OQ ''''=．这样,Q Q '''≡,并且Q ',Q ''就是AN ,DM 的交点Q ．故P ,Q ,O 在一条直线上,且2PQ OQ =．例5如图14-10,已知CA AB BD ==,AB 为O 的直径,CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠．证明连PO 并延长交O 于E ,则PE PC ⊥．连EC ,ED ,并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中,CO 为PE 边上的中线,且2CA AO =,即知A 为CPE △的重心,则PF 为CE 边上的中线,从而CF PF =,FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分,则CPDE 为平行四边形,即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠．例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆,从相对顶点作切线,得到的六个切点共圆．证明如图14-11,设ABC △的三边分别为a ,b ,c ,O 是以BC a =为直径的圆,AT 切O 于T 点．连AO ,在AO 上取点G 使2AG GO =,则G 为ABC △的重心．连OT ,GT ,图14-11AB由AO ,2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=,12OT a =,13OG OA =,有()2222118TG a b c =++为定值．同理,其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++,由此即证．例7如图14-12,AD ,BE ,CF 是ABC △的三条中线,P 是任意一点．证明：在PAD △,PBE △,PCF △中,其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心,直线PG 与AB ,BC 相交,从A ,C ,D ,E ,F 分别作该直线的垂线,垂足为A ',C ',D ',E ',F ',易证2AA DD ''=,2CC FF ''=,2EE AA CC '''+=,从而EE DD FF '''=+,故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =,CA b =,AB c =,DEF △是ABC △的任意内接三角形,试以a ,b ,c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先,证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点,G 到三边BC ,CA ,AB 的距离分别为x ,y ,z ,则当x y z a b c =∶∶∶∶时,222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△．事实上,由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥,当且仅当x y z a b c =∶∶∶∶时取等号,由此即证．如图14-13,设G 为DEF △的重心,则由中线长公式或重心性质3（2）,图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦．三式相加,得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ,AC ,AB 引垂线,垂足分别为0D ,0E ,0F , 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥．下证等号能够取到,设G 为ABC △内一点,G 到BC ,CA ,AB 的距离依次为x ,y ,z ,且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线,垂足为0D ,0E ,0F ,由0D ,C ,0E ,G 共圆,知00180D GE C ∠+∠=︒,于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△．同理,00GE F ABCS yz S bc =△△,00GF D ABC S zxS ca=△△．因x y z a b c =∶∶∶∶,则xy yz zxab bc ca==,故000000GD E GE F GF D S S S ==△△△,由重心性质4（1）,知G 为000D E F △的重心．由此可见,对ABC △的内接000D E F △而言,222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△．因此,所求最小值为222212ABCS a b c ++△．例9如图14-14,设G 为ABC △的重心,AG ,BG ,CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''；（2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥；（3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤．证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ,则D 为BC 的中点．由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△,13ABC GAB S BG GB S '='△△,13ABC GAC SCG GC S '='△△,及AGB BGA ''△∽△, AGC CGA ''△∽△,有22GAB GBA S AG S BG ''=△△,22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△,从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC'△∽△,得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△,所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△, 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△．中线长公式或重心性质3（2）,有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心,由莱布尼兹公式,则()2222219OG R a b c =-++（其中R ,a ,b ,c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）．注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++, 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC ++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++．（2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2）,知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥,由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤,或由（1）也可推得结论成立． 2．证明线共点的一条途径例10如图14-15,设O 是ABC △的内切圆,BC ,CA ,AB 上的切点各是D ,E ,F ．射线DO 交EF 于A ',同样可得B ',C '．试证：直线AA ',BB ',CC '共点．图14-15证明连A B ',A C '．易知B ,D ,O ,F 及C ,D ,O ,E 分别共圆,得A OF B '∠=∠,A OE C '∠=∠．在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理,有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠, 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅．又AFE AEF ∠=∠,故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边,即AA '必过ABC △的重心,同样可证BB ',CC ',也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性,知AA ',BB ',CC '三直线共点于ABC △的重心．【模拟实战】习题A 1．如图14-16,点O 在锐角ABC △内,过O 作EF BC ∥,PQ CA ∥,HG AB ∥,若EF PQ HGBC CA AB==试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17,M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心,AB AC =,D 是AB 的中点,G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心,且3AM =,4BM =,5CM =,求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点,点E ,F 分别是ABD △和ACD △的重心,连接EF 交AD 于点G ,则DGGA 的值是多少？（1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △,作这样的直线与三角形相交,使得由A 点到直线的距离等于由B ,C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似,其逆亦真． 2．在ABC △中,G 为重心,I 为内心,试证：AGI △,BGI △,CGI △中,最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中,O ,G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥,求证：tan A ,tan B ,tan C 成等差数列, 4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．第十四章三角形重心的性质及应用习题A1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=,则2EF PQ HGBC CA AB===,故O 为ABC △的重心． 2．先证BD AE CF ==,再由△BMP ∽△BCF ,得MP BM CF BC ==,同理PN BD =,MN AE =,则MP PN MN ==．3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ,则BC 边上的高为3r ,再利用面积法证明．4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．5．由3AM =,4BM =,5CM =,有222AM BM CM +=,知两中线AD ,BE 垂直．于是3182ABC S AM BM =⋅⋅=△．6．连BE ,CF ,并延长相交于M ,则M 为AD 的中点．由E ,F 分别是ABD △和△ACD 的重心,则13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥,EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==,23DG BE DM BM ==,13MG DM =,23DG DM =,1433AG AM MG DM DM DM =+=+=,故241233DG GA DM DM ==∶∶∶．7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过ABC △的重心,即共点于重心．习题B1．设G 为ABC △的重心,连DE 并延长到H 使EH DE =,连HC ,HF ,则以三条中线AD ,BE ,CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =,22CA b =,22AB c =成等差数列时,若ABC △为正三角形,易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥,有2221222CF a b c =+-2221222BE c a b =+-2221222AD b c a =+-2222a c b +=分别代入以上三式,得3CF =,3BE =,3AD =,从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶,故有ABC △∽△HCF ．反之,若有ABC △∽△HCF ,当ABC △中a b c ≥≥时,△HCF 中CF BE AD ≥≥,且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯34”,有2234CF a =∶∶,即222223422a CF a b c ==+-,故22a c += 22b ．2．分两种情况讨论．①若G ,I 两点重合,易断ABC △为正三角形,此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△,结论显然成立．②若G ,I 两点互异,过G ,I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点,易推知ABC △为等腰三角形,此时AGI S △,BGI S △,CGI S △中一个为零,其余两个相等,结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交,不妨设l 与AB ,AC 相交．延长AG 交BC 于E ,E 必为BC 的中点,连EI ．过B ,E ,C 分别作到直线l 的距离BB ',EE ',CC ',易证2BB CC EE '''+=,从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =,从而2AGI EGI S S =△△,故AGI BGI CGI S S S =+△△△．3．要证tan A ,tan B ,tan C 成等差数列,只需证2tan tan tan B A C =+,又在ABC △中,由tan B = tan tan 1tan tan A C A C+--⋅,有tan tan tan tan tan tan A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅,亦即tan tan 3A B ⋅=．因O 为外心,有2AOC B =∠∠,221sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心,有2112sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥,有AOC AGC S S =△△,故2sin cos R B B ⋅⋅=22sin sin sin 3R A B C ⋅⋅⋅,从而3cos 2sin sin B A C =⋅,即由cos cos cos sin sin B A C A C =-+⋅,有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅,由此即证．4．ABC △中,重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++,ABC △内切圆半径为r ,内心I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．记BC a =,CA b =,AB c =,射线AG 交BC 于D ,连GB ,GC ．则由 13GCA GAB ABCS S S ==△△△知,1123132ABCABC S S GG a a ==△△．同理,223ABC S GG b =△,323ABC S GG C =△．于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△211111111()3333333r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥,即证．。

