平面向量重难点解析

平面向量重难点解析

课文目录

2.1 平面向量得实际背景及基本概念

2．2 平面向量得线性运算

2．3 平面向量得基本定理及坐标表示

2.4 平面向量得数量积

2．5 平面向量应用举例

目标：

１、理解与掌握平面向量有关得概念;

2、熟练掌握平面向量得几何运算与坐标运算；

3、熟悉平面向量得平行、垂直关系与夹角公式得应用；

4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面得应用;

重难点:

重点:向量得综合应用。

难点：用向量知识,实现几何与代数之间得等价转化。

【要点精讲】

1、向量得概念：既有大小又有方向得量叫向量,有二个要素:大小、方向、

2、向量得表示方法：

①用有向线段表示-----（几何表示法);

②用字母、等表示（字母表示法);

③平面向量得坐标表示(坐标表示法):

分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底。任作一个向量,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、,使得，叫做向量得(直角)坐标,记作,其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标，特别地,,,。;若,,则,

3、零向量、单位向量:

①长度为0得向量叫零向量,记为;

②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、(注:就就是单位向量)

4、平行向量:

①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;

②我们规定与任一向量平行、向量、、平行，记作∥∥、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量、

性质：就是唯一）

(其中）

５、相等向量与垂直向量:

①相等向量:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、

②垂直向量——两向量得夹角为

性质:

（其中)

6、向量得加法、减法:

①求两个向量与得运算,叫做向量得加法。向量加法得三角形法则与平行四边形法则。

平行四边形法则:

（起点相同得两向量相加,常要构造平行四边形）

三角形法则

——加法法则得推广: ……

即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有……

②向量得减法向量加上得相反向量,叫做与得差。即：-= + （-); 差向量得意义: = , =, 则=-

③平面向量得坐标运算：若,,则，,。

④向量加法得交换律:＋=+;向量加法得结合律：(+）+=+ (+)

⑤常用结论:

（1）若,则D就是AB得中点

(2)或G就是△ABC得重心,则

７．向量得模:

1、定义:向量得大小，记为｜| 或||

2、模得求法:

若,则||

若, 则||

3、性质:

(１)；(实数与向量得转化关系）

(2)，反之不然

(3)三角不等式:

(4) (当且仅当共线时取“=”)

即当同向时，；即当同反向时，

（5)平行四边形四条边得平方与等于其对角线得平方与,

即

８.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ

(1）|λ｜=｜λ|||；

(2)λ＞0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=;

(3）运算定律λ(μ)=（λμ)，（λ＋μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ

交换律:;

分配律：

(）·＝(·）=·(）;

——①不满足结合律：即

②向量没有除法运算。如:,都就是错误得

(4)已知两个非零向量,它们得夹角为,则

=

坐标运算：,则

(５）向量在轴上得投影为:

︱︱, (为得夹角,为得方向向量）

其投影得长为(为得单位向量)

（6)得夹角与得关系：

（1)当时,同向;当时,反向

(2)为锐角时,则有; 为钝角时,则有

９.向量共线定理:

向量与非零向量共线（也就是平行)得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ。10.平面向量基本定理:

如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2。

(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量得一组基底；

(2)基底不惟一,关键就是不共线；

（3)由定理可将任一向量在给出基底、得条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1，λ2就是被,，唯一确定得数量。

向量坐标与点坐标得关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y）,则=(x,ｙ）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A（x1,y1),B(x2,ｙ2),则=(x2-x１,y2-ｙ1)

11、向量与得数量积:

①·=｜|·||cｏs,其中∈［0,π]为与得夹角。

②｜|cｏｓ称为在得方向上得投影。

③·得几何意义就是:得长度||在得方向上得投影得乘积，就是一个实数（可正、可负、也可就是零),而不就是向量。

④若=（,)，=(x2,），则

⑤运算律:ａ·ｂ=b·ａ，(λａ）·b＝a·（λb)＝λ（a·b), （a+b）·c=a·c＋ｂ·c。

⑥与得夹角公式:cｏｓ==

⑦｜|２=ｘ2＋y２,或｜|=⑧｜a·b |≤｜ａ|·｜b |。

１2、两个向量平行得充要条件:

符号语言：若∥,≠,则＝λ

坐标语言为:设=(ｘ1,ｙ1）,＝（x２,y2）,则∥(ｘ1,y1)=λ(x2，y2),即,或x1y2－ｘ2y1=０

在这里，实数λ就是唯一存在得,当与同向时，λ>0；当与异向时,λ<０。

|λ｜=,λ得大小由及得大小确定。因此,当，确定时,λ得符号与大小就确定了。这就就是实数乘向量中λ得几何意义。

13、两个向量垂直得充要条件:

符号语言：⊥·=0

坐标语言：设=（ｘ1,y1），＝(x2,ｙ2),则⊥x1x２+y1y2=０