种群竞争模型的稳定性分析
种群竞争模型研究
物种混居,必然会出现以食物、空间等资源为核心的种间关系。从理论上讲, 任何物种对其他物种的影响只可能有三种形式,即有利、有害、或无利无害的中 间态。因此,全部的种间关系只是这三种作用形式的可能组合。最常见的关系为 种间竞争、捕食和寄生。当环境中同时存在着两个种群,且两个种群存在着竞争
时可建立方程进行讨论,得到两种不同种群之间竞争的结果。研究种群竞争的关 系有很多应用，现举例如下：
假如人口数真能保持每 34.6 年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式 增长（如图 1）
例如，到 2515 年，人口约达 2×1014 人，即使海洋全部变成陆地，每人也 只有 9.3 平方英尺的活动范围，而到 2665 年，人口约达 4×1015 人，只好一个 人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。
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人口统计数据与 Malthus 模型计算数据对比：
年
1625
人口(亿) 5
表 2.2.1 世界人 口数量统计数据
1830 1930 1960 1974
10
20
30
40
1987 50
1999 60
年
1908
人口（亿） 3.0
表 2.2.2 中国人口数量统计数据
1933
1953 1964 1982
4.7
关键词：种群 竞争 数学模型 环境条件
1.2 英文摘要 Biological populations have different biomass at different growth
stages, and the changes of biomass over time are restricted by various complex factors. The competition between the biological populations is often reflected in the competition between the limited space resources and other living conditions, and the change of environmental conditions has an effect on the real growth rate of the biological population. In this paper, we give the mathematical model of the competition of biological populations, and then apply it in ecology, and then predict the competition outcome of the biological species. The relationship between the species is important for food and living space. Darwin wrote in the book "natural selection and the origin of the species": "because of the similarities in the habits and qualities especially in terms of structure, so if they are in a state of mutual competition, they are more intense than those of different biological species." In this paper, we give a mathematical model of population competition, and apply it to some aspects of ecology, and then predict the results of biological competition.
生物生态学中的模型分析和预测方法研究
生物生态学中的模型分析和预测方法研究在生物生态学研究领域中，模型分析和预测方法是非常重要的工具。
这些方法可以预测种群的数量、分布和动态，也可以评估生态系统的稳定性和区域生态系统中物种的互动。
在本文中，我们将介绍一些常用的模型分析和预测方法，并探讨一些新兴的方法如何帮助我们更加深入地了解生物生态学。
常用的模型分析和预测方法1. 线性回归模型线性回归模型是一种基本的预测方法，用于确定两个变量之间的关系。
它使用线性方程来描述两个变量之间的关系。
在生态学中，线性回归模型通常用来预测变量之间的定量关系，例如探讨营养盐浓度和植物生长的关系。
2. 竞争模型竞争模型是一种估计物种之间互动的方法。
它可以用来预测物种生长、生存和繁殖等方面的影响。
竞争模型的许多应用也是针对种群的数量稳定性分析。
3. 捕食者-猎物模型捕食者-猎物模型是一种描述食物链关系的模型。
它使用数学公式来预测食肉动物和它们的猎物数量之间的变化。
捕食者-猎物模型可以用来预测捕食者和猎物数量之间的长期稳定状态。
4. 稳定性分析稳定性分析是一种评估生态系统稳定性的方法。
它可以进行各种类型的模拟，从而预测生态系统的稳定性。
这种方法通常是选择具有重要生态角色的物种，通过模拟和回归分析，评估它们的变化以及整个生态系统的稳定性。
新兴的模型分析和预测方法1. 生态网络分析生态网络分析是一种基于物种之间关系的方法。
通过网络图中的各个元素之间的连接来预测居民和物种的互动。
它还可以用来评估生态系统内物种之间的连通性，并确定具有最大关联性和重要性的物种。
2. 计算机模拟计算机模拟是一种基于计算机模型的分析方法。
通过将考虑的物理定律转化为数学公式，在计算机上运行模拟。
这种方法可以用来预测天气，探讨空气污染、水污染等因素对生态系统的影响，还可以测量物种数量等方面的变化和动态变化。
总结模型分析和预测方法是生物生态学研究的重要工具。
这些方法不仅可以用来预测种群数量和区域生态系统内物种之间的互动，还可以评估稳定性，并分析不同生物群体的相互关系。
两种群竞争模型的定性分析
（） ４
￡ 一 ｄＹ （ 一ｒ；￡一ｂ ２￡ ２ｆ＋ｋｃ ｌ￡． ） ２ｌ￡ ｙ （ ） ） ｚ （ （ ） ） ２Ｙ（ ）
维普资讯
１２ ０
高 等数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０ＬＬ ＥＧＥ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． １ ＮＯ １ １１ ． ．
