第六讲 相似原理与量纲分析(习题)
量纲分析习题
[例6—8—2] 试用定律分析球体绕流阻力的方程形式。
思考题
第四章相似原理和量纲分析
1．何谓几何相似，运动相似和动力相似？试举例说明之。
2．为了确定所有动力学量的比例尺，工程上一般选取哪三个量作为基本比例尺。
3．何谓牛顿相似准则，试写出牛顿数的表达式及其物理意义。
4．试写出佛劳德数、雷诺数、欧拉数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯数的定义式及其物理意义。
5．保证两流动相似的条件是什么？由这些相似条件可以解决模型试验中哪些问题？
6．何谓工程中常常采用的近似模型试验方法？请举例说明之。
7．对于无压的明渠流动及其它水工建筑物中的流动，应考虑什么准则数？对于有压的粘性管流或其它有压内流，又应该考虑什么准则数？8．何谓量纲分析法？它对于进行模型试验有何作用？
9．试述利用瑞利法和π定理，探索流动规律的基本思路。
10．应用量纲分析法探索运动规律时，必须注意哪几点？。
相似原理和量纲分析习题
第三节流动相似条件流动相似：在对应点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。
相似流动必然满足以下条件：1．任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；2．相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解，即流动满足单值条件；3．由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流动相似也必须满足的条件。
模型实验主要解决的问题：1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质；2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量；3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程式。
该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。
第四节近似模拟试验完全相似和不完全相似动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等，如果满足则称为完全的动力相似。
但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。
所以通常考虑主要因素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
例如：粘滞力相似：由得重力相似：由得由此可以看出，有时要想做到完全相似是不可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流动相似的条件，可设计模型和安排试验。
这些条件是几何相似、运动相似和动力相似。
前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原型设备中去。
在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准则，即称之为局部相似。
如上面的粘性不可压定常流动的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸和介质的选择就自由了。
有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则已失去判别相似的作用。
称这种状态为自模化状态，称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。
第四版传热学第五、六,七 八 章习题解答
第五章复习题1、试用简明的语言说明热边界层的概念。
答：在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，而在此薄层之外，流体的温度梯度几乎为零，固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。
2、与完全的能量方程相比，边界层能量方程最重要的特点是什么？答：与完全的能量方程相比，它忽略了主流方向温度的次变化率σα22x A ，因此仅适用于边界层内，不适用整个流体。
3、式（5—4）与导热问题的第三类边界条件式（2—17）有什么区别？答：=∂∆∂-=yyt th λ（5—4）)()(f w t t h h t-=∂∂-λ （2—11）式（5—4）中的h 是未知量，而式（2—17）中的h 是作为已知的边界条件给出，此外（2—17）中的λ为固体导热系数而此式为流体导热系数，式（5—4）将用来导出一个包括h 的无量纲数，只是局部表面传热系数，而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。
4、式（5—4）表面，在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热，那么在对流换热中，流体的流动起什么作用？答：固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关，流动速度越大，边界层越薄，因此导热的热阻也就越小，因此起到影响传热大小5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容？既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解，那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义？答：对流换热问题完整的数字描述应包括：对流换热微分方程组及定解条件，定解条件包括，（1）初始条件 （2）边界条件 （速度、压力及温度）建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系，每一种关系都必须满足动量，能量和质量守恒关系，避免在研究遗漏某种物理因素。
