学而思高中数学暑假班辅导讲义高二.理科班(人教版)

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2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义新专题一函数

2015年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义专题一函数专题二数列专题三三角函数专题三平面向量一、知识网络结构：二、知识回顾：（一）映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义设函数()y f x =（x A ∈）的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到()x y ϕ=. 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()x y ϕ=)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ= (y C ∈)叫做函数()y f x =（x A ∈）的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=（二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数()f x 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x ,2x ， ⑴若当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说()f x 在这个区间上是增函数； ⑵若当12x x <2时，都有12()()f x f x >,则说()f x 在这个区间上是减函数.若函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

()f x 是偶函数⇔()()f x f x -=⇔()()0f x f x --=⇔()1()f x f x -=（()0f x ≠）。

高一升高二数学(暑假班)-第18讲-阶段复习(一)

高一升高二数学（暑假）辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间 A / B / C / D / E / F 段主题阶段复习（一）教学内容1. 重点复习数列知识，能应用数列的知识解题；2. 巩固复习假期所学内容；（以提问的形式回顾）1．已知数列{}n a 的通项公式是a n =n 2+n +1(n ∈N ),则a 4 =2．已知107252lim 22+++-∞→n an n n n =31，则a = 3．在等差数列｛n a ｝中,7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d = 4．在等比数列{}n a 中,a 2a 7=－4, 则a 1a 3a 6a 8= .1、212、63、-21 4、16通过互动探索，让学生熟悉起数列的内容（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20.求此等差数列的前n 项和n S ，并求出当n 为何值时，n S 最大，最大值是多少？答案：n S =n n 212+- 当N =10或11时，取最大值为110例2. 等比数列{n a }的前n 项和为n s ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3，求n s解：（Ⅰ）依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故 022=+q q 又0≠q ，从而21－=q（Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a从而））（（）（））（（n n n 211382112114--=----=S（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 若()nn x 21lim -∞→存在，则x 的取值范围是_________________. 2. 将循环小数．732.0化成最简分数后，分子与分母的和是______.14、（1）nnnnn412212214114113112112222+=+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-Λ，所以21412lim411411311211lim2222=+=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-∞→∞→nnn nnΛ.（2）()2122212222++++=++-+bnnnabbnnann，且12122lim2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bnnannn，所以⎪⎩⎪⎨⎧==+122bab，即2-=ba.15、（1）12511800511800511800800-⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+=nnaΛ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=-nn5414000545454180012Λ12411400411400411400400-⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=nnbΛ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛++=-1451600545454140012nnΛ（2）解不等式nnab>，得5≥n，至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 本节课主要知识点：数列的相关内容【巩固练习】。