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两种 群 竞争 模 型 的定 性分 析 ‘
胡 广 平 （ 河西学院数学系 甘肃张掖 ７４０） ３００
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￡ ）一
２￡ （ ）一 ｌ （ ）一 ａ （ ）一 ＣＸ１ ￡ ， ｌ ￡ Ｘ１ ￡ ｘ （）
） ｌｌ ） ＝ （ 一凹； ） ｌ２ ２ ） ｌ ｌ ） （ 一６ （ （ ＋忌 ） （，
￡ ）＝ ｙ （ ） ｄ ｙ （ ）一 ｒ （ ）一 ６ ｙ， ￡ ， ２￡ 一 ２ ｌ ￡ ｙｌ ￡ ｓ （ ）
摘 要 讨 论 两 种 群 竞 争 系 统解 的渐 进 性 态 ， 中两 种 群各 自具 有 阶段 结 构 和种 内 自食 ．在 没 有 自食 现 象 发 其 生 的 条 件下 ． 析 了 阶段 结 构 的 竞 争 系统 的种 群 共 存 和灭 绝．最后 考 虑 自食 的 作 用 ． 到 了种 内 自食 既可 以维 持种 分 得 群 共存 ． 可 以挽 救 种 群 灭 绝 ． 也
具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性
鞍山师范学院学报J ou rnal of A nshan N or m a l U niversit y2008208,10(4):8-11具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性张 蕾1,刘 兵2(1.辽宁师范大学数学学院,辽宁大连116029;2.鞍山师范学院数学系,辽宁鞍山114007)摘 要:建立了一个两种群时滞竞争模型,得到了正平衡点全局渐近稳定的充分条件和成年种群的最大捕获量.关键词:竞争系统;最优捕获;阶段结构;平衡点;全局渐近稳定中图分类号:O1 文献标识码:A 文章篇号:100822441(2008)0420008204近几年,很多文献证明了时滞等对竞争系统的动力学行为有很大的影响[1～3].本文研究带有时滞和最优捕获的两种群阶段结构竞争模型,假设幼年个体间互相竞争.本文分两部分,第1部分建立模型并且给出了相关引理,第2部分获得了正平衡点全局渐近稳定的条件和成年种群的最大捕获量.1 模型和引理 假设种群y 具有阶段结构,种群x 和种群y 的幼年个体互相竞争,建立如下带有阶段结构和捕获的两种群竞争模型:d x (t )d t=x (t )(r 1-a 1x (t )-β1y 1(t -τ))d y 1(t )d t=y 1(t )[-d -a 2y 1(t )-β2x (t -τ)]+r 2y 2(t )d y 2(t )d t=d y 1(t)-αy 2(t)-Ey 2(t)(1)x (t)表示种群x 的密度;y 1(t)和y 2(t)分别代表种群y 的幼年和成年种群密度;r 1和r 2分别表示x (t)和y 2(t )的出生率;α表示y 2(t )的死亡率;d 表示从幼年到成年的转化率;τ表示由于幼年个体之间互相竞争造成的时滞;E 表示捕获成年个体的能力.所有的系数都是正的.假设系统满足r 2>α+E 和a 1a 2>β1β2.由于生物意义,本文作者在区域R 3+={(x,y 1,y 2)|x Ε0,y 1Ε0,y 2Ε0}上讨论模型.引理1[3] 对所有的t Ε0系统(1)的解是正的且是有界的.引理2 系统d y 1(t )d t =r 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-αy 2(t )-Ey 2(t )(2)有一个唯一的正平衡点A (r 2-α-E a 2(α+E )d,r 2-α-E a 2(α+E )d 2)且它是全局渐近稳定的.收稿日期3作者简介张蕾(3),女,山西吕梁人,辽宁师范大学硕士生:2008-0-18:198-.2 平衡点的全局渐近稳定性和成年种群的最优捕获量2.1 平衡点的全局渐近稳定性如果d β1a 2r 1<α+Er 2-(α+E )<a 1d r 1β2,则系统(1)有4个非负平衡点:E 0=(0,0,0),E 10=(r 1a 1,0,0),E 20=(0,r 2-(α+E )a 2(α+E )d,r 2-(α+E )a 2(α+E )2d 2),E 3=(x 3,y 31,y 32),其中x3=a 2r 1(α+E )-(r 2-α-E )d β1(a 1a 2-β1β2)(α+E ),y 31=(r 2-α-E )a 1d -r 1β2(α+E )(a 1a 2-β1β2)(α+E ),y 32=d α+Ey 31容易得出平衡点E 0是不稳定的,如果α+E r 2-(α+E )>a 1d r 1β2,E 10是局部渐近稳定的,如果α+E r 2-(α+E )<a 1d r 1β2,E 10是不稳定的;如果α+E r 2-(α+E )>d β1a 2r 1,E 20是局部渐近稳定的,如果α+E r 2-(α+E )>d β1a 2r 1,E 20是不稳定的,平衡点E 3是局部渐近稳定的.事实上,可以证明E 3是全局渐近稳定的.定理1 如果d βa 2r 1<α+E r 2-(α+E)<a 1d r 1β2,则系统(1)唯一的正平衡点E 3是全局渐近稳定的.证明 根据系统(1)有d y 1(t )d t Φr 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t )考虑下面的比较方程,d u 1(t)d t =r 2u 2(t )-d u 1(t )-a 2u 21(t )d y 2(t )d t=d u 1(t )-(α+E )u 2(t ) 根据引理2知道它存在唯一的一个全局渐近稳定的正平衡点A .令P 1=r 2-α-Ea 2(α+E )d,根据比较引理,对于任意小的ε1>0,ϖT 1>0,当t -τ>T 1时,y 1(t -τ)Φu 1(t -τ)ΦP 1+ε1.所以d x (t )d tΕx (t)(r 1-a 1x (t)-β1(P 1+ε1))成立.