线线垂直的证明方法

ACD =
1 2
Baidu Nhomakorabea
AB%
ED
∃
1 2
A C% DF
=
AB ∃AC
.
同理可证:
S
ABD ∃S
ACD =
1 2
BD% h∃
1 2
CD% h= BD∃CD .
#
AB AC
=
BD DC
.
线线垂直的证明方法
海南省澄迈中学 陈东云
我们知道, 当两条直 线相交 所成的四 个角中, 有 一 个角是直角时, 我们就称 这两条 直线互相 垂直, 它是 两 条直线相交 中的 一种 特殊 位置 关系 . 证明 两直 线垂 直 的问题始终 贯穿 于整 个初 中阶 段, 它 在几 何问 题证 明 中占有非常重要的位置. 为此, 本文就 证明两 条直线 垂 直的方法进行归纳总结, 供读者参考.
数学学习
2003 年第六期
# 1= Q, # MN + QR , # DO1 ! QR. 3. 利用等腰三角形( 三线合一)的性质来证 例 4 已 知: 圆的两 条弦 AB , CD 的延长线 相交 于 点P , AB = CD , PQ 经 过圆心 O 交 ∗ O 于 Q . M , N 分 别
∀ M , N 分别为AB, CD 的中点, # OM ! AB , ON ! CD . 又 ∀ AB= CD , # OE = OF. 又 OP= OP, # Rt POE ∋ Rt POF ( HL) . # EOP = FOP, 即 OP 平分 MON , # OP ! MN , 即 MN ! PQ . 4. 利用( 线段垂直 平分线 性 质定理的逆定 理, 即 到一 条线 段 两个端点距离 相 等的 点, 在这 条 线段的垂直平分线上) 来证. 例 6 已 知: 如 图, ABC 三 边上 的 高 AD , BE, CF 相 交 于 点 H ; P 为AB 的中点, Q 为 CH 的 中 点. 求证: PQ ! DE .
1 2
AB,
QD =
1 2
CH
,
QE =
1 2
CH .
# PE = PD , QD = QE. # 点 P 和 Q 都在线段 DE 的垂直平分线上 .
# 根据两点确定一条直线可得, PQ ! DE. 5. 利用定理( 如果 三角 形一边 上的 中线 等于这 边
的一半, 那么这个三角形是直角三角形) 来证明 例 7 已 知: 如 图, 在 梯 形 ABCD 中, AB + CD, 又
1. 所谓截长法是指在较长的线段 上截取一段等 于
其它两 条线 段中的 一段, 然 后再证 明截 后所 余线段 等 于两线段中的另一段.
所谓补短法即 延长 两线 段中 较 短的 一条, 使其 等 于较短 线段 中的另 一条, 然 后证明 延长 后所 得的线 段
% 9%
AB + DC= AD , E 为 BC 的中点, 连结 AE, ED . 求证: AE ! DE .
分析: 取 AD 的中点为 F, 连结 EF, 只需证明 EF = AF = DF 即可.
证明: 取 AD 的中点为 F , 连结 EF. ∀ E 为 BC 的中点,
# EF 是梯形ABCD 的 中位线.
径; 直径所对的圆周角是 直角) 、( 特 殊平行四 边形的 性 质) 、( 勾股定理的逆定理) 等, 这 里就不 一一列 举, 留 给
读者自己去探索和体会.
线段 和 、差 、倍 、分 的几种证明方式
, 海南省那大二中 谢群峰 ,
线段的和、差、倍、分 在几何 证明中比 较灵活, 在 解 决问题中常 用到的方法有: 截长 法、补短法、加倍 法、折 半法等等.
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方法五、还可 利用 面积 关 系
的方法来证明.
例 8 如 图, 已 知 ABC 中,
AD 是 BA C 的平分线.
求证:
AB AC
=
BD DC
.
证明: 过 D 作DE ! AB 于 E,
DF ! AC 于 F .
∀ AD 是 BAC 的平分线,
# DE = DF.
2003 年第六期
#
S ABD∃S
1. 利用垂直的定义来证 例 1 如图, 已知: ABC 的高AD , BE 相交于点H ; F, G 分别是 AC, BH 的中点. 求证: DG ! DF . 分析: 欲证 DG ! DF, 只需 证 GDF = 90&. 观 察 图 形, 由 已 知 条 件 知 ADB = 90&, 故 只 需 证 ADF = GDB . 证明: ∀ DF 是 Rt ACD 斜边AC 上的中线, # DF = AF, # FAD = ADF; 同理可证 DBG= BDG. 又 ∀ FAD+ C= 90&,
#
EF =
1 2
( AB +
CD ) ,
而 AF= FD=
1 2
AD , 且
AD =
AB+
CD,
# AF= FD = FE. 关于证明两直线互相垂直 的方法 还有一 些, 如( 利
用圆中的有 关 定理 证 明, 即 垂 径 定理 的 推 论; 两 圆 相 交, 连心线 垂 直平 分 公共 弦; 切线 垂 直 于 过切 点 的 半
为AB, CD 的中点. 求证: MN ! PQ . 分析: 欲证 MN ! PQ, 考 虑 到 题目 中 所提 供 的 信
息, 若连结 OM , ON , 则可得等腰三角形 OMN , 这样把问 题转化为只需证 OP 是 MON 的平分线.
证明: 连结 OM , ON , 分别 交 AB , CD 于 点 E, F , 则 有 OM = ON .
DBG+ C= 90&, # FAD = DBG , # BDG= ADF , # GDF= GDA + ADF
= GDA + BDG = BDA = 90&. 例 2 已知: 如图, BP ! CD , PB= PD , PA = PC. 求证: AD ! BC .
% 8%
证明: 延长 DA 交 BC 于点 E .
∀ BP ! CD , # BPC = APD = 90&. 又 ∀ PA = PC, PB= PD, # BCP ∋ DAP( SAS) ,
# B= D. ∀ B + C= 90&,
# D + C= 90&. # DEC= 180&- ( D + C) = 90&,
# AD ! BC. 2. 利用定理( 在同一平面内, 如果一 条直线垂 直于 两平行线中的一条, 那么 这条直线 也垂直 于另一 条) 来 证. 例 3 已 知: 如 图, ∗ O 1 与 ∗ O 2 相 交于 A , B; 在 ∗ O 1 上 取 一点 D , 设 DA , DB 的延 长 线 交 ∗O2 于 Q, R. 求证: DO 1 ! QR . 分析: 过 D 作 ∗ O1 的 切 线 MN , 则 DO1 ! MN . 为证 DO1 ! QR, 只需证 MN + QR, 这 只需证 1= Q . 证明: 过 D 作 ∗ O 1 的切线 MN , 则 DO1 ! MN . 连结 AB , 则有 1= DBA . 又 ∀ 四边形 ABRQ 是 ∗ O2 的内接四边形, # DBA = Q .
分析: 欲证 PQ ! DE , 根据( 线段垂直平分线性质定
理的逆定 理) , 只需 在 PQ 上 找两 个 点, 证它 们 分别 到 DE 的两个端点的距离相等.
证明: 连结 PE, PD , QE , QD . ∀ AEB 是直角三角形, P 是斜边 AB 上的中点,
#
PE =
1 2
AB.
同理可证 PD =