2020-2021学年内蒙古呼和浩特市赛罕区秋实中学九年级(上)期中数学试卷 (解析版)
内蒙古呼和浩特市2020年(春秋版)九年级上学期数学期中考试试卷C卷
内蒙古呼和浩特市2020年（春秋版）九年级上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）下图是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A . 点A在圆外B . 点A在圆上C . 点A在圆内D . 不能确定3. （2分）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A .B . 3C . 6D . 94. （2分）(2019·湖州模拟) 如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=2AD=6 ，直线BD、CE交于点P，Rt△ABC固定不动，将△ADE绕点A旋转一周，点P的运动路径长为（）A . 12πB . 8πC . 6πD . 4π5. （2分）某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A . 19%B . 20%C . 21%D . 22%6. （2分）抛物线y=-2x2+4x+3的顶点坐标是（）A . (-1，-5)B . (1， 5)C . (-1，-4)D . (-2，-7)7. （2分） (2018八下·桐梓月考) 正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（）A . 4B . 8C . 16D . 328. （2分）四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）；④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1＜d＜7其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ③④9. （2分）已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x 增大而增大，则a的值是A . 3B . 5C . 7D . 不确定10. （2分）下列函数不是二次函数的是（）A . y=﹣3（x+1）2+5B . y=6﹣x2C . y=D . y=（﹣x+2）（x﹣3）二、填空题 (共6题；共9分)11. （1分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是________12. （4分）将抛物线y=x2﹣4x+9向________平移________个单位，向________平移________个单位，得到抛物线y=x2﹣6x+5．13. （1分） (2019八下·南岸期中) 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为的角平分线，l与BM相交于点P.若，，则的度数为________.14. （1分） (2017八下·徐汇期末) 方程的解为________．15. （1分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O 的弦，∠ACD=28°，则∠BAD的度数为________°.16. （1分） (2019八上·朝阳期末) 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （5分）(2018·潘集模拟) 解方程（2x+1）2=3（2x+1）18. （5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，求、的度数．19. （5分）设关于x的方程5x-m=5，4x-4=2m，当m为何值时，这两个方程的解互为相反数？20. （15分） (2017·茂县模拟) 某个体经营户销售同一型号的A、B两种品牌的服装，平均每月共销售60件，已知两种品牌的成本和利润如表所示，设平均每月的利润为y元，每月销售A品牌x件．（1）写出y关于x的函数关系式．（2）如果每月投入的成本不超过6500元，所获利润不少于2920元，不考虑其他因素，那么销售方案有哪几种？（3）在（2）的条件下要使平均每月利润率最大，请直接写出A、B两种品牌的服装各销售多少件？A B成本（元/件）12085利润（元/件）603021. （5分） (2016八上·景德镇期中) 如图是每个小正方形边长都为1的6×5的网格纸，请你在下列两幅图中用没有刻度的直尺各作一个斜边为5的格点直角三角形．（要求两个直角三角形不全等）22. （5分）某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．23. （15分）(2018·南宁模拟) 已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．24. （10分） (2017九上·黑龙江开学考) 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若 = ，BE=4，求EC的长．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共9分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、。
内蒙古呼和浩特市 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.方程x2-4=0的解是（）A. 4B.C. 2D.3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=72°，则∠BOD等于（）A. B. C. D.4.三角形的一边长是6，另外两边的长都是方程x2-19x+84=0的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 12或14D. 255.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.6.若将函数y=2x2的图象向左平移2个单位，再向上平移4个单位，可得到的抛物线是（）A. B. C.D.7.如图，⊙O的弦AB垂直半径OC于点D，∠CBA=30°，OC=2cm，则弦AB的长为（）A. 9cmB.C. cmD. cm8.二次函数y=x2+bx+c中，若c-b=0，则它的图象一定过点（）A. B. C. D.9.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（）A. 5B. 7C. 8D. 1010.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）A. 有最小值、最大值0B. 有最小值、最大值6C. 有最小值0、最大值6D. 有最小值2、最大值6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如果点P关于x轴的对称点P1的坐标是（-2，3），那么点P关于原点的对称点P2的坐标是______ ．12.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2420平方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______ ．13.如图所示的抛物线y=x2+bx+b2-9的图象，那么b的值是______．14.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转35°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是______ ．15.如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=93°，那么∠ACB的大小是______ ．16.若二次函数y=x2-6x+c的图象经过A（-1，y1）、B（2，y2）、C（7，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图如图所示根据图答下列问题：（1）B点坐标为______ ；（2）方程ax2+bx+c=0的两个根为______ ；（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为______ ；（4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为______ ；（5）若方程ax2+bx+c=k-1有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______ ．18.用适当的方法解下列一元二次方程（1）x2-4x+2=0（2）（2x-1）2=x（3x+2）-7．19.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径r=8，小圆的半径r=6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长．20.如图在△ABC和△ADE中点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．（1）求证：△ABC≌△ADE（2）如果∠AEC=65°，将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．21.王强给体育活动小组购买乒乓球拍子，商店经理给出如下优惠条件：如果一次性购买不超过10付，单价为80元，如果一次性购买多于10付，那么每增加2付，购买的所有乒乓球拍子都降低4元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，王强一次性购买这种乒乓球拍子付了1200元，问他购买了多少付这种乒乓球拍子？22.如图已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）若P是抛物线上一点且S△ABP=S△ABC这样的P有几个？请直接写出它们的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：x2-4=0，∴x2=4，开平方得：x=±2．故选B．根据已知推出x2=4，开平方后就能求出答案．本题主要考查对解一元二次方程-直接开平方法的理解和掌握，能正确把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=72°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=144°，故选：A．根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：方程左边因式分解可得（x-7）（x-12）=0，∴x-7=0或x-12=0，解得：x=7或x=12，∴该三角形的周长为6+7+12=25，故选：D．因式分解法解方程可得x=7或x=12，根据三角形周长公式得出答案．本题主要考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．5.【答案】B【解析】解：根据题意得△=（-3）2-4m＞0，解得m＜．故选：B．先根据判别式的意义得到△=（-3）2-4m＞0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6.【答案】D【解析】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，4），可得新抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+4，故选：D．根据题意得新抛物线的顶点（-2，4），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y=2（x-h）2+k，再把（-2，4）点代入即可得新抛物线的解析式．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．7.【答案】B【解析】解：∵∠CBA=30°，∴∠AOC=2∠CBA=60°，∵AB⊥OC，∴∠ADO=90°，∴∠OAD=30°，∴OD=OA=×2=1（cm），由勾股定理得：AD==cm，∵AB⊥OC，OC过O，∴AB=2AD=2（cm），故选B．根据圆周角定理求出∠AOD，求出∠OAD，根据含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出AD、OD，根据垂径定理即可求出AB．本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形性质，圆周角定理，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．8.【答案】B【解析】解：∵c-b=0，∴c=b，∴二次函数y=x2+bx+c变形得，y=x2+b（x+1），只有x+1=0时，b可以取任意数，代入求出即可，图象必经过点（-1，1）．故选：B．根据c-b=0，得到c=b，把函数变形，根据b可以取任意数时，b的系数为0求出x的值，得到答案．本题考查的是二次函数图象上当的坐标特征，掌握函数图象上的当的坐标满足函数解析式是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴PB=PA=4，∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，∴CA=CE，DE=DB，∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，故选：C．根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．10.【答案】B【解析】解：由二次函数的图象可知，∵-5≤x≤0，∴当x=-2时函数有最大值，y=6；最大=-3．当x=-5时函数值最小，y最小故选：B．直接根据二次函数的图象进行解答即可．本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．11.【答案】（2，3）【解析】解：∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是（-2，3），∴P（-2，-3），∴点P关于原点的对称点P2的坐标是（2，3），故答案为：（2，3）．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得P点坐标，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．12.【答案】10%【解析】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000（1+x）2=2420，（1+x）2=1.21．1+x=±1.1．所以x1=0.1，x2=-2.1（舍去）．故x=0.1=10%．即：这个增长率为10%．故答案是：10%．一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均增长率为x，根据题意即可列出方程．此题考查了一元二次方程的应用．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a （1-x）2=b（a＞b）．13.【答案】-3【解析】解：由图可知，抛物线经过原点（0，0），所以，02+b×0+b2-9=0，解得b=±3，∵抛物线的对称轴在y轴的右边，∴-＞0，∴b＜0，∴b=-3．故答案为：-3．把原点坐标代入抛物线解析式计算即可求出b的值，再根据抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后即可得解．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确识图判断出函数图象经过原点坐标是解题的解，要注意利用对称轴判断出b是负数．14.【答案】52.5°【解析】解：由题意得：△AOB≌△COD，∴OA=OC，∠AOB=∠COD，∴∠A=∠OCA，∠AOC=∠BOD=35°，∴∠OCA==72.5°；∵∠AOB=90°，∴∠BOC=20°；∵∠OCA=∠B+∠BOC，∴∠B=72.5°-20°=52.5°，故答案为：52.5°．如图，证明OA=OC，∠AOB=∠COD；求出∠OCA=72.5°；求出∠BOC=20°；运用外角性质求出∠B即可解决问题．该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，灵活运用全等三角形的性质来分析、判断、推理或解答．15.【答案】31°【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=93°∴3∠ACB=93°，∴∠ACB=31°，故答案为31°根据∠AOB=2∠ACB，再结合条件，列出方程即可解决问题．本题考查圆周角定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．16.【答案】y2＜y1=y3【解析】解：∵二次函数y=x2-6x+c中a=1＞0，∴抛物线开口向上．∵x=-=-=3，-1＜2＜7，∴A（-1，y1）、B（2，y2）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y2＜y1．∵由二次函数图象的对称性可知y3=y1，∴y2＜y1=y3．故答案为：y2＜y1=y3．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3=y1；于是y2＜y1=y3．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17.【答案】（3，0）；x1=-1，x2=3；x＜-1或x＞3；x＞1；k＜3【解析】解：（1）如图所示，A（-1，0），对称轴是x=1，则点A与B关于x=1对称，所以B（3，0）；故答案是：（3，0）；（2）如图所示，抛物线与x轴的交点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-1，x2=3；故答案是：x1=-1，x2=3；（3）如图所示，不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜-1或x＞3；故答案是：x＜-1或x＞3；（4）如图所示，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x＞1．故答案是：x＞1；（5）令y=k-1，方程ax2+bx+c=k-1有两个不相等的实数根时，则y=k-1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）有2个不同的交点，所以k-1＜2，解得k＜3．故答案是：k＜3．（1）根据抛物线的对称性写出点B的坐标；（2）方程ax2+bx+c=0的两个根就是抛物线与x轴的两个交点横坐标；（3）不等式ax2+bx+c＜0的解集为抛物线位于x轴下方的部分；（4）需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性；（5）可以转化为y=k-1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）有2个不同的交点．本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数与不等式．解题时，体现了“数形结合”的数学思想．18.