基本概念与定性分析5-1 、对于流体外标平板的流动，试用数量级分析的方法，从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式：x xRe 1~δ解：对于流体外标平板的流动，其动量方程为：221xy u v dx d y u v x y u ∂+-=∂∂+∂∂ρρ 根据数量级的关系，主流方的数量级为1，y 方线的数量级为δ则有2211111111δρδδv +⨯-=⨯+⨯ 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级，那么，等式右侧也是数量级为1级， 为使等式是数量级为1，则v 必须是2δ量级。
流体力学：量纲分析与相似理论-习题
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水
的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系
式表示为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k aQbH c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 3M ] [L2T 2M ]a[L3T 1]b[L]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c
a=1
T：-3=-2a-b
b=1
M：1=a
c=1
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
题目
何为模型试验的力学相似，它包括那几个方 面的内容？ 答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对
应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之 间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量 与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强 的数值等）。
流体力学相似包括以下四个方面： 1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似
得到同样结果）
V
1/ l
2
( vP )2/3 vm
4.11/ 2
4.初始条件和边界条件相似。
题目
为什么每个相似准则都要表征惯性力？
答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来
运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体
动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状
态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多
水力学第六章 量纲分析和相似原理
任何一物理过程，包括有量纲物理量 k+1 个： x1, x2 ,, xk1 ；
而在这些物理量中的基本物理量为 m 个，于是就可以把这些量排
列成 k+1—m 个独立的无因次参数 1, 2 ,, k1m 。 f (x1, x2 , x3, xk1) f1(1, 2 , 3, k1m ) 定理应用依赖于理论分析和实验研究。
流动的动力相似，要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力成比例
Fp Gp Tp Pp S p E p I p Fm Gm Tm Pm Sm Em I m
在水流实验中主要有
Fp Fm
Gp Gm
Tp Tm
Pp Pm
Ip Im
或 F
G
T
P
I
§6-2 相似原理 • 2运动相似
要求两流动的相应流线几何相似，或相应点的流速大小成比例，方向相同。
时间比尺
t
tp tm
速度比尺
up um
lp /tp lm / tm
l t
u
加速度比尺
a
up /tp um / tm
u t
l t2
§6-2 相似原理 • 3动力相似
• ②糙率相似；
• ③流动尽可能处于阻力平方区；
• ④模型对最小水深的要求(表面张力影响)；
• ⑤模型应遵守的规范。
hm0.05m
本章小结： 1量纲和谐原理。 2流动相似概念，几何、运动、动力相似。 3相似准数，雷诺准数，弗汝德准数。 本章无习题，熟悉基本概念 例6－1的推导过程。
以压力表示
Fp Fm
Ep Em
第6章量纲分析与相似原里
我国： 我国： 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室（第一水工所） 1946年 北洋大学与华北局建成水力学实验室（第一水工所） 1953年 第一水工所解体，一部分去北京建立水科院， 1953年 第一水工所解体，一部分去北京建立水科院，而 后建南京水科院（南试处） 后建南京水科院（南试处） 一部分留天津大学（水利馆） 一部分留天津大学（水利馆） 现在：科研机构众多（各省市、大设计院、大学） 现在：科研机构众多（各省市、大设计院、大学）,都建有水 工试验厅（ 工试验厅（室）。
−1
−2
=M L
α
−3α
L LT
β γ
−γ
