2021届陕西省西安市长安区第一中学高三第一学期第一次教学质量检测数学(文)试卷

2
2
2
（Ⅰ）求 的值；
-2-
（Ⅱ）若 x 为三角形 ABC 的一个内角，求满足 f (x) 1的 x 的值. 18．（本题满分 12 分）
如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面， AD=PA=2， CD=2 2 ，E、F 分别是 AB、PD 的中点.
（Ⅰ）求证：平面 PCE 平面 PCD； （Ⅱ）求四面体 PEFC 的体积．
值范围． 21．（本小题满分 12 分）
设函数 f (x) ex k x2 x . 2
（Ⅰ）若 k 0 ，求 f (x) 的最小值；
（Ⅱ）若当 x 0 时 f (x) 1，求实数 k 的取值范围. 请考生在第 22，23，题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清 题号．
A. (-2,-9)
B. (0,-5) C. (2,-9)
D. (1,-6)
11.已知点 F1、F2 是椭圆 x2 2 y2 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 PF1 PF2 的最小值是（ ）
A.0
B.1
C.2
D. 2 2
12．已知函数 f (x) 对任意 x R 都有 f (x 4) f (x) 2 f (2) ，若 y f (x 1) 的图象关于直线
23.（本小题 10 分）选修 4-5:不等式选讲 （I）若关于 x 的不等式 x 1 x 2 a 3 的解集是空集，求实数 a 的取值范围；
（II）对任意正实数 x, y ，不等式 2x 3y k 8x 6y 恒成立，求实数 k 的取值范围．
长安一中 2020—2021 学年度第一学期第一次质量检测
而 f (0) 1，于是当 x 0 时， f (x) 1 . 当 k 1时，由 f (x) 0 得 x ln k 当 x (0,ln k) 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0,ln k) 上递减， 而 f (0) 0 ，于是当 x (0,ln k) 时， f '(x) 0 ，所以 f (x) 在 (0,ln k) 上递减， 而 f (0) 1，所以当 x (0,ln k) 时， f (x) 1.与 f (x) 1矛盾。 综上得 k 的取值范围为 (,1] .
5．设 p ∶ 1 x2 0， q ∶ x2 x 6 0 ，则 p 是 q 的 | x | 2
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.
函数
f (x) log2
x 1 的零点所在区间为（ x
）
A. (0, 1) B. (1 ,1)
2
2
C. (1, 2)
19．（本小题满分 12 分）
数列 an 的各项均为正数， Sn 为其前 n 项和，对于任意 n N *，总有 an , Sn , an2 成等差数
列.
(Ⅰ)求数列an 的通项公式；
(Ⅱ)设 bn
1 an2
,数列 bn 的前
n
项和为
Tn
,求证: Tn
n. n 1
20．（本小题共 12 分）
已知 ABC的边 AB 所在直线的方程
∴
2Sn1
an1
a n1
2
（n ≥ 2）②
①-②得 2an an an2 an1 an12
∴ an an1 an an1 an an1
∵ an , an1 均为正数，∴ an an1 1 （n ≥ 2）
∴数列an 是公差为 1 的等差数列
又 n=1 时， 2S1 a1 a12 ， 解得 a1 =1,
y
为 x 3y 6 0 , M (2，0) 满足 BM MC , 点T (1，1) 在 AC 所在直线上且 AT AB 0 ．
（Ⅰ）求 ABC外接圆的方程； （Ⅱ）一动圆过点 N (2，0)，且与 ABC的
T
C
M
N
O
A
Bx
外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹 的方程；
（Ⅲ）过点 A 斜率为 k 的直线与曲线 交于相异的 P,Q 两点，满足 OP OQ 6 ，求 k 的取
故点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长为 2 2 ，半焦距 c 2 的双曲线的左支．
从而动圆圆心的轨迹方程 为 x2 y2 1(x 0) ． 22
(Ⅲ) PQ 直线方程为： y kx 2 ,设 P(x1, y1),Q(x2, y2 )
由
x2
y2
2(x
0)
得
(1
k 2 )x2
4kx
高三年级 数学(文科)参考答案
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
A
B
A
B
C
B
C
D
A
C
A
二、填空题:
13．4
14. 71
三、解答题：
15． 4 3 3
16． 2
17．解：（Ⅰ） f (x) 2sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2(x ) 3
2
2
C． 2 或 2
D． 6 或 6
9.已知 2 a 2 ，则函数 f (x) a2 x2 x 2 的零点个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
10. 在抛物线 y x2 ax 5(a 0) 上取横坐标为 x1 4 , x2 2 的两点，经过两点引一条割线，
有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆 5x2 5y2 36 相切，则抛物线的顶点坐标是
由
x 3y 3x y
6 2
=
0，得点 0
A
的坐标为
(0，
2)
，
BM MC M (2, 0)为RtABC外接圆的圆心
又 r AM (2 0)2 (0 2)2 2 2 ．
所以 ABC外接圆的方程为: (x 2)2 y2 8 ． （Ⅱ）设动圆圆心为 P ，因为动圆过点 N ，且与 ABC外接圆 M 外切， 所以 PM PN 2 2 ，即 PM PN 2 2 ．
当 x (,0) 时， f '(x) 0 ；当 x (0, ) 时， f '(x) 0 .