【答案】解：（1）x2-4x+2=0b2-4ac=（-4）2-4×1×2=8，x=，x1=2+，x2=2-；（2）整理得：x2-6x+8=0，（x-2）（x-4）=0，x-2=0，x-4=0，x1=2，x2=4．【解析】（1）先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可；（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．19.【答案】（1）证明：作OE⊥AB，则AE=BE，CE=DE，故BE-DE=AE-CE；即AC=BD；（2）解：连接OC，OA，∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=4，CE=DE，∴DE=CE===2，AE===4，∴AC=AE-CE=4-2．【解析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE=6，CE=DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．20.【答案】（1）证明：在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）；（2）解：∵将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，∴AE=AC，∵∠AEC=65°，∴∠C=∠AEC=65°，∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=50°，即这个旋转角的大小是50°．【解析】（1）由∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD，直接利用ASA判定定理判定，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，可得AE=AC，即可求得∠EAC的度数，即这个旋转角的大小．此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．21.【答案】解：设王强购买x乒乓球拍子，当0≤x≤10时，单价为80元/付；当x＞10时，单价为80-4×=100-2x；∵单价不得低于50元，∴100-2x≥50，解得：x≤25，∴10＜x≤25；∵10×80=800＜1200，∴根据题意得：x（100-2x）=1200，解得：x1=20，x2=30＞25（舍），答：小红购买了20盒学习用品．【解析】根据购买这种乒乓球拍子的数量表示出其单价，由单价不得低于50元求得x 的范围，进而利用单价×数量=总钱数，进而求出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．22.【答案】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由题意可得函数经过B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三点解得，所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由题意得，-x2+2x+3=0 x1=-1，x2=3，∴A点坐标为（-1，0），∵AB=4，OC=3，∴S△ABC=×4×3=6；（3）设P的纵坐标为n，∵S△ABP=S△ABC，∴S△ABP=2，即AB•|n|=2，解得n=±1，∴±1=-x2+2x+3，解x=1或x=1，∴这样的点P有4个，它们分别是（1+，1）、（1-，1）、（1-，-1）、（1+，-1）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）分别代入求出a，b，c即可．（2）求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据题意求得S△ABP=2，设P的纵坐标为n，根据三角形面积公式得出AB•|n|=2，解得n=±1，代入抛物线的解析式即可求得．本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式．。
【5套打包】呼和浩特市初三九年级数学上期中考试检测试卷(含答案)
新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）2＝2（x +1）B ．C ．ax 2+bx +c ＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x +1＝0有实根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠23．方程x （x ﹣1）＝x 的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝﹣2C ．x 1＝﹣2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ．5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+16．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A．B．C．D．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0 12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．16．抛物线y＝﹣x2+15有最点，其坐标是．17．水稻今年一季度增产a吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x，则第三季度化肥增产的吨数为．18．已知二次函数y＝+5x﹣10，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得，（40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ． ∵0＜2x ＜12，∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9，∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值，当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线（）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．。
内蒙古呼和浩特市2020年(春秋版)九年级上学期数学期中考试试卷C卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共9题；共9分)
1. （1分） 下列说法中错误的是（ ）
A . 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B . 对角线相等的四边形是矩形
C . 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
（2） 第二轮游戏：若甲先摸到了10号球，求甲获胜的概率；
（3） 第三轮游戏：若甲先摸到了3号球，那么甲、乙获胜的概率分别是多少．
18. （2分） (2016九上·鄂托克旗期末) 某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40 元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（2） 根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
21. （2分） 已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）
求证：DE⊥BE；
（2）
如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE.
22. （4分） (2019七上·武昌期末) 已知 (本题中的角均大于 且小于 )
（1） 如图1，在 内部作 ，若 ，求 的度数；
（2） 如图2，在 内部作 ， 在 内， 在 内，且 ， ， ，求 的度数；
（3） 射线 从 的位置出发绕点 顺时针以每秒 的速度旋转，时间为 秒( 且 ).射线 平分 ，射线 平分 ，射线 平分 .若 ，则 ________秒.
参考答案
一、 单选题 (共9题；共9分)
（2）
如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA；
（3）
内蒙古呼和浩特市九年级上期中数学试卷含答案解析
2022-2023内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程有（）①x2=0；②ax2+bx+c=0；③x2﹣3=x；④a2+a﹣x=0；⑤（m﹣1）x2+4x+=0；⑥+=；⑦=2；⑧（x+1）2=x2﹣9．A．2个B．3个C．4个D．5个2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．03．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=04．已知二次函数y=x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）5．已知抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点为P，与x轴的两个交点为A，B，那么△ABP的面积等于（）A．16 B．8 C．6 D．46．如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限7．爆发的世界，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场．受的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=1488．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y29．抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣310．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正确的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③④D．①③④⑤二、填空题（每题3分，共18分）11．关于x的方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则m需满足．12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则+的值为．13．根据下列表中的对应值：x 2.1 2.2 2.3 2.4ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为．14．将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为．15．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），则化简代数式+=．16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论有．（填序号）三、解答题（共72分）17．解下列方程（1）x2﹣4x﹣3=0；（2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）；（3）y4﹣3y2﹣4=0．18．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．19．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？20．已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）请说明此抛物线与x轴的交点情况；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．21．阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通过因式分解将方程化为x（x﹣1）=0，从而得到x=0或x﹣2两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解．（1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0；（2）利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+5＞0．22．某公司建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？23．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？24．已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共30分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程有（）①x2=0；②ax2+bx+c=0；③x2﹣3=x；④a2+a﹣x=0；⑤（m﹣1）x2+4x+=0；⑥+=；⑦=2；⑧（x+1）2=x2﹣9．A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：①x2=0；③x2﹣3=x是关于x的一元二次方程，共2个，故选：A．2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根为0，则a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程和一元二次方程的解得出a﹣1≠0，a2﹣1=0，求出a的值即可．【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵（a﹣1）x2+ax+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1，故选：B．3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0【考点】根的判别式．【分析】分别计算出四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：A、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，则方程没有实数根，故本选项错误；B、△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，则方程有两个不相等的实数根，故本选项正确；C、△=（﹣6）2﹣4×1×9=0，则方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，则方程没有实数根，故本选项错误．故选：B．4．已知二次函数y=x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【考点】二次函数的性质．【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．【解答】解：y=x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1，所以，顶点坐标为（2，1）．故选B．5．已知抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点为P，与x轴的两个交点为A，B，那么△ABP的面积等于（）A．16 B．8 C．6 D．4【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接顶点坐标进而求出图象与x轴交点坐标，即可求出三角形面积．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）0=﹣（x﹣1）2+4，∴x1=﹣1，x2=3，与x轴的两个交点为A，B（3，0），（﹣1，0），∴AB=4，P到AB的距离为：4，=×4×4=8，∴S△ABP故选：B．6．如果抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，那么此抛物线经过（）A．第一、二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，然后根据解析式求得该抛物线与y轴的交点坐标、顶点坐标，从而推知该抛物线所经过的象限．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣2），B（﹣1，1）两点，∴，解得，；∴该抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣4x﹣2=﹣（x+2）2﹣2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，2），与y轴的交点是（0，﹣2），∴该抛物线经过第二、三、四象限．故选D．7．爆发的世界，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场．受的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．【解答】解：当商品第一次降价a%时，其售价为200﹣200a%=200（1﹣a%）．当商品第二次降价a%后，其售价为200（1﹣a%）﹣200（1﹣a%）a%=200（1﹣a%）2．∴200（1﹣a%）2=148．故选B．8．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【考点】二次函数的性质．【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解．【解答】解：∵抛物线y=x2+2x，∴x=﹣1，而A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），∴B离对称轴最近，A次之，C最远，∴y2＜y1＜y3．故选C．9．抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2+x﹣3关于x轴对称，则此抛物线的解析式为（）A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】抛物线y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的顶点坐标为（﹣，），则它关于x轴对称的顶点坐标是（，），由此求得抛物线y=ax2+bx+c的解析式．【解答】解：∵抛物线y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的顶点坐标为（﹣，），∴它关于x轴对称的顶点坐标是（，），∴此抛物线的解析式为y=2（x﹣）2﹣=﹣2x2﹣x+3．故选：A．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正确的是（）A．②④⑤B．①②④C．①③④D．①③④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣b，代入得9（﹣b）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．