令P 2=r 1-β1(P 1+ε1)a 1,根据比较引理,对于0<ε2<m in (ε1,12,P 2),存在T 2>T 1,当t -τ>T 2时,x (t -τ)ΕP 2-ε2,所以d y 1(t)d tΦr 2y 2(t )-d y 1(t )-a 2y 21(t )-β2(P 2-ε2)y 1(t )d y 2(t)d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t )同理,能证明比较方程d u 1(t)=()()2()β(ε)()()=()(α+)()9第4期张 蕾,等:具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性d t r 2u 2t -d u 1t -a 2u 1t -2P 2-2u 1t d u 2t d td u 1t -E u 2t有一个唯一的全局渐近稳定的正平衡点A 3((r 2-α-E )d -β2(P 2-ε2)(α+E )a 2(α+E),(r 2-α-E)d2-β2(P 2-ε2)(α+E)d a 2(α+E)2) 令P 3=(r 2-α-E )d -β2(P 2-ε2)(α+E )a 2(α+E )根据比较引理,对于0<ε3<m in (ε2,13,P 3),存在T 3>T 2,当t -τ>T 3时,y 1(t -τ)ΦP 3+ε3,所以d x (t)d tΕx (t )(r 1-a 1x (t )-β1(P 3+ε3))成立.令P 4=r 1-β1(P 3+ε3)a 1,对于0<ε4<m in (ε3,14,P 4),存在T 4>T 3,使x (t )ΕP 4-ε4成立.类似于上面的讨论有,x (t )ΕP 2n -ε2n ,当t -τ>T 2n ;y 1(t )ΦP 2n -1+ε2n -1,当t -τ>T 2n -1,其中P 2n-1=(r 2-α-E )d -β2(P 2n -ε2n )(α+E )a 2(α+E )P 2n =r 1-β1(P 2n-1+ε2n-1)a 1. 根据数学归纳法得序列P 2n -1是单调递减有下界,序列P 2n 是单调递增有上界.因此li m n →+∞P 2n -1和li m n →+∞P 2n 存在.因为序列εn 满足0<εn <1n→0(n →+∞),有l i m ————t →+∞y 1(t )Φlim n →+∞P 2n -1=y 31,li m ———t →+∞x (t )Εli m ———n →+∞P 2n =x3类似的,有li m ———t →+∞y 1(t )Εy 31,l i m ————t →+∞x (t )Φx 3.所以得lim t →+∞y 1(t )=y 31,li m t →+∞x 1(t )=x 3.根据系统(1)的第2个方程d y 2(t )d t=d y 1(t )-(α+E )y 2(t ),对任意的t ΕT >τ,可得出y 2(t )=y 2(T )e-(α+E )(t-T)+∫tTd y 1(s )e -(α+E)(t-s)d s因为|y 2(t )-y 32|Φy 2(T )e-(α+E )(t-T)+|∫tTd y 1(s )e -(α+E)(t-s)d s -y 32|所以li m t →+∞|y 2(t )-y 32|Φ|d y 31α+E-y 32|=0即li m t →+∞y 2(t )=y 32定理得证.定理2 如果α+E r 2-(α+E )>a 1d r 1β2,则平衡点E 10(r 1a 1,0,0)是全局渐近稳定的.定理3 如果α+E (α+)<d β1,则平衡点E 是全局渐近稳定的. 成年种群的最优捕获系统的最大捕获量,也就是方程=y 3的最大值可以计算出最优捕获能力01鞍山师范学院学报第10卷r 2-E a 2r 1202.2h E 2.E3=a 1d r 2α2α2(r 1β2+a 1d)α(r 1β2+a 1d )+a 1d r 2对应于E 3的最大捕获量是h3=(a 1d r 22α(r 1β2+a 1d ))24a 1r 2α(a 1a 2-β1β2)最佳种群数量是y 32=a 21d 2r 222α2(r 1β2+a 1d)24a 1r 2α2(a 1a 2-β1β2) 定理4 如果d β1a 2r 1<α+Er 2-(α+E )<a 1d r 1β2,系统(1)的最优捕获量是h max =(a 1d r 22α(r 1β2+a 1d))24a 1r 2α(a 1a 2-β1β2).参考文献:[1]S Liu,L Chen,G Luo,Y Jiang .A s y mptotic B ehavior of Co mpe titive Lotka 2Volte rra Syst em with Stage Struc t ure [J ].J Ma thAna l Appl,2002,271:124-138.[2]S Liu,L Chen .Extincti on and Per m anence in Co mpe titive Stage 2structured Syste m with Ti me 2delay[J ].Nonl Ana l,2002,51:1347-1361.[3]X Song,L Chen .Global Asy mptotic Stability of a t wo Species Competitive Syste m wit h Stage Struc ture and Harve sti ng[J ].Co mm un Nonl Sci Nu m er Si mul,2001,6(2):81-87.G loba l Asym ptoti c S tab ility of a Two 2Spec i es Sta ge 2Str uctur ed C o m pet iti ve System with T im e Del a y and O p tim a l Ha r ve sti n gZHANG Lei 1,L IU B ing 2(1.D ep a rt ment of Ma the ma tics ,L iaoning N orma l U niv ersity,Da lian L i a oning 116029China;2.D ep a rt ment of Ma the ma tics ,Anshan N or m a l Un i versity ,Anshan L i a oning 114007,China )Abstrac t:In this paper,we construct a t wo 2s pecies c ompe titive model with ti m e delay .W e obtain conditi ons f orthe existence of a gl oba lly asy mp t otically stable positive equilibrium and the m axi m um sustainable yield of har 2vesting for the m ature populati on .Key wor ds:Competitive syste m ;Opti m al harve sting;Stage 2str uc tur ed;Equilibrium;Gl oba l stability(责任编辑:张冬冬)11第4期张 蕾,等:具有最优捕获的阶段结构时滞两种群竞争模型的稳定性。