三角形重心定理(Centroid Theorem) 证明(1)

1 BC, F E = BC;
2
4. 同理，HK
1 BC, HK = BC;
2
5. 由此，F E
BC
1 HK, F E = BC = HK;
2
6. 由平行四邊形判別定理，F EKH 為一平行四邊形；
7. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分，
EG
=
GH ，由此
BG
=
2 BE
3
8.
即
B E 、C F
3. 因 AG = GH, AF = F B, 由三角形中位線定理，CF BH;
4. 同理，BE CH;
5. 由此，BGCH 為一平行四邊形；
A
FG
E
B
C
K
H
6. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分，所以，BK = KC, GK = KH，由此，AK 實為由 A 到 BC 的中線。 ABC 的三條中線相交於一點。
性質(1)
若 G 為 ABC 的重心，則，S AGB = S AGC = S BGC (以 S AGB 記 AGB 面積)。
1. 因 BD = DC，由等底等高的三角形面積相等，有 S ABD = S ADC , S GBD = S GDC ,
2. S ABG = S ABD − S GBD = S ACD − S GCD = S ACG 3. 同理，S ABG = S BCG 4. 所以，S ABG = S BCG = S ACG
7. 亦因為 AG = GH = 2GK， G 到頂點 A 的距離是它到對邊中點 K 距離的 2 倍。
1
證明(2)
1. 設 E、F ，分別為 AC、AB 的中點，BE、CF 交於 G

三角形重心性质

三角形重心性质三角形是几何学中最简单和最基本的图形之一。

它由三条边和三个顶点组成。

其中一个重要的概念是三角形的重心。

重心是三角形内部所有点的平均值，并且与三角形的顶点均等距离的点。

三角形的重心性质是指与重心相关联的属性和特征。

下面将详细介绍三角形重心的性质。

1. 重心是三角形内部所有点的平均值。

重心是三角形内部点的集合中心，也可以看作是质心。

对于一个三角形ABC来说，重心G可以通过以下公式计算得到:G = (A + B + C) / 3其中A、B、C分别表示三角形ABC的顶点。

2. 重心将三角形分成三个面积相等的三角形。

三角形重心将三角形分成三个互相重叠的小三角形，这三个小三角形的面积相等。

3. 重心到三角形顶点的距离与边长成正比。

三角形的重心到每个顶点的距离与三角形的边长成正比。

具体而言，三角形重心到每个顶点的距离等于边长的1/3倍。

4. 重心到三角形任意一点的距离最小。

对于三角形内的任意一点，重心到该点的距离是最小的。

这就意味着，从三角形重心到其他任意内部点的路径是最短的。

5. 重心是三角形内接圆和外接圆的共同圆心。

三角形重心是三角形内接圆和外接圆的共同圆心。

6. 三角形重心是稳定的。

如果一个三角形发生形变，它的重心仍然存在且位置不变。

这意味着无论三角形的形状如何变化，重心的位置都保持不变。

7. 重心将三角形划分为底边为1:2的两个三角形。

三角形的重心将三角形划分为底边为1:2的两个小三角形。

这两个小三角形的面积之比为1:2。

8. 重心是三条中线的交点。

三角形的中线是连接顶点和中点的线段。

三角形的三条中线交于一点，这个交点即为三角形的重心。

三角形重心的性质在许多几何问题和应用中起着重要的作用。

无论是在工程、建筑、地理学还是其他领域，都会涉及到三角形重心的概念和应用。

因此，深入理解和掌握三角形重心的性质对于解决实际问题非常重要。

相似三角形的性质及应用(解析版)

4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到．三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为（）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确；故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴，故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ．故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=，又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=．故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长．【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解．（1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ，即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案．（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ．（2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长；（3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案；【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．（1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△．（2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ．（2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。

平面几何中的相似三角形与重心知识点

平面几何中的相似三角形与重心知识点在平面几何中，相似三角形和重心是两个重要的知识点。

相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形，而重心则是指三角形内部的一个特殊点，它与三角形的顶点之间的距离满足一定的比例关系。

本文将探讨相似三角形与重心的相关概念和性质。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指在形状上相同但可能尺寸不同的三角形。

两个三角形相似的条件为：它们的对应角度相等，或它们的对应边成比例。

1. 相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。

2. 相似三角形的性质：a) 两个相似三角形的相应边的长度成比例；b) 两个相似三角形的对应角的度数相等；c) 两个相似三角形的面积之比等于对应边的长度之比的平方。

二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似可以使用以下方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。

2. AA判定法：如果两个三角形的两个角对应相等，则它们是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而且两个相等角的两边成比例，则它们是相似的。

4. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。

三、重心的定义和性质重心是指三角形内部一个特殊点，它与三角形的顶点之间的距离满足一定的比例关系。

重心的定位可以通过相交中线的交点确定。

1. 重心的定义：在一个三角形中，重心是三条中线的交点。

2. 重心的性质：a) 重心到三角形各顶点的距离成一定的比例关系，即重心离每个顶点的距离与相应中线长度的比值为2:1；b) 三角形的三条中线的交点即为重心；c) 重心将三角形分为三个面积相等的小三角形。