故选C．二、填空题（每题3分，共18分）11．关于x的方程mx2﹣2x+1=0有实数解，则m需满足m≤1．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵方程mx2﹣2x+1=0有实数解，∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m≥0，解得：m≤1．故答案为：m≤1．12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则+的值为6．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=4、x1•x2=2，将+变形为，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，∴x1+x2=4，x1•x2=2，∴+====6．故答案为：6．13．根据下列表中的对应值：x 2.1 2.2 2.3 2.4ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为 2.3＜x＜2.4．【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=﹣0.11与y=0.56之间，对应的x的值在2.3与2.4之间，即2.3＜x＜2.4．故答案为2.3＜x＜2.4．14．将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=x2+4x+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，二次函数y=x2﹣2的图象向左平移2个单位得到y=（x+2）2﹣2，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=（x+2）2﹣2的图象向上平移1个单位可得到函数y=（x+2）2﹣2+1，即y=x2+4x+3．故答案为：y=x2+4x+3．15．如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），则化简代数式+=．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把已知点的坐标代入可求得a=b+1，再由对称轴在y轴的右侧可求得b＜0，则可求得0＜a＜1，则可比较a和的大小关系，化简可求得答案．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象经过两点（﹣1，0）和（0，﹣1），∴，整理可得a=b+1，∵对称轴在y轴的右侧，抛物线开口向上，∴﹣＞0，且a＞0，∴b＜0，∴0＜a＜1，∴a＜，∴+=+=﹣a+a+=，故答案为：．16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正确结论有①②③．（填序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c 的符号，把两根关系与抛物线与x的交点情况结合起来分析问题．【解答】解：①由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），4a﹣2b+c=0，故①正确；②因为图象与x轴两交点为（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，对称轴x==﹣，则对称轴﹣＜﹣＜0，且a＜0，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故②正确；③设x2=﹣2，则x1x2=，而1＜x1＜2，∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2，∴2a+c＞0，4a+c＜0，故③正确；④c＜2，4a﹣2b+c=0，4a﹣2b+2＞0，2a﹣b+1＞0，故④错误；故答案为：①②③．三、解答题（共72分）17．解下列方程（1）x2﹣4x﹣3=0；（2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）；（3）y4﹣3y2﹣4=0．【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；（2）先移项，再提公因式即可；（3）把y2看作整体，再用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=7，（x﹣2）2=7，x﹣2=±，x=±+2，x1=+2，x2=﹣+2；（2）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0；x﹣1=0或3x﹣2=0，x1=1，x2=；（3）（y2﹣4）（y2+1）=0，y2﹣4=0，y2+1=0，y2=4或y2=﹣1（舍去），∴y1=2，y2=﹣2．18．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0；（1）求证：不论m 任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．（2）因为==﹣，所以由根与系数的关系可得=﹣，解方程可得m的值．【解答】解：（1）证明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1）=16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0，∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵，即=﹣，∴由根与系数的关系可得=﹣，解得 m=﹣，经检验得出m=﹣是原方程的根，即m的值为﹣．19．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为米；然后根据矩形的面积公式列出方程．【解答】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为米．根据题意得 x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．20．已知抛物线的解析式为y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．（1）请说明此抛物线与x轴的交点情况；（2）若此抛物线与直线y=x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4×（m2﹣m）=4m2﹣4m+1﹣4m2+4m=1＞0，所以抛物线与x轴有两个不相同的交点；（2）当x=0时，可得m2﹣m=﹣3m+4，整理得，m2+2m﹣4=0，解得，m1=﹣1，m2=﹣1﹣．21．阅读理解题：我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通过因式分解将方程化为x（x﹣1）=0，从而得到x=0或x﹣2两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程，求得原方程的解．（1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0；（2）利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+5＞0．【考点】二次函数与不等式（组）；解一元一次方程；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）利用因式分解的方程可把该不等式化成两个一元一次不等式组，分别求其解集即可求得答案；（2）设y=x2+6x+5，可求得y=0时对应的x的值，再结合抛物线的开口方向，可求得不等式的解集．【解答】解：（1）2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0可化为（x﹣1）（2x﹣3）＜0，∴①或②，解①得1＜x＜，解②得＜1且x＞（此不等式组无解），∴原不等式的解集为1＜x＜；（2）设y=x2+6x+5，当y=0即x2+6x+5=0时，可求得x=﹣5或x=﹣1，即y=x2+6x+5与x轴的交点坐标为（﹣5，0）和（﹣1，0），且开口向上，∴原不等式的解集为x＜﹣5或x＞﹣1．22．某公司建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是4个5000，从而计算出租出多少间；（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益=租金﹣各种费用=275万元作为等量关系列方程求解即可．【解答】解：（1）∵÷5000=6，∴能租出30﹣6=24（间）．（2）设每间商铺年租金增加x万元所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5=275，解得x1=5，x2=0.5，∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元．23．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．【解答】解：（1）∵点C到ED的距离是11米，∴OC=11，设抛物线的解析式为y=ax2+11，由题意得B（8，8），∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为11﹣5=6（米），∴6=﹣（t﹣19）2+8，∴（t﹣19）2=256，∴t﹣19=±16，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．24．已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据OC=3OB，B（1，0），求出C点坐标（0，﹣3），把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，求出a点坐标即可求出函数解析式；（2）过点D作DE∥y轴分别交线段AC于点E．设D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表达式，把S四边形ABCD 分解为S△ABC+S△ACD，转化为二次函数求最值；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，由题意可知点P2、P3的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．【解答】解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB=1．∵OC=3OB=3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=，C=﹣3，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3．（2）如图1所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵x=﹣==﹣，B（1，0），∴A（﹣4，0）．∴AB=5．∴S△ABC=AB•OC=×5×3=7.5．设AC的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k=﹣，b=﹣3，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设D（a， a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．∵DE=﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）=﹣（a+2）2+3，∴当a=﹣2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积=DE•AO=×3×4=6．∴四边形ABCD的面积的最大值为12．（3）存在．①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3=﹣3，∴x1=0，x2=﹣3．∴P1（﹣3，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC=P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC=P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，﹣3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y=3得： x2+x﹣3=3，解得；x1=，x2=．∴P2（，3），P3（，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．1月7日。
内蒙古呼和浩特市某校2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷
内蒙古呼和浩特市某校2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共9题；共14分）1. 一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为()A.(x−3)2=14B.(x−3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=42. 如果关于x的一元二次方程kx2−√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A.k<12B.k<12且k≠0C.−12≤k<12且k≠0 D.−12≤k<12且k≠03. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A.2√3B.3√3C.4√3D.6√34. 已知一次函数y1=4x，二次函数y2=2x2+2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是（）A.y1>y2B.y1≥y2C.y1<y2D.y1≤y25. 已知二次函数y=2x2−8x+9，当1≤x≤5时，函数y的最小值为（）A.3B.2.4C.1D.196. 已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，则m的值是()A.34B.30C.30或34D.30或367. 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是( )A.100(1+x)=121B.100(1−x)=121C.100(1+x)2=121D.100(1−x)2=1218. 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘，得到△ADE，连接BD，若AC=3，DE=1，则线段BD的长为( )9. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1, 0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（包括这两点），下列结论：①当x>3时，y<0；②3a+b<0；③−1≤a≤−2；④4ac−b2>8a；3其中正确的结论是( )A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④二、填空题（共8题；共7分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56∘，则∠ADB=________度．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30∘，PC=3，则BP的长为________．设m,n分别为一元二次方程x2+2x−2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=________．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的x2于点B、C，则BC的长为________．直线交抛物线y=13抛物线y=x2−(m+2)x+9的顶点在坐标轴上，则m的值为________．将抛物线y＝x2−2x+3向左平移一个单位，再向下平移三个单位，则抛物线的解析式应为________．已知点A(a2,y1)，B(a2+1,y2)，C(a2+3,y3)都在函数y=−(x+4)2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的有________（填序号）①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=12AC；④DE是⊙O的切线．三、解答题（共7题；共55分）选择适当的方法解下列方程（1）x2−5x+1=0（用配方法）；（2）(x−3)(x−1)=3；（3）2x2−2√2x−5=0（用公式法）；（4）2(x−3)2=x2−9．已知a、b满足a2−15a−5=0，b2−15b−5=0，求ab +ba的值．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120∘的等腰三角形，以D为顶点作一角等于60∘．角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，构成一个△AMN，求△AMN的周长．如图，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x2−2mx+3＝0的两根，AB=m试求：（1）⊙O的半径；（2）由PA，PB，围成图形(即阴影部分)的面积. （计算结果用含有π的式子表示）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4, 0)，以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60∘，P是x轴上的一动点，连接CP．(1)求∠OAC的度数；(2)如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；(3)如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(2, 3)、B(0, 3)、C(4, −5)三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x为何值时，y>3；（3）试确定△ABC的外接圆圆心M的坐标．参考答案与试题解析内蒙古呼和浩特市某校2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共9题；共14分）1.【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：∵x2−6x−5=0，∴x2−6x=5，∴x2−6x+9=5+9，∴(x−3)2=14.故选A．2.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据方程有两个不相等的实数根，则△>0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ=2k+1−4k>0，∴−12≤k<12，且k≠0．故选D．3.