对于M 对于M： α = 1 对于T 对于T： γ = 2 对于L： − 1 = −3α + β + γ 对于L 解出， 解出， 得
α =1
β =0
γ =2
∆p π4 = 2 ρv
又 即
∆ π5 = x y z ρ d v
L = M x L−3 x Ly LzT − z
研究、解决、 研究、解决、 发现、 发现、发明
模型试验的理论与方法是工程师必备知识！ 模型试验的理论与方法是工程师必备知识！ 是工程师必备知识
6.1.量纲分析（因次分析） 6.1.量纲分析（因次分析） 量纲分析
6.1.1 量纲 物理量：包括量的种类和数值。 物理量：包括量的种类和数值。 物理量的种类——量纲（因次） 量纲（因次） 物理量的种类 量纲 基本量纲： 基本量纲： M ，L ， T 。 导出量纲： 导出量纲：流速 L / T ，面积 L2 密度 M / L3 。 无量纲量（无因次） 无量纲量（无因次）——纯数 纯数 如：雷诺数
Re = vd
，
ν
第六章 流体力学的试验研究方法相似原理和量纲分析
和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构。 和管径d有关，试用瑞利量纲分析法建立V 的公式结构。 [解] 假定 vc = kρ α ⋅ µ β ⋅ d γ 为无量纲常数。 式中k为无量纲常数。 将各物理量的量纲
vc ] = LT −1 , [ ρ ] = ML−3 [
µ ] = ML−1T −1 , [ d ] = L [
（8-5b） 5b）
§8.2 相似准则与量纲分析
若模型与原型系统相似， 若模型与原型系统相似， 几何相似 运动相似 满足相似条件
x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm
v px = Cv vmx , v py = Cv vm y , v pz = Cv vm z , t p = Ct tm
∂vpz
∂vpz
∂vpz
（8-5a） 5a）
∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz + vpx + vmy + vmz = −gm − + 2 + 2 + 2 ρm ∂zm ρm ∂x m ∂y m ∂z m ∂tm ∂xm ∂ym ∂zm
动力相似
p p = C p pm , g p = Cg g m ,
其他物理量
ρ p = C ρ ρ m , µ p = Cµ µ m ,
（8-6）
§8.2 相似准则与量纲分析
（8-6）代入（8-5），可得到以模型参数和相似比例尺 代入（ ），可得到以模型参数和相似比例尺 表示的原型流动方程
2 CV ∂vmz CV ∂vmz ∂vmz ∂vmz + vmx + vmy + vmz = Ct ∂tm Cl ∂xm ∂ym ∂zm Cp 1 ∂pm Cv Cµ µm ∂2vmz ∂2vmz ∂2vmz −Cg gm − + 2 2 + 2 + 2 （8-7） CCρ ρm ∂zm C lCρ ρm ∂x m ∂y m ∂z m l
水力学-第6章相似原理与量纲分析 - 发
❖ 量纲分析法有两种： ❖ 一种适用于影响因素间的关系为单指数形式的场合，
称瑞利法； ❖ 另一种具有普遍性的方法，称定理 。
❖
❖ (1) 瑞利法
❖ 如果对某一物理现象经过大量的观察、实验、分析，找出影响 该物理现象的主要因素为y,x1,x2,….,xn,他们之间的函数关系式为
dim LaT b M c
(2-1)
变换基本量纲的指数a,b,c的值，就可表示出不 同性质的导出量纲。
d im La T b M c
❖ 按照基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以 下三类：
▪ 如果a≠0，b=0，c=0为几何学量纲
❖ 长度L、面积L2、体积L3、高度L
▪ 如果a≠0，b≠0，c=0为运动学量纲
模拟堰流、明渠流、孔流等式，应选用雷诺模型
本章结束
Fp Fm
plp2vp2 mlm2vm2
l2v2 F F l / v F t 1Fra bibliotek2 l
2 v
3 l
v
mv
动
Ne
F
l2v2
(Ne )p (Ne)m
力 相 似
两个流动的动力相似，归结为牛顿数相等
在相似原理中，量纲一的量，如牛顿数，称相似准数； 动力相似条件（如相似准数相等）称相似准则，作为判断流动是否相似的根据
成比例，方向相同，主要是指两个流动的力场相似。
❖ 如密度比尺，动力粘度比尺，作用力比尺可分别表示为
❖
p m
(2-12)
❖ ❖
p m
(2-13)
❖
❖
F
Fp Fm
(2-14)
• （4）初始条件与边界条件相似
流体力学-第八章 量纲分析和相似原理习题
第八章量纲分析和相似原理复习思考题1．何谓量纲？量纲和单位何不同？2．量纲分析方法的理论根据是什么？3．怎样运用瑞利法建立物理方程？4．怎样运用 定理建立物理方程？5．几何相似、运动相似、动力相似的涵义是什么？6．何谓相似准则？模型实验怎样选择相似准则？7．各相似准数（Re、Fr、Eu）的物理意义是什么？习题选择题8—1 速度u、长度l、重力加速度g的无量纲集合是：(a)lv/g；(b)v/(gl)；(c)l/(gv)；(d)v2/(gl)。
8—2 速度v,密度ρ、压强p的无量纲集合是：(a)ρp/v；(b)ρv/p；(c)ρv2/p；(d)p/(ρv2)。
8—3 速度v,密度ρ、时间t的无量纲集合是：(a)v/(lt)；(b)t/(vl)；(c)l/(vt2)；(d)l/(vt)。
8—4 压强差Δp、密度ρ、长度l、流量Q的无量纲集合是：(a)ρQ/(Δpl2)；(b)ρl/(ΔpQ2)；(c)ΔplQ/ρ；(d){ρQ/(Δpl2)}1/2。
8—5进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：(a)雷诺准则；(b)弗劳德准则；(c)欧拉准则；(d)其它准则。
