1.3.1向量在轴上投影
空间直角坐标系课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
A.在x轴上
B.在xOy平面内
C.在yOz平面内
D.在xOz平面内
第4题
2 已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则点B的 坐
标为 （ ）
3 在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为
点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是（ ）
1
1
1
{ OA, OC , OD}
3
4
2
为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D', C, A', B'四点的坐标;
z
(2) 写出向量 AB, BB , AC , AC 的坐标.
D′
解（1）由已知
A′
D′（0，0，2），C(0，4，0）
A′(3，0，2）,B′(3，4，2）
叫做点A的竖坐标
• (2)在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作＝
Ԧ
.
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使=xԦ
Ԧ +y Ԧ +
有序实数组(x，y，z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上
Ԧ
式可简记作＝(x，y，z)
Ԧ
概念巩固
如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依
平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝135°(或 45°) ∠yOz＝90°
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手
大一高数课件第七章 7-3-1
关于向量的投影定理（ 关于向量的投影定理（1） 投影定理
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向 量的夹角的余弦： 量的夹角的余弦： Pr ju AB =| AB | cos ϕ
证
Pr ju AB = Pr ju′ AB
=| AB | cos ϕ
A ϕ
A′
B
B′′
B′
u′ u
定理1的说明： 定理1的说明： π (1) 0 ≤ ϕ < , 投影为正； 投影为正； 2 π ( 2) < ϕ ≤ π, 投影为负； 投影为负； 2 π ( 3) ϕ = , 投影为零； 投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 相等向量在同一轴上投影相等；
例4
设有向量 P1 P2 ，已知 P1 P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴
π π 的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为(1,0,3)，求 P2 的 3 4
坐标. 坐标. 解 设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ
1 π π α = , cos α = , β = , 3 2 4
2 cos β = , 2
1 Q cos α + cos β + cos γ = 1, ∴ cos γ = ± . 2 2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3
2 2 2
x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
r 向量的坐标表达式 坐标表达式： 向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }
1.3.1向量在轴上的投影
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ， 通过 A 作垂直于轴 l 的平面 ，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
空间向量在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.
B
射影向量 l
AB
与
射影 l
AB
也可分别写成
射影向量 AB 与 射影 AB
a1
B
a2
C
A
B
C
l
e
e
B
l
射影向量 AB ＝ 射影 AB e
e
e
向量的射影定理
定理 1.6.1 向量 AB 在轴 l 上的射影等于向量的模乘以轴与该向量
的夹角的余弦：
射影 l
AB
AB
cosห้องสมุดไป่ตู้,
高中数学选择性必修第一册(人教A版)1、3、1 空间直角坐标系(课件PPT)
1．点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．y 轴上
B．坐标平面 Oxy 上
C．坐标平面 Ozx 上
D．坐标平面 Oyz 上
答案 C
解析 因为点 P 的坐标中纵坐标为 0，横坐标和竖坐标都不
为 0，所以点 P 在坐标平面 Ozx 上．故选 C 项．
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【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
2．在空间直角坐标系中，点 P(－1,2,3)关于坐标平面 Oxy 对
称的点的坐标是( )
A．(1，－2，－3)
B．(－1,2，－3)
C．(1，－2,3)
D．(－1，－2,3)
答案 B
解析 由题意可得对称点的横坐标和纵坐标与点 P 的相同，
竖坐标与点 P 的互为相反数，故对称点的坐标为(－1,2，－3)．故
1．点的坐标表示：在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐 标向量，对空间任意一点 A，对应一个向量O→A，且点 A 的位置由 向量O→A唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 O→A对应的_________有__序__实__数__组__(_x_，__y_，__z)__________叫做点 A 在空 间直角坐标系中的坐标，记作_______A__(x_，__y_，__z_)________，其中 __x_叫做点 A 的横坐标，__y_叫做点 A 的纵坐标，__z_叫做点 A 的竖 坐标．
数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
= 2 × (−5) − (−2) = −8， = 2 × 4 − 1 = 7， = 2 × 3 − 4 = 2，
所以3 (−8，7，2).
课堂小结
1.空间向量基本定理：
定理如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的
有序实数组(, , )，使得 = + + .
在空间直角坐标系中的坐标，记作(，，)，其中叫做点的横坐标，
叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
新知探索
在空间直角坐标系中，给定向量，作 = .由空间向量基本定理，存在
唯一的有序实数组(，，)，使 = + + .
