图像去噪论文讲解

图像去噪

内容摘要

图像是人类传递信息的主要媒介。然而,图像在生成和传输的过程中会受到各种噪声的干扰,对信息的处理、传输和存储造成极大的影响。寻求一种既能有效地减小噪声,又能很好地保留图像边缘信息的方法,是人们一直追求的目标。小波分析是局部化时频分析,它用时域和频域联合表示信号的特征,是分析非平稳信号的有力工具。它通过伸缩、平移等运算功能对信号进行多尺度细化分析,能有效地从信号中提取信息。随着小波变换理论的完善,小波在图像去噪中得到了广泛的应用,与传统的去噪方法相比小波分析有着很大的优势,它能在去噪的同时保留图像细节,得到原图像的最佳恢复。

关键词：小波变换中值滤波去噪

目录

序言 (1)

一、小波分析 (1)

（一）小波分析的发展 (1)

（二）小波变换 (1)

（1）小波函数 (2)

（2）小波函数的性质 (3)

（三）均值滤波与中值滤波 (3)

（1）均值滤波 (3)

（2）中值滤波 (3)

二、数学基础 (4)

（一）希尔伯特变换 (4)

（二）傅里叶变换 (5)

三、小波去噪与中值滤波去噪 (6)

（一）MATLAB介绍 (6)

（二）小波去噪与中值滤波去噪 (7)

四、总结 (10)

参考文献 (11)

序言

图像是人类视觉的基础，给人具体而直观的作用。图像的数字化包括取样和量化两个步骤。数字图像处理就是将图像信号转换成数字格式，并利用计算机进行加工和处理的过程。

图像在采集、传输和转换中常常受到外部环境的干扰。图像中夹杂了噪声和混响干扰，不仅使得图像质量下降，影响了图像的视觉效果，而且给图像的进一步处理也带来了不便。为了减轻噪声对图像的干扰，避免误判和漏判，去除或减轻噪声是必要的工作。

一、小波分析

(一)小波分析的发展

小波分析是近年来国际上掀起新潮的一个前沿研究领域，是继Fourier分析的一个突破性进展，它给信号处理领域带来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当前一个非常活跃和富有挑战性的研究领域。

小波的起源可以追溯到本世纪初。1910年，Haar最早提出了规范正交小波基的思想，构造了紧支撑的正交函数系--Haar 函数系。1946年，Gabor提出了加窗 Fouricr变换(Gabor：变换)理论，使得对信号的表示具有时频局部化性质，1981 年，Morlet 仔细研究了Gabor变换方法，对Fourier变换和加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造作了创造性的研究，首次提出了“小波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的Morlet小波。1986年，Mallat和 Meyer提出了多分辨分析的理论框架，为正交小波基的构造提供了一般的途径，多分辨分析的思想是小波的核心，至此，小波分析才真正形成为一门学科。1988 年，Daubechies 给出了具有紧支集和任意有限正则度的小波函数的一般构造方法，该小波得到了非常广泛的应用。1989年，随着小波理论的进一步发展，Mallat提出了实现小波变换的快速算法一 Mallat塔式算法，为小波应用铺平了道路。1990年，崔锦泰和王建中构造出了基于样条函数的正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析生成函数及相应的小波函数。同年，Wickethauser和Coifman等人提出了小波包的概念，并将Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法。使得小波变换的分析性质有了很大的改善。1994年，Goodmkan 等人在 r 元多分辨分析基础上建立了多重小波的基本理论框架，进一步丰富了小波理论。

(二)小波变换

小波变换作为一种多分辨率分析方法，具有信号“显微镜”的美称。近年来一直受到人们的关注。图像去噪是小波应用范围中的一个部分，噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频区域。在传统的基于傅氏变换的信号去噪方法中，当信号和噪声的频带重叠部分小时可以轻易地不损失信号的条件下去除噪声，但是当重叠区域很大时这种方法就无能为力了。由于图像细节和噪声分布在高频段，利用传统去噪方法可能破坏图

像的细节信息，利用小波分析理论，可以构造一种既能降低图像噪声，又能保持图像细节信息的方法。

小波分析去噪法的基本思想在于小波变换将大部分有用信号的信息压缩而将噪声的信息分散】【2。对信号进行小波分解，就是把信号向)()((22R L R L 是平方可积的实数空间）空间各正交基分量投影，即求信号与各小波基函数之间的相关系数，亦即小波变换值。由于局部信号的小波分解系数仅仅在一些尺度上有较大的值，而噪声的分解系数则广泛分布于各尺度上，所以噪声与局部信号在小波分解后呈现出完全不同的特性

】【3。基于这个特点，

对含噪局部信号进行小波分解与重构就可以达到去噪的目的。

一般地，函数（信号）的局部奇异性用李普西兹（Lipschitz ）指数来描述，简称lip 指数，亦称奇异性指数。

1、小波函数

定义一个函数)(x f 在0x 处是一致李普西兹a ，当且仅当存在一个常数K ，使得在0x 的某一邻域内的任意一点x ，均有 a

x x K x f x f 00)()(-≤- （1）

如果式(6)对所有的x ),(0b a x ⊂都成立，则称f(x)在区间),(b a 上一致李普西兹a 。由上式定义不难看出，函数在某一点的李普西兹指数越大，则在该点函数越光滑。函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，该点就为函数的奇异点。 函数)(x f 的局部奇异性与小波变换的渐近衰减之间的关系可以描述如下：

设)()(2R L x f ⊂， []b a , 为R 上的闭区间， 0,10<∀<≤εa ，则f (x ) 在,(ε+a )ε+b 上一致李普西兹a 的充要条件是存在常数A 和),(εε++∈b a x 对0>∀x 有

a s As x f W ≤)( （2）

其中)(x f W s 为f (x)在尺度s 上的小波变换，设j

s 2=，则上式变为 ja k A x f W f 2)(2≤ （8）

两边取对数

ja A x f W k f +≤222log )(log （9）

由此可知，如果函数)(x f 的Lipschitz 指数0>a ，则该函数的小波变换的系数将随着尺度的增大而增大。反之，若0--=εεa ，由式(9)易得，信号和噪声在不同尺度的小波变换下呈现的特性截然相反。随着尺度的增大，信号所对应的小波变换幅值是增大的，而噪声对应的小波变换幅值减小。我们可以利用这个特点，在不同的分解尺度上设定一定的阈值，将小于给定阈值的极大模值点认为是噪声的小波变换，将其置于零；反之大于该阈值的极大模值点认为是由信号的小波变换引起的，