8—6进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：(a)雷诺准则；(b)弗劳德准则；(c)欧拉准则；(d)其它准则。
8—7 雷诺数的物理意义表示： (a)粘滞力与重力之比； (b)重力与惯性力之比； (c)惯性力与粘滞力之比； (d)压力与粘滞力之比。
8—8 明渠水流模型实验，长度比尺为4，模型流量应为原型流量的： (a)1／2； (b)1／4； (c)1／8； (d)1／32。
8—9 压力输水管模型实验，长度比尺为8．模型水管的流量应为原型输水管流量的： (a)1／2； (b)1／4； (c)1／8；(d)1/16 计算题8—10 假设自由落体的下落距离s 与落体的质量m 、重力加速度g 及下落时间t 有关，试用瑞利法导出自由落体下落距离的关系式。
华中科技大学 工程流体力学 第6章 相似理论和量纲分析习题解答
第6章 相似理论和量纲分析----习题参考答案(6原为5)6.1 解：贮水箱贮水主要受重力作用，所以动力相似的条件为傅汝德数相等。
即：v =，m p v v ==v C =又 =⨯流量速度面积522m m m Q v S v l l p p p Q v S C C C C C C Q v S =====因 33333///p m m m mQ l t p p p p m t Q l t l C C C Q l t l t ====则 532/llt C C C =， 12mt l pt C C t ==求得实物贮水箱贮水的时间为12/460min p m lt t C ===6.2 解：依题意只计重力影响，可得动力相似的条件为傅汝德数相等。
即：v =，m v v v ==, 已知 21400l S C C ==， 则 120l C =， 所以模型长度为 160 3 m 20m p l l l C ==⨯=，船速为6 1.34 m/s m v =≈. 6.3 解：由量纲分析推得汽车所受的阻力为：22(Re)R v l f ρ=两流动若要动力相似，它们的雷诺数必须相等，即 由p pm mpmv l v l νν=，已知16m l p l C l ==，p m ννν==得：16p m l mp v l C v l === 又 222222221mpp p p pm m m m R v l v l R v l v lρρ===，于是得原型的阻力为：510p m R R ==N 。
6.4 解：(1)与兴波阻力有关的相似准数为傅汝德数。
由v =， 已知 3700010.28 m/s 3600p v =≈，船模速度 (拖车速度)为10.28 1.88 m/s m v v =≈≈； (2) 由兴波阻力系数相等： 22221122p m p p m m R R v l v l ρρ=，得：223310.1930275130 N p p p p m m m m m v l l R R R v l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6.5 解： 已知25e v =m/s ，30e m h h ==m ，/1/6m e g g =。
第六章 量纲分析和相似原理_图文
（2）普适性。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
5
（二）量纲和谐原理
1、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，
即：只有方程两边的量具有相同的量纲，方程才能成立。这称为量纲和
谐原理。
2、 量纲和谐原理的重要性
1 ( , ) D Re
可见：量纲分析可以建立各物理量间的关系，要确定 数量关系还要通过实验以确定公式中的系数。 同时，量纲分析还给出了试验途径。
第六章 量纲分析和相似原理——量纲分析
10
2、布金汉（Buckingham）定理
（1）定理：对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即
解：函数式为：
p f ( , Q , D1 , , D2 , L, )
y1 z1
选取 、Q、D1为基本变量，则存在8-3=5个 数
1 p /( Q D1 )
x1
2 /( Q D1 )
x2 y2 z2
3 D2 /( Q D1 )
x3 y3 z3
f ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Lp , u, D, , , , g ) 0
p / L 1 x1 y1 z 1 u D
的个数N()=n-m=7-3=4。取u， D， 为基本量，则与⊿p/L的π 1 为：
1= ⊿p/L /(u x1Dy1 z1 )= [ML-2T-2]/{[L T-1 ] x1 [L ]y1 [ML-3 ]z1 }
3、基本量纲（Primary Dimension）：具有独立性的，不 能由其他量纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度 [L]、时间[T]、质量[M]。 4、导出量纲（Derived Dimension）:是指由基本量纲导出的量 纲。
传热学第六章相似理论
混合对流的实验关联式这里不讨论。 推荐一个简单的估算方法：
Nu
n M
Nu Nu
n F
n N
式中： Nu M 为混合对流时的 Nu 数， Nu N 则为按给定条件分别用强制对流 而 Nu F 、 及自然对流准则式计算的结果。 两种流动方向相同时取正号，相反时取负号。 n之值常取为3。
思考题：
(2) 实验方法直接获取（bulk temperature）
对流体进行充分的混合， 以保证测得的温度是截面 平均温度
长通道表面的平均表面传热系数