学而思数学培优高二暑期文第8讲导数的概念与运算教师版

新课标剖析满分晋级导数3级导数的运算与几何意义导数1级导数的概念与运算导数2级导数在研究函数中的简单应用第8讲导数的概念与运算导数的引入我们在必修一的时候学习了函数单调性的知识，可以从变化趋势来研究函数．比如增函数就是越来越大的，减函数就是越来越小的．我们知道了函数的增和减之后，自然引出的问题就是增和减的速度．就好比我们还是婴儿的时候，最开始掌握的运动方式是爬，开始是练习向前爬和向后爬，能掌握方向了之后，就要开始关注爬的速度．有些社区还会组织婴儿爬行比赛．回到函数的角度，我们原始的函数定义解决的是“在哪里”的问题（代入坐标求解），必修一的《函数单调性》这一节中我们初步解决了“往哪走”的问题．现在我们要研究的就是在大概知道“往哪走”的前提之下，解决具体“怎么走”“走多快”的问题．为了研究此类问题，聪明的人类引入了导数的概念．在介绍导数之前，我们先来了解一个简单概念：平均变化率．１．函数的平均变化率：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）上的平均变化率．有一个小车在忽忽悠悠的往前开，我们每隔1秒钟拍一张照片，就可以得到如下的图： 1t s ∆=时：这时计算平均速度就可以用位移差除以时间差，这其实也是速度的定义：速度就是位移的变化率．那么平均速度也就是位移的平均变化率．我们也可以把时间间隔变成0.5秒，就会变成下图： 0.5t s ∆=时：8.1导数的概念知识点睛18m8m 2m 0m s2s 1s 0s 2.5s 1.5ss 18m8m 2m 0m 3s2s 1s 0s比如我们要计算1到1.5秒间的平均速度，也需要用位移差st∆∆．如果我们排除位移、速度这样的具体物理概念，只研究“变化“这件事的话，我们就可以得到更广泛的平均变化率的概念．建议老师可以换一个例子，比如从圆的面积随半径的变化率入手．很自然的我们可以知道圆面积随半径的平均变化率是22π()π2ππx x xx x x x x+∆-=+∆+∆-我们很容易发现，在半径均匀变化的时候，圆面积随半径的平均变化率并不是均匀的，而是越变越快．这个现象在生活中有很实际的例子，比如我们去买蛋糕的时候，六寸、九寸、十二寸的蛋糕价格并不是均匀增长的，从九寸到十二寸的价格增长一定比从六寸到九寸的价格增长大．平均变化率有本身的缺陷，比如小车问题中，我们看到从0s到1s的平均速度是2/m s，但是我们并不能说这一段时间每一个时刻的速度都是2/m s．蛋糕问题也是一样的，比如我们有一个神奇的蛋糕，会越变越大，原来是六寸的，一段时间后涨到了七寸，然后出现一个神奇的小狗，把新出来的宽为一寸“蛋糕环”吃了，最后剩下的还是一个六寸的蛋糕．那么这段时间蛋糕大小的平均变化率应该是0，从这个角度讲是蛋糕没变的，但实际过程中有很复杂的变化．平均变化率在刻画此类问题的时候显得不够精确了．还有很多的例子，比如有一个人投资股票，一开始投入了10块钱，一年之后收回10块钱，那么这一年中的平均变化率就是0，但是这一年中肯定有起伏的变化．老师可以选取自己比较擅长的例子进行讲解产生这个问题的重要原因是平均变化率只能刻画一个x∆上的平均情况，只考虑起点和终点两个时刻的状态，而对于中间状态没有刻画（这里的x∆可以指时间，也可以指刚才提过的半径变化）．而当我们精确处理每一个瞬间变化情况的时候，自然的想法就是让x∆无限的小．此时得出的变化率就是瞬时变化率．我们可以重新看刚才举的例子，比如小车的问题，当时间间隔无限小的时候，得到的结果就是瞬时速度．圆的例子也是一样的，圆的面积随半径的平均变化率是2ππx x+∆，当x∆趋向于零的时候，瞬时变化率也就变成了2πx．这样我们就可以从平均变化率的问题引入到瞬时变化率的问题【教师备案】教师可以由前两个小车问题讲解平均变化率，在学生理解什么是平均变化率后，让学生做例1⑴．尖子班学案1也是平均变化率的问题，老师也可以选择性的让学生做做．建议老师在让学生计算平均变化率之前多举一些简单的例子，可以参考铺垫题中使用具体的某个数来计算平均变化率，然后再让学生去做用x解平均变化率的题．对于学生来说，一个比较合理的学习顺序是这样的：最后我们加入的易错门诊，强调的是导数的定义．然后就可以进入第二板块：导数的运算了．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于一个常数，那么常数称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作()f x '．这时又称()f x 在0x x =“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆”．考点1：导数的定义【铺垫】求下列函数在区间[]22x +∆，和[]33x +∆，上的平均变化率 ①()f x x = ②2()f x x =【解析】 ①()f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆； ()f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为1yx ∆=∆；②()2f x x =在区间[]22x +∆，上的平均变化率为4yx x ∆=+∆∆；()2f x x =在区间[]33x +∆，上的平均变化率为6yx x∆=+∆∆；【总结】可以让学生感受一下函数变化快慢，比如从上题的结果来看，在相同的时间内一次函数的变化是一直不变的；二次函数的变化是越来越快的．【教师备案】教师可以先讲铺垫，根据铺垫让学生从具体的区间体会函数的平均变化率，再由具体的经典精讲区间引申出一般区间的平均变化率，然后讲例1⑴．【例1】平均变化率与瞬时变化率⑴ 求下列函数在区间00[]x x x +∆，上的平均变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④1()f x x=⑤()f x ⑵ 求下列函数分别在1x =，2x =和3x =处的瞬时变化率．① ()f x x = ② 2()f x x = ③ 3()f x x = ④ 1()f x x=⑤()f x = 【追问】从瞬时变化率角度分析每个函数的整体变化趋势，我们可以很明显的看出对于一次函数，二次函数，三次函数来说，次数越高，往后变化越快．【教师备案】求例1⑵的瞬时变化率时，前三个是让学生体会简单函数的瞬时变化率，老师可以重点讲前三个，然后让学生自己体会后两个；如果学生的程度特别特别好，可以求下面两个函数在1x =处的瞬时变化率⑥()sin f x x = ⑦()cos f x x =【解析】 ⑴ ①1yx ∆=∆ ； ② 02y x x x ∆=+∆∆；③ 220033()y x x x x x ∆=+∆+∆∆；④2001y x x x x ∆=-∆+⋅∆；⑤y x∆=∆.⑵①在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)1f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)1f '=．②在1x =处的瞬时变化率为(1)2f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)4f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)6f '=．③在1x =处的瞬时变化率为(1)3f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)12f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)27f '=．④在1x =处的瞬时变化率为(1)1f '=-；在2x =处的瞬时变化率为1(2)4f '=-；在3x =处的瞬时变化率为1(3)9f '=-．⑤在1x =处的瞬时变化率为1(1)f '=；在2x =处的瞬时变化率为(2)f '=；在3x =处的瞬时变化率为(3)f '=．【总结】由例1⑵增长的，只不过增长速度越来越慢．【教师备案】⑥⑦只求在1x =处的瞬时变化率，解析为：⑥()()000000sin sin sin cos 1cos sin ()()x x x x x x x f x x f x y x x x x+∆-∆-+∆+∆-∆===∆∆∆∆20000sin 2sin cos sin sin sin 22sin sin cos 22x x x x x x x x x x x x ∆⎛⎫∆⎛⎫-+∆- ⎪ ⎪∆∆⎝⎭==⋅+ ⎪∆∆∆ ⎪⎝⎭，在1x =处的瞬时变化率为()00sin sin 21lim lim sin1sin cos1cos122x x x y x x f x x x ∆→∆→⎡∆⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∆∆∆'==⋅+=⎢⎥ ⎪∆∆∆⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⑦()000000sin cos cos ()()sin 2cos sin sin 22x x x x f x x f x y x x x x x x x x x ∆⎛⎫- ⎪+∆-+∆-∆∆∆===⋅- ⎪∆∆∆∆∆ ⎪⎝⎭，在1x =处的瞬时变化率为()00sin sin 21lim lim cos1sin sin1sin122x x x y x x f x x x ∆→∆→⎡∆⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪∆∆∆'==⋅-=-⎢⎥ ⎪∆∆∆⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【教师备案】⑥⑦的解析用到了0sin lim 1x xx→=的思想：证明：0sin lim 1x xx →=【解析】 sin xx为偶函数，只考虑0x >的情形，0sin tan x x x <<<，从图上直接读出 sin sin 1cos tan x xx x x>>=；容易证明 0limcos 1x x →=；于是由夹逼定理0sin 1lim 1x x x →≥≥，于是0sin lim 1x xx→=．（这个证明过程是不严格的，只从对极限的直观上作个说明）提高班学案1【拓1】求函数3()2f x x x =-在[]11x +∆，上附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【解析】函数()f x 在[]11x +∆，上附近的平均变化率为：yx∆=∆2()31x x ∆+∆+，在1x =处的瞬时变化率与导数相等，为(1)1f '=．尖子班学案1【拓2】已知()()40f x kx k =+≠，且()f x 在区间[]12-，上的平均变化率是4，则k =＿＿＿＿．【解析】 4【总结】一次函数的平均变化率就是斜率．目标班学案1【拓3】质点M 按规律()21s t at =+作直线运动，若质点M 在2t s =时的瞬时速度为8/m s ，求a 的值．【解析】 2a =若()f x 在0x x =处可导，则()()0003lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）． A ．()013f x 'B ．()03f x 'C ．()0f x 'D ．0 【分析】此题很容易出错．教师可以引导学生根据导数的定义来求解，从而加深学生对导数定义的真正理解，原来的x ∆是()x x x +∆-，跟21x x -是一回事，所以这里用21x x -给学生讲更直观，建议板书：)212limx x f x f x x →-【解析】 B【教师备案】在讲完易错门诊后，学生对导数的定义可能还有一些模糊，这时老师可以选择下面的４道小题让学生做做，让学生把导数的定义理解透彻．⑴若函数()y f x =在区间()a b ，内可导且0()x a b ∈，，则000()()lim h f x h f x h--→的值为（）A ．0()f x 'B ．02()f x 'C ．0()f x '-D ．0⑵设(3)4f '=，则0(3)(3)lim 2h f h f h→--=（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．1⑶若000(2)()lim 13x f x x f x x ∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（）A ．23B ．32C ．3D ．2⑷设()f x 在0x 可导，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（）A ．()02f x 'B ．()0f x 'C ．()03f x 'D ．()04f x ' 【解析】 ⑴C⑵B ⑶B ⑷D现在我们要做的是从某一个点处的导数向一个函数的导数过渡．延续我们刚才的学习顺序：关于求导公式：常见的求导公式我们可能并不会推导，但是建议和学生提及一下推导的要点，并说明这个推导并不是高中知识范畴之内的．这样可以让学生比较信服，也可以和学生强调公式是前人推导出来给我们做题用的．1．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．2．常用函数()()()()()21f x C f x x f x x f x f x x====，，，，【教师备案】常用函数的推导过程如下：()()00lim lim 0x x f x x f x C CC xx ∆→∆→+∆--'===∆∆；()()()00lim lim 1x x f x x f x x x x x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆；()()()()()222000lim lim lim 22x x x f x x f x x x x x x x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-'===+∆=∆∆； ()()()2000111111lim limlim x x x f x x f x x x x xx x x x x x ∆→∆→∆→'+∆--⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪∆∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭； ()()limlimlim x x x f x x f x x∆→∆→∆→+∆-'====∆3．基本初等函数的导数公式⑴若()f x C =（C 为常数），则()0f x '=； ⑵若()()f x x αα*=∈Q ，则()1f x x αα-'=；⑶若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；⑷若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；特别地，若()ln f x x =，则()1f x x'=； ⑸若()sin f x x =，则()cos f x x '=； ⑹若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．8.2导数的运算知识点睛【教师备案】基本初等函数的推导过程不要求学生掌握，学生只需把导数公式记住就行，老师在讲完导数公式后可以让学生做例2⑴，本题可以老师带领学生一起做．4．导数的四则运算法则：其中()()f x g x ，都是可导函数，C 为常数：(()())()()f x g x f x g x '''±=±；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；[()]()Cf x Cf x ''=；2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥（()0g x ≠）．设()()y f x g x =+，则()()()()y f x x g x x f x g x ∆=+∆++∆-+⎡⎤⎣⎦()()()()f x x f x g x x g x =+∆-++∆-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f g =∆+∆y f g x x x ∆∆∆=+∆∆∆∴，0000lim lim lim lim x x x x y f g f g x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆⎛⎫=+=+ ⎪∆∆∆∆∆⎝⎭∴，即()y f g f g ''''=+=+ 我们也可以换一种方式来解释这个公式基本上所有学生都学过“水上行舟”问题，我们可以把x 看做是时间，()f x 看做是船的位移，()g x 看做是水的位移，那么()'f x 和()'g x 分别指的就是船和水的瞬时变化率，也就是速度．这样我们的公式也就很好理解了．()()f x g x +总的位移，()()()'f x g x +就是总的速度，自然等于右边()()''f x g x +，也就是船速加水速．四则运算记忆法则：①加法的导数等于导数的加法；②常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数；③乘法的导数等于第一个导数乘以第二个+第二个导数乘以第一个； ④除法的导数等于分母不动乘以分子导数减去分子不动乘以分母导数，再除以分母平方．【教师备案】讲完导数的四则运算，可以让学生做例2⑵⑶；例2⑵属于简单函数的四则运算，例2⑶属于需要先把函数化简，再用四则运算；对于目标班的学生，因为程度比较好，所以可以让学生做做目标班学案2；在例2的后边还有一个【挑战十分钟】，【挑战十分钟】的主要目的是让学生熟练导数的四则运算，可以让学生在规定的时间内做做．考点2：导数的运算【例2】导数的运算⑴ 求下列函数的导数①2012y x = ②2x y = ③e x y = ④ln y x = ⑵ 求下列函数的导数①3cos y x x =+ ②()231e x y x x =-+ ③e sin x y x =④ln xy x=⑤()tan f x x = ⑶ 求下列函数的导数① ()2211f x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ②)11y ⎫=-⎪⎭③()sin cos 22x x f x x =-【解析】 ⑴ ①20112012y x '=； ②2ln 2x y '=； ③e x y '=； ④1y x'=．