电磁场与电磁波作业(汇总)

电磁场与电磁波作业电子版

071244146 朱志峰 071214121 周少波

1.6 证明：如果C A B A ∙=∙和=⨯B A C A ⨯,则C B =。

解: C A B A ⨯=⨯，有)()(C A A B A A ⨯⨯=⨯⨯ C A A A C A B A A A B A ∙∙-∙=∙∙-∙∙)()()()(

由

C A B A ∙=∙

同理有C A A B A A ∙∙=∙∙)()( ∴C B =

1.14 利用直角坐标系证明：

(∇uv)=u ∇v+v ∇u

证明：u ∇v+v ∇u=u(z

u v y

u v x

u v z

v y

v x

v z

y

x

z y x αααααααααααα++++

+

()(

)

=)()()(y

v v z

v u

y

u v y v u

x u v x

v u

y y

z y y

y x x

x αααααααααααα+++++

=

)()()(z y x uv z

uv y

uv x

αααααα++

=)(uv ∇

1.15 一球面S 的半径为5，球心在原点，计算s d er s

∙⎰)sin 3(θ的值。

解：θϕθθrdrd drd r s d ==sin

原式=θθθdrd r

ds er s

⎰⎰=

∙2

sin 3sin 3

=15⎰θθd er d er )5(sin =752

π

补充题 已知在直角坐标系中U(x,y ,z)，求证u du

u df u f ∇=∇)()(。

证明：e y

u f y

e x

u f x

e u

f ++=∇αααα)()()(z

z

u f αα)(

=z

u du

u df z

e y

u du

u df y

e x

u du

u df x

e αααααα∙

+∙

+∙

)()()(

=u du

u df ∇)(

k

k e k e k e z k y k x k z

e z k y k x k y e z k y k x k x e r k z

k y k x k r k k e k e k e k y

r x

r x

r z

r z

r y

r z e y e x e r y

r x r e x r z r e z r y r e z

e y e x e r z

r y r x r

k z e y e x e r k r k z z y y x x z y x z z y x y z y x x z y x z z y y x x x y z x y z y x x

y z

z x y y x z y x z y x z y x

=++=++∂∂+++∂∂+++∂∂=∙∇∴++=∙++==⨯∇∴=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂∴++=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇=++=∙∇∴++=∂∂+

∂∂+∂∂=∙∇++==∙∇=⨯∇=∙∇)()()()(30

r 0

)()(r 23

111r r 1)(30r 23r 123.1z z ，则）设（）（）（又）证明：（为一常矢量。

，。其中）；（）；（）证明：（

学号071244104 陈继龙 学号071244103 陈凤的作业 1.28 利用直角坐标，证明

()

f A A f A f ∇⋅+⋅∇=⋅∇

证明：在直角坐标下，

=A x e x

+A y e y +A z e z , z y x e z e y e x

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ,

则

()

A f z f

Az y f Ay x f Ax Az z Ay y Ax x f f A A f ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂+⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+⋅∇

1.30利用直角坐标，证明

()

G f G f G f

⨯∇+⨯∇=⨯∇

证明：在直角坐标系下, z y x e z

e y

e x

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∇,

z

y x f G z e f G y e f G x e G f ++=

, ()

x y x e y Gx x

fGy e x fGz z fGx

e fGy z y fGz G

f ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇ ])()()[((z y x e y

Gx

x Gy e x Gx z Gx e z Gx y Gz f G f ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇

z y x e z

f e y

f e x

f f ∂∂+∂∂+∂∂=

∇

z x y y z x x y z e G y

f G x

f e G x

f G z

f e G z

f G y

f G f )(

)(

)(

∂∂-

∂∂+∂∂-

∂∂+∂∂-

∂∂=⨯∇

所以：()

G f G f G f

⨯∇+⨯∇=⨯∇

1.31利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明0)(=∇⨯∇u

及

0)(=⨯∇∙∇A

，试证明。

证明：（1）由斯托克斯定理知

)(u s

∇⨯∇⎰

=∙ds

=

∙∇⎰

dl u c

00

1

1

=+

=⎰

⎰

⎰du du du c

因为曲面是任意的，所以被积函数0)(=∇⨯∇u

（2）由散度定理知，⎰⎰∙⨯∇=⨯∇∙∇s

v

ds A dV A

)(

把闭合曲面任意分成两半， 由斯托克斯定理知，有

⎰

⎰

∙=

∙⨯∇1

1

)(c s dl A ds A

⎰

⎰

∙=

∙⨯∇2

2

)(c s dl A ds A

因为C1和C2同一回路，方向相反。