工程流体力学(第二版)习题与解答

1000sin 20 → uT ≈ 6.11 m/s Aτ = mg sin θ → 0.2 × 0.2 × 1400uT =
1-4 有一直径 d=150mm 的轴在轴承中转动，转速 n=400 r/min，轴承宽度 L = 300mm ，
= µ 0.049 Pa ⋅ s 。假定润滑油 轴与轴承间隙 δ = 0.25mm ，其间充满润滑油膜，油的粘度为
1—2
解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为
uT − 0 du = = 20000uT 1/s dy 0.05 × 10−3
由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力 τ 为
τ= µ
du =× 7 10-2 × 20000uT =1400 uT Pa dy
且滑块受到的摩擦力与滑块重力沿斜面分 滑块受到的切应力与 τ 的大小相等方向相反， 量平衡，所以
Hale Waihona Puke Baidu
µ Rω 2ππ R3 L n = R µ δ1 δ1 30
筒体端部表面摩擦扭矩（相当于圆盘摩擦）为
= M2
R R π µω R 4 rω 2 2 = = = ( d d ) 2 d 2 d τ θ π τ π µ r r r r r r r ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 dd 2 0 0 0 0
0.05mm 1kN
20°
图 1-12 习题 1-2 附图
图 1-13 习题 1-3 附图
1-3 如图 1-13 所示，一个底边为 200mm × 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的 油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm，油的粘度µ= 7 × 10−2 Pa·s。设油膜内速度为线性分布，试求 滑块的平衡速度 uT 。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 “过程装备与控制工程”专业核心课程教材
工 程 流 体 力 学
（第二版）
习 题 与 解 答
黄 卫 星 编
四川大学化工学院过程装备与安全工程系 2008 年 10 月 30 日
1—1
第 1 章 流体的力学性质
1-1 用压缩机压缩初始温度为 20℃的空气，绝对压力从 1 个标准大气压升高到 6 个标 准大气压。试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为 78℃这三种情况下，空气的体积 减小率 ∆V = (V1 − V2 ) / V1 各为多少？ 解：根据气体压缩过程方程： pV k = const ，有 (V2 / V1 ) = ( p1 / p2 )1/ k ，所以
βp = −
因为 所以
1 dV V dp
→ V = V0 exp[− β p ( p − p0 )]
nt
p D2
− β ( p − p0 ) = V0 − V = V0 1 − exp p 4
n =
4 −β ( p − p ) V0 1− e p 2 1 2 = 12.14 rpm pD t
p (V −V ) V 1 2 =− 1 1 ∆V = 1 2 =− V1 V1 p2
等温过程 k=1，所以 绝热过程 k=1.4，所以
1/ k
∆V = 1 − p1 / p2 = 1 − 1/ 6 =83.33%
1 − ( p1 / p2 )1/1.4 = 1 − (1/ 6)1/1.4 =72.19% ∆V =
p
p
D l
图 1-20 习题 1-12 附图
p D2
4
= τ W p Dl
要实现流动，壁面切应力必须大于屈服应 力，即 τ W > τ 0 , 所以
p D 2 p / 4 > τ 0p Dl
即
p > 4lτ 0 /D
第 2 章 流体流动的基本概念
2-1 已知直角坐标系中的速度场 v = vx i + v y j = ( x + t )i + ( y + t ) j 。 （1）试求 t=0 时通过 点 x=a、y=b 的迹线方程和流线方程； （2）试求以拉格朗日变量表示的流体速度与加速度。 提示：方程组 dx / dt= x + t ， dy / dt= y + t 的解为： x = c1et − t − 1， y = c2 et − t − 1 。 解： ： (1) 由 v x = x + t , v y = y + t 得迹线微分方程为：
