网格中的三角函数

网格中的三角函数

【构造直角】

例：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sin ∠ABP

变式1：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan 12

∠BAP 的值。

变式2：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan2∠BAP 的值

1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA 的=______________.

【解析】

如图，过点C 作CE ⊥AB ，则=

A sin AC CE =5

2CE ，利用等积法，可知CE AB 21AD BC 21⋅⋅=⋅⋅，∴CE 522

1

232221⋅⋅=⋅⋅，∴556CE =，∴=A sin 5

35255

6=

【等角转换】 2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．

【解析】

思路一：构造直角

连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan△APD=tan△BPF=

PF

BF

，设小正方形边长为2（可自己思考一下为什么？），可得BF=1，CD=2，由△APC ∽△BPD ，且相似比为3：1可得

3DP PC =，∴43CD PC =，

∴PC=432⋅=23，∴PF=PC —CF=2

1

，∴tan△BPF=22

11

=

思路二：角度转换

连接BE ，可知BE ∥CD ，∴△APD=△BPF=△ABE ，连接AE ，∵AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，∴tan△ABE=

2BE

AE

=

3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、

B 、

C 、

D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ， 则PB

AP

的值= ，tan ∠APD 的值= ．

4.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中△ABC 的余弦值是_________.

5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则△ABC 的正切值是________.

6.如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ACB 的值为 ．

7.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．

8.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为_________．

9.如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．

10.（一）探索发现

（1）如图1，当AB=2时，连接AD ，则∠ADO=90°，BO=2DO ，AD=2，BO=23

2

，tan ∠AOD=_________．

如图2，当AB=3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH=22

3

， BO=________，tan ∠AOD=________． 如图3，当AB=4时，tan ∠AOD=__________．

（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=______________．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题

（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O ，若tan ∠COE=

13

17

，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比．

【解析】（一）探索发现

（1）如图1，当AB=2时，∵BO=2DO ，BO=

23

2

， ∴OD=

3

2

，又∵∠ADO=90°，AD=2，

∴tan ∠AOD=

3

22

OD

AD

==3，即tan ∠AOD=3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ． ∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF=CF=BF=

21BD=2

1

CE ，BD ⊥CE ． 根据题意得：AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ，

∴DO ：BO=CD ：AB ．

当AB=3时，DO ：BO=1：3，∴BO=

4

2

3． ∵S △ABD =

21BD •AH=2

1

AB •ED ，∴BD •AH=AB •ED ， ∴AH=

22

32

3BD ED AB =

=⋅， DO ：BO=CD ：AB=1：3，∴DO ：DF=1：2，

∴OF ：DF=1：2，即OF ：CF=1：2． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=

OF

CF

=2， ∵∠AOD=∠COF ，∴tan ∠AOD=2；

如图3，当AB=4时，DO ：BO=CD ：AB=1：4， ∴DO ：DF=1：2.5=2：5，

∴OF ：DF=3：5，即OF ：CF=3：5． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=3

5

OF CF =， ∵∠AOD=∠COF ，

∴tan ∠AOD=3

5

；

故答案是：3；423；2；3

5

；

（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=

1-n 1

n +（结果用含n 的代数式表示）． 证明：过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH=BH=

2

2n ． ∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ，∴

1

n

CD AB OD OB ==， ∴OB=

1n n 2+．∴OH=BH ﹣OB=22n ﹣1

n n 2+．