学而思高中数学暑假班辅导讲义高二.理科班(人教版)
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【解析】⑴ 假命题； ⑵ 真命题； ⑶ 真命题； ⑷ 假命题； ⑸ 真命题．
命题分类及量词引入 对命题可以有各种形式的分类，按照结构分类命题可以分成简单命题与复合命题． 其中简单命题只有六种形式： ① 所有的Ｓ是Ｐ；② 所有的Ｓ不是Ｐ；③ 有的Ｓ是Ｐ；④ 有的Ｓ不是Ｐ． ⑤ a(或某个 S)是 P；⑥ a(或某个 S)不是 P； 其中⑤与⑥是单称命题；①与②是全称命题，陈述某集合所有元素都具有某种性质； ③与④是特称命题（又称存在性命题），陈述某集合中有（存在）一些元素具有某性质． 全称命题与特称命题都有特定的量词——全称量词与存在量词．表示“所有”的量词是全称量词， 用符号 表示（英文单词 any 的首字母倒着写）；表示“有的”的量词是存在量词，并用符号 表示（英 文单词 exist 的首字母倒着写）．
2．一般来说，命题是陈述句，祈使句与疑问句都不是命题．例：下面是命题的有 _____．
①求证： 3 是无理数；② x2 4x 4 ≥ 0 ； ③你是高一的学生吗？④一个正整数不是质数就是合数． 解：①祈使句，不是命题． ②不是命题；加上若 x R ，则 x2 4x 4≥ 0 ，就是命题了． ③是疑问句，不涉及真假，不是命题． ④是假命题，正整数 1 既不是质数，也不是合数．
【解析】⑴ ~ ⑹是全称命题，⑺ ~ ⑼是存在性命题，⑷ ~ ⑼是真命题，⑴⑵⑶是假命题．
提高班学案 1
【拓1】 命题“ x R ， ax2 源自文库ax 3 0 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A． a 0 或 a ≥ 3
B． a ≤ 0 或 a ≥ 3
C． a 0 或 a 3
经典精讲
第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版 1
【例1】 判断下列命题的真假． ⑴ 两个无理数的乘积一定是无理数； ⑵ 若 A B ，则 A B A ； ⑶ 若 m 1，则方程 x2 2x m 0 无实数根； ⑷ 已知 a ，b ，c ，d R ，若 a c 且 b d ，则 a b c d ； ⑸ 已知 a ，b R ，若 a 1或 b 1 ，则 (a 1)2 (b 1)2 0 ．
知识点睛
1．命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母 表示，如 p ，q ，r ， ．
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
<教师备案> 1．含有变量 x 的语句，可以用符号 p(x) ， q(x) 等表示，这类语句无法判断真假，不是命 题．又称为开句或条件命题．当赋予变量 x 某个值或一定的条件时，这些含有变量的 语句就变成命题了，如 p(x) ： 2x 6 是正数，不是命题； p(5) ： 2 (5) 6 是正 数．是命题；对任意实数 x ， 2x 6 是正数，是命题．
第1讲
简易逻辑
1.1 命题与量词
考点 1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会 询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是 数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的 真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假 的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛 街等等都是命题．
2 第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版
<教师备案> 注意数学中的“有一些”、“有些”只表示存在，不表示“多于一”．如有些实数没有倒数是真 命题，虽然只有一个数——零没有倒数．
经典精讲
【铺垫】用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
⑴ 存在一对实数 a ，b ，使 a2 b 0 成立； ⑵ 有理数 x 的平方仍为有理数； ⑶ 实数的平方大于 0 ． 【解析】⑴ a ，b R ， a2 b 0 ；真命题； ⑵ x Q ， x2 Q ；真命题； ⑶ x R ， x2 0 ；假命题．
如： x R ， x2 1 0 ； x 0 ， x2 x ．
<教师备案> 只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词．省略量词的如果是对某一群体进 行描述的，一般都是全称命题．如山下的女人是老虎、人应该好好学习、实数的平方非负 等等．
2．存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中 通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
D． 0 a 3
【解析】A
提高班学案 2 【拓 1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假． ⑴ x R 时， 2x 1 是整数； ⑵ 对所有的实数 x ， x 3 ； ⑶ 单位向量都相等； ⑷ 末位是 0 的整数，可以被 2 整除； ⑸ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ⑹ 对任意一个整数 x ， 2x2 1为奇数； ⑺ 有的实数是无限不循环小数； ⑻ 有些三角形不是等腰三角形； ⑼ 有的菱形是正方形．
存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题． 如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用腮呼吸的．
存在性命题的符号：“存在集合 M 中的元素 x ， q(x) ”记为： x M ， q(x) ． 如： x 0 ， x2 x ； x ，y R ， (x 1)2 ( y 1)2 0 ．
考点 2：量词
知识点睛
1．全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全 称量词，并用符号“ ”表示．
全称命题：含有全称量词的命题． 如：一切反动派都是纸老虎；每一个人都是独一无二的；所有的矩形都是正方形．
