第六讲 相似原理与量纲分析(习题)

例5-1 有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通过的流量为0.18m3/s ,现用水来作模型试验，当模型管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度νp= 0.13cm2/s ），问水的模型流量应为多少时才能达到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m 长输油管两端的压差应为多少（用油柱高表示）？

解（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等由于d p=d m，故上式可写成

或

将已知条件νp= 0.13cm2/s ，νm= 0.0131cm2/s代入上式，得

即当模型中流量Q m为0.0181m3/s时，原型与模型相似。

（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足

已知，则原型输油管的压强差为

也可以写成

这里，引入了A p=A m(d p=d m)及g p=g m。所以，5m长输油管的压差油柱为

例5-2 长度比λL=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？

解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。即

由于

由于g p=g m，故上式可写成所以

或

例5-3 :设有油罐，直径d为4m，油温t为20℃，已知油的运动粘度νp=0.74cm2/s ，长度比λL采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。

解（1）油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。

（2）

由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20℃的59%的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20℃的温度。于是模型液体的运动粘度应为νm=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm2/s了。

（3）模型流体选好后，由于所选择的νm不再等于0.0925cm2/s ，所以对长度比λL应

进行修正

即长度比λL应为4.1，而不是4。因此模型油罐的直径为

流速比λv按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）；

从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。

时间比λt按雷诺准则求得

加速度比λa

例5-4、确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式

(录像1-圆柱绕流yanzhull1)

解：单位长度所受的阻力F D=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U：

依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为

F D=kD x U yρzμa

应用[M-L-T]制，并代入相应的量纲

[ML0T-2]=[L] x[LT-1 ]y[ML-3 ]z [ML-1T-1 ]a

为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此

M:1=z+a L: 0=x+y-3z-a T:-2=-y-a

得x=1-a，y=2-a，z=1-a

故F D=kD1-a U2-aρ1-aμa

或

例5-5、确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。

解影响τ0的独立影响因素有液体的密度ρ，液体的动力粘度μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为

写出量纲关系式为

排列量纲和谐方程求各指数。

联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。

将各指数值代入函数关系式中得

整理得

令

式中λ——系数，由实验确定。所以

例5-6：管中紊流，单位管长沿程水头损失h f/L，取决于下列因素：流速υ ,管径D，重力g，

粘度μ，管壁粗糙度△和密度ρ，试用π定理分析确定方程的一般形

式。

解：

取v，D，ρ为基本变量，则π的个数N(π)=n-m=7-3=4，显然h f/L是一个π，因h f和L

量纲都是长度。

π1=υx1D y1ρz1μ=[LT-1]x1[L]y1[ML-3]z1[ML-1T-1]

则

L:x1+y1-3z1-1=0 T:-x1-1=0 M:z1+1 =0

由此x1=-1，y1=-1，z1=-1。类似有：

π2=υx2D y2ρz2△π3=υx3D y3ρz3g

可得：

x2=0，y2=-1，

z2=0 x3=-2，y3=1，z3=0

写成π数为：

即

解得：

常用沿程损失公式形式为：

——称沿程阻力系数，具体由实验决定。

例5-7：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有关：管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。

解：F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0

基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4个

对π1：

对π2：

同理得 ：

设

则

例5-8：如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落△p 随流量Q ，流体密度ρ，液体粘度μ，管壁粗糙度△，流量计长度L 以及大小直径D 1,D 2变化。试用π定律求出的压强降落△p 表示的流量公式。 解：函数式为：

图5-1

选取ρ，Q ，D 1为基本变量，则存在6-3=3个π数