有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 =
例析
例1.如图，在长方体 − ’ ’ ’ ’ 中， = 3， = 4，
’
1
1
1
2，以{ ， ， ’ }为单位正交基底，建立的空间直角坐标系.
(1)写出’ ，，’ ，’ 四点的坐标；
(2)写出向量’ ’ ，’ ，’ ’ ， ’ 的坐标.
理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点和一个
单位正交基底{，}，以为原点，分别以，的方向为正
方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：轴、轴，
那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
新知探索
类似地，在空间选定一点 和一个单位正交基底 {，，} ，
以点为原点，分别以，，的方向为正方向、以它们的
来的相反数，所以对称点为1 (−2， − 1， − 4).
(2)由于点关于平面对称后，它在轴、轴的分量不变，在轴的分量变为
原来的相反数，所以对称点为2 (−2，1， − 4).
(3)设对称点3 (，，)为，则点为线段3 的中点，由中点坐标公式，可得
投影向量的知识点总结
投影向量的知识点总结一、概念1.1 向量的投影在二维空间中，如果有一个向量a，和另一个非零向量b，那么向量a在向量b上的投影就是一个与向b共线的向量，且它的方向与向量b的方向相同。
1.2 投影向量的定义设向量a、b均为n维向量，b≠0，那么向量a在向量b上的投影定义为：Proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) * b其中 a·b 表示向量a与向量b的数量积，b·b表示向量b的模的平方，Proj_b(a)表示向量a在向量b上的投影。
1.3 投影向量的意义投影向量描述了一个向量在另一个向量上的投影，从而能够帮助我们理解向量之间的关系，揭示其内在的几何和物理含义。
二、性质2.1 投影向量的长度向量a在向量b上的投影的长度为|Proj_b(a)| = |a|cosθ其中|a|表示向量a的长度，θ表示向量a与向量b的夹角。
2.2 投影向量的方向向量a在向量b上的投影的方向与向量b的方向一致。
2.3 投影向量的性质（1）零向量的投影是零向量，即Proj_b(0) = 0（2）改变向量b的长度，投影向量的长度也会相应改变（3）如果向量a与向量b垂直，那么它们的投影向量为零向量三、计算方法3.1 向量投影的计算方法向量a在向量b上的投影可以通过向量的数量积来计算：Proj_b(a) = ((a·b) / (b·b)) * b3.2 向量投影的坐标表示向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为：Proj_b(a) = (a1b / ||b||^2, a2b / ||b||^2, ..., anb / ||b||^2)其中ai表示向量a的第i个分量，||b||表示向量b的模。
3.3 向量投影的几何意义向量a在向量b上的投影，可以理解为向量a到向量b的垂直距离。
这个距离由向量的夹角和长度来确定。
四、应用4.1 物理学中的应用在物理学中，投影向量经常用于描述力的方向和分解。
1.3.1 空间直角坐标系(解析版)..
1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系知识梳理知识点一空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．题型探究题型一、空间中点的位置及坐标特征1．若空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，则=a （）A ．1B ．0C ．±1D ．1-【答案】D【详解】因为空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-；故选：D2．在空间直角坐标系中，点()2,0,3P 位于（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上【答案】D【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中,点()2,0,3P ，因为坐标中0y =，所以点()2,0,3P 位于xOz 平面上.故选：D.3．已知点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则点A '的坐标为（）A ．(2,0,0)B ．(0,9,6)C ．(2,0,6)D ．(2,9,0)【答案】D【详解】因为点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，所以A '的竖坐标为0，横、纵坐标与A 点的横、纵坐标相同，所以点A '的坐标为(2,9,0).故选：D4．已知点(),,P x y z ，若点P 在x 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为___________.若点P 在z 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为___________.【答案】(),0,0x ()0,,y z ()0,0,z (),0,x z 【详解】若点P 在x 轴上，则点P 坐标为(),0,0x ；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为()0,,y z ；若点P 在z 轴上，则点P 坐标为()0,0,z ；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为(),0,x z .故答案为：(),0,0x ；()0,,y z ；()0,0,z ；(),0,x z .题型二、求空间图形上的点的坐标1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，1AD =，12AA =，先建立空间直角坐标系，再求长方体各顶点的坐标.【详解】以点D 为原点，分别以射线DA ､DC ､1DD 为x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ､()1,0,0A ､()1,3,0B ､()0,3,0C ､()10,0,2D ､()11,0,2A ､()11,3,2B ､()10,3,2C .2．如图所示，在空间直角坐标系中，2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且90BDC ∠=，30DCB ∠=，则点D 的坐标为（）．A ．13(0)22--，，B ．13(0)22-，，C ．13(0)22-，，D ．13(0)22，，【答案】B【详解】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BDC 中，90BDC ∠=，30DCB ∠=，2BC =，得||1BD =、3CD =，所以3sin 302DE CD =⋅=，所以11cos 60122OE OB BE OB BD =-=-⋅=-=，所以点D 的坐标为13(0)22-，，，故选：B ．3．如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【详解】长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD '的中点P 点坐标为010010012,,222P +++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.4．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，则点1C 的坐标为________．