两种群相互竞争的SEIQV传染病模型稳定性分析
两种群相互竞争的SEIQV传染病模型稳定性分析随着我国经济的发展以及社会的进步，使得我国的社会民众逐渐开始注重自身的健康。
而传染病的出现对社会民众的身体健康造成了极大的威胁，为此，需要相关的技术人员加强对于传染病的研究以及分析。
本文基于此，对两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性进行分析和探讨。
标签：竞争系统；传染病模型；平衡点；稳定性传染病作为一种由各种病原体引起的，能在人类社会进行广泛传播的疾病，其在产生的过程中对于人类的身体健康以及社会秩序造成了较大的负面影响。
近年来，随着SARS、AIDS以及禽流感等传染病的出现，并对社会发展以及人类自身的健康造成了巨大的破坏之后，社会各界逐渐将关注的焦点放在了传染病的研究以及防治上。
事实上，自从上世纪初，Kermark以及Mekendrick首次建立了传染病模型之后，越来越多的医疗研究人员会借助模型对传染病进行相关的分析。
本文基于此，分析研讨两种群相互竞争的SEIQV传染病模型的稳定性。
1 建立传染病模型在进行两种群相互竞争的SEIQV传染病的稳定性的相关研究过程中，需要专业人士构建起相配套的传染病模型，从而促进相关分析作业的有序开展。
在建立传染病模型的过程中，笔者将所需的两个研究的种群各分为五个类别，其分别是：易感者群体、潜伏者群体、染病者群体、隔离者群体以及恢复者群体，在模型分析过程中，其以此对应下述的字母表示：分S（t）、E（t）、I（t）、Q（t）、V（t）。
其次，为了方便数学模型的建立以及分析，笔者做以下假设：①新出生者均为易感者；②潜伏者不具有传染性；③恢复者拥有永久免疫力。
此后，在上述的基础之上，笔者构建出了相关的数学模型，具体内容见图1。
其中，Si（t）、Ei（t）、Ii（t）、Qi（t）以及Vi（t）分别表示在t时刻时，种群i 中各类群体的数量。
事实上，该数学模型通过简化计算，可以转变为图2所反应的相关数据模型。
在该模型之中，其可行域为Ω={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∈R+10∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2}。
维尔赫斯特 logistic模型
维尔赫斯特logistic模型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：维尔赫斯特(logistic)模型是一种用于描述生物种群增长的数学模型。
此模型是由比利时数学家皮埃尔·弗朗茨·韦尔沃尔根(Volterra)和意大利数学家维托·维尔赫斯特(Verhulst)共同研究建立的。
维尔赫斯特(logistic)模型是一种基于增长率随种群密度而变化的模型。
该模型假设种群的增长速率与种群规模成正比，但也受到资源有限和环境压力等因素的影响。
在初始阶段，种群增长速率加快，但随着种群密度的增加，增长速率逐渐减缓，最终趋于稳定。
这种种群增长的S形曲线被称为logistic曲线。
维尔赫斯特(logistic)模型的数学表达式可以用如下的微分方程形式表示：\frac{dN}{dt} = rN\left(1-\frac{N}{K}\right)N表示种群数量，t表示时间，r表示最大增长速率，K表示环境的容纳能力。
当种群数量接近K时，增长速率会逐渐减缓，并最终趋于稳定。
维尔赫斯特(logistic)模型在生态学、经济学和人口学等领域中有着广泛的应用。
在生态学中，该模型可以用来描述种群的增长过程和竞争关系。
在经济学中，该模型可以用来描述市场需求和供给之间的关系。
在人口学中，该模型可以用来预测人口增长和资源的分配等。
维尔赫斯特(logistic)模型也存在一些局限性。
该模型假设环境对种群增长的影响是恒定的，而实际情况中，环境因素可能会受到各种因素的影响而发生变化。
该模型也没有考虑到种群内部的个体差异和随机性，从而影响了模型的准确性和适用性。
第二篇示例：维尔赫斯特(logistic)模型是一种用于描绘人口增长或其他现象的模型，在生态学、经济学、社会学等领域广泛应用。
该模型由比利时数学家皮埃尔-弗朗索瓦·维尔赫斯特(Pierre-François Verhulst)于1838年提出，被许多科学家借鉴和发展。
稳定性模型
σ2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝 甲达到最大容量，
P2稳定的条件：σ1>1, σ2<1 稳定的条件： P3稳定的条件：σ1<1, σ2<1 稳定的条件： 通常σ1 ≈ 1/σ2，P3稳定条件不满足
种群的相互依存
甲乙两种群的相互依存有三种形式 甲乙两种群的相互依存有三种形式 1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 甲可以独自生存，乙不能独自生存； 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。 2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 甲乙均可以独自生存； 时相互提供食物、促进增长。 时相互提供食物、促进增长。 3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 甲乙均不能独自生存； 时相互提供食物、促进增长。 时相互提供食物、促进增长。
N1 (1 σ1 ) N2 (1 σ 2 ) r1 (1σ1 ) + r2 (1σ2 ) r1r2 (1 σ1 )(1 σ 2 ) p3 σ1<1, σ2<1 1σ σ , 1σ σ 1σ1σ2 1 σ1σ 2 1 2 1 2
p4 (0,0)
( r1 + r2 )
r1 r 2
不稳定
N1 N2
N1 N2
x1 x2 =0 σ1 f ( x1 , x 2 ) ≡ r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) ≡ r x 1 σ x1 x 2 = 0 1 2 2 2 2 N1 N 2 平衡点： P1 ( N 1 , 0 ), P2 ( 0 , N 2 ),
lim x 2 (t ) = x 20 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 是微分方程的稳定平衡点 t→∞
