21电磁场中的基本物理量与基本实验定律

通过截面积S的电流 i J dS S
反映空间各点电流流动情况的物理量，形成一个空间矢量场
它在某点的方向是正电荷运动的方向。
vi 如有N种带电粒子，电荷密度分别为i，平均速度为 ，则
N
J
i vi
i 1
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面电流分布
当电流集中在一个厚度趋于零的薄层（如导体表面）中流动时， 电流被认为是表面电流或面电流，其分布情况用面电流密度矢量
Ez 0
Er
l 2 0r
er
dz
L 2
z R
Lo
2
dEz dE
P(r,,dzE)r
20
例2.2 一个均匀带电的环形薄圆盘，内半径为a，外半径为b，
电荷面密度 为常S 数，如图所示，求环形薄圆盘轴线上任一
点的电场强度。
解：采用柱坐标系，场点坐标为P(0,0,Z)。面电
荷元 sds ' sr ' dr ' d ' ，其到场点的距离 矢量 R eRR r r ' (ez z er'r ')
安培定律的微分形式
c1
r1
r2
式中： R R
R r2 r1
0 为真空中介电常数。 0 4 107 H / m
o
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两个电流环的相互作用力
在回路C1上积分，得到回路C1作用在电流元 I2dl2上的力
dFc1l2
0 4
I2d l2
I1d l1 eR
C1
R2
再在C2上对上式积分，即得到回路C1对回路C2的作用力
流动方向的线元 dl ，则dt 时间内，穿过 dl
的电荷量为： dq s vdt dl
dq
Js
di dl
dt s
dl Js
vdt dl
dldt
s
v
s
v
vdt
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关于面电流密度的说明
J s 是反映薄层中各点电流流动情况的物理量，它形成一个空间矢 量场分布
J s 的方向为电流流动的方向
线电荷密度 l (r ) 的定义
在线电荷上，任取线元 l ，其中电荷量为 q
则
l
(r
)
lim
l 0
q l
dq dl
q l l (r )dl
点电荷
当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点 电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。
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3
2.1.2 电流与电流密度
电荷的宏观定向运动称为电流.，通常用 I 表示，定义为
dF12 I2dl2 B1
安培力公式
F12 C2 I2dl2 B1
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毕奥－萨伐尔定律
I1
I2dl2
I1dl1 R
I2
若 B1由C1回路电流产生，则由安培力定律
FC1C2
0 4
C2 I2d l2
I1d l1 eR
C1
R2
c1
r1
c2
r2
o 可知，回路 c1 中的电流产生的磁感应强度B１为：
库仑定律是一个实验定律----理想的
R
q2
库仑定律内容：如图，电荷q1对 q1
电荷q2的作用力为：
F12
q1 q2
4 0 R 2
eR
q1 q2
4 0 R3
R
r2
O
式中： R R
R eR R
0 为真空中介电常数。
0
1
36
109
F
/
m
r1 R r1 r2
0 8.85 10 12 F / m
q (r )d
面电荷分布
面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷
面电荷密度 s (r ) 的定义 在面电荷上，任取面积元 S ，其中电荷量为q
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则
s (r )
lim
S 0
q S
dq dS
q S s (r )ds
2
线电荷密度
线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷
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对库仑定律的进一步讨论
作用力大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上
同号相斥，异号相吸
q1
q2
多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
F
i
q
Fi 4 0
i
qi Ri3
Ri
连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解
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E 二、电场强度矢量
电荷的几种分布方式：空间中 ---- 体积电荷体密度 面上 ----- 电荷面密度 s 线上 ----- 电荷线密度 l
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1
体电荷分布
体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体
体电荷密度 (r )的定义
在电荷空间τ内，任取体积元 ，其中电荷量为 q
则 (r) lim q dq 0 d
来表示J。s
面电流密度en J s 定义：
如图，设电流集中在厚度为h
的荷与薄运e层 动n 垂内 的直流 方的动 向单，位enJ线，s 上的大的方小电向等流是于密正通度电过。h
S
Js
en l
Js
lim
l 0
i l
en
di dl
en
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8
JS
与运动电荷的面密度 s
及速度 v
的关系：
在电荷流动区域某点，取一垂直于电流
面上----电流面密度 J S
线上-----线电流 I
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4
一、体电流密度矢量：
1、体电流密度矢量 J ： 单位：A/㎡
❖
定义：
i di
J
lim
s0
S
en
dS
en
en
其中：
S
为正电荷运动（电流）的方向。
包围被研究的点，垂直于en 的面元。
i
面元上通过的电流。
恒定电场中： J 与时间无关，但 J一般与空间坐标有关，即
线体电流电，流此可时以有分解I成=许J d多S细，电则流电管流，元近为似地看成
Idl nJdSdl Jd，得
PR
τ
B(r)= μ0
4π
'
J
r
R2
eR
d'
r
r
面电流产生的磁场
O
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B(r )
dB 0
S
4
[JS (r ')dS ' eR ]
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2.1.4 安培力定律和磁感应强度
一、安培力定律-——实验定律：
两个电流元的相互作用力
安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。
C1上电流元 I1dl1对C2上电流元 I2dl2 磁场力为
I2dl2
dF12
0 4
I2dl2
(I1dl1 eR ) R2
I1
I1dl1 R
I2
c2
eR
ez z er 'r ' z2 (r ')2 1/ 2
R
z2
(r
')2
1/ 2
因此，场点P的电场强度为
E
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z
b a
2 0
e z z err
40
z
2
r
2 3/ 2
S rdrd
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又因为
er ' ex cos ' ey sin '
2
2
所以 0 er'd ' 0 (ex cos ' ey sin ')d ' 0
电场强度矢量
用电场强度矢量E 表示电场的大小和方向