⑵ ①23sin y x x '=-；②()22e x y x x '=-- ；③()e sin cos x y x x '=+；④2ln 1ln x y x-'= ；⑤()21cos f x x'=经典精讲⑶ ① ()2213f x x x '=-； ② 13221122y x x --'=--．③()111sin (sin )1cos 222f x x x x x x '⎛⎫'''=-=-=- ⎪⎝⎭．【挑战十分钟】让学生熟练的掌握求导公式以及导数的运算法则求下列函数的导数⑴313y x =；⑵21y x=；⑶42356y x x x =--+；⑷2cos y x x =+；⑸2sin y x x =+；⑹sin cos y x x =-；⑺1y x x =+；⑻1y x =e x y x =；⑽sin y x x =；⑾2ln y x x =⑿cos sin y x x x =-；⒀121y x =+；⒁21x y x =+；⒂11x y x -=+；⒃sin x y x=；⒄()22πy x =；⒅)22y =；⒆()()22331y x x =+-；⒇()()211y x x x =+-+．【解析】 ⑴2y x '=；⑵32y x '=-；⑶3465y x x '=--；⑷2sin y x '=-；⑸2cos y x x '=+； ⑹cos sin y x x '=+；⑺211y x '=-；⑻21y x '=--；⑼()1e x y x '=+；⑽sin cos y x x x '=+；⑾2ln y x x x '=+；⑿sin y x x '=-；⒀()2221y x -'=+；⒁()22211x y x -'=+；⒂()221y x '=+； ⒃2cos sin x x x y x -'=；⒄28πy x '=；⒅1y '=-21849y x x '=-+；⒇23y x '=．提高班学案2【拓1】设函数()322f x x ax x =++，()19f '=，则a = ．【解析】1尖子班学案2 【拓2】已知()ln xf x x=，若()0f a '=，则ln a = ．【解析】 1【例3引入】导数实际也是一个函数，和原函数密切相关，关于导函数的单调性、奇偶性等等我们会在春季课上重点介绍．在预习课里我们先介绍一个函数的基本性质．在函数中我们有这样的结论：()y f x =是一个函数，是可以“动”的，而()1y f =就是一个数，因为自变量已经取定了，他就不能“动”了．所以在函数考察中曾经有过这样的问题：“()()121f x xf =+，求()f x ”，我们的做法很简单，就是把1x =代入，求出()1f 的值即可．解这类题的关键就在于理解()1f '其实是一个固定的数．例3就是这类题在导数中的考察．比如例3（1）中的()'1f -表示的就是()f x 这个函数在1x =-处的导数，这是一个固定的数．这类题解法的基本过程是：通过求导把原式转化为一个导函数的等式，然后代入需要求的值．强调这个概念的目的是防止学生在计算()1f x '-导数的时候把它当做两个函数相乘求导．【例3】()f a '实际是一个数⑴已知()()33215f x x f x '=--+，则()2f '-=______⑵已知函数()πcos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．⑶已知函数()πsin 23f x x xf ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ33f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不能确定【解析】 ⑴30⑵ 1 ⑶B设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆切线的斜率，简单地说，曲线上某一点处切线的斜率就反映了曲线在这点处的变化率，所以说切线的斜率就是导数．【教师备案】切线的定义：“直线l 与曲线C 有一个交点”，是“直线l 是曲线C 的切线”的________条件【解析】既不充分也不必要一方面：只有一个交点不见得是切线，如图1；另一方面：切线不见得只有一个交点，如图2；更加强，切线与函数可能会有无数个交点，如图3：图1图2图3对于程度很好的学生可以进一步解释：相切只是局部概念，不是整体概念，比方说知识点睛中的图只是在A 点附近割线逼近的情况，至于这个范围以外的部分和切线无关．8.3导数的几何意义知识点睛什么是切线的的斜率，举个例子：函数()f x 的图象在3x =处与x 轴相切，在1x =于5x =处的切线分别为AB CD ，，其中A B C ，，，D 的坐标分别为()03，，()20，，()40，，()63，，如图，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ； ()3f '=_____；()5f '=_____．【解析】 33022-，，【教师备案】例4主要讲导数与切线斜率之间的关系，让学生从图象上充分了解导数与切线斜率之间的关系，老师在讲完导数的几何意义后可以让学生做例4；在学生理解导数与切线斜率之间的关系后讲切线方程，例5主要是求切线方程，例5后边有一个【挑战十分钟】，老师可以以例5为例讲切线方程，以【挑战十分钟】为练习让学生熟练的求切线方程；例6主要讲切点的核心作用，让学生灵活的运用导数与切线之间的关系，对于目标班的学生，因为程度很好，可以让学生做做目标班学案3．考点3：导数的几何意义【例4】导数等于切线斜率⑴ 如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f '= ．⑵ 如图，曲线()y f x =在点(2(2))M f ，处的切线方程是23y x =-，(2)(2)f f '+= ．⑶ 函数sin y x =的图象上一点π3⎛ ⎝⎭处的切线的斜率为（） A ．1 BCD ．12⑷ 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为2，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为．【解析】 ⑴12 ⑵3 ⑶ D ⑷2-【例5】切线方程经典精讲⑴已知曲线1y x=上一点()12A ，，求曲线在点A 处的切线方程． ⑵（2010丰台一模文12）函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是．【追问】求x y e =在00(())x f x ，处的切线方程，并且计算切线和x 轴交点的坐标．由此找出指数函数切线的小性质——切线和x 轴交点横坐标和切点的横坐标之间的差是一个定值，这个定值只受指数函数的底影响．最后由此性质类比可以得到对数函数的相关性质．【解析】 ⑴在点A 处的切线方程为250x y +-=．⑵e 0x y -=【总结】切线方程：，本质就是点斜式【追问】000(1)x x y e x x e =+-，令0y =得01x x =-，故横截距与切点横坐标之差为1-.【挑战十分钟】学生在学完切线方程后，对切线方程可能还不是很熟悉，老师可以选择以下十个小题让学生多练练．①求曲线()214f x x =在点()21，处的切线方程； ②求函数()1f x x=-在点()11-，处的切线方程；③求曲线()321f x x x =++在点()213，处的切线方程； ④求函数()1f x x x =+在点522⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程；⑤求曲线()ln f x x x =在点()e e ，处的切线方程；⑥求曲线()2e 3x f x x x =++在点()03，处的切线方程；⑦求曲线()11f x x =-在点()21-，处的切线方程； ⑧求曲线()21xf x x =-在点()11，处的切线方程； ⑨求曲线()cos f x x =在点π6⎛ ⎝⎭处的切线方程； ⑩求函数()sin f x x =在π6x =处的切线方程．【解析】 ①10x y --=；②20x y --=；③14150x y --=；④3440x y -+=；⑤2e=0x y --；⑥30x y -+=；⑦30x y --=；⑧20x y +-=；⑨612π=0x y +-； ⑩126=0y -+-．【例6】切点的应用⑴曲线2y x =在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为（）A ．()39，B ．()39-，C ．3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，⑵ 若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（）．AB． C ．23 D ．23或0⑶ 已知直线1y x =+与曲线ln y x a =+相切，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【解析】 ⑴C⑵ A ⑶ B【总结】切线的相关问题绝大多数都是围绕切点做的，这是由于切点是曲线和切线的结合点，它的坐标可以同时影响曲线和切线．一般来说，只要题目中出现了切点或切线，我们都需要设出切点坐标，然后利用切点的三个性质：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率，列出三个方程．解出切点坐标后基本就ok 了．所以建议老师在课上强调切点的重要性，至少让学生见到类似问题的时候可以想到“切点”这个核心要素．例如：例6的（3），我们一开始就要明白这个题的关键是解出切点坐标，我们就可以列出： ()0000001ln 1=1=y x y x a y x x ⎧⎪=+⋅⋅⋅⎪⎪=+⋅⋅⋅⎨⎪⎪'=⋅⋅⋅⎪⎩切点在直线上切点在曲线上切点处导数切线斜率提高班学案3【拓1】 ⑴曲线2y x =上切线的倾斜角为π4的点的坐标为． ⑵曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点的坐标．【解析】 ⑴1124⎛⎫⎪⎝⎭，⑵()12-，或()12-，尖子班学案3【拓2】 ⑴ 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．若曲线()y f x =在点()()22f ，处与直线8y =相切，求 a b ，的值．⑵ 已知直线1y ax =+与曲线ln 1y x =+相切，则a 的值为（）．A ．1B ．2C ．eD ．1e【解析】 ⑴424a b ==，．⑵ D目标班学案2【拓3】已知抛物线21:2=+C y x x 和22:=-+C y x a ，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴ a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； ⑵ 若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【解析】 ⑴ 函数22=+y x x 的导数22'=+y x ，曲线1C 在点()21112+，P x x x 的切线方程是()()()21111222-+=+-y x x x x x ，即()21122=+-y x x x ①．函数2=-+y x a 的导数2'=-y x ，曲线2C 在点()222-+，Q x x a 的切线方程是()()22222y x a x x x --+=--，即2222=-++y x x x a ②．如果直线l 是过P 和Q 的抛物线1C ，2C 的公切线，则①式和②式都是l 的方程．所以1222121+=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩，x x x x a，消去2x 得方程2112210+++=x x a ．若判别式()44210∆=-⨯+=a 时，即12=-a 时解得112=-x ，此时点P 与Q 是唯一确定的，即当12=-a 时，1C 和2C 有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为14=-y x ．⑵ 由⑴可知，当12<-a 时，1C 和2C 有两条公切线，设一条公切线上切点为()11，P x y ，()22，Q x y ，其中P 在1C 上，Q 在2C 上，则有121+=-x x ，()22121122+=++-+y y x x x a ()2211121=+-++x x x a 1=-+a ．线段PQ 的中点为1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ，同理，另一条公切线段''P Q 的中点也是1122-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，a ．所以公切线段PQ 和''P Q 互相平分．若曲线()321f x x x =-+与()21g x x =+在0x x =处的切线互相平行，则0x = ．【解析】 43【演练1】⑴ 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-⑵已知函数2()f x x =，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（）．A ．2x +∆B ．1x +∆C ．2D ． 1实战演练【解析】 ⑴ D⑵ C【演练2】若()()0002lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（）． A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 【解析】 C【演练3】⑴下列函数中，满足()()f x f x '=的函数是（）．A ．()1f x x =-B ．()f x x =C ．()0f x =D ．()1f x =⑵()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值为________．⑶设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（）．A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln2【解析】 ⑴ C⑵ 3 ⑶ B【演练4】已知函数()()221f x x xf '=+，则()0f '=（）A ．0B ．4-C ．2-D ．2【解析】 B【演练5】求曲线e 21x y x x =++在点()01，处的切线方程【解析】 310x y -+=（2011北大保送）函数()sin f x ax x =+上有两个点处的切线互相垂直，求a 的值．【解析】 ()cos f x a x '=+，设()f x 在1x x =与2x x =处的切线互相垂直，则有12(cos )(cos )1a x a x ++=-．（*）于是21212(cos cos )(cos cos 1)0a x x a x x ++++=．将它看成关于a 的一元二次方程，则此方程有解，于是判别式21212(cos cos )4(cos cos 1)0x x x x ∆=+-+≥，即212(cos cos )4x x -≥．又12cos cos [11]x x ∈-，，，故12cos cos 2x x -≤，于是212(cos cos )4x x -≤，故212(cos cos )4x x -=，12cos 1cos 1x x =⎧⇒⎨=-⎩或12cos 1cos 1x x =-⎧⎨=⎩．代入（*）式得0a =．从学而思钟的10点钟说起阅读材料大千世界这两个数相等吗？有人认为不相等，怎么着这俩数也有那么点差距啊；其实这个问题可以转化为一个更加广为传播的问题：0.91=吗？有人认为相等，理由很有意思：证明：10.33⋅=，两边同时乘以三，结果就是：10.9⋅=那么这两个数究竟相等吗？这就涉及到极限的概念．我们先弄明白什么叫.0.9．观察下面的式子：10.9110=-，210.99110=-，310.999110=-，所以我们可以得到一个式子就是10.99999110n n ⋅⋅⋅=-，那么无限循环小数就可以写成：10.9lim 110n n ⋅→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭．根据我们学过的极限的概念，等式右侧中的110n 的极限是零，所以右侧极限值为1．可能还有同学没有明白，这主要是“极限”的概念在高中阶段给的极为模糊．实际极限的定义是非常严格的，我们先看一个简单的例子：1lim 0n n→+∞= 怎么理解这个式子呢？其实可以理解为，随着n 无限的变大，1n的值和0之间的差距可以做到“要多小有多小”．比如你说11000很小了，那我1001n =就能比你小；你再说1100000已经很小了，那我100001n =就能比你小．无论你说多么小的数，我都能比你小．那么我们就可以说随着n 逐渐变大，1n 的极限是0．刚才那个例子也是一样的，你说0.9⋅和1之间的差距能有多少呢？我们可以想到，这就是所谓的要多小有多小．你随便说一个数，他们的差距都能比它小．所以我们可以认为他们是相等的．更进一步，我们在研究导数的时候，极限的概念往往是直接应用的，常见的技巧是解决0的形式．比如我们在推2x 导数的时候，用的是：()220lim x x x x x ∆→+∆-∆，本来是一个00的形式，但是我们可以把x ∆约掉，变成：()()2002limlim 2+x x x x x x x x ∆→∆→∆+∆=∆∆，这样就打破这个的形式了．所以我们在推导数的公式或者求瞬时变化率的时候，比较关键的一个步骤就是消灭掉x ∆，解决了分母上的0，其他的就好办了．当然，也有x ∆不能约的情况，同学们如果有兴趣的话可以思考下面的问题：⑴sin lim 0x x x →+∞= ⑵0sin lim 1x xx→=9.910=？。

