排序不等式

• 小结：
1、根据题意适当的构造两组数 2、找出顺序和，反序和 3、根据题目的结论和不等式的结构 恰当的构造乱序和
作业
1.设a1, a2 ,..., an为正数，求证
a1a2 a3
a2a3 a1
a3a1 a2
a1 a2
a3.
2.设a1, a2 ,..., an为正数，试分别用柯西 不等式与排序不等式证明
排序不等式
定理（排序不等式，又称排序定理） 设a1 a2 ... an，b1 b2 ... bn为两组 实数c1, 是b1, b2...bn的任一排列， 那么：
a1bn a2bn1 ... anb1 a1c1 a2c2 ... ancn a1b1 a2b2 ... anb.n 当且仅当a1 a2 ... an或b1 b2 ... bn时, 反序和等于顺序和。
反序和≤乱序和≤顺序和
例1 ：有10人各拿一只水桶去接水，设水 龙头注满第i(i=1,2,…,10)个人的水桶需要ti 分，假定这些ti各不相同。
问：只有一个水龙头时，应该如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这 个最少的总时间等于多少？
解：总时间(分）是10t1+9t2+…+2t9+t10 根据排序不等式，当t1<t2<…<t9<t10时， 总时间取最小值。
a12 a2
a22 a3
...
a2 n1
an
an2 a1
a1
a2
... an.
本节完，谢谢聆听
因为b1,b2,…,bn是互不相等的正整数， 所以b1≥1,b2≥2,…,bn≥n.
又因
1
1 22
1 32
...
1 n2
由排序不等式，得：
a1
a2 22
a3 32
...
an n2
b1
b2 22
b3 32
...
bn n2
11 2
1 22
3
1 32
... n
1 n2
1
1 2
1 ... 3
1 n
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练习1
1.设a1, a2,..., an为实数，证明： a1c1 a2c2 ... ancn a12 a22 ... an2, 其中c1, c2,..., cn是a1, a2,..., an的任一排列。
练习2
2.已知a, b, c为正数，用排序不等式证明 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b).
即：按水桶的大小由小到大依次接水， 则10人等候的总时间最少。 最少的总时间是:
10t1+9t2+…+2t9+t10
例2 设a1,a2,…,an是n个互不相等的正整数， 求证：
1
1 2
1 3
...
1 n
a1
a2 22
a3 32
...
an n2
证明：设b1,b2,…,bn是a1,a2,…an的一个排列， 且有 b1<b2<…<bn