四、重心与相似三角形的关系重心与相似三角形之间存在一些关系和性质。

1. 相似三角形的重心：两个相似的三角形的重心会重合。

2. 重心的运用：重心是一个很重要的概念，在解决一些和三角形相关的问题时经常会用到，例如确定图形的形心、质心等。

总结：相似三角形和重心是平面几何中的重要知识点。

《相似三角形》全章复习与巩固(基础)-知识讲解

《相似三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】（1）了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念;（2)通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，周长的比等于对应边的比，面积的比等于对应边比的平方;(3）了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件；(4）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题( 如利用相似测量旗杆的高度)；（5)理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律。

【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及比例的性质1。

比例线段：（1)线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比是a:b=m：n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.(2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项:已知四条线段ａ,ｂ，ｃ,ｄ,如果，那么ａ，ｂ,ｃ,ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ,ｃ叫做比例内项,线段ｄ还叫做ａ,ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b：c或,那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便，a，b的单位一致，c,d的单位一2。

比例的性质（1）比例的基本性质：(2）反比性质:(3）更比性质: 或（4）合比性质：（5）等比性质: 且3。

平行线分线段成比例定理（1)三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

（2）三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.(3)三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形的重心外心和内心

相似三角形的重心外心和内心相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在学习相似三角形的过程中，重心、外心和内心是三个重要的概念。