高二升高三数学(暑假班)-第2讲-排列组合与二项式定理

高二升高三数学（暑假）辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期 ××年××月××日时间A /B /C /D /E /F 段主题排列组合与二项式定理教学内容1. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题；2. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题；3. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．1. 排列的计算：从n 个不同元素中任取m 个元素的排列的个数P m n = = .n （n －1）（n －2）…（n －m +1）=)!(!m n n -.P nn = = 规定0！=1 n （n －1）（n －2）…3·2·1=n !.2. 组合的计算：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C m n 表示.组合数公式C m n = .!()!!n n m m -组合数的两个性质：（1）C m n = C mn n- ；（2）C m n 1+=C mn +C 1-m n （口诀：上取大，下加一。

证明方法：1.公式法。

2.构造模型，从n +1个球中取出m 个球）.4. 二项式定理：（1）概念二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L（2）通项公式r r n r n r b a C T -+=1（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a , b 两种商品必须排在一起，而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？解： a , b 捆在一起与e 进行排列有22P ；此时留下三个空，将c , d 两种商品排进去一共有23P ；最后将a , b “松绑”有22P ．所以一共有22P 23P 22P ＝24种方法．试一试：8个人站成一排，其中A 、B 、C 互不相邻且D 、E 也互不相邻的排法有多少种?解：先排去掉A 、B 、C 外的5个人，有55P 种，再排A 、B 、C 3人，有36P 种.故有55P ·55P 种（含D 、E 相邻）. 其中D 、E 相邻的有22P ·44P ·35P 种. ∴满足条件的排法种数为55P ·55P －22P ·44P ·35P =11520. 例2. 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？解：方法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有1333P P 种方法；另一类是首位不为1，有1444P P 种方法．所以一共有1333P P 1444114P P +=个数比13 000大．方法二：（排除法）比13 000小的正整数有33P 个，所以比13 000大的正整数有5353P P -＝114个．试一试：用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．⑴ 第114个数是多少？ ⑵ 3 796是第几个数？解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有3560P =个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”解:因为6,n =∴一共有7项，中间项为第四项，即333333166()(1),160, 2.T C ax a C a +=⋅-∴-⋅=∴=-例6. 若()200422004012200412()x a a x a x a x x R -=++++∈L ，则 010203()()()a a a a a a +++++02004()a a +++=L __________。