& 线性常系数 x(t ) = ax + by 的平衡点及其稳定性 微分方程组 y(t ) = cx + dy & cx + dy = 0 若从P 某邻域的任一初值出发， 若从 0某邻域的任一初值出发，都有 lim x (t ) = x0 , t →∞
几类生物种群模型的定性研究
几类生物种群模型的定性研究
生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的数学模型。
根据物种的
特点和研究的重点不同，生物种群模型可以分为多类。
1.多样性维持模型：
多样性维持模型关注的是物种之间的相互作用对物种多样性的影响。
其中，竞争-排除模型认为物种之间存在强烈的竞争关系，导致了物种数
量的稳定状态；互补-促进模型则认为物种之间存在互补关系，相互促进
物种的数量增加。
2.捕食者-猎物模型：
捕食者-猎物模型研究的是捕食者与猎物之间的相互作用对种群数量
的影响。
最经典的模型是Lotka-Volterra模型，它描述了捕食者和猎物
之间的动态关系，可以观察到周期性的数量变动。
3.分散子模型：
分散子模型主要研究的是物种的生殖与迁移对种群数量的影响。
例如，在孤立岛上的物种会受限于资源的有限性以及个体迁移的难度，因此种群
数量可能会下降。
4.生态位模型：
生态位模型主要研究的是一个物种在特定环境中的占据与竞争策略对
物种数量的影响。
生态位模型可以通过计算物种的竞争优势指数来推断物
种数量的变化。
总的来说，生物种群模型是研究生物种群数量动态变化的重要工具。
不同类型的模型从不同角度切入，揭示了生物种群数量变化的机制和规律，对于理解和保护生物多样性具有重要意义。
种内竞争与种间竞争数学模型实例分析
种内竞争与种间竞争数学模型实例分析1.1问题提出问题一：甲和乙两类群均能独立生存，比方将鲤鱼群放生，其在水中和卿鱼间的相互作用。
问题二：甲可以独自存活，但乙却只能依存甲而生活，这两者在一起能相互促进，令甲乙都得到存活，比方，植物能独自存活，但以花粉为食的昆虫却放须依靠其生存，而昆虫同时会帮助植物授粉推动其繁殖。
问题三：甲乙双方都无法独立生存，只能依靠彼此获得共生。
1.2问题分析（1）在某自然环境下只存在单类生物群体（即生态学中的种群）生存的情况下，人们往往通过Logistic 模型描述该种群数量产生的演变，公式为：)1()(N x rx t x -=')(t x 为种群为时刻t 的数量，r 代表固有增长率，N 代表环境资源下所能接受的最大种群量。
其中)1(N x -反应了一些种群对有限资源的消耗造成的影响其自身增长的作用，N x 代表着相对于N 来讲，单位数量中某个种群所消耗的食量（假设总量=1）（2）若同一自然环境内存在2个或多个种群，即其会产生竞争或依存关系，又或是供应链的关系，以下我们会由稳定转态角度展开对其依存关系的探讨。
1.3模型假设甲乙两种群各种独立于某个环境生存时，其数量产生的演变将遵守Logisti 规律。
设)(),(21t x t x 为两个种群数量，21,r r 为其固有增长率，21,N N 是它们的最大容量。
于是对于甲种群有：)1()(11111N x x r t x -=' 同理对于乙种群有 )1()(22221N x x r t x -=' 1.4模型建立与稳定性分析对于问题一：1、建立模型：)1()(22111111N x N x x r t x σ+-=' ④ )1()(11222222N x N x x r t x σ+-=' ⑤ 1σ的含义:单位数量乙（相对于2N ）提供给甲的食量为单位数量(相对于1N )消耗食量的1σ2σ的含义:单位数量甲（相对于1N ）提供给乙的食量为单位数量乙(相对于2N )消耗食量的1σ2、稳定性分析：3、数学建模过程与结果：根据数学实验以及数学建模的相关知识，利用数学软件Matlab 分别求解微分方程的图形和相轨线图形：Matlab 模型：function xdot=sheir(t ，x)n1=16；n2=1；r1=25；r2=18；q1=05；q2=16；xdot=[r1*x(1)*(1-(x(1)/n1)+q1*(x(2)/n2))；r2*x(2)*(1-(x(2)/n2)+q2*(x(1)/n1))]；>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode45('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x(t)')，gtext('y(t)')，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode23('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，相轨线：4、由上图可知：甲乙可以彼此立生存。
种群相互竞争模型
数学实验设计课题：两种群相互竞争模型如下：()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。
s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。
分析：这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。
y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。
假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。
这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。
另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。
则我们可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。
对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；问题一：设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。
编写如下M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后运行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：123456789100102030405060708090100x(t)y(t)相图为：1020304050607080901000510152025xy结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。