它们分别代表了相似三角形内部和外部的特殊点。

本文将详细介绍相似三角形的重心、外心和内心的定义以及它们的性质。

重心是相似三角形内部的一个特殊点，通常用字母G表示。

重心是三角形三条中线交点的位置，其中中线是连接三角形每个顶点和对边中点的线段。

对于任意一个相似三角形ABC，分别连接顶点A、B、C和对边中点D、E、F得到的三条中线交于一点G。

这个点G就是三角形ABC的重心。

重心与相似三角形的各个顶点的距离满足以下性质：GA：GB：GC = 1：1：1。

也就是说，重心与三角形的各个顶点的距离相等。

此外，三角形的面积可以通过重心与顶点的距离来计算，即S = （3/4）√3·GA^2。

因此，重心在计算相似三角形的面积时具有重要的作用。

外心是相似三角形外部的一个特殊点，通常用字母O表示。

外心是可以通过三角形的三个顶点同时作为圆的直径构成的圆的圆心。

对于相似三角形ABC，通过顶点A、B、C得到的三个圆的直径分别为AB、BC、CA，这些直径的交点就是相似三角形ABC的外心O。

外心具有以下重要性质：OA = OB = OC = R，其中R是外接圆的半径，也是相似三角形的边长。

此外，外心到三角形各个顶点的距离最大。

外接圆可以包含整个相似三角形，因此外心也被称为“三角形的圆心”。

内心是相似三角形内部的一个特殊点，通常用字母I表示。

内心是可以通过三角形的三条角平分线的交点得到的。

对于相似三角形ABC，连接顶点A、B、C到对边的角平分线交于一点I，这个点I就是相似三角形ABC的内心。

内心具有以下重要性质：对于相似三角形ABC，角AIB、角BIC、角CIA均等于90度。

此外，内心到三角形的边界距离最小。

内心是相似三角形的圆心，内接圆是可以被三角形的三条边所切的最大圆。

综合以上的介绍，我们可以得出相似三角形的重心、外心和内心在相似三角形内部和外部的位置及其特性。

相似三角形的重心定理与重心

相似三角形的重心定理与重心相似三角形是高中数学中重要的概念，它们具有相等的夹角和对应边长成比例的性质。

在讨论相似三角形时，有一个重要的定理——相似三角形的重心定理。

本文将介绍相似三角形的重心定理以及重心的概念，以帮助读者更好地理解这一定理。

首先，我们来了解一下相似三角形的概念。

相似三角形是指两个或多个三角形，它们的对应角度相等，并且对应边长成比例。

这意味着，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们一定是相似的。

在相似三角形中，有一个特殊的点，被称为重心。

重心是一个三角形内部的点，它由三条中线的交点确定。

中线是连接一个顶点与对边中点的线段，而三角形的三条中线交于一点，即重心。

接下来，我们来介绍相似三角形的重心定理。

相似三角形的重心定理即指出，对于两个相似三角形，它们的重心连线与它们的顶点连线平行，并且成比例。

具体来说，设两个相似三角形为ABC和DEF，重心分别为G和H。

根据重心的定义，可以知道G是三角形ABC中三条中线的交点，而H是三角形DEF中三条中线的交点。

根据重心定理，我们知道线段GH与线段AD平行，并且线段GH的长度是线段AD的长度的k倍。

这个定理非常重要，可以帮助我们在解决相似三角形问题时，更好地理解各个线段之间的关系。

接下来，我们用一个简单的例子来说明相似三角形的重心定理的应用。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，已知它们的顶点坐标分别为A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)和D(2, 4)、E(4, 6)、F(6, 8)。

首先，我们需要求出三角形ABC和DEF的重心坐标。

根据重心的定义，我们可以通过求三个顶点坐标的平均值来求得重心的坐标。

因此，三角形ABC的重心坐标为[(1+3+5)/3, (2+4+6)/3]，即(3, 4)；而三角形DEF的重心坐标为[(2+4+6)/3, (4+6+8)/3]，即(4, 6)。

我们可以发现，重心坐标的横坐标和纵坐标分别是对应顶点坐标的横坐标和纵坐标的平均值。

两个三角形重心相同的充要条件

两个三角形重心相同的充要条件1.重心的定义在平面上，对于任意一个三角形ABC，三角形的三个顶点连线与对边中点相交于一点G，称该点G为三角形ABC的重心，也叫重心点。

重心是三角形的一个非常重要的概念，它在解决很多三角形问题时都起到了至关重要的作用。

具体来说，根据重心所具有的一系列性质，可以得到很多有用的结论。

2.两个三角形重心相同的充要条件在平面上，假设ABC和DEF是两个不相交的三角形，并且它们的重心相同，那么此时它们的充要条件是：（1）AB / DE = AC / DF = BC / EF（2）∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，AB / DE = AC / DF = BC / EF 表示两个三角形对应边长的比值相等，∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F 表示两个三角形对应角度相等。

这个结论可以通过以下方式证明：首先，依据重心定义可得：AG/3+BG/3+CG/3=0，DG/3+EG/3+FG/3=0即：AG+BG+CG=0，DG+EG+FG=0然后，我们用向量来表示三角形的边及其所对应的角平分线，设向量AB=a，向量BC=b，向量CA=c，向量DE=d，向量EF=e，向量FD=f，AB、DE所对应角的平分线交于点P，BC、EF所对应角的平分线交于点Q，CA、FD所对应角的平分线交于点R，那么由于ABC和DEF的重心相同，所以向量AP+a/3=DP+d/3，向量BQ+b/3=EQ+e/3，向量CR+c/3=FR+f/3。

接下来，我们来证明两个三角形对应边长的比值相等，即AB/DE=AC/DF=BC/EF。

假设AB/DE≠AC/DF，那么由于向量的平行关系，可以得到以下三个式子：a+3AP=b+3BQ （1）a+3AP=c+3CR （2）b+3BQ=c+3CR （3）将式（1）、（2）、（3）相加可得：2a+2b+2c+9(AP+BQ+CR)=0由于AP+BQ+CR=0，所以2a+2b+2c=0，也就是说，a+b+c=0，这和三角形ABC的重心不相符，因此假设不成立，证毕。

相似三角形的重心定理与三角形重心

相似三角形的重心定理与三角形重心相似三角形是数学中一个重要的概念，它们具有相同的形状但可能不同的大小。

研究相似三角形的性质可以帮助我们更好地理解三角形的几何特征。

在相似三角形中，重心定理是一项重要的定理，它与三角形的重心之间有密切关系。

本文将介绍相似三角形的重心定理以及与三角形重心的相关内容。

一、相似三角形的重心定理相似三角形的重心定理是指：在两个相似三角形中，它们的重心之间的连线与两个三角形的对应边平行且等于对应边的比值。

具体来说，在两个相似三角形ABC和A'B'C'中，它们的顶点分别为A、B、C和A'、B'、C'，且相似比为k，则连接相似三角形的重心G和G'的连线GG'与对应边BC和B'C'平行且等于对应边的比值k。