迪图斯-贝尔特（Dittus-Boelter）公式 ——广泛适用
适用范围：
水：不超过20~30K 此式适用与流体与壁面具有中等以下温差场合 气体：不超过50K 油：不超过10K
对于气体横掠非圆形截面的柱体或管道的对流传热也可采用上式c及n的值见下表d为特征长度横掠管束换热实验关联式叉排换热强阻力大易积灰不利于清洗顺排阻力小积灰少易于清洗外掠管束内部强迫对流随着主流方向管排数的增加流动和传热进入周期性充分发展阶段局部某排管束的平均表面传热系数不变
第六章
单相对流传热的实验关联式
因此，我们需要知道某一物理现象涉及哪些特征数（无量纲数）？ 它们之间的函数关系如何？
5. 导出特征数的方法：相似分析法和量纲分析法
相似分析法：在已知物理现象数学描述的基础上，利用描述该现 象的一些数学关系式，来导出对应物理量的比例系数（相似倍数） 之间的制约关系，从而获得相似准则数。 数学描述： 现象1：
与现象有关的物理量一一对应成比例：例如，对流传热除了时间空间外 还涉及到速度，温度，热物性等参数，要求每个物理量都要各自相似。 非稳态问题：要求相应的时刻各物理量的空间分布相似。
相似性原理和量纲分析
tp tm
lp lm
vp vm
t
v2 l
4
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
5
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
6
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的
24
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表
名称
长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λυ=1
λl λl-1 λl-3 λl
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
25
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
20
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
16
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
六章量纲分析与相似原理
根据量纲一致性原理确定基本量纲的指数
V p 2f1(V g,dV ,d V 2d, E V /,d l, d)
例
V p2f1(F,rR,eW ,M ,ed l,
) d
题 不可压缩圆管流粘性摩擦为主，忽略Fr，We，M
p
V2
l f2(R,ed,
) d
p
V2
l d
f3(Re,d)
p(Re,) l V2 达西公式
6.3 流动相似原理
2. 基本方程分析法 （x 方向N-S 方程）
u t u u x v u y w u z fx 1 x p ( x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2 )
优令点：导u*出V u的, v相*V 似v,准w*则V w数, x*物L x理, y*意L y义, z明*L 确z ； 无量f纲x*方fgx程, f*y既适fgy,用fz*于fg模z,型p*也pp适, t*用t于f 原型。
这些无量纲数存在函数关系
F (1 , 2, 3,..n . m ,)0
不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）： 1、几何相似要求有一个长度量纲 2、运动相似要求有一个速度量纲 3、加上一个包含质量的量纲
例2. 已知圆球的流体阻力与圆球直径d、相对速度的
船模水池 造波机
第六章 量纲分析和相似原理
习题 6-7
(量纲分析, 由功率数相等求V, M) 6-13
Re VL 惯 粘性 性力 力
Fr
V Lg
惯性力 重力
Eu
p0
V2
压力 惯性力
StV fL非 对 定 流 常 惯 惯 性 性 力 力
6.3 流动相似原理 四、自模化
尼古拉兹曲线
关于自模化区lo实g1(0验0) —— 设计模型实验只要求流动处于同一自模化区， 而不必要求两个圆柱流绕流动的动力相似参数严格相等。
流体力学第三版(刘鹤年)第六章 量纲分析和相似原理
欧拉准则可自行成立。所以雷诺准则和弗劳德准则又被称
为独立准则，欧拉准则称为导出准则。
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6.4 模型实验
模型实验是根据相似原理，制成和原型相似的小尺度 模型进行实验，并以实验的结果预测出原型将会发生的流 动现象。 6.4.1 模型律的选择
1、模型实验做到与原型完全相似是困难的，一般只能达
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6.2 量纲分析法
6.2.3 量纲分析方法的讨论 1、量纲分析方法的理论基础是量纲和谐原理，凡正 确反映客观规律的物理方程，量纲一定是和谐的。 2、量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。 3、应用量纲分析方法得到的物理方程式是否符合客
观规律，和所选入的物理量是否正确有关。
4、量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数 据提供了科学的方法，是沟通流体力学理论和实验之 间的桥梁。
第6章 量纲分析和相似原理
土木工程学院
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中国当代之父母应当怎么做（此文18处提到父母一词）