实验3-稳定性模型-种群竞争与依存
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221111111)(N x N x x r t x σ&实验3 种群的竞争与依存实验目的1. 研究两个种群相互竞争模型中的平衡点的稳定性，利用常微分方程的方法求出其平衡点，并运用常微分的知识判断平衡点的稳定性；2. 用常微分方程中的数值解法和Matlab 程序对平衡点的稳定性作出验证和分析，运用数形结合的方法，直观地从种群数量曲线图和种群相轨线图中观察、分析并验证两种群平衡点的稳定性。
实验内容及结果一、有甲乙两个种群，它们生存时数量变化均服从如下规律：1. 根据微分方程稳定性理论，计算微分方程的平衡点，并给出平衡点稳定的条件；答：根据微分方程解代数方程组：g(x1,x2)=r1x1(1-x1/N1-a1x2/N2)=0h(x1,x2)=r2x2(1-a2x1/N1-x2/N2)=0可得到四个平衡点：P1(N1,0),P2(0,N2),P3(N1(1-a1)/(1-a1a2),N2(1-a2)/(1-a1a2)),P4(0,0) 根据判断平衡点的稳定性准则：若p>0,q<0,则平衡点稳定。
若p<0或q>-,则平衡点不稳定2. 设1,8.1,6.1,6.1,5.2,5.0112111======N r N r σσ，时：（1）画出甲乙两个种群的数量21,x x 随时间t 的变化曲线；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221122221)(N x N x x r t x σ&（2）并在相平面分析图上给出21,x x 初始数量为),1,1(),1,6.0(),1.0,1.0()5.1,5.1(时两个种群数量变化的相轨线。
3. 设4.1,8.1,6.0,1,5.2,3/4112111======N r N r σσ，时：（1）画出甲乙两个种群的数量21,x x 随时间t 的变化曲线；（2）并在相平面分析图上给出21,x x 初始数量为),1,1(),1.0,1.0()5.1,5.2(时两个种群数量变化的相轨线。
物种竞争模型-概述说明以及解释
物种竞争模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物种竞争模型研究领域，物种之间的相互作用和竞争关系一直是一个重要的研究方向。
物种竞争模型可以帮助我们理解生态系统中的物种相互作用和资源分配，并且对于预测和管理生态系统的稳定性和多样性也具有重要意义。
物种竞争是指同一生态位上的不同物种为获得有限资源而相互斗争的过程。
竞争可以是直接的，例如争夺食物和栖息地，也可以是间接的，例如通过影响环境条件或其他生物的生存和繁殖。
在一个生态系统中，物种之间的竞争关系既可以是对抗性的，也可以是互惠互利的。
物种竞争模型的研究，涉及到许多重要的概念和理论，例如生态位、资源分配、种群增长和演替等。
通过建立数学模型来描述物种竞争的过程，我们可以定量地分析不同物种之间的竞争关系，并研究这些关系对生态系统动态和稳定性的影响。
物种竞争模型在生态学、进化生物学和环境保护等领域中都有广泛的应用。
它们可以用于解释物种多样性的形成和维持机制，预测物种的分布和演变，评估物种对环境变化的响应能力，以及制定生物多样性保护和生态系统恢复的策略。
本篇文章将详细介绍物种竞争模型的基本概念和理论，并探讨物种竞争的影响因素。
同时，我们还将总结现有的竞争模型应用案例，并展望未来物种竞争模型研究的发展方向。
在接下来的章节中，我们将逐步展开讨论，希望通过本文的阐述，能够增进对物种竞争模型的理解，促进相关领域的研究和应用的发展。
1.2 文章结构:本文将按照以下结构进行叙述和讨论。
第一部分是引言，包括对物种竞争模型的概述、文章结构和目的的介绍。
通过引言，读者可以了解本文的主要内容和研究目的，为后续的正文部分做好铺垫。
第二部分是正文，主要分为两个小节。
首先，将介绍物种竞争模型的基本概念和背景知识，包括不同竞争模型的定义、应用范围和研究方法等。
在这一节中，将重点讨论各种竞争模型的特点和适用性，以及它们在实际生态系统中的应用情况。
接下来，将介绍物种竞争的影响因素。
物种之间的竞争关系受到多种因素的影响，包括资源可利用性、环境条件、种群密度和物种间的相互作用等。
具有反应扩散的Leslie两种群生物竞争模型的稳定性
ｌ ｅ ｒ ａ ｉ ｔｏ ｄ Ｌ ａ ｕ ｏ ｃ ｏ ａ ｔ ｏ ｎ ｉ ａｉ ｔ ｎ ｍｅ ｄ ａ ｙ ｐ ｎ ｖｆ ｔ ｎ ｌ ｈ ｄ． ｚ ｏ ｈ ｎ ｎ ｕ ｉ ｍｅ Ｋｅ ｒ ｓ ￣ ａ ｔ ｎ ｄｆ ｓ ｎ ｂｏｏ ｉａ ｃ ｍ ｅｉ ｏ ； ｔ ｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ：ｅ ｃｉ ｕ ｉ ； ｉｌ ｃ ｌ ｏ ｐ ｔ ｎ ｓ ｂ ｌ ｒ ｏ ｉ ｏ ｇ ｉ ｔ ａ ｉ ｙ
ｔ—
ｄ ＝ （ｌ ｌ ） ｌＶ（ ｔＥｆ×（ ， Ａ ｒ—ｂ＇ 一口ｌ ， ｕ Ｚ ，） ￣ Ｏ ∞） …
＝ ＝
（
ｆ∈Ｑ×（， ） 。∞
（） １
ｄ
０ ， ） Ｑ×（ ， ，（ ｆ Ｅａ ０ ∞）
（ ０ ＝ ， （ ０ ＝／， ，） ０／ ，） ３ ∈Ｑ ３ ０
维普资讯
第２ ５卷 第 ５期
２０ ０７年 ｌ Ｏ月
青 海 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｉ ｈｉ ｎ ｅ ｉ （ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒａｏ ｎ ａ Ｕ ｉ ｒｔ Ｎ ｔ ｅ ｉ ｃ） Ｑ ｇ ｖ ｓｙ ｕ Ｓ ｅ
ｅ ｔｎ ， ｎ ｅ ｅ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｅ ｍａ ｎ ｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄｔ ｎ ｉ ｓ ｄｅ ｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｅ ｌｃ ｌ ｙ ａｔ ｇ ｕ ｄ ｒｔ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓＮ ｕ ｎ ｏ ａｙ ｃ ｎ ｉｏ ｔｉ ｄ ｉ ｔ ｓ ａ ｅ ｄ ｔ ａ ｍ— ｉ ｈ ｎ ｉ ｓ ｕ ｎｈ ａ ｈ ｏ ａ ｓ ｏ ｉ ｓ ｂｌ ａ ｐ ｔ ｔ ｉ ｔ ｄ ｃ ａ ｉ ｎ ｙ ｓ ｍｐ ｔ ｔ ｉ ｔ ｏ ｄ ｌａ ｏ ｉｖ ｑ ｉ ｂ ｉ ｐ ｎ ｒ ｐ ｏ ｅ ｙ ａ ｙ ｏｉ ｓ ｂｌ ｆｔｅ ｍｏ ｅ ｔｔｅ ｐ ｓ ｉｅ ｅ ｕｌ ｒ ｍ ｉ ｔ ＿ ｒｖ ｄ ｂ ｃ ａ ｉ ｙ ｈ ｈ ｔ ｉ ｕ ｏ Ｂｅ