【答案】()3,2,2【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，所以3AB =，2AD =，12AA =，所以点1C 的坐标为()3,2,2，故答案为：()3,2,2题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标1．如图，分别求点()2,3,4，()1,2,3-关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得：点()2,3,4关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4---；点()1,2,3-关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3----；点()2,3,4关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4------；点()1,2,3-关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3-----；点()2,3,4关于原点O 的对称点分别为()2,3,4---；点()1,2,3-关于原点O 的对称点分别为()1,2,3--.2．已知点(3,2,1)P -，分别写出它关于zOx 平面、x 轴、原点的对称点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得：点(3,2,1)P -关于平面zOx 的对称点为1(3,2,1)P ；点(3,2,1)P -关于x 轴的对称点为2(3,2,1)P -；点(3,2,1)P -关于原点的对称点为3(3,2,1)P --.3．（多选）下列各命题正确的是（）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =-【答案】ABD【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确，对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以ۥ，所以D 正确，故选：ABD4．已知()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点是(),7,6A λ'-，则,,v λμ的值为（）A ．2,4,5v λμ=-=-=-B ．2,4,5v λμ==-=-C ．2,10,8v λμ=-==D ．2,10,7v λμ===【答案】D【详解】由题意得：()()27361v λμ⎧=⎪=--⎨⎪-=--+⎩，解得：2107v λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.题型四、求空间两点的中点坐标1．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，则线段AB 的中点坐标是（）A ．(1,1,0)B ．(4,2,2)C ．(2,2,0)D ．(2,1,1)【答案】D【详解】因为点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，所以线段AB 的中点坐标是150211,,222-+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1,1.故选：D2．在空间直角坐标系中，记点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为（）A ．(1,0,0)B ．(1,1,0)--C ．(1,0,1)D ．(0,0,0)【答案】D【详解】依题意，点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点的坐标为(1,1,2)N ---，关于yOz 平面的对称点为(1,1,2)P ，所以线段NP 中点坐标为(0,0,0).故选：D3．已知三角形ABC 的三个顶点()()()2,0,00,3,00,0,4A B C ，，，则三角形的重心的坐标为___________.【答案】24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭【详解】设重心坐标为(),,x y z ，由重心坐标公式得200233x ++==，03000441,333y z ++++====.所以重心的坐标为24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.题型五、空间向量的坐标1．在空间直角坐标系中，已知点()4,3,5A -，()2,1,7B --，则AB =uu u r______．【答案】(6,4,12)--【详解】(24,1(3),75)(6,4,12)AB =------=--故答案为：(6,4,12)--2．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B uuu r的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．【详解】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．跟踪训练1．设z 为任一实数，则点()2,2,z 表示的图形是（）A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【详解】在空间直角坐标系中画出动点()2,2,z 表示的图形如图所示：故点()2,2,z 表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，故选：D.2．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,5【答案】C【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C3．判断正误（1）空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是()0,,b c 的形式．()（2）空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(),0,a c 的形式．()（3）空间直角坐标系中，点()1,3,2关于yOz 平面的对称点为()1,3,2-．()【答案】⨯√√【详解】（1）⨯.空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(),0,0a 的形式.（2）√.在xOz 平面内的点，y 坐标必为0.（3）√.空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于yOz 平面的对称点为(),,a b c -.4．（多选）在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是（）A ．x 轴上的点坐标可以表示为()0,,b cB ．y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0bC ．xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a cD ．yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 【答案】BCD【详解】x 轴上的点坐标可以表示为(),0,0a ，故A 不正确；y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0b 正确；xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a c 正确；yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 正确．故选：BCD ．5．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．