2020学而思教材讲义高二数学秋季秋季非海淀第1讲立体几何初步.删解析

1第1讲·提高-尖子-目标·教师版当前形势空间几何体在近五年北京卷（理）考查10分高考要求内容要求层次具体要求A B C 柱、锥、台、球及其简单组合体 √认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．三视图，斜二侧法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京高考解读2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标）第4题 5分第16题5分第5题 5分第16题5分第7题 5分第16题5分第7题 5分第16题5分第14题 5分第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系．新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级空间向量与立体几何立体几何6级立体几何初步立体几何7级立体几何之平行问题16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版<教师备案> 暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（）A ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C ．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D ．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【解析】 D暑期知识回顾空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ．多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）．棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱； S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高；棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高；棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高） 11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S SS S ''=+台体．（S S '，为底面面积）旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线；圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高；圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高；圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高；球球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合；球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概念；球的表面积及体积公式：24πS R =球，34π3V R =球；大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【解析】D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】A4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A．1:2:3B．1:7:19C．3:4:5D．1:8:27【解析】B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E、F，则线段EF的长为_______．【解析】226．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球___S正方体．【解析】7．一个长方体的全面积是220cm，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为______．【解析】4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．11πB．20πC．27πD．32π【解析】B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积1.1空间几何体的表面积及体积知识点睛1第1讲·提高-尖子-目标·教师版16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版1．多面体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧全面积S 全体积V 棱柱棱柱直截面周长l ⨯2S S +侧底S h ⋅底直棱柱chS h ⋅底棱锥棱锥各侧面面积之和S S +侧底 13S h ⋅底正棱锥 12ch ' 棱台棱台各侧面面积之和S S S ++侧上底下底 ()13h S S S S ++⋅上底下底上底下底正棱台 ()12c c h ''+ 表中S 表示面积，c '、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h '表示斜高，l 表示侧棱长．<教师备案>多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．2．旋转体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧全面积S 全体积V圆柱2πrl()2πr l r +2πr h （即2πr l ）圆锥πrl ()πr l r + 21π3r h 圆台 ()12πr r l + ()()221212ππr r l r r +++ ()2211221π3h r rr r ++球 24πR34π3R 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，1r 、2r 分别表示圆台的上、下底面半径，R 表示球的半径．<教师备案>圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥P ABCDEF -的底面是边长为2的正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，且3PA =，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（）A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【解析】 ⑴ 63122+，215；⑵ A ；经典精讲1第1讲·提高-尖子-目标·教师版【例1】 ⑴若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A ．26B ．23C ．33D ．23⑵如图，点E 、F 分别在单位正方体1111ABCD A B C D -的1AA 、1B C 上，则三棱锥1D EDF -的体积为________．⑶已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S 、2S 、3S 满足的等量关系是__________⑷已知平行四边形两邻边的长a 和b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A ．b aB ．a bC ．3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭【追问】三角形三条边长分别为a b c ，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（）A ．::a b cB ．222::a b cC ．333::a b cD ．111::a b c【解析】 ⑴ B ；⑵ 16；⑶ 12323S S S +=；⑷ A 【追问】D ．考点2：几何体的表面积体积综合<教师备案>求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．经典精讲F ED 1C 1B 1A 1D CB A16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 233；【例2】 ⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是 cm ．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111AC BC AC B C ，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．C 1B 1A 1CB ABA CB 1C 1A 1图① 图② 图③【解析】 ⑴ 4；⑵ 32a ；尖子班学案1【拓2】有一个圆锥形容器正放，它的高为h ，圆锥内水面的高度为1h ，113h h =，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h ．【解析】 3219h =．目标班学案1【拓3】如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm；若将直三棱柱的B面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米．；【解析】32【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入V升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．PP图1图2【解析】B、D；1.2组合体1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．<教师备案>组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，1第1讲·提高-尖子-目标·教师版16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】 ⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于．⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12r r ，（12r r <）．【解析】 ⑴ 14π；⑵ 它的内切球的表面积为24π14π⋅=，外接球的表面积为()24π312π=，与各棱相切的球的表面积为()24π28π=．【点评】正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等． ⑶ 12Rr =，22r R =．尖子班学案2【拓2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【解析】 9π；目标班学案2经典精讲1第1讲·提高-尖子-目标·教师版【拓3】一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】 43π；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】 ⑴如果正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，则四面体的体积为_______． ⑵如果正四面体ABCD 的内切球的体积为43π，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为43π，求四面体的体积．⑴ 83；⑵ 72；【追问】83【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a 时，求它的内切球半径r 与外接圆半径R ．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O ．法一：如图3，将正四面体ABCD 置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，正方体的棱长为2a ，体对角线长为2632a a R ⋅==，故6R a =．正四面体的体积34π43π33R R =⇒=，33321122432V a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而正四面体的高h 满足：2313263a h a h a ⨯=⇒=．利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体ABCD 分割成以球心O 为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥，它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r ，故164r h a ==．故外接球可以利用R r h +=知，34R h =．经典精讲图3DCBA16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版法二：如图1，1O 为底面BCD △的中心，13DO a =，高22116h AO a DO a ==-=，O 一定在1AO 上，∴AO DO R ==，16OO r h R a R ==-=-， ∴在1Rt OO D △中，22211OD OO O D =+，即222613R a R a⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R a =，666r a a a =-=．法三：如图2，1O 为底面BCD △的中心，则O 一定在1AO 上，AE 为球的大圆直径．故AE ⊥1O D ，AD ⊥DE ，设AD a =，则12333O D a a =⨯=，故16AO a =，11622O E R AO R a =-=-．由平面射影定理知，2111O D AO O E =⋅，即26623a a R a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R a =，666r a a a =-=．综上，我们知当正四面体ABCD 的棱长为a ，它的高为6a ，体积为32a ，外接球半径为6a ，内切球半径为6a ．考点5：空间几何体的直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 2．画法：斜二测画法和正等测画法： ⑴斜二测画法规则：Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） ②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 1.3空间几何体的直观图与三视图知识点睛图2BCDOO 1图1O 1O DC BA③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<教师备案>正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图．斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45︒或135︒角，长度为原长的一半”．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程．【例5】 ⑴正三角形ABO △的边长为a ，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是__________．⑵如下右图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．BA yxOx 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】 ⑴26a ； ⑵ 周长为8，面积为22．考点6：空间几何体的三视图<教师备案>研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何．在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论．法知识点睛经典精讲国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．<教师备案>三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．三视图的排列规则．．．．．．．．是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．提高班学案3【铺1】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）．则该几何体的体积为3m．332221【解析】4【例6】⑴一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．280⑵一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．63B．8C．83D．12经典精讲⑶某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．8π3B ．3πC ．10π3 D ．6π俯视图侧(左)视图正(主)视图62262286211俯视图左视图正视图232422俯视图侧视图正视图第⑴题第⑵题第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ A ⑶ B ；尖子班学案3【拓2】一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2π23+B ．4π23+C ．232π+D ．234π+【解析】 C目标班学案3【拓3】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（）A ．48122+B ．48242+C ．36122+D ．36242+ 【解析】 A【例7】 ⑴一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．2B ．92C ．3D ．9433443俯视图俯22222俯视图侧视图正视图111111⑵某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（）A ．22B ．23C ．4D ．25【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A ．326+B ．262+C ．264+D ．4326+【解析】 C四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高426O H =．设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC -（如图），球心4O 在其高DE 上，且442611O E O H =+=+．下面求4O D ．设M 为球4O 与平面BCD 的切点，则M 在BCD △中线DF 上，41O M =，4DMO DEF △∽△． ∴4431O D DF O M EF ==．∴43O D =． ∴44264DE O D O E =+=+．选C ．H O 3O 2O 1O 4O O 4ABDEF M【演练1】设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，B ，C ，D ，E 的关系是（） A ．A B C D E ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂ C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂ 【解析】 C ；【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】Ｃ．【演练3】半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为．【解析】 3a ；【演练4】圆台上下底面面积之比为1:9，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比12:V V =_____．（其中12V V <）【解析】 7:19；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ．【解析】422+；实战演练【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴ 求该几何体的体积V ； ⑵ 求该几何体的侧面积S ．【解析】 ⑴ 64V =； ⑵ 40242S =+．四面体ABCD 的对边长分别相等，AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，求这个四面体外接球的直径．【解析】同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体．如图所示，作长方体AEBF GCHD -，使得AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径d ．设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b z x c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得：22222222a b c d x y z ++=++=，∴2222a b c d ++=．大千世界HG FED CB A68。

学而思高二数学课件(二)

学而思高二数学课件(二)学而思高二数学课件教学内容：•线性方程组•解析几何•函数与极限•平面向量•三角函数教学准备：•教案•手写板和投影仪•教学PPT•笔、纸和课堂练习题教学目标：•掌握线性方程组的解法，能灵活运用解法解答问题•理解解析几何的基本概念和方法，能够应用解析几何解决空间几何问题•熟悉函数与极限的相关概念，掌握函数与极限的性质和计算方法•理解平面向量的基本概念和运算法则，能够运用平面向量解决相关问题•掌握三角函数的相关定义和性质，能够应用三角函数解决各种相关问题设计说明：•通过PPT展示知识点的定义、性质和解题方法，加深学生对概念的理解和记忆。

•设计适当的例题，引导学生思考和解题，激发学生的学习兴趣。

•设计个别和小组练习，帮助学生巩固所学知识。

•预留时间进行课堂讨论和答疑解惑。

教学过程：1.引入线性方程组的概念和解法。

2.通过示例演示解析几何中的坐标表示和几何证明。

3.讲解函数与极限的定义、性质和计算方法。

4.介绍平面向量的概念和运算法则，并讲解相关应用。

5.介绍三角函数的定义和性质，并进行例题讲解。

6.进行个别和小组练习，提供实际问题和综合运用的练习。

7.总结本节课的重点和难点，激发学生对数学学科的兴趣和好奇心。

课后反思：本节课的线上教学过程中，通过使用PPT、示例演示和举例讲解等多种形式，提高了教学的效果。

课后发现部分学生对于三角函数部分的记忆和理解有困难，下节课需要重点复习和练习。

同时也应根据学生的学习情况进行调整，注重巩固和提升学生的数学能力。

学而思高二数学课件(一)

