高中涉及到的各种常见不等式的解法

各种不等式的解法

题型一 一次不等式的解法

若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为

________．

答案 ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，45

解析 由ax >b 的解集为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15.将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同时

除以a ，得x 2＋b a x －45<0，所以x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1

5，故不等式ax 2＋bx －45a>0的解集为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－1，45.

题型二 二次不等式的解法 知识点：

一、一元二次不等式定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

二、标准形式的一元二次不等式：220,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或 三、三个二次之间的关系

四、一元二次不等式的图像解法步骤：

① 将二次项系数化为“+”：y=c bx ax ++2>0(或<0)(a>0) ① 计算判别式∆，

①若∆0≥，则求出不等式对应方程的根； ①据图象，写出解集.

五、例题讲练

类型一、求不含参数的二次不等式的解集：

1．不等式2x 2－x －3>0的解集为( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1

B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3

2或x <－1 C.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－32

D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x >1或x <－32 答案 B

解析 2x 2－x －3>0⇒(x ＋1)(2x －3)>0，解得x >3

2或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x >3

2或x <－1，故选

B.

2．不等式4x 2＋4x ＋1≤0的解集为( ) A ．∅

B ．R

C.⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝12

D.⎩

⎨⎧⎭⎬⎫

x |x ＝－12 答案 D

解析 因为4x 2

＋4x ＋1＝(2x ＋1)2

，所以4x 2

＋4x ＋1≤0

的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ＝－12.

3．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________．

答案 {x |x <－5或x >5}

解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔

(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－7

2(舍去)⇔x >5或x <－5. 4．对点训练

( 1 ) 2x 2＋7x ＋3>0； ( 2 ) －x 2＋8x －3>0； ( 3 ) x 2

－4x －5≤0； ( 4 ) －4x 2

＋18x －81

4≥0；

( 5 ) －1

2x 2＋3x －5>0； ( 6 ) －2x 2＋3x －2<0.

( 7 ) x 2－3x ＋1≤0； ( 8 ) 3x 2＋5x －2>0； ( 9 ) －9x 2＋6x －1<0； (10) x 2－4x ＋5>0； (11) 2x 2＋x ＋1<0. (12) 02632>+-x x (13) 01442>+-x x . (14) 0322>-+-x x . (15) 652>+-x x (16) 10732≤-x x (17) 0522<-+-x x (18) 0442<-+-x x (19) 322-<+-x x (20) 02031122>+-x x

类型二、求含参数的二次不等式的解集：

1．若0

⎭

⎪⎫x －1m <0的解集为( )

A.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫

x |1m

⎨⎧⎭

⎬⎫x |x >1

m 或x

⎨⎧⎭

⎬⎫x |x >m 或x <1m D.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x |m

解析 当0

⎭⎪⎫x －1m <0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |m

2．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )

A ．(3a ，a 2＋2)

B ．(a 2＋2,3a )

C ．(3,4)

D ．(3,6)

答案 B

解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.

3．ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.

解 原不等式化为(ax －1)(x －1)<0. ①当a ＝0时，解不等式，得x >1； ②当0

a ； ③当a >1时，解不等式，得1

a

⑤当a <0时，不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －1a (x －1)>0，

解不等式，得x <1

a 或x >1.

综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}； 当0

时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |11时，不等式的解集为{ x |1

a

时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x <1a 或x >1； 当a ＝1时，不等式的解集为∅.

4．x 2－(a 2＋a )x ＋a 3>0.

解 原不等式化为(x －a )(x －a 2)>0， ①当a 2－a >0，即a >1或a <0时， 解不等式，得x >a 2或xa ；

③当a 2－a ＝0，即a ＝0或a ＝1时， 解不等式，得x ≠a.

综上①②③得，当a >1或a <0时，不等式的解集为 {x|x >a 2或x

当0a }； 当a ＝0或a ＝1时，不等式的解集为{x|x ≠a }．

5．对点训练

（1）．已知a >1，则不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为( )

A ．(a ，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(1，a )

D ．(－∞，1)①(a ，＋∞)