受迫振动中振幅和频率的讨论课件

el t (l 2 + 2gl + w2 ) = 0
Q el t > 0 \ l 2 + 2gl + w2 = 0
这就是这个二阶齐次线性常系数微分方程的 特征方程。我们用一元二次方程的求根公式 求解方程。
得l = - g - g2 - w2 1
l 2 = - g + g2 - w2
讨论根的情况
方程的两个特解为：
\
F策动 =
F cos Wt + F sin Wt
1
2
几处要点
• 使用余弦函数与正弦函数叠加，是为了使 策动力能取到不同的相位。
• 余弦函数与正弦函数周期相同，是为了使 策动力的最大值在任意一个周期内都为一 个定值。
• 在余弦函数与正弦函数周期一致的情况下， 策动力可以使用辅助角公式变为一个弦类 函数。
关于受迫振动的微分方程
• 振子的受力情况： • 回复力、阻力、策动力
• 回复力： F回复 = - kx
• 阻力：
f阻
=
-
mdx dt
策动力的讨论
• 一般情况下策动力需要周期性变化，因此， 我们可以用弦类函数去表示策动力
• 同时策动力一般是有稳定的最大值
• 我们看到在受迫振动中，策动力成为振子 运动的主要因素。所以策动力的方向应该 与位移方向相同。
C (t ) = C e2 g2- w2t + C
1
1
2
C (t ) = C 'e- 2 g2- w2t + C '
2
1
2
l 1 = - g - g2 - w2 l 2 = - g + g2 - w2
代入x = C (t )el t，得
x = (C e2 g2 - w2t + C )e(- g- g2 - w2 )t
C e 2 g2 - w2t
C (t ) = 1
+C
1
2 g2 - w2
2
C (t ) =
C e' - 2 g2 - w2t 1
+ C'
2
- 2 g2 - w2
2
可以看到：
C 1
，
C' 1
也是任意常数
2 g2 - w2 - 2 g2 - w2
令C =
C 1
,C ' =
C' 1
1 2 g2 - w2 1 - 2 g2 - w2
2
1
2
可以看到，两者是等价的 因此，解可以合并为：
x = C e + C e (- g- g2- w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
1
2
其中C ，C 为任意常数，
1
2
在动力学之中,两个常数与运动有关。
同时，γ与ω的大小关系也会对方程的形 式产生影响
如果g2 > w2(过度衰减)
那么l , l 均为实数，且l ¹ l
F
F
1 = f, 2 = f
m
1m
2
方程变为以下形式
d 2x dt 2
+
2g dx dt
+
w2x
=
f1 cos Wt +
f2 sin Wt
对应的齐次方程为
d2x + 2g dx + w2x = 0
dt 2
dt
设方程的一个解为： x = el t
代入齐次方程
l 2el t + 2gl el t + w2el t = 0
1
1
2
x = C e + C e (- g+ g2- w2 )t
(- g- g2 - w2 )t
1
1
2
x = (C 'e- 2 g2 - w2t + C ' )e(- g+ g2 - w2 )t
2
1
2
x = C e + C e ' (- g- g2- w2 )t
' (- g + g2 - w2 )t
两边积分，得到：
e2(g+ l )t dC (t ) = C
dt
1
dC (t ) dt
=
C 1e-
2( g + l )t
再次积分，得到：
C (t ) =
C e- 2(g + l )t 1
+C
- 2(g + l ) 2
l = - g - g2 - w2 1
l = - g + g2 - w2 2
代入C(t),得：
令x = C (t )el t , 并代入方程，得
[l 2el tC (t ) + l el t dC (t ) + l el t dC (t )
dt
dt
+el t
d 2C (t ) ]+
2g[l
el tC (t )
+
el t
dC (t )]
dt 2
dt
+ w2el tC (t ) = 0
对方程进行整理，可以得到：
l = - g + w2 - g2i 2
x = C e + C e (- g- g2- w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
1
2
x = C e + C e (- g- w2- g2i)t
(- g+ w2 - g2i )t
el
t
d [
2C
(t
)
+
2(g
+
l
dC (t) )
+
dt 2
dt
(l 2 + 2gl + w2)C (t )] = 0
这里出现了l 2 + 2gl + w2
显然，l 2 + 2gl + w2 = 0
\ el t [d2C (t ) + 2(g + l ) dC (t )] = 0
dt 2
dt
γ+λ≠0时，使用积分因子法对方程进行处理
12
1
2
通解为x = C e(- g-
+ C e g2 - w2 )t
(- g+
g2 - w2 )t
1
2
C ,C 为两个与振子运动有关的常数 12
至于C
1,C
究竟等于什么，
2
我们会在求解非齐次方程之后说明
如果g2 < w（2 阻尼振动）
那么l , l 均为复数， 12
l = - g - w2 - g2i 1
方程两边同时乘以e(l + 2g)t , 得到
e2(g +
l
)t
d 2C [
(t
)
+
2(g +
dC (t )
l)
]=
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dt 2
dt
e2(g + l )t
d2C (t ) +
2(g +
l )e2(g+ l )t
dC (t)
=
0
dt 2
dt
\ d (e2(g+ l )t dC (t )) = 0
dt
dt
微分方程
m d2x dt 2
=
- kx -
mdx dt
+
F1
cos Wt
+
F2
sin Wt
d2x + m dx + k x = F1 cos Wt + F2 sin Wt
dt 2 m dt m m
m
这是一个二阶非齐次线性常系数微分方程
为了简化运算，我们做参数替换
令 m = 2g k = w2
m
m
° ° (- g- g2 - w2 )t
(- g + g2 - w2 )t
x = e x = e 1
2
但是，上述两个解都不含有任意常数， 所以它们都不是方程的通解。 我们可以利用常数变易法去讨论
在上述方程的解中γ，ω，1均为常数， 但是前两者由方程给定，只有“1”是 我们的假设。
所以，我们可以把“1”，变为一个与自 变量t有关的变常数C(t).