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90∘，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30∘，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=12BC⋅AD，即可得出结果．解：如图所示：作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90∘，OD=1，∵△ABC是等边三角形，∴BD=CD，∠OBD=12∠ABC=30∘，∴OA=OB=2OD=2，∴AD=3，BD=√3，∴BC=2√3，∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×2√3×3=3√3；故选：B．4.【答案】D【考点】二次函数与不等式（组）【解析】首先判断直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．【解答】由{y=4xy=2x2+2消去y得到：x2−2x+1=0，∵△=0，∴直线y=4x与抛物线y=2x2+2只有一个交点，如图所示，观察图象可知：y1≤y2，5.【答案】C【考点】二次函数的最值【解析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线x=−b2a =−−82×2=2，进而可根据二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线x=−b2a =−−82×2=2，则有：1≤x≤5．当x=2时，二次函数有最小值，即为：y=2×22−8×2+9=16.【答案】A【考点】三角形三边关系根与系数的关系一元二次方程的解等腰三角形的性质【解析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2−12x+m+2=0的两根，∴a+b=12，ab=m+2，当4为底时，则a，b为腰，即a=b=6，符合题意，m=ab−2=34.当4为腰时，则a，b中有一个为4，另一个为12−4=8，由于4，4，8不能构成三角形，舍去.故选A.7.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100(1+x)元，然后再根据价钱为100(1+x)元，表示出第二次提价的价钱为100(1+ x)2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．【解答】解：设每次提价的百分率为x，根据题意得：100(1+x)2=121.故选C.8.【答案】A【考点】旋转的性质勾股定理【解析】根据旋转的性质可知：DE=BC=1，AB=AD，应用勾股定理求出AB的长；又由旋转的性质可知：∠BAD=90∘，再用勾股定理即可求出BD的长．【解答】解：由旋转的性质可知：BC=DE=1，AB=AD.∘又∵旋转角为90∘，∴∠BAD=90∘，∴在Rt△ADB中，BD2=(√10)2+(√10)2=20，∴BD的长为2√5.故选A.9.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3, 0)，从而可知当x>3时，y<0；②由抛物线开口向下可知a<0，然后根据x=−b2a=1，可知：2a+b＝0，从而可知3a+b＝0+a＝a<0；③设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x−3)，则y＝ax2−2ax−3a，令x＝0得：y＝−3a．由抛物线与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间，可知2≤−3a≤3．④由4ac−b2>8a得c−2<0与题意不符．【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为(3, 0)，当x>3时，y<0，故①正确；②抛物线开口向下，故a<0，∵x=−b2a=1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a<0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，则y=ax2−2ax−3a，令x=0，得：y=−3a．∵抛物线与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（包括这两点），∴2≤−3a≤3．解得：−1≤a≤−23，故③正确；④∵抛物线与y轴的交点B在(0, 2)和(0, 3)之间（包括这两点），∴2≤c≤3，由4ac−b2>8a得：4ac−8a>b2，∵a<0，∴c−2<b 24a，∴c−2<0，∴c<2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B.二、填空题（共8题；共7分）28【考点】圆周角定理垂径定理【解析】根据垂径定理可得点B 是AC ̂中点，由圆周角定理可得∠ADB =12∠BOC ，继而得出答案． 【解答】解：∵ OB ⊥AC ，∴ AB̂=BC ̂， ∴ ∠ADB =12∠BOC =28∘．故答案为：28．【答案】 √3【考点】切线的性质【解析】在RT △POC 中，根据∠P =30∘，PC =3，求出OC 、OP 即可解决问题．【解答】∵ OA =OC ，∠A =30∘，∴ ∠OCA =∠A =30∘，∴ ∠COB =∠A +∠ACO =60∘，∵ PC 是⊙O 切线，∴ ∠PCO =90∘，∠P =30∘，∵ PC =3，∴ OC =PC ⋅tan30∘=√3，PO =20C =2√3，∴ PB =PO −OB =√3，【答案】2016【考点】根与系数的关系【解析】先利用一元二次方程根的定义得到m 2＝−2m +2018，则m 2+3m +n 可化简为2018+m +n ，再根据根与系数的关系得到m +n ＝−2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵ m 为一元二次方程x 2+2x −2018=0的实数根，∴ m 2+2m −2018=0，即m 2=−2m +2018，∴ m 2+3m +n =−2m +2018+3m +n =2018+m +n ，∵ m ，n 分别为一元二次方程x 2+2x −2018=0的两个实数根，∴ m +n =−2，∴ m 2+3m +n =2018−2=2016．故答案为：2016.6【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为(0, 3)，再将y＝3代入y=13x2，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．【解答】解∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为(0, 3)．当y＝3时，13x2=3，解得x＝±3，∴B点坐标为(−3, 3)，C点坐标为(3, 3)，∴BC＝3−(−3)＝6．故答案为：6.【答案】−8，4或−2【考点】二次函数的性质二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】由抛物线的顶点在坐标轴上，故应分为在x轴和y轴上两种情况进行讨论．【解答】当抛物线y=x2−(m+2)x+9的顶点在x轴上时+=0，即⋅(m+2)−4×9=0解得：m=4或m=−8当抛物线y=x2−(m+2)x+9的顶点在y轴上时x=−b2a =m+22=0，解得m=−2综上所述，m的值为4,−8或−2.【答案】y＝x2−1【考点】二次函数图象与几何变换【解析】先将抛物线整理成顶点形式并求出顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】y＝x2−2x+3，＝x2−2x+1+2，＝(x−1)2+2，所以，原抛物线的顶点坐标为(1, 2)，∵向左平移一个单位，再向下平移三个单位，∴1−1＝0，2−1＝1，∴平移后的抛物线顶点坐标为(0, 1)，∴抛物线的解析式应为y＝x2−1．【答案】y1>y2>y3【考点】二次函数图象上点的坐标特征反比例函数图象上点的坐标特征一次函数图象上点的坐标特点【解析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线x=−4，由−4<0<a2<a2+1<a2+2，可直接进行求解．【解答】解：由y=−(x+4)2可得：对称轴为直线x=−4,a=−1<0，开口向下，：点A(a2,y1),B(a2+1,y2),c(a2+3,y3)都在函数y=−(x+4)2的图象上，−4<0<a<a2+1<a2+2∴y随x的增大而减小，y1>y2>y3故答案为y1>y2>y3【答案】①②③④【考点】切线的判定圆的有关概念线段垂直平分线的性质【解析】根据题意易得∠ADB=90∘，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得．AC=AB，连接OD，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【解答】解：_AB是⊙O的直径，∠ADB=90∘∴ AD⊥BC，故①符合题意；：点D是BC的中点，AC=AB∴．4ABC是等腰三角形，∠B=∠C,∠CAD=∠BADDE⊥AC,∠CDA=90∘∠EDA+∠EAD=90∘∠CAD+∠C=90∘∠EDA=∠C∠EDA=∠B，故②符合题意；OA=12 ABOA=12AC，故③符合题意；连接OD，如图所示：OD=OA∠ADO=∠DAO∠ADO=∠EAD∠ADO+∠EDA=90∘∴ED是○O的切线，故④符合题意；：正确的有①②③④；故答案为①②③④三、解答题（共7题；共55分）【答案】解：x2−5x+1=0(x−52)2=214，x−52=±√212，解得：x1=√21+52,x2=5−√212；解：(x−3)(x−1)=3x2−4x=0，x(x−4)=0，解得：x1=0,x2=4解：2x2−2√2x−5=0∵a=2,b=−2√2,c=−5，∴Δ=b2−4ac=(−2√2)2−4×2×(−5)=48>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =2√2±√482×2=2√2±4√34=√2±2√32，即x1=√2+2√32,x2=√2−2√32解：2(x−3)2=x2−92(x−3)2=(x+3)(x−3)，(x−3)(x−9)=0，解得：x1=3,x2=9．【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】（1）根据配方法进行求解一元二次方程即可；（2）先化简，然后根据因式分解法进行求解即可；（3）利用公式法进行求解一元二次方程即可；（4）根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．【解答】此题暂无解答【答案】解：∵a、b满足a2−15a−5=0，b2−15b−5=0，∴若a=b，则ab +ba=2；若a≠b，则a，b是关于x的方程x2−15x−5=0的两根，∴a+b=15，ab=−5，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=235，∴ab +ba=a2+b2ab=235−5=−47；∴ab +ba值为2或−47．【考点】根与系数的关系完全平方公式一元二次方程的解【解析】由a，b满足a2−15a−5=0,b2−15b−5=0，可分别从a=b与a≠b去分析求解，注意当a≠b，则a，b是关于x的方程x2−15x−5=0的两根，再利用根与系数的关系求解即可；【解答】此题暂无解答【答案】解：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得(12x−2)(x−4)=288．解这个方程，得x1=−20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【考点】一元二次方程的应用【解析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．解：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得(12x−2)(x−4)=288．解这个方程，得x1=−20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【答案】解：如图所示，延长AC到点P，使CP＝BM，连接DP．∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120∘，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30∘．又∵△ABC等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60∘．∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90∘．同理可得∠NCD＝90∘．∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90∘．又∵CP＝BM，∴△BDM≅△CDP．∴MD＝PD．∠MDB＝∠PDC∵∠MDN＝60∘∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC−∠MDN＝60∘．即∠MDN＝∠PDN＝60∘．∴△NMD≅△NPD(SAS)．∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM．∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2．故△AMN的周长为2．【考点】等腰三角形的性质【解析】如图所示，先延长AC到点P，使CP=BM，连接DP．结合等腰三角形和等边三角形的性质，证明出△BDM≅4DP，可得∠MDN=∠PDN=60∘，再证明△NMD≅△NPD后，得出MN=PN=NC+CP=NC+BM，最后可计算出4AMN的周长=AB+AC=2【解答】此题暂无解答解：连OA，OB，∵PA=PB，∴△=(−2m)2−4×3=0，∴m2=3，m>0，m=√3x1=x2=√3,∴PA=PB=AB=√3∴△ABP等边三角形，∴∠APB=60∘，∴∠APO=30∘，∵PA=√3∴OA=1；解：∵∠AOP=60∘，∴∠AOB=120∘，S阴=S四边形OAPB−S扇形OAB=2S△AOP−S扇形OAB=2×12×1×√3−120⋅π⋅12360=√3−1 3π.【考点】扇形面积的计算【解析】（1）用切线的性质及根的判别式求出m的值即AB的长，代入原方程得出两根即PA、PB的长，因AB=PA=PB∴ ABP为等边三角形，∠APB=60∘，则∠APO=30∘，再用勾股定理求出OA的长及圆的半径．（2）用四边形的度数和求出∠AOB的度数，再求出4AOB和4APB的面积和减去扇形OAB的面积即为所求．【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)∵∠AOC=60∘，AO=AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC=60∘．(2)∵CP与⊙A相切，∴∠ACP=90∘，∴∠APC=90∘−∠OAC=30∘.∵A(4, 0)，∴AC=AO=4，∴ PA =2AC =8，∴ PO =PA −OA =8−4=4．(3)①过点C 作CP 1⊥OB ，垂足为P 1，延长CP 1交⊙A 于Q 1.∵ OA 是半径，∴ OĈ=OQ 1̂， ∴ OC =OQ 1，∴ △OCQ 1是等腰三角形.又∵ △AOC 是等边三角形，∴ P 1O =12OA =2；②过A 作AD ⊥OC ，垂足为D ，延长DA 交⊙A 于Q 2，CQ 2与x 轴交于P 2.∵ A 是圆心，∴ DQ 2是OC 的垂直平分线，∴ CQ 2=OQ 2，∴ △OCQ 2是等腰三角形.过点Q 2作Q 2E ⊥x 轴于E ，在Rt △AQ 2E 中，∵ ∠Q 2AE =∠OAD =12∠OAC =30∘， ∴ Q 2E =12AQ 2=2，AE =2√3，∴ 点Q 2的坐标(4+2√3, −2).在Rt △COP 1中，∵ P 1O =2，∠AOC =60∘，∴ CP 1=2√3，∴ C 点坐标(2, 2√3).设直线CQ 2的关系式为y =kx +b ，则{−2=(4+2√3)k +b ，2√3=2k +b ，解得{k =−1，b =2+2√3， ∴ y =−x +2+2√3.当y =0时，x =2+2√3，∴ P 2O =2+2√3．综上所述：当PO =2或2+2√3时，△OCQ 是等腰三角形.【考点】待定系数法求一次函数解析式切线的性质等边三角形的性质等腰三角形的判定【解析】（1）OA ＝AC 首先三角形OAC 是个等腰三角形，因为∠AOC ＝60∘，三角形AOC 是个等边三角形，因此∠OAC ＝60∘；（2）如果PC 与圆A 相切，那么AC ⊥PC ，在直角三角形APC 中，有∠PCA 的度数，有A 点的坐标也就有了AC 的长，可根据余弦函数求出PA 的长，然后由PO ＝PA −OA 得出OP 的值．（3）本题分两种情况：①以O 为顶点，OC ，OQ 为腰．那么可过C 作x 轴的垂线，交圆于Q ，此时三角形OCQ 就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO 可在直角三角形OCP 中，根据∠COA 的度数，和OC 即半径的长求出PO ．②以Q 为顶点，QC ，QD 为腰，那么可做OC 的垂直平分线交圆于Q ，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC 于D 的话，可在直角三角形AOQ 中根据∠QAE 的度数和半径的长求出Q 的坐标；然后用待定系数法求出CQ 所在直线的解析式，得出这条直线与x 轴的交点，也就求出了PO 的值．【解答】解：(1)∵ ∠AOC =60∘，AO =AC ，∴ △AOC 是等边三角形，∴ ∠OAC =60∘．(2)∵ CP 与⊙A 相切，∴ ∠ACP =90∘，∴ ∠APC =90∘−∠OAC =30∘.∵ A(4, 0)，∴ AC =AO =4，∴ PA =2AC =8，∴ PO =PA −OA =8−4=4．(3)①过点C 作CP 1⊥OB ，垂足为P 1，延长CP 1交⊙A 于Q 1.∵ OA 是半径，∴ OĈ=OQ 1̂， ∴ OC =OQ 1，∴ △OCQ 1是等腰三角形.又∵ △AOC 是等边三角形，∴ P 1O =12OA =2；②过A 作AD ⊥OC ，垂足为D ，延长DA 交⊙A 于Q 2，CQ 2与x 轴交于P 2.∵ A 是圆心，∴ DQ 2是OC 的垂直平分线，∴ CQ 2=OQ 2，∴ △OCQ 2是等腰三角形.过点Q2作Q2E⊥x轴于E，在Rt△AQ2E中，∵∠Q2AE=∠OAD=12∠OAC=30∘，∴Q2E=12AQ2=2，AE=2√3，∴点Q2的坐标(4+2√3, −2).在Rt△COP1中，∵P1O=2，∠AOC=60∘，∴CP1=2√3，∴C点坐标(2, 2√3).设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则{−2=(4+2√3)k+b，2√3=2k+b，解得{k=−1，b=2+2√3，∴y=−x+2+2√3.当y=0时，x=2+2√3，∴P2O=2+2√3．综上所述：当PO=2或2+2√3时，△OCQ是等腰三角形.【答案】解：（1）∵y=ax2+bx+c的图象经过A(2, 3)、B(0, 3)、C(4, −5)三点，∴{4a+2b+c=316a+4b+c=−5c=3，解得{a=−1 b=2c=3，∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；（2）∵A(2, 3)，B(0, 3)，∴当0<x<2时，y>3；（3）分别作AB于BC的中垂线，交点为M，点M即为圆心；连接MB、MC，设M(1, y M)，∵MB2=1+(3−y M)2，MC2=(y M+5)2+9，∴1+(3−y M)2=(y M+5)2+9，∴y M=−32，∴△ABC的外接圆的圆心的坐标为M(1, −32)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将A、B、C三点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）易知A(2, 3)，B(0, 3)，由图知，当抛物线上的点在B、A之间时，纵坐标都大于3，由此可得当0<x<2时，y>3；（3）作△ABC任意两边的中垂线，两条垂直平分线的交点即为所求的M点；由于AB的垂直平分线是抛物线的对称轴方程，那么点M必在抛物线的对称轴上，可据此设出点M的坐标；然后根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出MB、MC的长，由于三角形的外心到三个顶点的距离相等，那么MB=MC，由此可列出关于M点纵坐标的方程，从而求出M点的坐标．【解答】解：（1）∵y=ax2+bx+c的图象经过A(2, 3)、B(0, 3)、C(4, −5)三点，∴{4a+2b+c=316a+4b+c=−5c=3，解得{a=−1 b=2c=3，∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；（2）∵A(2, 3)，B(0, 3)，∴当0<x<2时，y>3；（3）分别作AB于BC的中垂线，交点为M，点M即为圆心；连接MB、MC，设M(1, y M)，∵MB2=1+(3−y M)2，MC2=(y M+5)2+9，∴1+(3−y M)2=(y M+5)2+9，∴y M=−32，∴△ABC的外接圆的圆心的坐标为M(1, −32)．。