所以 f (x) 在 (, 0)上单调减小，在 (0, )上单调增加
故 f (x) 的最小值为 f (0) 1
-6-
（Ⅱ） f '(x) ex kx 1 ， f (x) ex k
当 k 1时， f (x) 0 (x 0) ，所以 f (x) 在 0, 上递增， 而 f (0) 0 ，所以 f '(x) 0 (x 0) ，所以 f (x) 在 0, 上递增，
1 2
， tan 2
2 tan 1 tan2
2 1 2
1 1
4 3
，
4
直线m的方程为：y 4 x 1 1 ,即8x 6y 11 0 ，
3
2
直线m的极坐标方程为：8cos 6 sin 11 0
23.解（I） x 1 x 2 x 1 x 2 3,3 x 1 x 2 3，
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高三年级 数学(文科)
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1．若复数 z (x2 2x 3) (x 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为
-3-
22．（本小题 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 O : x2 y2 4 ，将圆 O 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 1 ，得到曲线 C ．
2 （I）写出曲线 C 的参数方程； （II）设直线 l : x 2y 2 0 与曲线 C 相交于 A, B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，直线 m 过线段 AB 的中点，且倾斜角是直线 l 的倾斜角的 2 倍，求直线 m 的 极坐标方程．
6
0(x
0)
y kx 2
1 k 2 0
16k 2 24(1 k 2 ) 0
x1
x2
4k k2 1
0
解得： 2 k 1
x1
x2
6 k2 1
0
OP
OQ
x1x2
y1 y2
2k 2 2 k2 1
6
故 k 的取值范围为 ( 2, 1)
21．解：（Ⅰ） k 0 时， f (x) ex x ， f '(x) ex 1.
（Ⅱ）由（2）知 GE 平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高， 又GF // CD，所以GF PD
EG AF 2，GF 1 CD 2 2
SPCF
1 2
PD GF
2
得四面体PEFC的体积V
1 3
SPCF
EG
22 3
19.解：（Ⅰ）由已知：对于 n N * ，总有 2Sn an an2 ①成立
6
6
18. 解（Ⅰ） PA AD 2, AF PD PA 平面ABCD，CD 平面ABCD PA CD AD CD，PA AD A,CD 平面PAD， AF 平面PAD， AF CD PD CD D， AF 平面PCD， GE 平面PCD， GE 平面PEC，平面PCE 平面PCD；
∴ an n .( n N * )
(Ⅱ)
解：由（1）可知
bn
1 n2
-5-
1
1 11
n2
n(n 1)
n n1
Tn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 1 ) n n n 1 n 1
20．解：（Ⅰ） AT AB 0 AT AB ,从而直线 AC 的斜率为 3 ． 所以 AC 边所在直线的方程为 y 1 3(x 1) ．即 3x y 2 0 ．
22.解（I）：设曲线 C 上任意一点 P x, y ，则点 Q x, 2y 在圆 O 上，
x2
2y2
4,即
x2 4
y2
1，曲线 C
的参数方程是
x 2cos
y
sin
为参数
（II）联立直线
l
与曲线
C
得
A
2,
0
,
B
0,1
, 线段AB的中点N的坐标为
1,
1 2
，
设直线 l 的倾斜角为
，则 tanHale Waihona Puke Baidu
A．3
B．1
C．-3
D．1 或-3
2．已知 an 为等差数列,若 a1 a5 a9 8 ,则 cos(a2 a8 ) 的值为
A． 1 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 3 2
3．若椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3 ，则双曲线 y 2 x 2
2
a2 b2
1的离心率为
又原不等式的解集是空集， a 3 3 a 6或a 0，
D. (2,3)
7. 执行如图所示的程序框图，输出的 S=（ ）
A.5100
B.2550
C.5050
D.100
8．已知直线 x y a 与圆 x2 y2 4 交于 A, B 两点，且 | OA OB || OA OB |
（其中 O 为坐标原点），则实数 a 的值为
-1-
A． 2
B． 6
3
3
8
8
4＋ 4 ＝4· 4 ,….若 8＋ a ＝8· a
15
15
t
t
（ a,t 均为正实数），类比以上等式，可推测 a,t 的值，则 a t ＝
15 ． 在 ABC 中 ， 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c, 且 c 2,C 60 ， 则 a b sin A sin B
=
．
16．函数
f
(x)
x2 1
( x 0) 的零点个数为_________．
x 2 ln x ( x 0)
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 12 分)
已知函数 f (x) 2sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2(x ) 3 为偶函数， 且 0,
2
sin(2x ) 3 cos(2x ) 2sin(2x ) 3
-4-
由 f (x) 为偶函数得 k , k Z
3
2
k , k Z 又 [0, ]
6
6
（Ⅱ）由 f (x) 1 得 cos 2x 1 2
又 x 为三角形内角， x (0, )
x 或x 5
x 1对称，且 f (1) 2 ，则 f (2013)
A．2
B．3
C．4
D．0
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填写在题中的横线上.
13. 右图中的三个直角三角形是一个体积
为 20cm3 的几何体的三视图，则 h=
cm
14．已知 2＋ 2 ＝2· 2 ， 3＋3 ＝3· 3 ,
A． 3
B． 5 2
C． 7 2
D．2
4．函数 f (x) Asin(x ) （其中 A 0,| | ）的图象如图所示，为了得到 g(x) sin 2x 的 2
图像，则只需将 f (x) 的图像
A．向右平移 个长度单位 6
B．向右平移 个长度单位 12
C．向左平移 个长度单位 6
D．向左平移 个长度单位 12