学而思高二数学课件(一)学而思高二数学课件一、教学内容微分与导数积分与求积三角函数与解三角形空间解析几何数列与数学归纳法概率与数理统计二、教学准备教材：学而思高二数学教材教具：黑板、白板、彩色粉笔、讲义、电脑、投影仪素材：习题、例题、课件、视频三、教学目标熟悉微分与导数的概念及求导法则，能够运用导数解决实际问题掌握积分与求积的基本概念和计算方法，能够运用积分求解实际问题理解三角函数的基本性质，能够运用三角函数解题掌握解析几何的基本概念、性质和计算方法，能够解决相关题目理解数列的概念，能够求解数列的通项和部分和理解概率与数理统计的基本概念、计算方法和应用领域四、设计说明本课程主要以理论讲解与练习题为主，通过示例详细讲解各个知识点，加深学生的理解。

每个知识点的讲解后，布置相应的练习题，进行课堂训练。

适当引入实际问题和应用场景，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

五、教学过程微分与导数1.导数的概念与意义2.导函数的计算与性质3.利用导数求解实际问题积分与求积1.定积分的概念与性质2.积分的计算方法3.利用积分求解实际问题三角函数与解三角形1.三角函数的性质与图像2.解三角形的基本原理与方法3.应用三角函数解决实际问题空间解析几何1.点、直线、平面的方程与性质2.点、直线、平面的位置关系与夹角3.利用解析几何解决实际问题数列与数学归纳法1.数列的概念与常见数列的性质2.通项公式与递推公式的推导与应用3.数学归纳法的概念与应用概率与数理统计1.概率的基本概念与性质2.随机变量与概率分布3.数理统计的基本方法与应用六、课后反思回顾本节课所学的知识点，对学生的掌握情况进行评估。

总结本节课教学中存在的不足和问题，并进行改进。

准备下一节课的教学内容和准备工作。

以上为《学而思高二数学》课件的整理，通过清晰的目录结构和详细的教学过程设计，有助于老师进行有条理的教学和学生的学习掌握。

新高二数学暑假培优班第2讲二次函数(一)(P)

二次函数（一）【知识要点】一、你对二次函数的最值问题有哪些认识?二次函数求最值有哪些情形、哪些方法呢？二、怎么处理与二次函数有关的恒成立问题？【典型例题】例1．已知()32++=bx x x f 在[]2,1-∈x 上的最小值为1，求b 的值。

例2．已知函数86)(2++-=m mx mx x f 的定义域为R(1)求实数m 的取值范围(2)当m 变化时,若)(x f 的最小值为)(m g ,求函数)(m g 的值域.例3.设不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的一切实数m 都成立,求x 的取值范围.例4.已知()23f x x ax =-+，且()0[1,5]f x x ≥∈对恒成立，求a 的取值范围例5.已知()2cos 6sin 2120a a θθ+-+-≤对R θ∈恒成立，求a 的取值范围.例6.已知函数()bx ax x f +=2 0)2(,0,,=≠f ab b a 且是常数 ,方程()x x f =有等根(1)求()的解析式x f ;(2)是否存在常数m,n(m<n),使()x f 的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].课堂训练及作业：1．如果函数()c bx x x f ++=2，对任意实数t 都有()()t f t f -=+22，那么（） A 、()()()413f f f <=B 、()()()4f 3f 1f <<C 、()()()143f f f <<D 、()()()134f f f <<2．二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意的实数x ，恒有)2(x f +=)2(x f -若)21()21(22x x f x f -+<-，则x 的取值范围是（）A 、2>xB 、22>-<x x 或C 、02<<-xD 、无法确定3．已知函数()()0422>++=a ax ax x f ，若0,2121=+<x x x x ，则（）A 、()()21x f x f <B 、()()21x f x f =C 、()()21x f x f >D 、()()21x f x f 与的大小不能确定4．若函数c x b ax x f ++=||)(2 )0(≠a 的定义域分成四个单调区间，则实数a 、b 、c 满足（）A 、0042>>-a ac b 且B 、02>-a b C 、042>-ac b D 、02<-a b 5．对于任意[]1,1-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是（）A ．()3,1B ．()()+∞∞-,31,C ．()3,1D ．()+∞,36.设y x ,是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根,则22)1()1(-+-y x 的最小值( )A ．449-B ．18C ．8D ．43 7.已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是 9.若不等式05)2(8824>+--+a x a x 对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围。

高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)

第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）热点透析考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．（二）知识回顾1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．4．平面与平面的位置关系有、两种情况．5．公理4 平行于的两条直线互相平行．6．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．[难点正本疑点清源]1．公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A二、高频考点专题链接题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°反思总结点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为______．三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．。