呼和浩特市2020版九年级上学期期中数学试题(I)卷
呼和浩特市2020版九年级上学期期中数学试题（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为（）A．B．C．D．2 . 点P（﹣4，6）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣6，4）B．（﹣4，﹣6）C．（4，6）D．（4，﹣6）3 . 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．70°4 . 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，随机出手一次，则小强获胜的概率为（）A．B．C．D．5 . 抛物线的对称轴是A．直线B．直线C．直线D．直线6 . 若x2-4=0，那么x的值是（）A．2B．-2C．2或-2D．47 . 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知BD=6，AC=8，则菱形ABCD的周长为（）A．40B．20C．10D．58 . 已知y=ax2+k的图象上有三点A(-3,y1)，B(1，y2)，C(2，y3),且y2<y3<y1,则a的取值范围是（）A．a>0B．a<0C．a≥0D．a≤09 . 如果两个相似正五边形的面积比为1:100.则它们的边长比为（）A．1:10000B．1：50C．1：10D．1：10010 . 如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数（x ＞0）的图象上．则y1+y2+…+y8的值为（）A．B．6C．D．二、填空题11 . A，B是⊙O上的两点，OA=1，弧AB的长是，则∠AOB的度数是__________．12 . 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是__________．13 . 如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且B E⊥AC于点F，连接DF，则下列结论正确的是_____．①△ADC∽△CFB；②AD＝DF；③；④＝14 . 关于x一元二次方程x2－2ax＋b＝0，且a2－b>0，称a为该方程的特征值．已知x一元二次方程x2－mx ＋n＝0的特征值是3，其中一个根是2，则n的值为_____．15 . 在一个不透明的袋子中有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，在袋子中再放入个白球后，从袋子中随机摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，经大量试验，发现摸到白球的频率稳定在0.95左右，则______.16 . 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x＞0)的图象经过点A，点B在y轴上，连接AB，AO，若AB=AO，则△ABO的面积为_____________________．三、解答题17 . 如图1所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，t+1），B（t-5，-1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点（a，b）和（c，d）是反比例函数y=图象上两点，若，求a-c的值；（3）若M（x1，y1）和N（x2，y2）两点在直线AB上，如图2所示，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知-3＜x1＜0，x2＞1，请探究当x1、x2满足什么关系时，MN∥EF．18 . 已知关于x的一元二次方程．（1）若此一元二次方程有实数根，求k的取值范围．（2）选一个你认为合适的整数k代入原方程，并解此方程。
内蒙古呼和浩特市2020年九年级上学期数学期中考试试卷(II)卷
内蒙古呼和浩特市2020年九年级上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020九下·广陵月考) 下列方程属于一元二次方程的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019八下·义乌期末) 下列四个图案中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·绍兴模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a+2b+c＞0；④（a+c）2＜b2 ．其中不正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分） (2018九上·开封期中) 对于抛物线y＝﹣，下列说法正确的是（）A . 开口向上，顶点坐标（-5，3）B . 开口向上，顶点坐标（5，3）C . 开口向下，顶点坐标（-5，3）D . 开口向下，顶点坐标（5，3）5. （2分）(2017·闵行模拟) 将二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A . y=2（x﹣3）2﹣1B . y=2（x+3）2﹣1C . y=2x2+4D . y=2x2﹣46. （2分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为（）A .B .C .D .7. （2分）根据下列表格中关于x的代数式ax2+bx+c的值与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的范围是（）x 5.12 5.13 5.14 5.15ax2+bx+c﹣0.04﹣0.020.010.03A . 5.14＜x＜5.15B . 5.13＜x＜5.14C . 5.12＜x＜5.13D . 5.10＜x＜5.128. （2分） (2020九上·南岗期末) 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2020·迁安模拟) 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则的度数是（）A . 12°B . 15°C . 30°D . 48°10. （2分）已知二次函数y=a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017九上·黄石期中) 已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2 ＋ kx－1＝0的一个根，则实数k＝________.12. （1分） (2017八下·鹤壁期中) 点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是________．13. （1分）已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是________.14. （1分）等边三角形的周长为x，面积为y，用x表示y的关系式为y=________．15. （1分）(2019·海州模拟) 如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则图中△PBC的面积为________cm2.三、解答题 (共8题；共86分)16. （10分）解方程：（1） (x-5)2=16 （直接开平方法）（2） x2+5x=0 （因式分解法）（3） x2-4x+1=0 （配方法）（4） x2+3x-4=0 （公式法）17. （15分） (2020八上·丹江口期末) 如图，已知，， .①作关于轴的对称图形 ;② 为轴上一点，请在图中找出使的周长最小时的点并直接写出此时点的坐标（保留作图痕迹）18. （10分）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．19. （5分） (2019九上·宜昌期中) 空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米.已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米.如图，求所利用旧墙AD的长；20. （10分）由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．请利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，PQ=4 ．（1）连结OP，证明△OPH为等腰直角三角形；（2）若点C，D在⊙O上，且 = ，连结CD，求证：OP∥CD．21. （10分）某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:（1）求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;（2）求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得168元的销售利润,销售价应定为多少?22. （11分）(2017·长春模拟) 在四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD．（1）如图1，请连接AC，BD，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分别为边BC，CD上的动点，且∠EAF=60°，AE，AF分别与BD交于G，H，求证：△AGH∽△AFE；（3）如图3，在（2）的条件下，若EF⊥CD，直接写出的值．23. （15分）(2017·临沭模拟) 如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共8题；共86分)16-1、16-2、16-3、16-4、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、。
【初三数学】呼和浩特市九年级数学上期中考试检测试卷(含答案)
新人教版九年级数学上册期中考试试题及答案一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；26．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）×y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，又∵单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．新人教版九年级数学上册期中考试试题及答案一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；26．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）×y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，又∵单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．新人教版九年级数学上册期中考试试题及答案一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；。
内蒙古呼和浩特市2020版九年级上学期期中数学试卷A卷
内蒙古呼和浩特市2020版九年级上学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、仔细选一选 (共10题；共20分)1. （2分）按100分制60分及格来算，满分是150分的及格分是（）A . 60分B . 72分C . 90分D . 105分2. （2分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）A . -3B . -1C . 2D . 33. （2分）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1 ，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A . （0，64）B . （0，128）C . （0，256）D . （0，512）4. （2分） (2017九上·深圳期中) 如图，ΔABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于（）A . 2∶1B . 1∶2C . 2∶3D . 3∶25. （2分）(2018·南岗模拟) 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC的大小是（）A . 55°B . 60°C . 65°D . 70°6. （2分）已知反比例函数y= （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，那么二次函数y=ax2﹣ax的图象只可能是（）A .B .C .D .7. （2分）时代中学周末有40人去体育场观看足球赛,40张票分别为B区第2排1号到40号,分票采用随机抽样的办法,小明第一个抽取,他抽取的座号为10号,接着小亮从其余的票任意抽取一张,取得的一张票恰好与小明邻座的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（）A . 3B . 4C . 5D . 69. （2分）如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠1=100°，则圆周角∠ABC等于（）A . 100°B . 120°C . 130°D . 150°10. （2分）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣ x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是（）A . 3B .C .D . 2二、认真填一填 (共6题；共7分)11. （1分）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，若△PEF的面积为3，那么△PDC与△PAB的面积和等于________12. （1分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为________．13. （1分）(2018·青浦模拟) 如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，∠A=45°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿着DE所在直线翻折，点B落在点P处，PD、PE分别交边AC于点M、N，如果AD=2，PD⊥AB，垂足为点D，那么MN的长是________．14. （1分） (2016九上·上城期中) 函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④ ，其中正确的有________15. （2分）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=________ ；当1＜x＜2时，y随x的增大而________ （填写“增大”或“减小”）．16. （1分） (2017九上·灌云期末) 如图△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°，BC=5，则⊙O的直径为________．三、全面答一答 (共7题；共78分)17. （15分） (2016九上·北京期中) 抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m．（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）（3）S△ABC=3，求抛物线的解析式．18. （7分）(2017·微山模拟) 已知：如图，AD是△ABC的中线，∠ACE是△ABC的外角．（1）读下列语句，尺规作图，保留作图痕迹．①作∠ACE的角平分线，交BA延长线于点F；②过点D作DH∥AC，交AB于点H，连接CH．（2）依据以上条件，解答下列问题．①与△AHD面积相等的三角形是________；②若∠B=40°，∠F=30°，求∠BAC的度数．________19. （10分）(2019·新会模拟) 在一个不透明的盒子里，装有5个分别标有数字1，2，3，4，5的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．雄威同学先从盒子里随机取出第一个小球，记下数字为x；不放回盒子，再由丽贤同学随机取出第二个小球，记下数字为y．（1）请用树状图或列表法表示出坐标（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求雄威同学、丽贤同学各取一个小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的概率．20. （10分） (2016九上·肇庆期末) 如图，AB是⊙O的直径，直线EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）21. （15分）(2018·吴中模拟) 如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若点E是弧BD的中点，求∠F的度数；（2）求证：BE=2OC；（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？22. （10分）(2018·淄博) 如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．23. （11分）(2017·大连模拟) 如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣4）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，点D在线段CB上（点D不与B、C重合），过点D作CA的平行线，与抛物线相交于点E，直线BC的解析式为y=kx+2．（1）抛物线的解析式为________；（2）求线段DE的最大值；（3）当点D为BC的中点时，判断四边形CAED的形状，并加以证明．参考答案一、仔细选一选 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、认真填一填 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、全面答一答 (共7题；共78分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