根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. GG'与BC和B'C'平行。

这是因为由于三角形ABC和A'B'C'的相似性，它们的形状相同，所以连线GG'与基底边BC和B'C'平行。

2. GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。

由于相似三角形的对应边成比例，所以GG'与BC和B'C'的长度之比等于k。

通过这个定理，我们可以获得有关相似三角形中的重心和对应边之间的关系。

利用这个定理，我们可以更好地理解相似三角形的性质和特点。

二、三角形重心三角形的重心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点，通常用符号G表示。

重心是一个三角形的重要几何点之一，有许多有趣的性质和应用。

在一个三角形ABC中，重心G的坐标可以通过三个顶点的坐标来确定。

设三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则重心G的坐标为：G([(x1+x2+x3)/3], [(y1+y2+y3)/3])。

三角形相似性质重心(1)解析

G是ABC的重心;
A
求：1.点G到直角顶点C的距离GC；
解：RtACB,ACB 90o
G
D E
F
AC 4,BC 3
G是ABC的重心
AB
5
CCGD是中32 C线D
CD
5 2
C
B CG 5
3
2.点G到斜边AB的距离
已知：ABC中AB AC, AD BC, AD与中线BE相交于点G; AD 18cm,GE 5cm, 求：BC的长。
A
B
B
C
B
A
D G
DA C
G’
G
D
C
判断题
1、等边三角形三条高的交点就是它的重心.
2、三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一.
三角形的重心到一边
A
中点的距离等于这边上中
线长的三分之一.
G
B
C DEF
三角形的重心到一边
的距离等于这边上高的三分之一.
已知：RtACB, ACB 90o , AC 4, BC 3,
A
E G
B
?D
C
已知ABC的中线CD、BE相交于点G;
A
求：341526... S ::SS SS ::SS DDDDGGGGEBEEE DEBADAEGGGDBCCCCBC;;;;;
D
E
GG
B
C
归纳有关三角形面积解题方法：
A
1.相似三角形面积之比等于相似比的平方；
E G
2.等底或同底的两个三 F 角形面积之比等于高之
C BD CD
三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.

三角形重心知识点总结

三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。

一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。

而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。

三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。

重心通常用字母G 表示。

二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。

2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。

也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。

3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。

4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。

三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。

这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。

2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。

3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。

4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。

5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。

四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。

解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。

然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。

因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。

我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。

相似三角形的重心垂心与外心

相似三角形的重心垂心与外心相似三角形的重心、垂心与外心相似三角形是指两个或多个三角形具有相同的形状但是不一定相等的大小。

在相似三角形中，有三个特殊的点分别是重心、垂心和外心。

重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形的三条高的交点，外心是三角形外接圆的圆心。

本文将重点介绍相似三角形的重心、垂心和外心，并探讨它们的性质和应用。

一、重心重心是相似三角形中的一个重要点，由三角形的三条中线的交点确定。

中线是三角形的边所对的中点与对边的连接线。

在相似三角形中，三条中线交于一点，这个点就是重心。

重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得，假设三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则重心的坐标为G((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)。