【详解】依题意得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ()()()()11110,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,2A B C D 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，15AA =，点N 为棱1CC 的中点，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，1A ，1B ，1C ，1D ，及N 的坐标.【详解】由题意，知()0,0,0A .由于点B 在x 轴上，且4AB =，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0，所以点B 的坐标为()4,0,0.同理可得()0,3,0D ，()10,0,5A .由于点C 在xOy 平面内，则它的竖坐标为0，点C 在x 轴､y 轴上的投影依次为点B ､点D ，又4OB =，3OD =，所以点C 的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点C 的坐标为()4,3,0.同理可得()14,0,5B ，()10,3,5D .点1C 在x 轴､y 轴和z 轴上的投影依次为点B ､点D 和点1A ，所以点1C 的坐标为()4,3,5.又N 为1CC 的中点，所以点N 的坐标为443305,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即54,3,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.7．在空间直角坐标系中，分别求点(2,1,4)P -关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的坐标．【详解】点(2,1,4)P -关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,1,4--，关于坐标原点对称的点的坐标为()2,1,4--.8．在空间直角坐标系下，点()3,6,2M -关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,6,2-B ．()3,6,2---C ．()3,6,2-D ．()3,6,2--【答案】C【详解】关于y 轴对称的点的y 坐标不变，,x z 坐标变为相反数，()3,6,2M ∴-关于y 轴对称的点为()3,6,2-.故选：C.9．空间直角坐标系中，已知点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，则点N 的坐标为（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1--【答案】A【详解】因为点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，所以()1,1,1N --.故选：A10．在空间直角坐标系下，点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A ．()2,6,1B ．()2,6,1-C ．()2,6,1---D ．()2,6,1--【答案】A【详解】点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,6,1.故选：A.11．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点坐标是（）A ．(1,2,)3-B ．1,23(,)--C ．(1,2,3)-D ．(1,2,3)--【答案】A【详解】在空间直角坐标系O xyz -,关于xOy 平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P 关于平面xOy 对称点是()1,2,3-.故选：A12．在空间直角坐标系O-xyz 中，点(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为（）A ．(3,2,5)-B ．(3,2,5)--C ．(3,2,5)D ．(3,2,5)-【答案】C【详解】关于xoz 平面对称的点，y 坐标互为相反数，所以(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为(3,2,5).故选：C13．（多选）在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，下列叙述正确的是（）A ．点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --B ．点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --C ．点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---D ．点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -【答案】ABC【详解】由点(),,P x y z ，对于A ，点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --，故A 正确；对于B ，点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --，故B 正确；对于C ，点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---，故C 正确；对于D ，点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -，故D 错误．故选：ABC.14．空间直角坐标系中的两点()()1,2,3,1,0,1P Q -，则线段PQ 的中点M 的坐标为（）A ．()0,2,4B ．()0,1,2C ．()2,2,2D ．()2,2,2---【答案】B【详解】设M 的坐标为(,,)x y z ，则1(1)022*******x y z +-⎧==⎪⎪+⎪==⎨⎪+⎪==⎪⎩即M 的坐标为(0,1,2)，故选：B.15．已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是______.【答案】31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．如图PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1==PA AB ．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．【答案】11(0,,)22MN =【详解】因为1==PA AB ，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e e AB AD AP e ===，，，以123{e e }e ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，连接AC ．如图所示，因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0)22MN =，，．17．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB 的坐标为____，1DC 的坐标为____，1B D 的坐标为_______．【答案】(1,0,0)(1,0,1)(1,1,1)--【详解】如题图示，11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1)A B D B C ，∴(1,0,0)(0,0,0)(1,0,0)AB =-=，1(1,1,1)(0,1,0)(1,0,1)DC =-=，1(0,1,0)(1,0,1)(1,1,1)B D =-=--.