2021-2022学年内蒙古呼和浩特市九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列方程中，一元二次方程是()=0 C. x2−3=0 D. x−2y=0A. 2x+1=0B. x2+1x3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为()A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm4.将抛物线y=x2向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x+1)2+4B. y=(x−1)2+4C. y=(x+4)2−1D. y=(x−4)25.已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为()A. 1B. 7C. 4或3D. 7或16.函数y=ax2−a与y=ax−a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.7.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是()A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°8.已知a是一元二次方程x2−3x−5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是()A. −2<a<−1B. 2<a<3C. −4<a<−3D. 4<a<59.如图，⊙O是△ABP的外接圆，半径r=2，∠APB=45°，则弦AB的长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 410.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1<x2，则−2≤x1<x2<4．其中结论正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.将点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是______．12.抛物线的形状大小、开口方向都与y=−12x2相同且顶点为(1,−2)，则该抛物线的解析式为______．13.某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为______．14.如图，点P(x,y)在抛物线y=−(x−1)2+2的图象上，若−1<x<2，则y的取值范围是______．15.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为______．16.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(m,0)，(n,0)，且过A(0,b)，B(3,a)两点(b,a是实数)，若0<m<n<2，则ab的取值范围是______．17.用适当的方法解下列方程．①x2−3x+1=0；②(x+4)2=5(x+4)．18.已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根．(1)试确定m的取值范围；(2)当1α+1β=−1时，求m的值．19.如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=−15x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．(1)球在空中运行的最大高度为多少米？(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？20.分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．21.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．22.如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．23.已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．(1)若点E是AC上一点，且CE=BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图(1)中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；(2)将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图(2)中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．24.已知抛物线y=ax2+kx+ℎ(a>0)．(1)通过配方可以将其化成顶点式为______ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴______ (填上方或下方)，即4aℎ−k2______ 0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；(2)若抛物线上存在两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设x1<x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图)(3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当a>0，(a+c)(a+b+c)<0时，(b−c)2>4a(a+b+c)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C【解析】解：A.2x+1=0，是一元一次方程，故此选项不合题意；=0，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B.x2+1xC.x2−3=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；D.x−2y=0，是二元一次方程，故此选项不合题意；故选：C．直接利用一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程的定义分别判断得出答案．此题主要考查了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=48，∴BD=12AB=12×48=24cm，∵⊙O的直径为52cm，∴OB=OC=26cm，在Rt△OBD中，OD=√OB2−BD2=√262−242=10cm，∴CD=OC−OD=26−10=16(cm)，故选：C．4.【答案】B【解析】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(1,4)，又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=(x−1)2+4．故选：B．抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(1,4)，根据顶点式可确定所得抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．5.【答案】D【解析】解：如图所示，连接OA，OC.作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB=4，CF=12CD=3，根据勾股定理，得OE=√AO2−AE2=3，OF=√OC2−CF2=4，所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF−OE=1，当AB和CD在圆心的异侧时，则EF=OF+OE=7．故选：D．连接OC、OA，作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．6.【答案】A【解析】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−a 的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误；C、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误．D、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误；故选：A．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD= 180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：如图，圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8.【答案】A【解析】解：一元二次方程x2−3x−5=0，∵a=1，b=−3，c=−5，∴△=9+20=29，∴x=3±√29，2，即−2<a<−1，则较小的根a=3−√292故选：A．利用公式法表示出方程的根，估算即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB= 2∠APB=90°，由勾股定理求出AB即可．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：则∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=r=2，∴AB=√OA2+OB2=√22+22=2√2；故选：C．10.【答案】B【解析】解：①由图象可知：a>0，c<0，>0，−b2a∴abc>0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，2a∴b=−2a，当x=−2时，y=4a−2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，故②错误；③∵A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a−4a+c=c，故③正确；④∵图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1.抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)若方程a(x+2)(4−x)=−2，即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，∵x1<x2，∴x1<−2<4<x2，故④错误；故选：B．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数图象和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．11.【答案】(−1,−3)【解析】解：∵点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是(1,3)；∵点P2与点P1关于原点对称，∴P2的坐标是(−1,−3)．故答案为：(−1,−3)．首先根据点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，可得点P1的坐标是(1,3)，然后根据点P2与点P1关于原点对称，求出P2的坐标是多少即可．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及坐标与图形变化问题−平移，要熟练掌握．12.【答案】=−12(x−1)2−2【解析】解：设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=−12x2相同，∴a=−12，∴y=−12(x−ℎ)2+k，∴y=−12(x−1)2−2，故答案为：y=−12(x−1)2−2．设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2+k，由条件可以得出a=−12，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．13.【答案】20%【解析】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：200(1−x)2=128，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8=180%(舍去)，故答案为：20%．设这种商品每次降价的百分率是x，则第一次下调后的价格为200(1−x)，第二次下调的价格为200(1−x)2，根据题意可列方程为200(1−x)2=128求解即可．本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．14.【答案】−2<y≤2【解析】解：由抛物线y=−(x−1)2+2可知二次函数的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x=1时，有最大值2，当x=−1时，有最小值为−(−1−1)2+2=−2，∴y的取值范围为−2<y≤2．故答案为−2<y≤2．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可，然后写出y的取值范围即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题和增减性，熟记性质并求出对称轴是解题的关键．15.【答案】14+4√3【解析】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP=BM=√2，∠PBM=90°，∴PM=√2PB=2，∵PC =4，PA =CM =2√3，∴PC 2=CM 2+PM 2，∴∠PMC =90°，∵∠BPM =∠BMP =45°，∴∠CMB =∠APB =135°，∴∠APB +∠BPM =180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH =HM ，∴BH =PH =HM =1，∴AH =2√3+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=(2√3+1)2+12=14+4√3，∴正方形ABCD 的面积为14+4√3．故答案为14+4√3．如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBM ，连接PM ，过点B 作BH ⊥PM 于H.首先证明∠PMC =90°，推出∠CMB =∠APB =135°，推出A ，P ，M 共线，利用勾股定理求出AB 2即可．本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．16.【答案】0<ab <8116【解析】由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点(m,0)，(n,0)， 所以可设交点式y =(x −m)(x −n)，分别代入(0,b)，(3,a)，∴ab =mn(3−m)(3−n)=(3m −m 2)(3n −n 2)=[−(m −32)2+94][−(n −32)2+94]， ∵0<m <n <2，∴0<−(m −32)2+94≤94，0<−(n −32)2+94≤94，∵m <n ，∴ab 不能取8116，∴0<ab <8116．故答案为：0<ab <8116．先表示出b =mn ，a =(3−m)(3−n)，进而得ab =[−(m −32)2+94][−(n −32)2+94]，再判断出0<−(m −32)2+94≤94，0<−(n −32)2+94≤94，即可得出结论．此题主要考查了二次函数与x 轴的交点，完全平方的非负性，判断出a =b 以及抛物线与x 轴只有一个交点时，ab 最大这个分界点是解本题的关键．17.【答案】解：①∵a =1，b =−3，c =1，∴Δ=(−3)2−4×1×1=5>0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =3±√52， 即x 1=3+√52，x 2=3−√52；②∵(x +4)2=5(x +4)，∴(x +4)2−5(x +4)=0，则(x +4)(x −1)=0，∴x +4=0或x −1=0，解得x 1=−4，x 2=1．【解析】①利用公式法求解即可；②先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即△=(2m +3)2−4m 2>0，解得m >−34；(2)∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β=−(2m+3)，αβ=m2．∵1α+1β=−1，∴−(2m+3)=−m2，解得m1=3，m2=−1．∵m>−34，∴m=3．【解析】(1)根据方程有两个相等的实数根可知△>0，求出m的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca是解答此题的关键．也考查了根的判别式．19.【答案】解：(1)因为抛物线y=−15x2+3.5的顶点坐标为(0,3.5)所以球在空中运行的最大高度为3.5米；(2)当y=3.05时，3.05=−15x2+3.5，解得：x=±1.5又因为x>0所以x=1.5当y=2.25时，x=±2.5又因为x<0所以x=−2.5，由|1.5|+|−2.5|=1.5+2.5=4米，故运动员距离篮框中心水平距离为4米．【解析】(1)最大高度应是抛物线顶点的纵坐标的值；(2)根据所建坐标系，水平距离是蓝框中心到Y轴的距离+球出手点到y轴的距离，即两点横坐标的绝对值的和．根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．20.【答案】解：逆时针旋转90°的图形如下：；逆时针旋转180°的图形如下：．【解析】根据题意所述旋转三要素，依次找到各点对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形．此题考查了旋转作图的知识，解答此类问题一定要仔细审题，找到旋转三要素，然后找到各点的对应点，注意规范作图．21.