华南理工大学线性代数与解析几何试卷(8)

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试（A 卷）

《 2007线性代数 》试卷

20分） （1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件

是：

（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θ

θθθ-⎛⎫=

⎪-⎝⎭

，则12007

P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =

（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1n

i i E A λ=-∑ =

选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：

A ，乘一个m 阶初等矩阵，

B ，右乘一个m 阶初等矩阵

C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，

D ，右乘一个n 阶初等矩阵

2） 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，()min{,}r A r m n =<。集合

{:,}n X AX B X R ==∈则

A ，M 是m 维向量空间，

B ， M 是n-r 维向量空间

C ，M 是m-r 维向量空间，

D ， A ，B ，C 都不对

（3）若n 阶方阵A ，B 满足，22A B = ，则以下命题哪一个成立 A ， A B =±， B ， ()()r A r B =

C ， det det A B =±，

D ， ()()r A B r A B n ++-≤

（4）若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A ，矩阵1A -为正交矩阵， B ，矩阵 -1A -为正交矩阵 C ，矩阵*A 为正交矩阵， D ，矩阵 -*A 为正交矩阵

（5）4n 阶行列式

111

110100

-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：

A ，1，

B ，-1

C ， n

D ，-n

三、解下列各题（共30分）

1．求向量513β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下的坐标。

2．设1020200,

001A AB A B -⎛⎫ ⎪

==- ⎪ ⎪⎝⎭

，求矩阵1B --A

3．计算行列式1

3

3

5

19

92512727125

181

81

625

--

4.计算矩阵13

4

9

2

66310396933

94120A -⎛⎫ ⎪

----

⎪

= ⎪---- ⎪

-⎝⎭

列向量组生成的空间的一个基。

5. 设120201012...

...

...

.........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪=

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

计算det A

四、证明题（10分） 设12,,

,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一

个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

22

123122313(,,)42f x x x x x x x x x =++-

六、（8分）a 取何值时，方程组

1231231

232325106

x x x a x x x a x x x +-=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩ 有无数多个解并求通解

七、（4分）设矩阵A ，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。

《2007年线性代数A 》参考答案

一 填空题 每个四分

(0) rankA

(1) cos 2007sin 2007sin 2007cos 2007θ

θθ

θ⎛⎫

⎪-⎝⎭

(2)

(3) 1± (4) 0

二 选择题

(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A

三 解答题

(1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则

112323(,,)x x x αααβ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=+=++3

1531

32321x x x x x x x （4分） ⎪⎩⎪

⎨⎧-===326

3

21x x x （6分）

(2)

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(1

11111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则 （2分）

（6分）

(3)

13824023

811

9

480238101

901115)96(310

423951

1

1063

2242620847801202424020126

5331

-=-⨯

-=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--

（6分） （4）

1351340

913409002380023800692400005008122700000()3

(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T

A rank A ααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--

⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴==--=--=--一个基（4分）

（6分） （5）