学而思数学培优高二暑期.第4讲双曲线与抛物线初步

当前形势双曲线与抛物线在近五年北京卷（理）考查5～14分高考要求内容要求层次具体要求A B C双曲线的定义及标准方程√由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质√由双曲线的几何性质解决问题抛物线的定义及标准方程√由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质抛物线的简单几何性质√由抛物线的几何性质解决问题抛北京高考解读2008年2009年2010年（新课标）2012年（新课标）第4题5分第19题14分第13题5分第12题5分新课标剖析满分晋级第4讲解析几何2级椭圆初步解析几何3级双曲线与抛物线初步解析几何4级直线与圆锥曲线的位置关系双曲线与抛物线初步42 第4讲·提高-尖子-目标·教师版43第4讲·提高-尖子-目标·教师版考点1：双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12|F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为2c ．双曲线上的点与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ．<教师备案>由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义．双曲线的定义需要强调的地方：①差的绝对值小于12F F ，否则轨迹为两条射线或不存在．②绝对值．若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支．【例1】 ⑴到两定点1(30)F -，，2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线⑵动点P 到定点1(10)F ，的距离比它到定点2(30)F ，的距离少1，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线⑶已知点()()120202F F -，，，，在满足下列条件的平面内，动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．123PF PF -=B ．124PF PF -=C ．125PF PF -=D ．123PF PF -= ⑷已知点A 、B 在一条双曲线的右支上，线段AB 经过该双曲线的右焦点2F ，已知 AB m =，且1F 为左焦点，则1ABF △的周长为（）A ．22a m +B ．42a m +C ．a m +D ．24a m +【解析】 ⑴ D⑵ B ⑶ D ⑷ B【点评】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解．【备选】平面内有两个定点A 、B 及动点P ，设命题甲：||||PA PB -是定值；命题乙：点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线，那么（）．A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.1双曲线及其标准方程经典精讲知识点睛44 第4讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 B（选讲）已知两圆221:(4)2C x y ++=，222:(4)2C x y -+=，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，则动圆圆心M 的轨迹是（）A ．一条直线B ．双曲线的一支C ．双曲线D ．双曲线或一条直线【解析】 D如右图，动圆M 与两圆1C ，2C 都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都相外切，②动圆与M与两圆都相内切；③动圆M 与圆1C 外切、与圆2C 内切．④动圆M 与圆1C 内切、与圆2C 外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为0x =，是一条直线；在③的情况下，设动圆M 的半径为r，则1||MC r =+，2||MC r =-12||||MC MC -=在④的情况下，同理得21||||MC MC -=．由③④得12||||MC MC -=±根据双曲线定义，可知此时点M 的轨迹是双曲线．由①②③④可知，选择D ．考点2：双曲线的标准方程双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； <教师备案>以过焦点1F ，2F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图．设()M x y ，是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2(0)c c >，那么1F ，2F 的坐标分别是(0)c -，，(0)c ，，又设点M 与1F 和2F 的距离的差的绝对值等于常数2(0)a a c <<，则点M 在双曲线上的充分必要条件是12||||2MF MF a -=，即12||||2MF MF a -=±．因为1||MF2||MF2a =±， ①a =±，2cx a=±． ② 上面①，②两式中的右边同取“＋”号或同取“－”号．知识点睛45第4讲·提高-尖子-目标·教师版由①＋②c x a a ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭． ③将③式两边平方，再整理得：2222222c a x y c a a--=-．因为0c a >>，所以220c a ->．设222c a b -=，0b >，则上式化为22221(00)x y a b a b-=>>，． ④因此，方程④是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线，两焦点在x 轴上，焦点坐标分别为(0)c -，，(0)c ，，这里222c a b =+．<教师备案>当标准方程中2x 项的系数为正时，双曲线的焦点在x 轴上；当2y 项的系数为正时，双曲线的焦点在y 轴上．【例2】 ⑴已知点()()125050F F -，，，，动点P 到1F 与2F 的距离之差的绝对值为8，则动点P 的轨迹方程为．⑵已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点为()0，2a b =，则双曲线的方程为．⑶c (52)-，，焦点在x 轴上的双曲线标准方程为．⑷与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点()2的双曲线标准方程为．【解析】 ⑴ 221169x y -=；⑵ 2214x y -=⑶ 2215x y -=．⑷ 221128x y -=．【点评】与双曲线221164x y -=有公共焦点的双曲线系方程为221164x y λλ-=-+(416)λ-<<，由此可以比较方便地解决同焦点的双曲线的问题．提高班学案1【拓1】双曲线2255x ky +=的一个焦点是()20，，那么k = ．【解析】 53k =-．尖子班学案1【拓2】双曲线222x y k -=的焦距是6，则k 的值是（）经典精讲46 第4讲·提高-尖子-目标·教师版A ．24B ．6± C． D ．3 【解析】 B目标班学案1【拓3】若双曲线2288kx ky -=的一个焦点是()03，，则k =＿＿＿＿＿．【解析】 1k =-若方程22193x y k k-=--表示双曲线，则k 的取值范围为_________．【解析】 3k <或9k >【思路】9030k k ->⎧⎨->⎩，或9030k k -<⎧⎨-<⎩，，3k ⇒<或9k >．【错因分析】本题易忽视焦点在y 轴的情况而只由90330k k k ->⎧⇒<⎨->⎩，导致漏解．【点评】方程221Ax By +=表示双曲线时，A 、B 异号；当A 、B 异号时，方程221Ax By +=表示双曲线，即方程221Ax By +=表示双曲线的充要条件是0AB <．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A 212A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0B b ，12叫做双曲线的虚轴．知识点睛4.2双曲线的简单几何性质47第4讲·提高-尖子-目标·教师版⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a =．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．<教师备案>1．双曲线与椭圆的区别：①双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；②双曲线有两个顶点，椭圆有4个顶点；③双曲线的虚轴与椭圆的短轴；④双曲线离心率1e >，椭圆离心率01e <<． 2．渐近线的理解：过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M 是第一象限内的点）作平行于y 轴的直线，设它与直线by x a =相交于点P ，则||b PM x a =-(b x a =-=当x a >时，x +x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．这说明，当点M 从双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且b x a 的下方，且与直线越来越接近，不会相交．其它象限内的情况与此类似．3．双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值b a ==e 越大，ba也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔． 4．画双曲线的草图时，一般都是先画出以22a b ，为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．5．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22221y x a b-=，它的渐近线方程即为22220y x a b -=，即直线ay x b=±．考点3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率： ①22154x y -=；②22154y x -=；③221x y -=；④224936x y -=；⑤22491x y -=．【解析】①y e ==，y e ==，y x e =±=，23y x e =±=， ⑤23y x e =±=，． <教师备案>由④⑤可知，()22220x y a bλλ-=>有相同的渐近线和离心率．【例3】 ⑴虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程是________________．经典精讲⑵设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的离心率为（）A．5BCD．54⑶若双曲线经过点(6，且渐近线方程是13y x=±，则双曲线的方程是（）A．221369x y-=B．221819x y-=C．2219xy-=D．221183x y-=⑷若双曲线的渐近线方程为3y x=±，它的一个焦点是)0，则双曲线的方程是．⑸实轴长为6，渐近线方程为32y x=±的双曲线的方程是．【解析】⑴2216436x y-=或2216436y x-=；⑵B；⑶C⑷2219yx-=⑸2218194x y-=或22194y x-=；【点评】已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程2222(0) x ya bλλ-=≠再由其他条件求λ．尖子班学案2【拓2】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线的离心率为．【解析】目标班学案2【拓3】设ABC△是等腰三角形，120ABC∠=︒，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．【解析】．4.3抛物线的定义及其标准方程48 第4讲·提高-尖子-目标·教师版49第4讲·提高-尖子-目标·教师版<教师备案>抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习．举例，243y x x =-+，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点324⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线54x =-的距离之比，由此引入抛物线的定义．1．平面内与一个定点F 和一条定直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．<教师备案>抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线l ，拿一块三角板，以它的较短的直角边紧靠直线l ，在另一条直角边的锐角顶点处A 上结一条细绳．取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的F 处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠l 移动，笔尖画出的图形就是抛物线．从以上画图的过程可以看出，不论笔尖P 移到什么位置，它到定点F 的距离||PF 总是等于它到定直线l 距离||PQ ．这是因为||||||PF PA PQ PA +=+，即||||PF PQ =．根据抛物线的这个几何特征，得出抛物线的定义．2．抛物线的标准方程：22(0)y px p =>，焦点在x 轴正半轴上，坐标是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2p x =-，其中p 是焦点到准线的距离．<教室备案>抛物线的标准方程的推导：建立平面直角坐标系：取过焦点F 垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图所示），设||KF p =，则焦点F 的坐标为 02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 方程为2p x =-．设抛物线上的点()M x y ，到l 的距离为d ，抛物线也就是集合{}|S M MF d ==．∵||MF ，2p d x =+，2p x =+．将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>．3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)y px p =>研究性质）： ⑴范围：抛物线在y 轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸． ⑵对称性：以x 轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． ⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．知识点睛50 第4讲·提高-尖子-目标·教师版⑷离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e 表示，1e =．<教师备案>学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条对称轴和1条准线，离心率为1，且没有中心．4．设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p >，抛物线方程的四种形式如下：考点4：抛物线的定义【例4】 ⑴动圆M 过点(02)F ，，且与直线:2l y =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（） A ．28x y = B ．28y x = C ．2y = D ．2x =⑵点P 到点(40)F ，的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，则点P 的轨迹方程为（） A ．216y x =B ．2y =C ．216y x =D ．24y x = 【解析】 ⑴ A⑵ C经典精讲51第4讲·提高-尖子-目标·教师版【备选】 ⑴ 动圆与定圆22:(2)1A x y ++=外切，且与直线:1l x =相切，则动圆圆心P 的轨迹是（） A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线⑵ 动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(20)M ，的距离等于2，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】 ⑴ D⑵ D目标班学案3【拓3】点P 到点(30)F ，的距离比它到直线:1l x =的距离大4，则点P 的轨迹是（）A ．一条抛物线B ．一条双曲线C ．一个椭圆D ．以上都不对【解析】 D ；考点5：抛物线的方程与性质提高班学案2【铺1】 ⑴ 抛物线240x y +=的焦点坐标为，准线方程为；⑵ 抛物线240x y +=的焦点坐标为，准线方程为；⑶ 抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为，准线方程为．【解析】 ⑴ 焦点坐标为(01)-，，准线方程为1y =；⑵ 焦点坐标为1016⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为116y =； ⑶ 焦点坐标为104a ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是：14x a =-．【例5】根据下列条件，求抛物线的标准方程．⑴焦点为(20)-，； ⑵准线为1y =-；⑶焦点与双曲线221169x y -=的左焦点相同；⑷焦点到准线的距离是4； ⑸过点(12)，．【解析】 ⑴ 28y x =-．⑵ 24x y =． ⑶ 220y x =-．⑷ 28y x =，28y x =-，28x y =，28x y =-．⑸ 24y x =或212x y =．【点评】 ⑴ 抛物线标准方程中的系数p 叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到顶点及顶点到准线的距离都为2p ． ⑵ 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程． ⑶ 焦点在x 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)y ax a =≠；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)x ay a =≠．尖子班学案3【拓2】试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：⑴ 过点(32)-，；⑵ 焦点在直线240x y --=上．【分析】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．【解析】 ⑴ 所求的抛物线方程为243y x =-或292x y =，前者的准线方程是13x =，后者的准线方程是98y =-； ⑵ 所求的抛物线方程为216y x =或28x y =-，对应的准线方程分别是4x =-，2y =．考点5：抛物线定义的应用提高班学案3【铺1】 ⑴ 设抛物线28(0)x ay a =->，F 是焦点，则a 表示（）A ．F 到准线的距离B ．F 到准线距离的14C ．F 到x 轴的距离D ．F 到准线距离的18⑵ 抛物线22y px =过点(22)M ，，则点M 到抛物线准线的距离为__________．【解析】 ⑴ B⑵ 52【例6】 ⑴已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(3)M m -，到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．⑵抛物线的焦点F 在x 轴上，直线3y =-与抛物线相交于点A ，5AF =，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 抛物线方程为28x y =-，m =±2y =．【点评】已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数p ，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意0p >；二是找到焦点坐标、准线方程等条件，直接利用定义求解．⑵ 22y x =±或218y x =±．目标班学案4【拓3】抛物线上的点(5-，到焦点(0)F x ，的距离为6，则抛物线的标准方程是（）A ．22y x =-，218y x =-B ．24y x =-，236y x =-C ．24y x =-D ．218y x =-，236y x =-【解析】 C【例7】 ⑴已知抛物线28y x =，定点()42A ，，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 ⑵已知点(32)M ，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PM PF +取最小值时，点P 的坐标为．【解析】 ⑴ B⑵ P 点坐标为(22)，．【点评】本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关．【备选】若点A 的坐标为552⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，则||||PA PF +的最小值为（）AB ．1 CD ．2【解析】 C ；【演练1】已知两定点1(40)F -，，2(40)F ，，动点P 满足12||||2PF PF a -=，则当2a =和4时，P点的轨迹是（）A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线【解析】 C【演练2】⑴ 抛物线2y x =-的焦点坐标为________，准线方程为________；实战演练⑵ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上一点(3)P a -，到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解析】 ⑴ 焦点坐标为104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为14y =； ⑵ 28y x =-．【演练3】已知点()23-，与抛物线()220y px p =>的焦点的距离是5，则p = ．【解析】 4p =．【演练4】已知点()34A ，，F 是抛物线28y x =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MA MF +最小时，M 点坐标是（）A ．()00， B．(3， C ．()24， D．(3-，【解析】 C【演练5】已知双曲线过(11)M ，，(25)N -，两点，求双曲线的标准方程．【解析】双曲线的标准方程为221778x y -=．【演练6】讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【解析】由于9k ≠，25k ≠，则k 的取值范围为9k <，925k <<，25k >，分别进行讨论．①当9k <时，250k ->，90k ->，所给方程表示椭圆，此时225a k =-，29b k =-，22216c a b =-=，这些椭圆有共同的焦点(40)-，，(40)，； ②当925k <<时，250k ->，90k -<，所给方程表示双曲线，此时，225a k =-，29b k =-，22216c a b =+=，这些双曲线也有共同的焦点(40)-，，(40)，．③25k >时，220259x y k k+--≤，所给方程没有对应的曲线．【点评】将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系．1．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论．【解析】取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖．2．已知抛物线21y x =-上一点()10B -，，若抛物线上存在两点P Q ，，且使得PQ PB ⊥，则Q 点横坐标的取值范围为．【解析】 (][)31-∞-+∞，，大千世界设点()()P P Q Q P x y Q x y ，，，，由1PB PQ k k ⋅=-，得11Q P P P Q Py y y x x x -⋅=-+-，即()()22211111Q P P P Q Px x x x x x ----⋅=-+-，化简得211P P Q P x x x x -+=-，其中1P x ≠-．以下略．。

