第八讲随机过程功率谱及性质与计算

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三、平稳随机信号功率谱密度的性质
GX
()
lim T
1 2T
E
XT
(, )
2
由 XT (, ) 2 决定
•对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；
GX () 2 0 RX ( )cos d
FX ()
•物理谱定义：FX () 2GX0()
0 0
GX ()
0
•随机过程的有理谱形式：有理谱密度是实际中最常见的
jt
d
截断函数的能量：
样本函数的（时间）平均功率：
E
xT2
(t,
)dt
1
2
XT
(,
)
2
d
截断函数的 能量谱
XT (, ) 2
1
W
lim T
2T
T
x2 (t, )dt
T
lim 1 { 1 T 2T 2
XT
(,
)
2
d}
1 2
lim 1 T 2T
XT (, ) 2d
功 率
GX
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
一、什么是功率谱密度 二、功率谱密度与自相关函数的关系 三、功率谱密度的性质 四、互功率谱密度 五、如何估计功率谱密度以及功率谱应用 六、白噪声
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一 、功率谱密度的概念和定义
1、 频谱分析的基本概念 信号特征分析 时域分析 频域分析 确定性信号：幅度谱、相位谱 功率谱
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维纳－辛钦定理的推广
四类典型信号的功率谱 功率谱密度常用来进行周期性检测
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二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
对于非平稳信号：
GX ()
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
lim T
1 2T
T
T RX (t,t )dt
时间平均自相关函数与功率谱密度为傅立叶变换对
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功率谱密度算例
平稳过程在一定的条件下，自相关函数和功率谱密度构 成傅立叶变换对(维纳－辛钦定理)
GX ()
RX
(
)e
j
d
条件:
RX ( ) d
RX
( )
1
2
GX
(
)e
j
d
GX ()d
要求均值为零
平均功率有限
这个定理要求不能应用于含有 直流分量或周期分量的随机信 RX (0) 号，功率谱密度是连续的
W
E[W
]
1 2
E[GX (, )]d
1 2
GX ()d
随机过程的平均功率随频率的 分布，不同的频率成分对随机 信号的平均功率的贡献。
若为各态历经过程
时域计算
任一样本函数的平均功率为
W
lim T
1 2T
T x2 (t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim T
1 2T
x(t)
T
0
xT (t)
T
t
x(t)
xT (t)
0
t T t T
2T
随机过程的样本函数及其截断函数
4
1) 样本函数的功率谱密度
样本函数的截断函数的傅立叶变换：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
Tx(t)e jtdt
T
(t, ) XT (, ) xT
1 xT (t) 2
XT
()e
T E{X 2(t)}dt T
若过程为平稳过程，
W E[W ] E[X 2(t)] RX (0)
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例 设随机过程 X (t) acos[0t ]
其中 a,为0 常量， 为均匀分布
的平均功率X (。t)
(0,2 )
(中0,的随) 机变量，求
2
解：
E[ X
2(t)]
E[a2
cos2(0t
)]
实际中含有直流分量和周期 分量的随机过程很多。
RX ()
s
2 X
mX2
0
相关函数的典型曲线 10
二、功率谱密度与自相关函数关系
维纳－辛钦定理的推广
引入 函数
其傅立叶变换
( ) 1 1 2 ()
借助 函数，将任意直流分量和周期分量在频率点上无 限值用 函数表示，则维纳－辛钦定理可推广应用。
(,
)
lim T
1 2T
XT (, ) 2
谱
5
2） 随机信号功率谱密度的定义
对于随机过程来说，求各样本函数功率谱密度的统计平均
GX
()
E[GX
(,
)]
E lim
T
1 2T
XT
(,
)
2
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值. 若为各态历经过程，则有：
Power
10-1 10-2 10-3 1x10-4 1x10-5 10-6 10-7 10-8 10-9
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Frequency (Hz)
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3）随机过程的平均功率与功率谱密度
频域计算：
任一样本函数的平均功率为
W
1 2
GX (,)d
随机过程的平均功率为
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2dt T 2T T
其能谱不存在，而功率谱存在
3
3、 随机信号功率谱密度的定义
随机信号的特点：
样本函数是功率有限信号 不存在傅立叶变换
如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
例1 设随机过程
X (t) a cos[0t ]
其中 a,为0常量， 为均匀分布 中(0,的2随) 机变量，求
的平均功X (率t) 和功率谱密度。
解：
RX
(
)
a2 2
cos0
GX ()
RX
(
)e
j
d
cos0 { ( 0) ( 0)}
a2 2
cos0
a2 2
{ (
0 )
(
0 )}
t
2
2、能量型信号与功率型信号
若确定信号 s(t是)时间t的非周期实函数，满足狄氏条件，且满
足：
s(t) dt
或
则 s(的t)傅立叶变换存在
s2(t)dt
能量有限，
能量型信号
S() s(t)e jtdt
频谱：幅度和相位随频率的分布
E
s
2
(t)dt
1
S() 2 d
2
S() 2 能谱：能量随频率的分布
a2 E[
2
a2 2
cos(20t
2)]
a2 2
a2 2
E[cos(20t
2)]
a2 a2 22
0
2
cos(20t
2)
2
d
a2 2
a2
sin(20t)
W lim 1 T 2T
T T
E{X 2(t)}dt
lim T
1 2T
T
a2
T 2
a2
sin
(20t
)
d
t
a2 2
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二、功率谱密度与自相关函数关系（重点）
缺陷:不含 相位信息
GX
()
lim T
1 2T
E XT (, ) 2
1 lim
T 2T
XT (, ) 2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
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随机性信号功率谱分析的一个例子
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100 200 300 400 500
n
随机信号：
2
1
0
-1
-2
0
100 200 300 400 500 n