1.3.1向量在轴上投影

《解析几何》
－Chapter 1
§1.3.1 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 向量的射影定理
Leabharlann Baidur
在三个坐标轴上的分向量：
OP xi , OQ yj, OR zk.
只考虑 r 与 x 轴的关系，有
r在 x 轴上的分向量 OP xi ,
且 x r cos.
空间向量在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做
.
（1.6－2）
推论 相等向量在同一轴上的射影相等.
B
A
B1
A
B
l
说明：
(1) 0 , 射影为正；
2
(2) , 射影为负；
2
(3) ,
2
射影为零；
c
a
b
l
向量的射影定理
定理 1.6.2 对于任何向量 a, b 有
射影 l
ab
射影 l
a
射影 l
b.
（1.6－3）
注:可推广到有限多个的情形.
定理 1.6.3 对于任何向量 a 与任意实数 有
射影 l
a
射影l
a.
（1.6－4）
A
a1
B
a2
C
A
B
C
l
例 设在直角坐标系 O;i, j, k 下，向量 a X i Y j Z k ，
试证明： 射影 a X , 射影 b Y, 射影 c Z.
i
j
k
z
•P
ka
oj
y
i
N x
z
R(0,0, z)
r
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ， 通过 A 作垂直于轴 l 的平面 ，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.
B
射影向量 l
AB
与
射影 l
AB
也可分别写成
射影向量 AB 与 射影 AB
e
e
B
l
射影向量 AB ＝ 射影 AB e
e
e
向量的射影定理
定理 1.6.1 向量 AB 在轴 l 上的射影等于向量的模乘以轴与该向量
的夹角的余弦：
射影 l
AB
AB
cos ,
l, AB