勾股定理

勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解決几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

在任何一个的直角三角形（Rt△）中，两条直角角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相減与最短边的平方相等）。

性质

1、直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a2+b2=c2

2、勾股数，勾股数的推算公式

①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m和n(m>n)，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数．

勾股数通式和常见勾股素数，若m和n是互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a，b，c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a，b，c就会全是偶数，不符合互质）。

所有素勾股数（不是所有勾股数）都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

②如果k是大于1的奇数，那么k，（k2+1）/2，（k2-1）/2是一组勾股数．

（3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25）……

③如果k是大于2的偶数，那么k，k2/4+1, k2/4-1是一组勾股数．

（6，8，10）（8，15，17）（10，24，26）,……

④如果a，b，c是勾股数，那么na nb，nc(n是正整数)也是勾股数．

⑤另一种通式: 2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1（n是正整数），（3，4，5）, （5，12，13），（7，24，25）（9，40，41）…

例1.四边形ABCD中∠DAB＝60 ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2

求对角线AC的长

解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30

∴CE＝2CD＝4，

在Rt△ABE中

设AB为x，则AE＝2x

根据勾股定理x2+52=(2x)2，……

例2.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A

求证：AB2－BC2＝AB×BC

证明：作∠B的平分线交AC于D，

则∠A＝∠ABD，

∠BDC＝2∠A＝∠C

∴AD＝BD＝BC

作BM⊥AC于M，则CM＝DM

AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2）

＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM）

＝AC×AD＝AB×BC

例3.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC

证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n 则c+n=b+m，c-b=m-n

∵AD⊥BC，根据勾股定理，得

AD2＝c2-m2=b2-n2

∴c2-b2=m2-n2，(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)

(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)

(c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0

(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0

∵c+b>m+n，∴c-b=0 即c=b

∴AB＝AC

练习

1，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则△ABC的周长为多少？

2.一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B 点的最短路程是.

3.一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为多少m2？4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点0，且OE＝0D，则AP的长为多少？

5，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上ー点，求证（1）△ACE≌△BCD；(2) AD2+DB2=DE2

6，如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折

痕的一端G 点在边BC 上（1）如图（1），当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF

的长.（2）如图（2）．当折痕的一端F 在AD 边上BG ＝10, 求证：EF ＝EG ．求AF 的长．

7.△ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高．那么S △ABC ＝＿＿，

CH ＝＿＿，MH ＝＿＿＿

8. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿

9.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD

求证：AE ＝AF

10已知：M 是△ABC 内的一点，MD ⊥BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥AB ，

且BD ＝BF ，CD ＝CE

求证：AE ＝AF

11.在△ABC 中，∠C 是钝角，a 2-b 2=bc 求证∠A ＝2∠B

12.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数; 至少有一个数是3的倍数;至少有一个数是4

的倍数;至少有一个数是5的倍数．

13.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

B F D