p0 = pi + ρ g y 即 ∆p = p0 − pi = ρ g y
所以
ρ g y =σ (
1 1 + ) R1 R2
根据本题附图可知，如果取弯曲面曲线（x-y 平面内）曲率半径： 1/ R1 = dy 2 / dx 2 ，则 ，于是有 与其正交的曲率半径 R2 → ∞ （因为自由液面⊥x-y 平面）
图 1-16 习题 1-7 附图
1-7 如图 1-16 所示，流体沿 x 轴方向作层状流动，在 y 轴方向有速度梯度。在 t=0 时， 任取高度为 dy 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为 y，对应的流体速度为 u ( y ) ； 经过 dt 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的 α 角变为 α − dα ，其剪 。试推导表明：流体的 切变形速率定义为 dα /dt （单位时间内因剪切变形产生的角度变化） 剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即 dα du = dt dy 解：因为 a 点速度为 u，所以 b 点速度为 u +
1-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D，间隙中液膜厚度为 δ ，液体动力粘性系数 为 µ ，若下盘固定，上盘以角速度 ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。
1—3
解： 固定圆盘表面液体速度为零， 转动圆盘表面半径 r 处液体周向线速度速度 vθ s = rω ； 设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
R 2π
由总扭矩 M = M 1 + M 2 解出油液动力粘性系数为
µ=
2δ1δ 2 M 30 π R (4 Lδ 2 + Rδ1 ) nπ
3
1-9 空气中水滴直径为 0.3mm 时，其内部压力比外部大多少？ 解：查附录表 C-1，水在常温空气中的表面张力系数 σ =0.073N/m，所以
1mm
ρ =13600kg/m3。试求玻璃板内外水银液面的高度
差 h。 解：对于两平板间的液膜，如图所示，液面下 侧压力 p0 + ρ gh ，液面上侧压力为 p0 ，取垂直书 面方向为单位厚度， 写出液膜竖直方向力平衡方程 有
图 1-18 习题 1-10 附图
h
θ
p0δ + 2s cos(p − θ ) = ( p0 + ρ gh)δ
h = (1/ tan θ )
或，取 z 方向为单位厚度，由 y 方向力平衡可得
∞
ρ g /σ
s cosθ =→ G s cosθ = ∫ ρ g ydx
0
→
h = cosθ
ρ g /s
或，取 z 方向为单位厚度，由 x 方向力平衡可得
s sin θ + hp0 =
即
→ sin θ + hp = ∫ ( p − ρ g y )dy + s ∫ pdy + ss
0 0 0 0 h
h
h
s sin θ = - ∫ ρ g ydy + s
0
→ h= 2(1-sinθ )
ρ g /s
1—6
1-12 如图 1-20 所示，一圆形管内装有理想塑性流体，其剪切应力与变形速率的关系由 式（1-18）所描述。已知该流体屈服应力为 τ 0 ，现从管的左端加压力 p，问该压力至少为多 大才能将该塑性流体挤出管外？已知管子直径为 D，塑性流体充满长度为 l 的管段，管外为 大气。 解：由压力 p 与壁面切应力 τ W 的平衡 关系可得
膜内速度为线性分布，试求转动轴的功率 N（注：N=转轴表面积 A×表面切应力 τ ×表面线速 。 度 vθ ） 解：根据牛顿剪切定律有
dvθ ω d /2 − 0 µω d µω d d πµ d 3 Lω ， τ µ µ = = = = M A = τ R π dL = dr 2 dd 2dd 2 4
du dy ；由此得 a - a′ 、 b - b′ 的距离为： dy du dy )dt dy
即
′ (u + aa′= udt ， bb =
所以
daa ≈ tan d =
bb′− aa′ du dt = dy dy
dα du = dt dy
L
R
δ1
n
1—4
δ2
1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。该测定仪由内外 两圆筒组成，外筒以转速 n（r/min）旋转，通过内外筒之间