【答案】解：(1)当6≤x ≤10时，设y 与x 的关系式为y =kx +b(k ≠0)根据题意得{1000=6k +b 200=10k +b ，解得{k =−200b =2200∴y =−200x +2200当10<x ≤12时，y =200故y 与x 的函数解析式为：y ={−200x +2200,(6≤x ≤10)200,(10<x ≤12)(2)由已知得：W =(x −6)y当6≤x≤10时，W=(x−6)(−200x+2200)=−200(x−172)2+1250∵−200<0，抛物线的开口向下∴x=172时，取最大值，∴W=1250当10<x≤12时，W=(x−6)⋅200=200x−1200∵y随x的增大而增大∴x=12时取得最大值，W=200×12−1200=1200综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．【解析】(1)根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；(2)根据总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W 的最大值．本题主要考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键；22.【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm，∴BC2=AB2−AC2=102−62=64，∴BC=√64=8(cm)，又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD⏜=DB⏜，∴AD=BD，又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD2+BD2=102，∴AD=BD=√1002=5√2(cm)．【解析】本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中等弧对等弦，勾股定理，根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．解答此题要抓住两个关键，(1)判断出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段AD=DB，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答．23.【答案】(1)补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，{AB=BC∠ABD=∠C=60°BD=CE∴△ABD≌△BEC(SAS)∴∠BAD=∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°；(2)补全图形图2，AQ=12CD，证明：在△ABD和△BEC中，{AB=BC∠ABD=∠C=60°BD=CE∴△ABD≌△BEC(SAS)∴∠BAD=∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF=AD，∠DAF=120°．∵∠APE=60°，∴∠APE+∠DAP=180°．∴AF//BE，∴∠1=∠2，∵△ABD≌△BEC，∴AD=BE．∴AF =BE ．在△AQF 和△EQB 中，{∠1=∠2∠AQF =∠EQB AF =BE△AQF≌△EQB(AAS)，∴AQ =QE ，∴AQ =12AE ，∵AE =AC −CE ，CD =BC −BD ，且AE =BC ，CD =BD ．∴AE =CD ，∴AQ =12CD ．【解析】(1)根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠BAD =∠CBE ，根据三角形的外角的性质得到∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.根据旋转的性质得到AF =AD ，∠DAF =120°.根据全等三角形的性质得到AQ =QE ，于是得到结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】(1)y =a(x +k 2a )2+4aℎ−k 24a ，下方，<(2)若设x 1<x 2且不等于顶点横坐标则A ，B 两点位置可能有以下三种情况： ①当A ，B 都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x 的增大而减小，所以点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，顶点M 在点B 下方，所以抛物线顶点必在x 轴下方．如图所示：②当A ，B 都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x 的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：(3)证明：令y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)，a>0，当x1=0时，y1=a+b+c；当x2=−1时，y2=2(a+c)．而(a+c)(a+b+c)<0，∴y1⋅y2<0，∴y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)上存在两点(−1,2a+2c)，(0,a+b+c)分别位于x 轴两侧，∴由(1)(2)可知，y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)顶点在x轴下方，<0，即4a(a+b+c)−(b−c)24a又a>0，∴4a(a+b+c)−(b−c)2<0，即：(b−c)2>4a(a+b+c)．【解析】解：(1)y=ax2+kx+ℎ=a(x2+ka x)+ℎ=a[x2+kax+(k2a)2−(k2a)2]+ℎ=a(x+k2a )2−k24a+ℎ=a(x+k2a)2+4aℎ−k24a，∴顶点式为：y=a(x+k2a )2+4aℎ−k24a，当顶点在x轴下方时，即4aℎ−k2<0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；故答案为：y=a(x+k2a )2+4aℎ−k24a，下方，<；(1)先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；(2)若设x1<x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③当A，B在对称轴两侧时，根据二次函数性质可得答案；(3)令y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)，根据点的特殊性得，y=ax2+(b−c)x+(a+ b+c)上存在两点(−1,2a+2c)，(0,a+b+c)分别位于x轴两侧，然后根据(1)(2)可得答案．此题考查的是二次函数与系数的关系，根据题意画出正确图形是解决此题关键．。
内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古农业大学附属秋实中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷
内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古农业大学附属秋实中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷一、单选题（共10题；共20分）1.下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)23.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是( )A. B. C. D. 且4.下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.6.如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是（）A. （4，﹣1）B. （﹣1，4）C. （4，2）D. （2，﹣4）7.如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（）A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°8.在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（）A.B.C.D.9.在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）-3＝0时，设x2﹣2x=y，则原方程可转化为y2﹣2y-3＝0，解得y1＝-1，y2＝3，所以x2﹣2x=-1或x2﹣2x=3，可得x1=x2=1，x3=3，x4=-1.我们把这种解方程的方法叫做换元法.对于方程：x2+ ﹣3x﹣=12，我们也可以类似用换元法设x+ =y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（）A. y2﹣3y﹣12＝0B. y2+y﹣8＝0C. y2﹣3y﹣14＝0D. y2﹣3y﹣10＝010.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共6题；共6分）11.圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是________；侧面展开扇形的圆心角是________．12.已知抛物线，当时，的取值范围是________13.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是________．14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的,则线段B'C的长为________15.在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．则点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为________．16.对任意实数a，若多项式a2+2ba﹣3c的值都是非负数，则代数式b+c最大值为________．三、解答题（共8题；共82分）17.（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝018.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值．19.如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若BE＝4，CD＝8 ，求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．20.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是∠QED的平分线；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．21.某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1请根据以上信息回答下列问题：（1）分别求出统计表中的x、y的值;（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数;（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．22.“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？23.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．24.如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】B二、填空题11.【答案】24π；216°12.【答案】1≤y＜913.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】三、解答题17.【答案】（1）解：（x﹣1）2＝2（x﹣1），（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x＝1或x＝3．（2）解：2x2﹣5x﹣2＝0，a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，Δ＝25﹣4×2×（﹣2）＝41，x＝，，．18.【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即，解不等式得，，又∵是一元二次方程，∴，∴ k的取值范围是且；（2）解：∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴ k的最小整数值为1，把k=1代入原方程，得，∴，，，将两边同乘，得，∴== ，将，代入得= =2020．19.【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，∴BC＝BD，∴∠A＝∠DCB，∴OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB，∵BE＝OF，∴△AFO≌△CEB（AAS）．（2）解：①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝4设OC＝r，则OE＝r﹣4，∴r2＝（r﹣4）2+（4 ）2∴r＝8．②连结OD．∵OE＝4＝OC，∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，∵△AFO≌△CEB，∴S△AFO＝S△BCE，∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣＝﹣16 .20.【答案】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）解：由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF＝．21.【答案】（1）解：由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50，则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30，∴x=30﹣（12+7）=11，y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3．（2）解：由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为=8%，∴，估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32（3）解：用A、B、C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读9本的学生，列表得到：A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC由列表可知，共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种，所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为22.【答案】（1）解：由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；（2）解：w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．23.【答案】（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连结AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．24.【答案】（1）解：点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0），设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，即y= = ﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；（2）解：△DCB为直角三角形，理由如下：过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，则T（0，4）．∵DT=TC=1，∴△DTC为等腰直角三角形，∴∠DCT=45°，同理可证∠BCO=45°，∴∠DCB=90°，∴△DCB为直角三角形；（3）解：设P（﹣1，t），∵A（1，0），C（0，3），∴= = ，= = ，= =10，∵△APC为等腰三角形，∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，①当AP=CP时，则有= ，即= ，解得t=1，此时P（﹣1，1）；②当AP=AC时，则有= ，即=10，解得t= ，此时P（﹣1，）或（﹣1，）；③当CP=AC时，则有= ，即=10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．。
内蒙古2021版九年级上学期数学期中考试试卷(II)卷(精编)
内蒙古2021版九年级上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019七下·岐山期末) 下面四个图形中，是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019九上·济阳期末) 抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A . （﹣2，1）B . （﹣2，﹣1）C . （2，1）D . （2，﹣1）3. （2分）如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A . x1=0，x2=﹣2B . x1=1，x2=2C . x1=1，x2=﹣2D . x1=0，x2=25. （2分） (2019八下·秀洲月考) 方程配方后变形为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020九上·平顶山期末) 已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（）.A . k<1B . k≤1C . k≤1且k≠0D . k<1且k≠07. （2分）(2018·鄂尔多斯模拟) 如图，M在BC上，MB= MC，如果△ABC绕点M按顺时针方向旋转180°后与△FED重合，则以下结论中不正确的是（）A . △ABC和△FED的面积相等B . △ABC和△FED的周长相等C . ∠A+∠ABC=∠F+∠FDED . AC∥DF，且AC=DF8. （2分）如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A . y＝（x＋1）2－1B . y＝（x＋1）2＋1C . y＝（x－1）2＋1D . y＝（x－1）2－19. （2分） (2019九上·黔南期末) 如图，将△AOB绕点0按逆时针方向旋转45°后得到△A’OB’，若∠AOB=15°，则∠AOB’的度数是（）A . 25°B . 30°C . 35°D . 40°10. （2分） (2017七下·洪泽期中) 在下面四根木棒中，选一根能与长为4cm，9cm的两根木棒首尾依次相接钉成一个三角形的是（）A . 4cmB . 5cmC . 9cmD . 13cm11. （2分）(2017·德州) 下列函数中，对于任意实数x1 ， x2 ，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是（）A . y=﹣3x+2B . y=2x+1C . y=2x2+1D . y=﹣12. （2分） (2016九上·萧山期中) 由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A . 其图像的开口向下B . 其图像的对称轴为直线x=﹣3C . 其最小值为1D . 当x＜3时，y随x的增大而增大二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2018八上·南山期末) 函数表达式y= 自变量x取值范围是________．14. （2分） (2019九上·海淀月考) 在如图所示的网格中，每个小正方形的长度为1，点A的坐标为（﹣3，5），点B的坐标为（﹣1，1），点C的坐标为（﹣1，﹣3），点D的坐标为（3，﹣1），小强发现线段CD可以由线段AB绕着某点旋转一个角度得到，其中点A与点C对应，点B与点D对应，则这个旋转中心的坐标为________．15. （1分）已知二次函数的图象开口向下，则m的取值范围是________ ．16. （2分）(2020·长宁模拟) 已知正三角形的边心距为，那么它的边长为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2018九上·巴南月考) 解方程：（1）（2）18. （5分） (2020八下·房山期中) 列方程解应用题：北京大兴国际机场，是建设在北京市大兴区与河北省廊坊市广阳区之间的超大型国际航空综合交通枢纽．机场主体工程占地多在北京境内，70万平米航站楼，客机近机位92个。