两个生物种群竞争的模型分析
c2N2m c1c2
,N21m
-
c1N1m c1c2
当直线 L1 和 L2 在第一象限内相交时 , 会出现如
图 3 的情形 3 或者如图 4 的情形 4 。
图3
图4 (3) 在图 3 中 , 直线 L1 和 L2 把第一象限分成 Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ共四个部分 。在各部分区域内 , dN1和dN2的符号分别为负负 、负正 、正正 、正负 。 dt dt 如果点 (N1 ,N2) 在区域 Ⅱ或 Ⅳ, 点 (N1 ,N2) 的变化 趋势会指向稳定点 (0 , N2m) 和 (N1m , 0) ; 如果 点 (N1 ,N2) 在区域 Ⅰ或 Ⅲ内 , 其变化趋势指向直线 L1 和 L2 , 最终达到稳定平衡点 (N1m , 0) 或 (0 , N2m) 。可见 , 点 (N1 ,N2) 一旦偏离了 A 点 , 将会逐 渐趋向 稳 定 平 衡 点 ( N1m , 0) 或 ( 0 , N2m) 。因 此 , 点 A 是不稳定平衡点 。 (4) 在图 4 中 , 直线 L1 和 L2 也把第一象限分 成 Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ共四个部分 。在各部分区域内 , dN1和dN2的符号分别为负负 、正负 、正正 、负正 。 dt dt 如果点 (N1 ,N2) 在区域 Ⅱ或 Ⅳ, 其变化趋势指向稳 定点 A ; 如果点 (N1 ,N2) 在区域 Ⅰ或 Ⅲ内 , 其变化 趋势指向直线 L1 和 L2 , 最终仍然达到稳定点 A 。 可见 , 点 (N1 ,N2) 即便是偏离了 A 点 , 也会逐渐 趋向平衡点 A 。因此 , 点 A 是稳定平衡点 。 综合以上四种情况 , 只有情形 (4) 才会维持 两个种群的稳定并存 。其它情形一旦发生 , 就会 导致两个种群之一发生灭顶之灾 。
第 26 卷 第 6 期 2006 年 12 月
种群的相互竞争
§ 7 种 群 的 相 互 竞 争*[问题的提出] 当某个自然环境中只有一种生物的群体(生态学上称为种群)生存时，人们常用Logisdc 模型来描述这个种群数量的演变过程，即)(t x 是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量，在1．5节和6．1节我们曾应用过这种模型．由方程(1)可以直接得到，0x =N 是稳定平衡点，即r ∞→时)(t x →N ．从模型本身的意义看这是明显的结果．如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食(食饵与捕食者)的关系．本节和下面两节将从稳定状态的角度分别讨论这些关系． 当两个种群为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量．人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局．例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显的强于其他几种．本节要建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件．[模型建立] 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从logistic 规律．记)(1t x ，)(2t x 是两个种群的数量，1r ，2r 是它们的固有增长率，1N ，2N 是它们的最大容量．于是对于种群甲有 其中因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111N x 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，11N x 可解释为相对于1N 而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量(设食物总量为1)．当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111N x 中再减去一项，该项与种群乙的数量2x (相对于2N 而言)成正比，于是得到种群甲增长的方程为这里1σ的意义是：单位数量乙(相对2N 而言)消耗的供养甲的食物量为单位数量甲(相对1N )消耗的供养甲的食物量的1σ倍．类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是对2σ可作相应的解释．在两个种群的相互竞争中1σ，2σ是两个关键指标．从上面对它们的解释可知，1σ >l 表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲．对2σ>l 可作相应的理解．一般地说，1σ与2σ之间没有确定的关系，但是可以把这样一种特殊情况作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻滞作用与对乙增长的阻滞作用相同．具体地说就是：因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲的食物量之比是l ：1σ，消耗的供养乙的食物量之比是2σ：l ，所谓阻滞作用相同即1：1σ =2σ：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为即1σ，2σ互为倒数．可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的1σ=k 倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的2σ=l ／k ．下面我们仍然讨论1σ，2σ相互独立的一般情况，而将条件(4)下对问题的分析留给读者(习题3)．[稳定性分析] 为了研究两个种群相互竞争的结局，即r+oo 时11(f)， J2(r)的趋向，不必要解方程(2)，(3)*，只需对它的平衡点进行稳定性分析．首先根据微分方程(2)，(3)解代数方程组得到4个平衡点：因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(1x ，2x ≥0)才有实际意义，所以对3P 而言要求1σ，2σ同时小于1，或同时大于1．