故答案为：(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)--.18．（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()10,3,1A B ．()11,0,1CC ．()10,3,1AD =-D ．()13,3,1B A =-【答案】ABC【详解】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以3AD =，则()()()1110,3,0,0,3,1,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,3,1,1,3,1AD B A =-=-.故选：ABC高分突破1．点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3---C ．()1,2,0D ．()0,0,3-【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，可得点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为()1,2,0．故选：C.2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AD =，4DC =，12DD =，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则点1B 的空间直角坐标为（）A ．()4,3,2B ．()2,4,3C ．()3,4,2D ．()3,2,4【答案】C【详解】横坐标为点1B 到坐标面yDz 的距离，纵坐标为点1B 到坐标面xDz 的距离，竖坐标为点1B 到坐标面xDy 的距离，因为3AD =，4DC =，12DD =，所以点1B 的空间直角坐标为()3,4,2.故选：C.3．已知空间向量(1,2,3)a =-，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（）A ．(0,1,2)-B ．(1,2,0)-C ．(0,2,3)D ．(1,0,3)-【答案】D【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标，纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-，故选：D.4．在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于z 轴对称C ．关于xOz 平面对称D ．关于yOz 平面对称【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --两点x 坐标，z 坐标相同，y 坐标相反，所以()2,1,2M -和点()2,1,2N --关于xOz 平面对称，故选：C.5．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A ､B 两点的对称是（）A ．关于xOy 平面对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称【答案】D【详解】点(),,P x y z 关于xOy 的对称点为(),,A x y z -，关于z 轴的对称点为(),,B x y z --，显然,A B 两点关于坐标原点对称.故选：D .6．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.7．在空间直角坐标系O xyz -，点()1,2,5A -关于平面yoz 对称的点B 为（）A ．()1,2,5--B ．()1,2,5--C ．()1,2,5---D ．()1,2,5-【答案】B【详解】关于平面yoz 对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同，故选：B8．向量(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，其中C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为（）A ．(0,2,6)B ．(2,2,6)--C ．(0,1,3)D ．(1,1,3)--【答案】C【详解】∵(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，∴由中点坐标公式可得，线段AB 的中点C 的坐标为()0,1,3.故选：C .9．在空间直角坐标系中，点(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-关于点M 对称，则点M 的坐标为（）A ．(4,2,2)B ．(2,1,2)-C ．(2,1,1)D ．(4,1,2)-【答案】C【详解】因为(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-，M 为PQ 的中点，所以由中点公式可知M 的坐标为()2,1,1．故选：C10．已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-【答案】A【详解】依题意，点(1,2,3)M -关于x 轴对称点1(1,2,3)M -，关于z 轴对称点2(1,2,3)M -，所以12(2,0,6)M M =-.故选：A11．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1）D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【详解】根据题意可知点1C 的坐标为(0,2,2)，故A 错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)A C A =--,故B 正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,2)B D ,故1BD 的中点坐标为（1，1，1），故C 正确；点1B 坐标为(2,2,2)，关于于y 轴的对称点为（－2，2，－2），故D 正确，故选：BCD12．（多选）已知四边形ABCD 的顶点分别是()312A -，，，()121B -，，，()113C --，，，()353D -，，，那么以下说法中正确的是（）A ．()233AB =--，，B ．A 点关于 x 轴的对称点为()312-，，C ．AC 的中点坐标为()201--，，D ．D 点关于xOy 面的对称点为()353--，，【答案】ABD【详解】由于四边形ABCD 的顶点分别是(3A ，1-，2)，(1B ，2，1)-，(1C -，1，3)-，(3D ，5-，3)，对于A :(2,3,3)AB =--，故A 正确；对于B ：点A 关于x 轴对称的点的坐标为(3，1，2)-，故B 正确；对于C :AC 的中点坐标为(1，0，1)2-，故C 错误；对于D ：点D 关于xOy 面的对称点为(3，5-，3)-，故D 正确；故选：ABD ．13．点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是______.【答案】a【详解】由已知可得点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是a .故答案为：a .14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为()2,4,3-，过P 作xOz 平面的垂线，垂足为Q ，则Q 点的坐标为______．【答案】()2,0,3Q 【详解】由于垂足Q 在xOz 平面内，可设(),0,x z ，因为PQ ⊥平面xOz ，所以,P Q 两点的横坐标和竖坐标相等，故()2,0,3Q ，故答案为：()2,0,3Q .15．