2015.1.1--实变函数-练习+模拟题(1)

同学们：元旦快乐！

1月4日，上课地点：1F-315，时间不变。

复习提示：这些是类型题。大家认真复习，掌握相关知识点。 考试要求：带学生证，不得作弊，否则清出考场！

第一次部分 一、分析题

A 集合、点集、测度论

1、说明无聚点的集合与只有孤立点的集合的关系.

答：⑴ 只有孤立点的集合不一定是无聚点的集合. 如：',1,,3

1

,21,1R n E ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，{}0'=E .

⑵ 无聚点的集合不一定只有孤立点. 如：φ=E ，φ='

E . 2、任意多个闭集的并集一定是闭集么？回答并举例说明.

答：不一定.例：),3,2(11,1

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n n n

F n ，则n F 为闭集，但)1,0(2==∞=n n F U F 是开集.

3、试举出1

R 中这样的点集:其极限点一部分在点集中，另一部分不在点集中. 答：令[]{1,0|∈=x x Q ，x 是有理数

}，则Q 的极限点全体就是[]1,0，则Q 就是1R 中这样的集合.

4、任意多个开集的交集一定是开集么？回答并举例说明.

答：不一定.例如：),,2,1(),1

1,11( =+--=n n

n G n 每个n G 是开集，但]1,1[1-=⋂∞

=n n G 不是开集.

5、（-1，1)与()+∞∞-,对等么？说明理由.

答：对等. )2

tan()(x x f π

=是（-1，1)到),(+∞-∞的一一对应.

6、设12,G G 是开集，且1G 是2G 的真子集，是否一定有12mG mG <？回答并举例讨论说明. 答：不一定有12mG mG <.

例如：111(0,)(,1)22

G =⋃，2(0,1)G =. 虽然1G 是2G 的真子集，但121mG mG ==. 7、(]1,0与[)1,0是否对等？若对等，做出它们间的一一映射.

答：对等. 因为 ()0,1

(),0,1x f x x x =⎧⎪=⎨∈⎪⎩

是(]1,0到[)1,0上的一一映射.

10、说明为什么可数集合在无限集中具有最小的基数？ 答：任一无限集都至少包含一个可测子集.

12、有界可测集与测度有限的可测集之间有什么关系？

答：若E 有界，则+∞

.反之不真，如有理数集全体，0=mE ，但无限. 13、回答并扼要说明集合的基数与集合的测度之间的关系. 答：当集合基数为0,n,a 时，其测度一定为0； 但反之不真，如康托尔集P 的测度为零但基数为c.

当集合E 的基数为c 时，E 可能是零测度集，如康托尔集P ；

E 可能是正测度集，如[0，1]； E 也可能是测度无限的集，如R.

14、平面上坐标为有理数的点组成的集合是否为可数集？回答并证明. 答：平面上坐标为有理数的点组成的集合是可数集. 设{}

(,),x y D P x y x y ==分别独立地跑遍有理数集，

则D 为平面上坐标为有理数的点的全体，D 中元素依赖于两个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D 为可数集.

15、设()

1E R ⊂为正测度集，问是否12x x E ∃∈,，使12x x -为无理数？ 答：存在.

由0mE >，可知E 具有连续基数.现取1x E ∈，做集合{}

1x x x E A -∈=，则A 与{}1E x -一一对应，即A 亦具有连续基数.故1()x x x E -∈不可能全是有理数，即2x E ∃∈，使12x x -是无理数，从而12x x -为无理数.

16、证明：设A 是以平面上有理点（即坐标都是有理数)为中心、以有理数为半径的圆的全体，则A 为可数集.

证：用xyr a 表示以平面上(,)x y 为中心，以r 为半径的圆，则

{},,x y r A a x y r Q =分别独立地跑遍有理数集，

则A 中元素依赖于三个独立记号，而每个记号各自跑遍一个可数集，故D 为可数集. 17、1

R 中至少有一个内点的集合若可测，问其测度可否为零？为什么？ 答：不可能.

设0x E ∈是E 的一个内点，则00δ∃>使0000(,)x x E δδ--⊂.由测度的单调性知

00000(,)20mE m x x δδδ≥--≥>.

B 可测函数与积分理论

1、从()f x 可测能否推出)(x f 也可测？回答并举例说明.

答：不能.设1E 是[]1,0中的不可测子集(具正测度的集合，一定有不可测子集)，令

[]1

12,()2,0,1x E f x x E ∈⎧⎪=⎨

-∈-⎪⎩

， 则因[]10E f E =>是不可测集，可知f 不是[]1,0上的可测函数.然而()2f x ≡于[]0,1，为可测函数. 2、设()f x 于E 上可积，令n E E f n =⎡≥⎤⎣⎦，是否有lim 0n x mE →∞=？回答并证明. 答：一定有lim 0n x mE →∞

=.

因为()f x 于E 上可积，所以

()E

f x dx S =<∞⎰

.但是

(),n

n

n

E E S f x dx ndx n mE ≥

≥

=⋅⎰

⎰

所以1

n mE S n

≤

，因而有lim 0n x mE →∞=.

3、设311,,()1,,

x x P f x x Q ⎧∈=⎨∈⎩其中[]{1|0,1Q x x =∈，x 是有理数

}， []{1|0,1P x x =∈，x 是无理数}，

)(x f 在]1,0[上黎曼可积么？勒贝格可积么？为什么？若可积，计算10

().f x dx ⎰

解：在]1,0[上)(x f 不是黎曼可积的，因为除1=x 外，]1,0[上的点全是)(x f 的间断点，即)(x f 的间断点所成之集[0,1)是一个正测度集. )(x f 是勒贝格可积的.因]1,0[是测度有限集,且)(x f 在]1,0[上是有界可测的.令3

(),[0,1]x x x ϕ=∈,显然()x ϕ在[0,1]上黎曼可积,则..)()(e a x x f ϕ=于],1,0[()f x 在

[0,1]上也黎曼可积，且10().f x dx ⎰113001

()()4

L x dx x dx ϕ===⎰⎰.

5、几乎处处收敛、基本上一致收敛以及依测度收敛的关系如何？ 答：

E

f f n 于⇒E

u a f f n 于..→E

e a

f f n 于..→叶果洛夫定理mE<+∞

Lebesgue 定理

mE<+∞

叶果洛夫逆定理

子列

Riesz 定理

子列

计算题

1、求集列10,1(1)

,1,2,3,n

n n ⎛⎫

+-= ⎪⎝

⎭

的上、下极限集.