中国教育之希望，不在我中国之少年，而在华夏之父母！ 中国教育之根本，不在大学，也不在大师，而在千万家庭，亿万父母。 国家兴亡，父母之责。 父母兴，则中国兴，父母强，则中国强。 若中国之父母，人人好学，事事精进，则中国之少年，人人优秀，个个精英。 父母是上帝，孩子定是天使，当今中国也必定是人间天堂。 父母与人为善，亲侍双亲，以孝为先；孩子定以父母为荣，习得感恩，懂得责 任。 父母仁爱，孩子必爱心！ 父母圣贤，孩子定明贤！ 父母尊天，敬地，爱人，孩子必明德，守义，克己！ 父母好学，视学习为乐，孩子定尚学，以学习为乐。 父母不学习，以学习为苦，孩子定以学习为苦，避而逃之。 父母身先士卒，率先垂范，孩子定身体力行，以身效仿。 父母懂教育，会教育，爱教育；孩子必成人，定成才，终成功！ 中国教育的希望，不在孩子，而在父母。 所有的教育，离不开父母的以身作则，父母想让孩子成为一个怎样的人；首先自 Page 2 己要成为这样的人。
第六讲 相似原理与量纲分析(习题)
例5-1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m 长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d p=d m，故上式可写成或将已知条件νp= 0.13cm2/s ，νm= 0.0131cm2/s代入上式，得即当模型中流量Q m为0.0181m3/s时，原型与模型相似。
（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足已知，则原型输油管的压强差为也可以写成这里，引入了A p=A m(d p=d m)及g p=g m。
所以，5m长输油管的压差油柱为例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。
求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。
即由于由于g p=g m，故上式可写成所以或例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s ，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。
解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。
因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。
（2）由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。
现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。
量纲分析与相似原理
2 量纲分析方法
通过对物理参数之间的函数关系进行量纲分析，可以 找出物理参数之间的实质性联系，从而简化函数关系。 布金汉（E. Buckingham）1914年提出了 定理。
定理（布金汉定理）
设一物理现象与 n 个物理参数 ( q1，q2，……，qn )
相关，即 f ( q1，q2，……，qn ) = 0 且上述 n 个物理参数所涉及到的基本量纲数为 m，则该 物理现象可由 n- m 个独立的无量纲参数 (1， 2，……， n-m ) 之间的函数关系式描述，即 F (1， 2，……， n-m ) = 0
例 写出流体动力粘度 在国际单位制中的量纲。
解 由牛顿内摩擦定律 在国际单位制中 :
知
du dy
[] [ ] y /[V ]
力的量纲是 LMT-2 ，应力 的量纲是 L-1MT-2，
y 的量纲是 L，速度 V 的量纲是 LT-1； 动力粘度 的量纲为 []=L-1MT-2 L/LT-1=L-1MT-1
我国的法定单位制是国际单位制 基本量纲
长度 L 、质量 M 、时间 T 、温度 。
导出量纲 速度 LT-1 、加速度 LT-2 、力 MLT-2 、等等。
不可压缩流体的流动问题与温度变量无关， 只涉及到前 3 个基本量纲。 只有同类别的物理参数才能够比较彼此的大小， 因此方程中每一项的量纲都必须是相同的。
1、2 应该是无量纲的，所以
1 a 0 1 3a b c 0 2b 0
解出
1 e 0 1 3e f g 0 1 f 0
a 1 , b 2 , c 2 , e 1 , f 1 , g 1
例 考虑等截面水平圆管中的流动。压力降 p 取决于 管长 l、平均流速 V、流体动力粘度 、流体密度 、管直径 d、管壁粗糙度 。试确定独立的无 量纲参数 。
最新六章量纲分析与相似原理
a1=1, 3a1b1+3c1=1, b1= 2 (1)
题
2 :M 1 T 1 L (M 3 )a 2 (L 1 )b 2 (T c L 2 )
a2=1, 3a2+b2+c2=1, b1=1 (2)
解出
1
FD
V 2d 2
2
Vd
CD f(Re)
例3.试用 定理求直圆管的压强差关系式。已知压强 差与流体的密度 、粘度 、弹性模数E、平均速度V、 管径 d、管长 l、粗糙高度 、重力g、表面张力有关。
0
6.3 流动相似原理
三、动力相似准则 ——相似性参数
两个流动力学相似，则有相同的无量纲综合参数
惯性力与压力之比相等
Eu
p V 2
欧拉数
的量级用比特mm值征maa构物m 成理相量ppm似表LL22m准示则各数种l3Vp。力2l2的/l 量(级l，3Vp用2l2/l这)m些力
惯性力与粘性力之比相等
L3V2 / L2 V
力学相似 （1）几何相似 （2）运动相似 （3）动力相似
C
Dp
RMeapFupDVd
1 2
cV2
A
6.3 流动相似原理
实物和模型力学相似的三个方面：
（1）几何相似
ddmllm mxxm.. .Cl
A Am
( l )2 lm
Cl2
用特征长度表示这些比值: d、L ...