高一升高二暑假数学补课资料(专题一)

专题一、常见简单不等式的解法一、一次不等式1、解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化不ax>b的形式，若a>0则解集；若a<0则解集；若a=0,b<0则解集为；若a=0，b≤0则解集为。

2、典例1：解不等式2133 ax-=3、注意：当一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数大于0，等于0，小于0三种情况来讨论。

二、二次不等式1、解法：把二次项系数a化为正；求对应一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，若不易因式分解再考虑用求根公式法）；利用二次函数的图像（三2、典例2：解下列关于x的不等式（1）22350x x-->（2）2230x x-+->（3）2210x x-+≤（4）2210x x -+> （5）221x x <+ （6）2230x x -+≤（7）256x x -+> （8）229x << （9）(32)(2)0x x --<典例3：解下列关于x 的不等式（1）2(21)(1)0x a x a a -+++> （2）22(22)20x a x a a --+->（3）2(1)0x a x a -++> （4）223()0x a a x a -++≤（5）(2)(2)0x ax --> （6）210ax ax ++≤典例4：关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为212,2x x x bx c ⎧⎫<->--+>⎨⎬⎩⎭或求关于x 的不等式ax 的解集.典例5：（1）不等式243ax x a ++>对于x R ∈恒成立，求a 的取值范围。

（2）不等式2(1)10ax a x a+-+-<对于x R∈恒成立，求a的取值范围。

（3）函数()f x=R，求实数k的取值范围。

（4）不等式2236061x kxx x++<≤-+对于任意实数x恒成立，求k的取值范围。

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如： x R ， x2 1 0 ； x 0 ， x2 x ．
<教师备案> 只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词．省略量词的如果是对某一群体进行描述的，一般都是全称命题．如山下的女人是老虎、人应该好好学习、实数的平方非负等等．
2．存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
【解析】⑴ ~ ⑹是全称命题，⑺ ~ ⑼是存在性命题，⑷ ~ ⑼是真命题，⑴⑵⑶是假命题．
提高班学案 1
【拓1】命题“ x R ， ax2 2ax 3 0 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A． a 0 或 a ≥ 3
B． a ≤ 0 或 a ≥ 3
C． a 0 或 a 3
【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假． ⑴ x R 时， 2x 1 是整数； ⑵ 对所有的实数 x ， x 3 ； ⑶ 单位向量都相等； ⑷ 末位是 0 的整数，可以被 2 整除； ⑸ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ⑹ 对任意一个整数 x ， 2x2 1为奇数； ⑺ 有的实数是无限不循环小数； ⑻ 有些三角形不是等腰三角形； ⑼ 有的菱形是正方形．
【解析】⑴ 假命题； ⑵ 真命题； ⑶ 真命题； ⑷ 假命题； ⑸ 真命题．
命题分类及量词引入对命题可以有各种形式的分类，按照结构分类命题可以分成简单命题与复合命题．其中简单命题只有六种形式： ① 所有的Ｓ是Ｐ；② 所有的Ｓ不是Ｐ；③ 有的Ｓ是Ｐ；④ 有的Ｓ不是Ｐ． ⑤ a(或某个 S)是 P；⑥ a(或某个 S)不是 P；其中⑤与⑥是单称命题；①与②是全称命题，陈述某集合所有元素都具有某种性质； ③与④是特称命题（又称存在性命题），陈述某集合中有（存在）一些元素具有某性质．全称命题与特称命题都有特定的量词——全称量词与存在量词．表示“所有”的量词是全称量词，用符号表示（英文单词 any 的首字母倒着写）；表示“有的”的量词是存在量词，并用符号表示（英文单词 exist 的首字母倒着写）．
考点 2：量词
知识点睛
1．全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
全称命题：含有全称量词的命题．如：一切反动派都是纸老虎；每一个人都是独一无二的；所有的矩形都是正方形．
全称命题的符号：”对集合 M 中所有 x ， p(x) “记为： x M ， p(x) ．其中 p(x) 表示含有变量 x 的语句，如 x 0 ， x2 1 0 等．
2．一般来说，命题是陈述句，祈使句与疑问句都不是命题．例：下面是命题的有 _____．
①求证： 3 是无理数；② x2 4x 4 ≥ 0 ； ③你是高一的学生吗？④一个正整数不是质数就是合数．解：①祈使句，不是命题． ②不是命题；加上若 x R ，则 x2 4x 4≥ 0 ，就是命题了． ③是疑问句，不涉及真假，不是命题． ④是假命题，正整数 1 既不是质数，也不是合数．
D． 0 a 3
【解析】A
提高班学案 2 【拓 1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题．如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用腮呼吸的．
存在性命题的符号：“存在集合 M 中的元素 x ， q(x) ”记为： x M ， q(x) ．如： x 0 ， x2 x ； x ，y R ， (x 1)2 ( y 1)2 0 ．
经典精讲
第 1 讲·提高-尖子-目标·教师Байду номын сангаас 1
【例1】判断下列命题的真假． ⑴ 两个无理数的乘积一定是无理数； ⑵ 若 A B ，则 A B A ； ⑶ 若 m 1，则方程 x2 2x m 0 无实数根； ⑷ 已知 a ，b ，c ，d R ，若 a c 且 b d ，则 a b c d ； ⑸ 已知 a ，b R ，若 a 1或 b 1 ，则 (a 1)2 (b 1)2 0 ．
2 第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版
<教师备案> 注意数学中的“有一些”、“有些”只表示存在，不表示“多于一”．如有些实数没有倒数是真命题，虽然只有一个数——零没有倒数．
经典精讲
【铺垫】用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
⑴ 存在一对实数 a ，b ，使 a2 b 0 成立； ⑵ 有理数 x 的平方仍为有理数； ⑶ 实数的平方大于 0 ．【解析】⑴ a ，b R ， a2 b 0 ；真命题； ⑵ x Q ， x2 Q ；真命题； ⑶ x R ， x2 0 ；假命题．
第1讲
简易逻辑
1.1 命题与量词
考点 1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛街等等都是命题．
知识点睛
1．命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如 p ，q ，r ，．
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
<教师备案> 1．含有变量 x 的语句，可以用符号 p(x) ， q(x) 等表示，这类语句无法判断真假，不是命题．又称为开句或条件命题．当赋予变量 x 某个值或一定的条件时，这些含有变量的语句就变成命题了，如 p(x) ： 2x 6 是正数，不是命题； p(5) ： 2 (5) 6 是正数．是命题；对任意实数 x ， 2x 6 是正数，是命题．