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2020-2021学年内蒙古呼和浩特市赛罕区秋实中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝0D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）23．（3分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．﹣1≤k≤2D．﹣1≤k≤2且4．（3分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（3分）若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是（）A．（4，﹣1）B．（﹣1，4）C．（4，2）D．（2，﹣4）7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°8．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝﹣1，y2＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x2+﹣3x﹣＝12，我们也可以类似用换元法设x+＝y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（）A．y2﹣3y﹣12＝0B．y2+y﹣8＝0C．y2﹣3y﹣14＝0D．y2﹣3y﹣10＝0 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）.11．（3分）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是；侧面展开扇形的圆心角是．12．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1，当0＜x＜3时，y的取值范围是．13．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．15．（3分）在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．则点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为．16．（3分）对任意实数a，若多项式a2+2ba﹣3c的值都是非负数，则代数式b+c最大值为．三．解答题（共8小题）17．（10分）（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝018．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE ＝OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若BE＝4，CD＝8，求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．20．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是∠QED的平分线；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．21．（9分）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本）123456789人数（名）126712x7y1请根据以上信息回答下列问题：（1）分别求出统计表中的x、y的值；（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．22．（8分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？23．（9分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）.1．（3分）下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣1）（x﹣2）＝0D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2解：A、是分式方程．故A错误；B、当a＝0时不是一元二次方程，故B错误；C、是，一元二次方程，故C正确；D、是一元一次方程．故D错误；故选：C．3．（3分）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．﹣1≤k≤2D．﹣1≤k≤2且解：当1﹣2k＝0时，（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0变为﹣x﹣1＝0，此时方程有实数根；当1﹣2k≠0时，由题意知，△＝4（k+1）+4（1﹣2k）≥0，且k+1≥0，∴﹣1≤k≤2．∴当﹣1≤k≤2时，关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根．故选：C．4．（3分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题；③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A．5．（3分）若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．解：根据题意得2πr＝，所以l＝r（r＞0），即l与r为正比例函数关系，其图象在第一象限．故选：A．6．（3分）如图，点A的坐标为（1，3），O为坐标原点，将OA绕点A按逆时针方向旋转90°得到AO′，则点O′的坐标是（）A．（4，﹣1）B．（﹣1，4）C．（4，2）D．（2，﹣4）解：观察图象可知O′的坐标为（4，2）．故选：C．7．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°解：设BP与圆O交于点D，连接OC、CD，如图所示：∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．8．（3分）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．9．（3分）在解方程（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0时，设x2﹣2x＝y，则原方程可转化为y2﹣2y﹣3＝0，解得y1＝﹣1，y2＝3，所以x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，可得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：x2+﹣3x﹣＝12，我们也可以类似用换元法设x+＝y，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是（）A．y2﹣3y﹣12＝0B．y2+y﹣8＝0C．y2﹣3y﹣14＝0D．y2﹣3y﹣10＝0解：x2+﹣3x﹣＝12x2+2+﹣2﹣3x﹣＝12，（x+）2﹣2﹣3（x+）＝12，设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝12，即y2﹣3y﹣14＝0，故选：C．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），∴x＝，且﹣4a＝a+b+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．二．填空题（每题3分，共18分）11．（3分）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是24πcm2；侧面展开扇形的圆心角是216°．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开扇形的圆心角为n°；∵圆锥的底面周长为2πr＝6πcm，∴r＝3，∵圆锥的高为4cm，∴R＝＝5（cm），∴圆锥的全面积＝底面积+侧面积＝π×32+×6π×5＝24π（cm2），∵侧面展开扇形的弧长l＝底面周长＝6π＝，∴n＝＝216，即侧面展开扇形的圆心角是216°；故答案为：24πcm2，216°．12．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1，当0＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜9．解：∵抛物线y＝2（x﹣1）2+1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∴x＝0和x＝2的函数值相等，当x＝3时，y＝9，当x＝1时，y＝1，∴当0＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜9，故答案为：1≤y＜9．13．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝OC＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝BE，∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，∴OE＝；如图3，∵OA＝2，∴AD＝OA＝1，∴OD＝＝，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×＝，故答案为：A．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，∴AB＝AB′＝6，∠B′AC′＝60°，∴∠EAB′＝180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC＝60°．∵B′E⊥EC，∴∠AB′E＝30°，∴AE＝3，∴根据勾股定理得出：B′E＝＝3，∴EC＝AE+AC＝6，∴B′C＝＝＝3．故答案为：3．15．（3分）在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．则点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为．解：根据题意列表如下：1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）共有16种等可能的情况数，其中点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的有2种，则点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为＝；故答案为：．16．（3分）对任意实数a，若多项式a2+2ba﹣3c的值都是非负数，则代数式b+c最大值为．解：∵a2+2ba﹣3c≥0，∴△＝4b2+12c≤0，∴c≤﹣，∴b+c≤﹣+b＝﹣（b﹣）2+，∴a+b的最大值为，故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（10分）（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝0解：（1）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x＝1或x＝3．（2）∵2x2﹣5x﹣2＝0，∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，∴△＝25﹣4×2×（﹣2）＝41，∴x＝18．（8分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值．解：（1）根据题意得k≠0且△＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0；（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，∴α+β＝1，αβ＝﹣1，∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，∴α2＝α+1，β2＝β+1，∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，α3+β2+β+2016＝2α+1+β+1+β+2016＝2（α+β）+2018＝2×1+2018＝2020．19．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE ＝OF．（1）求证：△AFO≌△CEB；（2）若BE＝4，CD＝8，求：①⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴BC＝BD，∴∠A＝∠DCB，∴OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB，∵BE＝OF，∴△AFO≌△CEB（AAS）．（2）①∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝4设OC＝r，则OE＝r﹣4，∴r2＝（r﹣4）2+（4）2∴r＝8．②连结OD．∵OE＝4＝OC，∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，∵△AFO≌△CEB，∴S△AFO＝S△BCE，∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD＝﹣××4＝π﹣1620．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是∠QED的平分线；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF＝．21．（9分）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n ＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：阅读本数n（本）123456789人数（名）126712x7y1请根据以上信息回答下列问题：（1）分别求出统计表中的x、y的值；（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50，则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%＝30，∴x＝30﹣（12+7）＝11，y＝50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）＝3．（2）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为＝8%，∴，估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%＝32；（3）用A、B、C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读9本的学生，列表得到：A B C DA AB AC ADB BA BC BDC CA CB CDD DA DB DC由列表可知，共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种，所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为＝；22．（8分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；∴y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（0≤x≤25，且x为整数）；（2）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．23．（9分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【解答】（1）证明：连结OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连结AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点A（1，0）关于x＝﹣1的对称点B（﹣3，0），设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+3），该抛物线又过C（0，3）有：3＝﹣3a，解得a＝﹣1即y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；（2）△DCB为直角三角形，理由如下：过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，则T（0，4）．∵DT＝TC＝1，∴△DTC为等腰直角三角形，∴∠DCT＝45°，同理可证∠BCO＝45°，∴∠DCB＝90°，∴△DCB为直角三角形；（3）设P（﹣1，t），∵A（1，0），C（0，3），∴AP2＝（1+1）2+t2＝4+t2，CP2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，AC2＝12+32＝10，∵△APC为等腰三角形，∴有AP＝CP、AP＝AC和CP＝AC三种情况，①当AP＝CP时，则有AP2＝CP2，即4+t2＝t2﹣6t+10，解得t＝1，此时P（﹣1，1）；②当AP＝AC时，则有AP2＝AC2，即4+t2＝10，解得t＝±，此时P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；③当CP＝AC时，则有CP2＝AC2，即t2﹣6t+10＝10，解得t＝0或t＝6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．。