在空间直角坐标系中，点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()1,0,2--()1,4,2-【详解】点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是()1,0,2--，点()1,4,2M --关于原点对称的点的坐标是()1,4,2-，故答案为：()1,0,2--，()1,4,2-16．若点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为(),5,6A λ'-，则λ=___________，μ=___________，=v ___________.【答案】287【详解】点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为()2,3,1v μ--，又其坐标为(),5,6λ-，故可得2,8,7v λμ===.故答案为：2；8；7.17．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z -②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z --③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z ---【答案】④【详解】①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②错误；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误；④点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确，故正确的序号是④.故答案为：④.18．已知()3,1,2a =-，a 的起点坐标是()2,0,5-，则a 的终点坐标为______．【答案】()5,1,3--【详解】设a 的终点坐标为(),,x y z ，由题可得：()()2,,53,1,2x y z -+=-，故可得5,1,3x y z ==-=-，即a 的终点坐标为()5,1,3--.故答案为：()5,1,3--.19．已知(357)A -，，、(243)B -，，，设点A 、B 在yOz 平面上的射影分别为1A 、1B ，则向量11A B 的坐标为________．【答案】(0110)-，，【详解】点(357)A -，，、(243)B -，，在yOz 平面上的射影分别为1(057)A -，，、1(043)B ，，，∴向量11A B 的坐标为(0110)-，，．故答案为：(0110)-，，.20．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，1AB =，2AC =，先建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点D 在线段PC 上靠近点P 的三等分点，求点D 的坐标.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA AB ⊥，又因为AB AC ⊥，所以建立以点A 为原点，以射线AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为3PA =，1AB =，2AC =，所以()0,0,0A 、()1,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,3P ；(2)若D 点在线段PC 上靠近P 点的三等分点，所以2CD DP =，设点D 的坐标为(),,x y z ，则020*******,1230232,12x y z +⋅⎧==⎪+⎪+⋅⎪==⎨+⎪+⋅⎪==⎪+⎩所以20,,23D ⎛⎫⎪⎝⎭.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 4=，3AD =，15AA =，N 为棱1CC 的中点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）求点1111,,,,,,,A B C D A B C D 的坐标；（2）求点N 的坐标．【详解】（1）D 为坐标原点，则()0,0,0D ，点A 在x 轴的正半轴上，且3AD =，()3,0,0A ∴，同理可得：()0,4,0C ，()10,0,5D ．点B 在坐标平面xOy 内，BC CD ⊥，BA AD ⊥，()3,4,0B ∴，同理可得：()13,0,5A ，()10,4,5C ，与B 的坐标相比，点1B 的坐标中只有z 坐标不同，115BB AA ==，()13,4,5B ∴．综上所述：()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D .（2）由（1）知：()0,4,0C ，()10,4,5C ，则1CC 的中点N 为004405,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即50,4,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．【答案】0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点所以0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，2AB =，2AC =，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q 是PC 的中点，求点Q 坐标；(3)若点M 在线段PC 上移动，写出点M 坐标.【详解】(1)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，则射线,,AB AC AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,3)P .(2)由（1）知，点Q 是PC 中点，则3(0,1,)2Q .(3)由（1）知，点M 在线段PC 上移动，则点M 的横坐标为0，设其纵坐标为t (02)t ≤≤，其竖坐标z ，当M 与A 不重合时，23,3322z t z t -==-，当M 与A 重合时，z =3满足上式，因此332z t =-，所以点3(0,,3)(02)2M t t t -≤≤.。
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件
由已知 O1O⊥OB
AO⊥OB ， ，从而建立
O1O⊥OA 以 O→A ，O→B
，，OO→1OO1⊥方O向B上，的从A1单而位建O向1立量D以i，O→jA，，kBO→1为B，正
O→O1方向上的单位向量 i，j，k 为正交基底的空间A 直角坐O 标系 OBxyz，如y
交基底的空间直角坐标系 Oxyz，如图
1.3.1空间直角坐标系
新课程标准解读
核心素养
1.了解空间直角坐标系
2. 会 用 空 间 直 角 坐 标 系 刻 画 点 的 位 置．
1．了解空间直角坐标系的建系 方式．(直观想象) 2．掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示．(直观想象) 3．能在空间直角坐标系中求出 点的坐标和已知坐标作出 点．(直观想象)
这样在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序
a实=(数x,表y,示z)..
z A(x,y,z)
k
i Oj
y
x
1、在空间坐标系Oxyz中， AB i 2 j 3k ( i,j,k 分别是与x轴、 y轴、
z轴的正方向相同的单位向量)则AB的坐标为 (1,-2,-3) ，点B的坐
标为 不确定 。
角度1 对称问题
在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴 的分量变为本来的相反数，所以对称点为(－2，－1，－4)．
， 关于哪个轴对称，则该值不变， 其余互为相反数.