按照判断平衡点稳定性的方法(见6，6节(18)，(19)式)计算将4个平衡点p ，q 的结果及稳定条件列入表2．注意：按照6．6节(15)式给出的p>0，q>0得到的1P 的稳定条件只有2σ>l ，表2中的1σ<1是根据以下用相轨线分析的结果添加的．2P 的稳定条件2σ<l 有类似的情况．对于由非线性方程(2)，(3)描述的种群竞争，人们关心的是平衡点的全局稳定(即不论初始值如何，平衡点是稳定的)，这需要在上面得到的局部稳定性的基础上辅之以相轨线分析．在代数方程组(5)中记对于1σ，2σ的不同取值范围，直线0=ϕ和0=φ在相平面上的相对位置不同，图4给出了它们的4种情况．下面分别对这4种情况进行分析．1．1σ<l ，2σ>1．图4(1)中0=ϕ和0=φ两条直线将相平面(1x ，2x ≥0)划分为3个区域： 可以证明，不论轨线从哪个区域的任一点出发，∞→t 时都将趋向)0,(11N P ．若轨线从1S 的某点出发，由(6)可知随着t 的增加轨线向右上方运动，必然进入2S ；若轨线从2S 的某点出发，由(7)可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向1P 点，或者进入但是进入3S 是不可能的，因为，如果设轨线在某时刻1t 经直线0=ϕ进入3S ，则)(11t x=0，由方程(2)不难算出 由(7)，(8)知)(12t x<0，故)(11t x >0，表明)(1t x 在1t 达到极小值，而这是不可能的，因为在2S 中1x >0，即)(1t x 一直是增加的；若轨线从3S 的某点出发，由(8)可知轨线向左下方运动，那么它或者趋向1P 点，或者进入2S 。
种群竞争模型
种群竞争模型
种群竞争模型作为一种经典的认知理论，可以被用来解释许多复杂的行为现象。
它的概念可以追溯到20世纪50年代，随着社会的发展，越来越多的研究者开始对这一理论进行检验和分析。
种群竞争模型不仅可以被用来解释生物进化，而且还可以被用来解释社会进化、经济进化、文化进化等等一系列复杂的行为模式。
种群竞争模型的基本概念是，在一个种群当中，一些成员拥有更强大的竞争力，它们可以更有效地收集资源，并且可以更高效地进行繁殖，因此这些优势成员会逐渐占据更多的资源，同时会抑制其他劣势成员的成长，最终形成一个更加均衡的种群结构。
种群竞争模型在社会文化领域也有类似的应用。
在文化进化中，一个社会中有很多文化元素，它们可以分为高竞争和低竞争两类。
在这种模型中，高竞争文化元素有更强的竞争力，它们在社会中的受欢迎程度会高于低竞争文化元素，所以它们会逐渐成为社会主流，而低竞争文化元素则会受到抑制。
种群竞争模型也在经济学领域受到广泛应用。
例如，在市场竞争中，一些具有更大优势的企业会抑制其他劣势企业的竞争力，从而获得更多的市场份额，最终形成一个垄断结构，而优势企业的优势也会持续扩大。
总的来说，种群竞争模型是一种经典的认知理论，它可以被用来解释生物学、社会学、文化学以及经济学等复杂的行为模式。
这一理论在解释复杂现象时有着重要的意义，并且也为研究者提供了一个深
入理解社会系统及其行为规律的有效途径。
数学建模生物种群模型
y种群以外的自然资源时， a1； 而0 x种群仅以y种群
的生物为食时， 。a1 0 反映b1x的,c是2 y各种群内部的密
度制约因素，即种内竞争，故
。b1 0,c2 0
b2,的c1 正负要根据这两种群之间相互作用的形 式而定，一般分为以下三种情况。
1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同
y(r2
2 x)
1,2, r1, r2 0
模型分析
平衡点
O(0,0),
R( r2 , r1 )
2 1
按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判 断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法 来解决这个问题。
相轨线
dy y(r2 2x) dx x(r1 1 y)
积分得 r2 ln x 2x r1 ln y 1y c1
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
dy dt
r2 y(1
2
x k1
y k2
)
四、三种群模型
三种群相互作用的情况要比二种群作用的情况 复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考虑 种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立模 型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线性 的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏特 拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t时 刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型
y k2
)
dy dt
r2
y(1 2
x k1
y k2
)
稳定性分析：
由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
0
r2
y(1
2
x k1
种群的相互竞争模型
的
对
其
本
身
增
长
的
阻
滞作 用,
x1
/
N
可
1
理 解 为 相 对 于N1
而 言, 数 量 为x1时 供 养 甲 的 食 物 量(设 食 物 总 量 为1).
于是对种群甲我们有
x1(t )
r1 x1 (1
x1 N1
)
这
里
因
子1
x1
/
N
反
1
映
由
于
甲
对
有
限
资
源的
消
耗
导
致
的
对
其
本
身
增
长
的
阻
滞作 用,
x1
/
N
可
)
,
N 2 (1 2 1 1 2
)
)
r1(1 1 ) r2 (1 2 ) 1 1 2
r1r2 (1 1 )(1 2 ) 1 1 2
P4 (0,0)
(r1 r2 )
r1r2
1 1, 2 1
不稳定
注意到平衡点的定义我们可以看出,它是一个局部的
性质.对于非线性方程(4)所描述的种群竞争,我们更
x1 N1
1
x2 N2
( x1 , x2 )
12
x1 N1
x2 N2
x2 N 2 • P2
N2 /1
(2)1 1, 2 1
P2(0, N2 )全局稳定
0
0
O
N1
N1 / 2 x1
x2
N2 /1
N2
P3
•
0
(3)1 1, 2 1