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实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0 成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即
F q0E
F E
q0
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关 对静电场和时变电场上式均成立
带撇 表示 源
18
R r r csc sin
z z r cot
即 dz r csc2 d
dEr
1
4
0
lr csc2 d r2 csc2
sin
1 l sind
4 0 r
dE z
1
4 0
lr csc2 d r2 csc2
cos
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1 l cosd 4 0 r
dz
L 2
J J (x, y, z)
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J 与运动电荷的体密度
及运动速度v 的关系：
在电荷流动区域某点，取一垂直于电流
流动方向的面元 dS ，则dt 时间内，穿过dS
的电荷量为：
dq vdt ds
dq
故 J di dt v
vdt
ds ds
J v
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关于体电流密度的说明
4 0
N i 1
qi Ri3
Ri
式中: Ri r ri '
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P(r )
q2 R2
q1
R1 r2 ' r RN
r1 ' O rN '
qN
源
点
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连续分布的电荷系统产生的电场
连续分布于体积 中的电荷在空间任意点Ｐ产生的电场
处理思路： 1) 无限细分区域
d
R
P(r )
2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
2.1 电磁场中的基本物理量和实验定律
2.1.1 电荷与电荷密度
自然界中最小的带电粒子包括电子和质子 e 1.6021019C
一般带电体的电荷量通常用q表示
从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间中的
从宏观电磁学的观点上看，大量带电粒子密集出现在某空间范 围内时，可假定电荷是以连续的形式分布在这个范围中
r r'
O
设体电荷密度为 (r，) 图中
dE(r )
(r )d 4 0R3
R
d 在P点产生的电场为：
R r r
则整个体积τ内电荷在P点处产生的电场为：
(r)d
2020/8/8 E (r ) 4 0 R3 R
16
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、 体积元和积分区域作相应替换即可，如
FC1C2
0 4
C2 I2dl2
I1d l1 eR
R C1
2
安培定律的积分形式
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二、磁感应强度矢量 B
磁场：
磁力是通过磁场来传递的
电流或磁铁在其周围空间会激发磁场
会对处于其中的运动电荷（电流）或磁体产生力的作用
磁场强度矢量
点磁处场于B磁1 场、中电的流电元流强元度和I2方dl向2 所有受关的，磁即场力 dF12与该
E(z) ez
b a
2 0
4 0
z2
z
(r
')2
3/ 2
sr
'
dr
' d
'
ez
2s z 4 0
b r ' dr '
a
z2
(r
')2
3/
2
ez
s z 2 0
z
2
1 (a)2 1/ 2
z 2
1 (b)2 1/ 2
结果表明：在均匀的环形薄圆盘轴线上，只有 ez
方向的电场分量。
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点电荷产生的电场
单个点电荷q在空间任意点激发的电场为
E(r ) lim F q R
q
R
q0
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q q0 0 0 4 0R3
q ( 1 )
4 0 R
r'
O
r Rr' r
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多个点电荷组成的电荷系统产生的电场
由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任
意点激发的电场为
场点
1
E
z R
Lo
2
dEz dE
dEr
P(r,, z)
19
L ∴ 长线段在Ｐ点产生的电场为:
Er
l 4 0r
2 sind
1
l 4 0r
(cos1
cos 2
)
Ez
l 4 0r
2 cosd
1
l 4 0r
(sin 2
s in 1 )
若导线无限长,则 1 0 , 2
故
Er
l 2 0r
E 0
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P电(r场,强, ,度z)线为电：荷d元E 为41l0dz,R它ld2z在' eR场点的
L 2
dz
z
沿柱坐标系的三个 分量为:
Lo
dEz
dE
dEr
P(r,, z)
பைடு நூலகம்
电场方向在源点与场点的连线上. 2
dEz
dE
cos
1
4
0
l dz
R2
cos
dEr
dE
sin
1
4
0
l dz
R2
s
in
dE 0 2020/8/8
B1
0 4
(I1dl1 eR )
c1
R2
毕奥－沙伐定 律
dB1
0 4
(I1dl1 eR ) R2
说明：dl 、 R、B1 三者满足右手螺旋关系。
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对毕奥－萨伐尔定律的讨论
真空中任意电流回路C产生的磁感应强度
B(r ) 0
4
(I dl eR )
c
R2
体电流产生的磁场
J s在某点的大小为单位时间内垂直通过单位长度的电量
当薄层的厚度趋于零时，面电流称为理想面电流
线电流和电流元 Idl
电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。
电流元 Idl：长度为无限小的线电流元。
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2.1.3 库仑定律和电场强度
一、库仑定律：
库仑定律描述了真空中两个静止的点电荷间相互作用力的规律
q1
q2
电场的定义
实验表明：任何电荷都在自己周围的空间产生电场，而电场对 处在其中的任何电荷都有作用力，此作用力称为电场力。电荷 间的相互作用力是通过电场来传递的．
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质 中时，会受到电场力的作用
静止电荷产生的电场称为静电场 电场强度随时间改变的电场称为时变电场
E r
s'
s r ' dS
40 r r ' 3
(r
r
')
面电荷
E r
l'
l r ' dl '
40 r r ' 3
(r
r
')
线电荷
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例2.1： 有限长直线L上均匀分布着线密度为 l
的线电荷,求线外任一点的电场强度.
解:
采用柱坐标系,并将 z 轴与直导线重合,
原点在直导线的中点,场点坐标为
q dq I lim
t0 t dt
电流的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量
当电荷速度不随时间变化时，电流也不随时间变化，称为恒定 （稳恒）电流
空间各点电荷的流动除快慢不同外，方向可能不同，仅用穿过 某截面的电荷量无法描述电流的分布情况
引入电流密度 J 来描述电流的分布情况
电荷的几种分布方式：空间中----电流体密度 J