6.3 流动相似原理
（2）运动相似
解：按题意这一关系式可表达为
p f( V ,,d ,l, ,g ,,,E )
例
题
有n=10个变量，m=3个独立变量 ，取、V、d
无量纲 的个数是 n-m=7，设为
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例5-1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m 长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？
解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d p=d m，故上式可写成
或
将已知条件νp= 0.13cm2/s ，νm= 0.0131cm2/s代入上式，得
即当模型中流量Q m为0.0181m3/s时，原型与模型相似。
（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足
已知，则原型输油管的压强差为
也可以写成
这里，引入了A p=A m(d p=d m)及g p=g m。
所以，5m长输油管的压差油柱为
例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。
求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？
解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。
即
由于
由于g p=g m，故上式可写成所以
或
例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s ，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。
解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。
因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。
（2）
由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。
现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。
于是模型液体的运动粘度应为νm=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s了。
（3）模型流体选好后，由于所选择的νm不再等于0.0925cm2/s ，所以对长度比λL应
进行修正
即长度比λL应为4.1，而不是4。
因此模型油罐的直径为
流速比λv按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）；
从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。
时间比λt按雷诺准则求得
加速度比λa
例5-4、确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式
(录像1-圆柱绕流yanzhull1)
解：单位长度所受的阻力F D=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U：
依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为
F D=kD x U yρzμa
应用[M-L-T]制，并代入相应的量纲
[ML0T-2]=[L] x[LT-1 ]y[ML-3 ]z [ML-1T-1 ]a
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。
因此
M:1=z+a L: 0=x+y-3z-a T:-2=-y-a
得x=1-a，y=2-a，z=1-a
故F D=kD1-a U2-aρ1-aμa
或
例5-5、确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
解影响τ0的独立影响因素有液体的密度ρ，液体的动力粘度μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为
写出量纲关系式为
排列量纲和谐方程求各指数。
联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。
将各指数值代入函数关系式中得
整理得
令
式中λ——系数，由实验确定。
所以
例5-6：管中紊流，单位管长沿程水头损失h f/L，取决于下列因素：流速υ ,管径D，重力g，
粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形
式。
解：
取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然h f/L是一个π，因h f和L
量纲都是长度。
π1=υx1D y1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]
则
L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0
由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。
类似有：
π2=υx2D y2ρz2△π3=υx3D y3ρz3g
可得：
x2=0，y2=-1，
z2=0 x3=-2，y3=1，z3=0
写成π数为：
即
解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例5-7：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。
解：F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4个
对π1：
对π2：
同理得 ：
设
则
例5-8：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p 随流量Q ，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L 以及大小直径D 1,D 2变化。
试用π定律求出的压强降落△p 表示的流量公式。
解：函数式为：
图5-1
选取ρ，Q ，D 1为基本变量，则存在6-3=3个π数
将π数用量纲表示：
类似地：
并解一个π参数：
即：
例5-9：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
已知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。
解拟定函数关系式为f（D，υ，ρ，τ0，μ，△）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量），υ（运动量），ρ（动力量）为基本量建立（6~3 ）π项：
对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解a i，b i，c i 。
对π1：
同理求得
将各π代入得整理得
令
则。