题型一 求空间点的坐标
例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立
向量在轴上的射影的辨析
向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有图1图2例1 已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.二、问题辨析造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。
高中数学选择性必修一课件：1.3.1空间直角坐标系
A．2 5
B．2 6
C．2
D．3 2
【答案】A
【解析】点 A(1，－1,2)关于 y 轴的对称点为 B(－1，－1，－2)，则 |AB|＝ 1＋12＋0＋2＋22＝2 5.
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4．在空间直角坐标系中，点A(1，－1,1)关于原点对称的点的坐标 为________．
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即 9＝DE×5，得 DE＝59，BC2＝BF×BD， 即 9＝BF×5，得 BF＝59. 由勾股定理可解得 CF＝AE＝152， EF＝5－DE－BF＝5－95－95＝75， 所以 DF＝DE＋EF＝59＋57＝156. 故在空间坐标系中，A，C 两点的坐标为 A152，95，0，C0，156，152.
【答案】(－1,1，－1) 【解析】点A(1，－1,1)关于原点对称的点的坐标为(－1,1，－1)．
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题型1 空间中点的坐标表示
如图，点A(0,0，a)，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝ CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求 点D，C，E，F的坐标．
|课空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分 别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： x_轴__、__y_轴__、__z_轴_，它们都叫坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐__标__向__量__，通过每两条坐标轴的平面 叫做_坐__标__平__面_，分别称为__O__x_y___平面，__O__y_z___平面，__O__z_x___平面， 它们把空间分成_八__个__部__分_．
矢量与坐标
a
M
或 M 1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
1
或 e 单位向量： 模为1的向量. e a M
零向量： 模为0的向量. 0
1M 2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
A E e 1 B P1 e2 C e3 F
连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有
1 1 AF ( AC AD) (e2 e3 ), 2 2 1 1 而 AE AB e1 , 2 2 1 1 1 1 从而得 AP1 e1 (e2 e3 ) (e1 e2 e3 ), 2 2 2 4 1 同理可得 APi (e1 e2 e3 ), ( i 2,3) 4 所以 AP1＝AP2＝AP3
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8
向量的概念 向量的加法 数量乘向量 向量的线性关系与分解 标架与坐标 向量在轴上的射影 两向量的数性积 两向量的矢性积
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称向量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
定义1.3.1 实数与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘. .
21-22版：1.3.1 空间直角坐标系（创新设计）
(4)若四边形 ABCD 是平行四边形，则向量A→B与D→C的坐标相同.( √ )
索引
2.已知 e1，e2，e3 是空间直角坐标系 Oxyz 中与 x，y，z 轴的正方向相同的单位向
量，若A→B＝－e1＋e2－e3，则 B 点的坐标为( D )
C.(－3，2，3)
D.(－3，－2，－3)
解析 由对称定义知选项C正确.
索引
4.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋
4j＋2k的坐标分别是__(_3_，__2_，__－__1_)，__(_－__2_，__4_，__2_)___.
解析 ∵i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a＝(3，2，－1)，
D.不确定
解析 由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
索引
3.如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，
OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为( C )
A.(3，5，4) C.32，5，4
同理可求得p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).
索引
思维升华
解答此类问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解. 其实质仍然是空间向量基本定理的应用.
索引
【训练 3】 空间四边形 OABC 中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点 M 在 OA 上，且
OM＝2MA，N 为 BC 的中点，则M→N在基底{a，b，c}下的坐标为__－__23_，__21_，__21___.