重心的性质：1. 重心到三角形的各顶点的距离相等，即GA = GB = GC。

2. 重心到三角形三条边的距离与边长的比值都是2：1。

重心在几何学中有重要的应用，如确定一个三角形的重心可以帮助我们求解三角形的面积、判断三角形的位置关系等。

二、垂心垂心是相似三角形中的另一个重要点，由三角形的三条高的交点确定。

高是指从三角形的顶点到对边的垂直线段。

在相似三角形中，三条高交于一点，这个点就是垂心。

垂心的位置会随着三角形形状的变化而变化，但是它一定在三角形的内部。

垂心的性质：1. 垂心到三角形的各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

2. 垂心到三角形各边的距离与边长的关系是倍数关系，具体倍数取决于三角形的形状。

垂心在几何学中也有重要的应用，例如求解三角形的内接圆和外接圆的圆心等。

三、外心外心是相似三角形中的第三个重要点，由三角形的三个顶点所确定的外接圆的圆心。

外接圆是指可以完全包含三角形内部的圆。

在相似三角形中，三个顶点决定一个外接圆，这个圆的圆心就是外心。

外心的性质：1. 外心到三角形的各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

相似三角形的重心和角平分线的关系

相似三角形的重心和角平分线的关系相似三角形是几何学中常见的概念，它们具有相似的形状但大小不同。

在相似三角形中，我们通常会研究与重心和角平分线相关的性质。

本文将深入探讨相似三角形的重心和角平分线之间的关系。

一、相似三角形的重心1. 重心的定义相似三角形的重心是指三角形内部三条中线的交点。

其中，中线是连接一个角的顶点与对边的中点的直线。

2. 重心的性质相似三角形的重心具有以下性质：（1）重心将三角形的各个中线所分成的三个小三角形的面积之比为2:1。

（2）重心距离三角形各顶点的距离之比为2:1。

（3）重心到三角形的三条边的距离之和最小。

二、相似三角形的角平分线1. 角平分线的定义相似三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发平分该角的直线。

2. 角平分线的性质相似三角形的角平分线具有以下性质：（1）角平分线将一个角平分成两个相等的角。

（2）角平分线和对边、满足三角形内角和定理。

三、相似三角形的重心与角平分线1. 重心所在的角平分线在任意相似三角形中，重心恰好处于三个内角的角平分线的交点上。

这是因为重心是三角形中线的交点，而中线与角平分线交于一点。

2. 角平分线分割的重心比例对于相似三角形来说，重心到各个角的角平分线的距离之比等于各边的长比。

假设两个相似三角形的比例因子为k，重心到两个三角形内角的角平分线的距离比为a:b，则有a:b=k:k-1。

综上所述，相似三角形的重心和角平分线之间存在着密切的关系。

重心作为三角形内三个中线的交点，同时也是各个角平分线的交点，有着独特的几何性质。

重心到角平分线的距离比恰好等于相似三角形边长比例的因子。

这些性质在解决相似三角形问题时，都会发挥重要的作用。

通过研究和运用这些性质，我们能够更加深入地理解相似三角形的特点，为几何学的研究提供有力的支持。

总结起来，相似三角形的重心和角平分线密切相关。

重心恰好位于三角形内各个角的角平分线的交点上，并且重心到角平分线的距离比等于相似三角形边长比例的因子。

证明三角形重心判定性质

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重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

下面小编给大家带来证明三角形重心判定性质，希望能帮助到大家!例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵ AF=CF∴HF=1/2CF∴HF:CF=1/2∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2∴EG=1/2CG方法二连接EF利用三角形相似求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AO B在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。

相似三角形的重心和中线的关系

相似三角形的重心和中线的关系相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在数学中，相似三角形的研究涉及到各种性质和特点。

其中，重心和中线是相似三角形中重要的概念，它们之间存在着一定的关系。

一、相似三角形的重心重心是一个三角形内部的一个特殊点，被定义为三角形三个顶点的重心连线的交点。

对于一个三角形ABC来说，重心通常用符号G表示。

重心G的坐标可以通过三角形各个顶点的坐标计算得到。

1. 重心的坐标计算方法设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则重心的坐标为：G(x, y) = (x1 + x2 + x3/ 3, y1 + y2 + y3/ 3)2. 重心的性质重心具有以下几个性质：- 重心到三角形三个顶点的距离相等，即GA = GB = GC。

- 重心所在的重心连线把三角形划分成两个面积相等、高相等的小三角形和一个面积为原三角形面积两倍的三角形。

二、相似三角形的中线中线是连接三角形任意两个顶点与对边中点的线段。

在一个三角形ABC中，我们可以找到三条中线（AM，BN，CP），其中M，N，P 分别是对边BC，AC，AB的中点。

1. 中线的性质中线具有以下几个性质：- 三条中线交于一点，称为三角形的重心G。

- 中线的中点是重心，即AM = MB，BN = NC，CP = PA。

- 通过三角形的一个顶点和重心，可以找到对边的中点。

三、重心和中线的关系相似三角形的重心和中线之间存在一些有趣的关系，这些关系在数学中得到了证明。

1. 重心和中线的位置关系在一个相似三角形中，重心和中线之间具有以下关系：- 三角形的重心将中线划分成2:1的比例，即AM : GM = BN : GN = CP : GP = 2 : 1。

- 重心到中线中点的距离是重心到相应顶点的距离的2/3。

2. 重心和中线的应用重心和中线在解决各种数学问题和几何推理中起到了重要的作用，例如：- 当我们需要找到相似三角形的重心时，可以通过计算顶点坐标，然后根据上述的计算公式得到重心的位置。