x x − dy 2 σ 2 − ρ g y = 0 → y = C1e σ + C2 e σ dx 由边界条件： x → ∞ ： y = 0 ，x=0：y=h，可得 C1 = 0 ， C2 = h ，所以
ρg
ρg
= y h exp − ρ g / σ x
(
)
其中的 h 可根据边界条件： x = 0 ， y ′ = −1/ tan θ ，表示为
V2 pT 1 × 78 =1 − 1 2 =1 − =80.03% V1 p2T1 6 × 20
压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
∆V = 1 −
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数= β p 4.75 × 10−10 m2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D=10mm，活塞杆螺距 t=2mm，在 1 标准大 气压时的充油体积为 V0=200cm3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa） 。 解：根据体积压缩系数定义积分可得：
图 1-17 习题 1-8 附图
的油液，将力矩传递至内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过 底面间隙为 δ 2 ， 测定金属丝扭转角度确定金属丝所受扭矩为 M。 若内外筒之间的间隙为 δ1 ， 筒高为 L，求油液动力粘性系数的计算式。 解：半径 R 的筒体表面磨擦扭矩为
= = τ R 2π RL M1 A
∂vθ v s − 0 µ rω = τ µ = µ θ= ∂δ δ δ
所需力矩 M 为：
= M
= rdrdθ ) ∫ ∫ τ r(
0 0
R 2π
π µω D 4 = Aτ 32d
y
r=R / 2
R
b dy a o
图 1-15 习题 1-6 附图
b′
t= 0
α
t= dt α −dα
a′
u ( y)
x
1—5
y
σ
y x h p
θ
G
p0
h
θ
σ
p0
o
图 1-19 习题 1-11 附图
x
水平液面以上流体受力分析
解：根据弯曲表面张力压差公式，任意 x 处自由表面内外压力差为
∆p= p0 − pi = σ (
1 1 + ) R1 R2
其中 pi 是 x 处自由表面内的压力， R1 、 R2 是 x 处自由表面两个正交法截线的半径。 因为 x 轴为水平液面，所以根据静力学原理，x 轴对应的水平面上压力为 p0 ；设任意 x 处弯曲液面与水平液面的距离为 y，根据静力学关系有
图 1-14 习题 1-5 附图
r
z
u
R
r R2 由上式可知，壁面切应力为 τ 0 = −4 m um / R ，负号表示 τ 0 方向与 z 相反；
τ = mm = −4 um
du dr
（2）由流体水平方向力平衡有： p R 2 Dp + τ 0p DL= 0 ，将 τ 0 表达式代入得
8m u L ∆p = 2m R
1 1 2σ 2 × 0.073 ∆p = σ + = = = 973Pa −3 R1 R2 R 0.15 × 10
1-10 图 1-18 所示为插入水银中的两平行玻璃 板，板间距 δ =1mm，水银在空气中的表面张力 σ =0.514N/m，与玻璃的接触角 θ =140°，水银密度
由此得两平壁间的液膜爬升高度为
h=
2s cos θ = - 5.9 × 10−3 m= -5.9mm δρ g
1-11 如图 1-19 所示，一平壁浸入体积很大的水中。由于存在表面张力，在靠近壁面的 地方水的表面成为弯曲面，弯曲液面垂直于 x-y 平面。假定弯曲面曲率半径 r 可以表示成 接触角 θ 和表面张力系数 σ 已知。 试确定平壁附近水面的形状和最大高度 h。 1/ r = d 2 y/dx 2 ，
由此得轴功率为：
πµ d 3 Lω 2 πµ d 3 L nπ = = = N M ω =273.47W 4dd 4 30
2
1-5 如图 1-14 所示，已知圆形管道中流体 层流流动时的速度分布为： r2 = u 2um 1 − 2 R 其中 um 为管内流体的平均速度。 （1） 设流体粘 求管中流体的剪切应力 τ 的分布公式； 度为 µ ， （2）如长度为 L 的水平管道两端的压力降为 ，求压力降 ∆p 的表 ∆p （进口压力-出口压力） 达式。 解： （1）根据牛顿剪切定律有