高等数学课后习题答案第六章(可编辑修改word版)

1 1

2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1

2

习题六

1. 指出下列各微分方程的阶数：

(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

(1)xy ' = 2 y , y = 5x 2 ;

解：由 y = 5x 2

得 y ' = 10x 代入方程得

x ⋅10x = 2 ⋅ 5x 2 = 10x 2

故是方程的解.

(2) y ' + y = 0, y = 3sin x - 4 cos x ;

解： y ' = 3cos x + 4 s in x ;

y ' = -3sin x + 4 cos x 代入方程得

故是方程的解.

-3sin x + 4 cos x + 3sin x - 4 cos x = 0 . (3) y ' - 2 y ' + y = 0,

y = x 2e x ;

解： y ' = 2x e x + x 2e x = (2x + x 2 )e x

,

代入方程得

2e x ≠ 0 . 故不是方程的解.

(4) y ' - (+ ) y ' +

y = 0,

y ' = (2 + 4x + x 2 )e x

y = C e 1x + C e 2 x .

1 2 1 2

1 2 y ' = C e 1x + C e 2 x ,

y ' = C 2e x 1

+ C 2e 2 x

解：

1 1

2 2

1 1

2 2

代入方程得

C 2e 1x + C 2e 2 x - (+ )(C e 1x + C e 2 x ) + (C e 1x + C e 2 x

) = 0. 故是方程的解.

3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

(1)(x - 2 y ) y ' = 2x - y , x 2 - xy + y 2 = C ;

证：方程

x 2 - xy + y 2 = C 两端对 x 求导： 2x - y - xy ' + 2 yy ' = 0 y ' =

2x - y 得

x - 2 y 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

(2)(xy - x ) y ' + xy '2 + yy ' - 2 y ' = 0, y = ln(xy ). 证：方程 y = ln(xy ) 两端对 x 求导： y ' = 1 + 1

y '

x y

(*)

y ' =

得

y x ( y -1) .

(*)式两端对 x 再求导得

x =0 ⎰ ⎰ y ' = - y ⎡ 1 +

1 ⎤

y -1 ⎢⎣ x 2 x 2 ( y -1)2 ⎥⎦

将 y ', y ' 代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

(1)x 2 - y 2 = C ,

y = 5;

解：当 x = 0 时，y =5.故 C =-25

故所求曲线为： y 2

- x 2

= 25

(2) y = (C + C x )e 2x ,

y = 0, y '

= 1.

1

2

x =0

y ' = (C + 2C + 2C x )e 2x

x =0

解：

2

1

2

当 x =0 时，y =0 故有C 1 = 0 . 又当 x =0 时， y ' = 1.故有C 2 = 1. 故所求曲线为： y = x e 2 x

. 5. 求下列各微分方程的通解：

(1)xy ' - y ln y = 0 ; d y = 1 d x

解：分离变量,得

积分得

y ln y x 1 d ln y = 1

d x

ln y x

得

(2) y ' ln ln y = ln x + ln c ln y = cx

y = e cx .

解：分离变量，得

积分得

⎰ d y =

⎰ d x

得通解：

-= -+ c .

(3)(e x + y - e x )d x + (e x + y + e y )d y = 0 ;

解：分离变量，得 e y

1- e y

d y =

e y 1+ e x d x 积分得 -ln(e y -1) = ln(e x +1) - ln c 得通解为

(e x +1)(e y -1) = c .

(4) cos x sin y d x + sin x cos y d y = 0 ;

cos x d x + cos y d y = 0

解：分离变量，得 sin x sin y

积分得

ln sin y + ln sin x = ln c

y = 0 得通解为

sin y ⋅sin x = c .

(5) y ' = xy ;

解：分离变量，得 d y

= x d x y

ln y = 1

x 2 + c

积分得

得通解为

(6)2x +1+ y ' = 0 ; 2 1 x 2 y = c e

2

1

(c = e c 1 )

解： y ' = -2x -1

积 分 得 得通解为

y = ⎰ (-2x -1)d x

y = -x 2 - x + c . (7)4x 3 + 2x - 3y 2 y ' = 0 ;

解：分离变量，得

积分得

即为通解.

(8) y ' = e x + y .

3y 2d y = (4x 3 + 2x )d x y 3 = x 4 + x 2 + c

解：分离变量，得

e - y d y = e x d x

⎰ e - y

d y = ⎰

e x d x

积分得

得通解为：

-e - y

= e x

+ c . 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

(1) y ' = e 2x - y ,

解：分离变量，得

x =0 ;

e y d y = e 2x d x e y = 1

e 2 x + c

积分得

以 x = 0, y = 0 代入上式得 2 . c = 1 2

故方程特解为 e y = 1 (e 2 x +1)

2 .

(2) y 'sin x = y l n y , y x = π = e

2

.

解：分离变量，得 d y y ln y c ⋅tan x

=

d x sin x 积分得

x = π

, y = e

y = e

2

将 2 代入上式得c = 1

tan x

故所求特解为

y = e

2

.