离散数学(对偶和范式)

(3) 判断两个公式是否等值 例 用主析取范式判断下述两个公式是否等值： ⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如，由两个命题变元p和q，构成大项有pq，pq， pq，pq；三个命题变元p，q和r，构成pqr， pqr ， pqr ， pqr ， pqr ， pqr ， pqr，pqr。
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极小项与极大项
说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十 进制表示. （将命题变元按字典序排列，并且把命题变 元与1对应，命题变元的否定与0对应，则可对2n个小项 依二进制数编码） 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十 进制表示。（将n个命题变元排序，并且把命题变元与 ０对应，命题变元的否定与１对应，则可对2n个大项按 二进制数编码） mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi
③ (1) ~ (5)构成的合取式为 A=(pq)(su)((qr)(qr)) ((rs)(rs))(u(pq))
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例 (续)
④ A (pqrsu)(pqrsu)
结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、
周去（孙、李不去）.
A的演算过程如下:
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式A的主析取范式含2n个极小项
A的主合取范式为1. A为矛盾式 A的主析取范式为0
A的主合析取范式含2n个极大项 A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项 A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项
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主范式的用途(续)
对偶式； (2)表明，命题变元否定的公式等价于对 偶式之否定。
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对偶式和对偶原理
定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式， 若A B，则A* B*. 有了等值式、代入规则、替换规则和对偶
定理，便可以得到更多的永真式，证明 更多的等值式，使化简命题公式更为方 便。
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判定问题
真值表 等值演算 范式
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
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主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
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例 (续)
解此类问题的步骤为： ① 将简单命题符号化 ② 写出各复合命题 ③ 写出由②中复合命题组成的合取式 ④ 求③中所得公式的主析取范式
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例 (续)
解 ① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， s：派李去，u：派周去.
② (1) (pq) (2) (su) (3) ((qr)(qr)) (4) ((rs)(rs)) (5) (u(pq))
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命题公式的范式
定理 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式
与合取范式.
求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在）（消去公式中除 、和以外公式中出现的所有联结词） (2) 否定联结词的内移或消去（使用(P)P 和德·摩根律） (3) 使用分配律 对分配（析取范式） 对分配（合取范式）
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极小项与极大项(续)
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 成真赋值 名称
极大项 公式 成假赋值 名称
p q 0 0 m0 p q
0 0 M0
p q
0 1 m1 p q 0 1 M1
p q 1 0 m2 p q
1 0 M2
pq
1 1 m3 p q 1 1 M3
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显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为 对偶式。
2
对偶式和对偶原理
定理 设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,pn是出现在A和 A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式， 则 (1) A(p1,p2,…,pn) A* ( p1, p2,…, pn)
(2) A( p1, p2,…, pn) A* (p1,p2,…,pn) (1)表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的
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析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 如 p, q 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
注意：一个命题变元或其否定既可以是简单合取 式，也可是简单析取式，如p，q等。
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析取范式与合取范式
Mi∨MjＴ，i≠j。
n
(c) 所有大项之合取为永假，即 MiＦ。
i 1
(d) 每个大项只有一个解释为假，且其真值0位于
主对角线上。
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主析取范式与主合取范式
主析取范式: 由极小项构成的析取范式 主合取范式: 由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，
(pqr)(pqr) m1m3 是主析取范式 (pqr)(pqr) M1M5 是主合取范式 A的主析取范式: 与A等值的主析取范式 A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
极小项
公式
成真
赋值
p q r 0 0 0
p q r 0 0 1
p q r 0 1 0
p q r 0 1 1
p q r 1 0 0
p q r 1 0 1
p q r 1 1 0
p q r 1 1 1
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性
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求公式的范式举例
例 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) A=(pq)r 解 (pq)r
(pq)r （消去） pqr （结合律） 这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析 取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式 组成的合取式）
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求公式的范式举例(续)
(b) 任 意 两 个 不 同 的 小 项 的 合 取 式 是 永 假 的 ：
mi∧mjＦ，i≠j。
n
(c)所有小项之析取为永真： miＴ。 i 1
(d)每个小项只有一个解释为真，且其真值1位于
主对角线上。
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大项的性质：
(a) 没有两个大项是等价的。
(b) 任 何 两 个 不 同 大 项 之 析 取 是 永 真 的 ， 即
(2) B=(pq)r
解 (pq)r
(pq)r （消去第一个）
(pq)r （消去第二个）
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
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极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次，而且第i（1in）个文字出现在左起第i位上，称这样 的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
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从A的主析取范式求其主合取范 式的步骤
(a) 求出A的主析取范式中设有包含的小 项。 (b) 求出与(a)中小项的下标相同的大项。 (c) 做(b)中大项之合取，即为A的主合取范 式。 例如，(pq)qm1m3，则 (pq)qM0M2。
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求公式的主范式
例 求公式 A=(pq)r的主析取范式与主合
1.5 对偶与范式
▪ 对偶式与对偶原理 ▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
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对偶式和对偶原理
定义 在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A 中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0 或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公 式称为A的对偶式，记为A*.
从定义不难看出，(A*)* 还原成A
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主析取范式与主合取范式(续)
用等值演算法求公式的主范式的步骤： (1) 先求析取范式 (2) 删除析取范式中所有为永假的简单合取式 (3)用等幂律化简简单合取式中同一命题变元的重 复出现为一次出现，如p∧pp。 (4) 用同一律补进简单合取式中未出现的所有命题 变元，如q，则pp∧（q∨q)，并用分配律展开 之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出 现， 这样得到了给定公式的主析取范式。
极大项
公式
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
成假 赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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小项的性质：
(a) 没有两个小项是等价的，即是说各小项的真 值表都是不同的；
定理： 简单合取式为永假式的充要条件是：它 同时含有某个命题变元及其否定。
定理： 简单析取式为永真式的充要条件是：它 同时含有某个命题变元及其否定。
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析取范式与合取范式
简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
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求公式的主范式(续)
(2) 求A的主合取范式
(pq)r
(pr)(qr) , （合取范式） ①
pr
p(qq)r
(pqr)(pqr)
M0M2,
②
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求公式的主范式(续)
qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②, ③代入①并排序，得 (pq)r M0M2M4
③ （主合取范式）
A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式
A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式
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析取范式与合取范式(续)
范式:析取范式与合取范式的总称 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 pqr, pqr 的公式既是析取范式， 又是合取范式 (为什么?)
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主析取范式与主合取范式(续)
定理 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范 式和主合取范式, 并且是惟一的. 用等值演算法求公式的主范式的步骤：
(1) 先求析取范式（合取范式） (2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简
单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析 取（极大项的合取），需要利用同一律（零 律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. (3) 极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并 按角标从小到大顺序排序.
取范式.
(1) 求主析取范式
(pq)r
(pq)r , （析取范式） ①
(pq)
(pq)(rr)
(pqr)(pqr)
m6m7 ,
②
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求公式的主范式(续)
r
(pp)(qq)r
(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7
③
②, ③代入①并排序，得
(pq)r m1m3m5 m6m7（主析取范式）
例如，两个命题变元p和q，其构成的小项有pq， pq，pq和pq；而三个命题变元p、q和r，其构 成的小项有pqr，pqr，pqr，pqr， pqr ，pqr，pqr，pqr。
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极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中， 若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一 次，而且第i（1in）个文字出现在左起第i位上，称这样 的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
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主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
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主范式的用途(续)