全称命题的符号：”对集合 M 中所有 x ， p(x) “记为： x M ， p(x) ． 其中 p(x) 表示含有变量 x 的语句，如 x 0 ， x2 1 0 等．
命题分类及量词引入 对命题可以有各种形式的分类，按照结构分类命题可以分成简单命题与复合命题． 其中简单命题只有六种形式： ① 所有的Ｓ是Ｐ；② 所有的Ｓ不是Ｐ；③ 有的Ｓ是Ｐ；④ 有的Ｓ不是Ｐ． ⑤ a(或某个 S)是 P；⑥ a(或某个 S)不是 P； 其中⑤与⑥是单称命题；①与②是全称命题，陈述某集合所有元素都具有某种性质； ③与④是特称命题（又称存在性命题），陈述某集合中有（存在）一些元素具有某性质． 全称命题与特称命题都有特定的量词——全称量词与存在量词．表示“所有”的量词是全称量词， 用符号 表示（英文单词 any 的首字母倒着写）；表示“有的”的量词是存在量词，并用符号 表示（英 文单词 exist 的首字母倒着写）．
2．一般来说，命题是陈述句，祈使句与疑问句都不是命题．例：下面是命题的有 _____．
①求证： 3 是无理数；② x2 4x 4 ≥ 0 ； ③你是高一的学生吗？④一个正整数不是质数就是合数． 解：①祈使句，不是命题． ②不是命题；加上若 x R ，则 x2 4x 4≥ 0 ，就是命题了． ③是疑问句，不涉及真假，不是命题． ④是假命题，正整数 1 既不是质数，也不是合数．
【解析】⑴ ~ ⑹是全称命题，⑺ ~ ⑼是存在性命题，⑷ ~ ⑼是真命题，⑴⑵⑶是假命题．
提高班学案 1
【拓1】 命题“ x R ， ax2 源自文库ax 3 0 恒成立”是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A． a 0 或 a ≥ 3
B． a ≤ 0 或 a ≥ 3
C． a 0 或 a 3
经典精讲
第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版 1
【例1】 判断下列命题的真假． ⑴ 两个无理数的乘积一定是无理数； ⑵ 若 A B ，则 A B A ； ⑶ 若 m 1，则方程 x2 2x m 0 无实数根； ⑷ 已知 a ，b ，c ，d R ，若 a c 且 b d ，则 a b c d ； ⑸ 已知 a ，b R ，若 a 1或 b 1 ，则 (a 1)2 (b 1)2 0 ．
知识点睛
1．命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母 表示，如 p ，q ，r ， ．
其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
<教师备案> 1．含有变量 x 的语句，可以用符号 p(x) ， q(x) 等表示，这类语句无法判断真假，不是命 题．又称为开句或条件命题．当赋予变量 x 某个值或一定的条件时，这些含有变量的 语句就变成命题了，如 p(x) ： 2x 6 是正数，不是命题； p(5) ： 2 (5) 6 是正 数．是命题；对任意实数 x ， 2x 6 是正数，是命题．
第1讲
简易逻辑
1.1 命题与量词
考点 1：命题
命题是个到处可以见到的字眼，语文上有命题作文，会评价一篇作文命题新颖等等；北大门卫会 询问每个进入北大的人的三大终极哲学命题：你是谁？你从哪里来？你要到哪里去？这些命题都不是 数学意义上的命题．
在逻辑中最重要的是二元判断，即对真假的判断，而二元判断的最小承载单位就是命题，这里的 真假一般来说是指客观的可以判断的真假，不依赖于主观的判断．数学上的命题就是指可以判断真假 的陈述句：如明天会下雨；有理数一定是实数；白马非马；人不可能两次踏进同一条河流；女生爱逛 街等等都是命题．
2 第 1 讲·提高-尖子-目标·教师版
<教师备案> 注意数学中的“有一些”、“有些”只表示存在，不表示“多于一”．如有些实数没有倒数是真 命题，虽然只有一个数——零没有倒数．
经典精讲
【铺垫】用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
⑴ 存在一对实数 a ，b ，使 a2 b 0 成立； ⑵ 有理数 x 的平方仍为有理数； ⑶ 实数的平方大于 0 ． 【解析】⑴ a ，b R ， a2 b 0 ；真命题； ⑵ x Q ， x2 Q ；真命题； ⑶ x R ， x2 0 ；假命题．
如： x R ， x2 1 0 ； x 0 ， x2 x ．
<教师备案> 只要是表示全体的量词，不管怎么叙述，都是全称量词．省略量词的如果是对某一群体进 行描述的，一般都是全称命题．如山下的女人是老虎、人应该好好学习、实数的平方非负 等等．
2．存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中 通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
D． 0 a 3
【解析】A
提高班学案 2 【拓 1】判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．
【例2】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假． ⑴ x R 时， 2x 1 是整数； ⑵ 对所有的实数 x ， x 3 ； ⑶ 单位向量都相等； ⑷ 末位是 0 的整数，可以被 2 整除； ⑸ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ⑹ 对任意一个整数 x ， 2x2 1为奇数； ⑺ 有的实数是无限不循环小数； ⑻ 有些三角形不是等腰三角形； ⑼ 有的菱形是正方形．
存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题． 如：有些人活着，他已经死了；至少有一种鱼不是用腮呼吸的．
存在性命题的符号：“存在集合 M 中的元素 x ， q(x) ”记为： x M ， q(x) ． 如： x 0 ， x2 x ； x ，y R ， (x 1)2 ( y 1)2 0 ．
考点 2：量词
知识点睛
1．全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全 称量词，并用符号“ ”表示．
全称命题：含有全称量词的命题． 如：一切反动派都是纸老虎；每一个人都是独一无二的；所有的矩形都是正方形．
全称命题的符号：”对集合 M 中所有 x ， p(x) “记为： x M ， p(x) ． 其中 p(x) 表示含有变量 x 的语句，如 x 0 ， x2 1 0 等．