2024-2025学年广西新课程教研联盟高三(上)联考数学试卷(11月份)(含答案)
2024-2025学年广西新课程教研联盟高三（上）联考数学试卷（11月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−1<x<2}，B={x∈Z||x|≤1}，则A∩B等于( )A. {−1,0}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. ⌀2.若(1−2i)(z−i)=5，则|z|=( )A. 2B. 22C. 5D. 103.设x∈R，向量a=(x,−1)，b=(x,4)，则x=−2是a⊥b的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知焦点在y轴上的椭圆C：x24+y2m2=1(m>0)的焦距为2，则其离心率为( )A. 32B. 55C. 34D. 2555.已知函数f(x)=2tan(ωx)(ω>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为π，若定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b，则函数ℎ(x)=max{f(x),f(x)cosx}在区间(π2,3π2)内的图象是( )A. B.C. D.6.如图甲，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点A′，如图乙，若三棱锥A′−EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为( )A. 6πB. 6πC. 8πD. 86π7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，⋯，设第n 层有a n 个球，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a 2021的值为( )A. 40442023B. 20231012C. 20222023D. 202110118.已知函数f(x)=e x +x ，g(x)=lnx +x ，若f(x 1)=g(x 2)，则x 1x 2的最小值为( )A. −eB. −1eC. −1D. −e2二、多选题：本题共3小题，共18分。
线面2
i a×b= 2
j 1
k − 1 =i-5j-3k=(1,-5,-3) 2
1 −1
3. 向量的向量积
3.1 定义 设 a,b 为两个向量，规定一个向量 c 如下 （1）|c|=|a||b|sinθ , θ= <a,b> （2）c 的方向由右手法则确定。四指由 a 转θ角到 b，拇指方向为 c 的方向。 （3）c 垂直于 a,b,所确定的平面。 称 c 为向量 a 与 b 的向量积，记作 a×b, 即 c=a×b 注： （1） a×a=0 (2) a//b⇔a×b=0 C θ O B A
称 axi，ayj，azk 分别为向量 a 在 x,y,z 轴上的分向 量， 而 ax,ay,az 分别称为向量 a 在三个轴上的坐标。 (5)式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 注 1：ax,ay,az 分别为 a 在三个轴上的投影。
2. 向量的数量积
2.1 概念 定义 向量 a,b 的数量积记作 a•b 且 a•b=|a||b|cos<a,b> 注 1：数量积又称为内积或点积，又记作 <a,b> 注 2：a•b=|a|Prjab (a≠0) 或 b≠0 时 a•b=|b|Prjba 2.2 数量积的特别情形 (1) a•a=|a|2, (2) a•b=0 ⇔a⊥b 2.3 运算性质 （1） 交换率：a•b= b•a （2） 分配率：(a+b) •c=a•c+b•c （3） ∀λ∈R,(λa) •b=λ( a•b) 证： （2） 。当 c=0 时显然。当 c≠0 时 (a+b) •c =|c|Prjc(a+b) u =|c| (Prjca+ Prjcb) = a•c+b•c ok!
定义 1. 设 AB 为有向轴 u 上的一有向线段，其值 记作 AB 且
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.
（1.6－2）
推论 相等向量在同一轴上的射影相等.
B
A
B1
A
B
l
说明：
(1) 0 , 射影为正；
2
(2) , 射影为负；
2
(3) ,
2
射影为零；
c
a
b
l
向量的射影定理
定理 1.6.2 对于任何向量 a, b 有
射影 l
ab
射影 l
a
射影 l
b.
（1.6－3）
注:可推广到有限多个的情形.
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.
B
射影向量 l
AB
与
射影 lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB
也可分别写成
射影向量 AB 与 射影 AB
e
e
B
l
射影向量 AB ＝ 射影 AB e
e
e
向量的射影定理
定理 1.6.1 向量 AB 在轴 l 上的射影等于向量的模乘以轴与该向量
的夹角的余弦：
射影 l
AB
AB
cos ,
l, AB
定理 1.6.3 对于任何向量 a 与任意实数 有
射影 l
a
射影l
a.
（1.6－4）
A
a1
B
a2
C
A
B
C
l
例 设在直角坐标系 O;i, j, k 下，向量 a X i Y j Z k ，
试证明： 射影 a X , 射影 b Y, 射影 c Z.
i
j
k
z
•P
ka
oj
y
i
N x
z
R(0,0, z)
r
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ， 通过 A 作垂直于轴 l 的平面 ，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
《解析几何》
－Chapter 1
§1.3.1 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 向量的射影定理
r
在三个坐标轴上的分向量：
OP xi , OQ yj, OR zk.
只考虑 r 与 x 轴的关系，有
r在 x 轴上的分向量 OP xi ,
且 x r cos.
空间向量在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做