§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
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《序列的傅里叶变换的定义和性质
X 1 (e ) FT [ x1 (n)], X 2 (e j ) FT [ x2 (n )], j j bX ( e j FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) ) FT [ ax ( n ) bx ( n )] aX ( e ) bX ( e 1 2 1 2 则： FT [ax ( 1 2 1 j 2 j ) 1 n ) bx2 ( n )] aX 1 ( e ) bX 2 ( e )
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数
即 ：HR(ejω)=HR(e-jω)
HI(ejω)=-HI(e-jω)
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n)
he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω) 结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部XR(ejω)， 而序 列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部[jXI(ejω)] 。
序列的傅里叶变换的定义和性质 总结：序列傅里叶变换的共轭对称性的基本内容如下：
n
n n
结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭
对称性， 虚部（包含j）一起对应的FT具有共轭反对称性。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(b) 序列表示成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n)之和 1
第八章第4讲_离散系统频率响应
频域位移对应时域的调制
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
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（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
X
(e
jT
)
x(n)e jnT
n
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（4）序列的线性加权
若： DTFT[x(n)] X (e j )
则：
DTFT[nx(n)]
j[
d
d
X (e j )]
时域的线性加权对应频域微分
（5）序列的反褶 若： DTFT[x(n)] X (e j )
2. 序列的傅立叶变换与Z变换的关系
X (z) x(n)z n n X (e jT ) X (z) ze jT x(n)e jnT n
因此，单位圆上的序列的Z变换为序列的傅立叶变换。
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
（2）序列的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[x(n n0 )] e jn0 X (e j )
时域位移对应频域相移
（3）频域的位移： 若： DTFT[x(n)] X (e j )
则： DTFT[e jn0 x(n)] X (e j( 0 ) )
(7)时域卷积定理 若： DTFT[x(n)] X (e j )
DTFT[h(n)] H (e j )
时域卷积对应频域相乘。
则： DTFT[x(n) * h(n)] X (e j )H (e j )
(8)频域卷积定理 若： X (e j ) DTFT[x(n)]
H (e j ) DTFT[h(n)]
§8.9 序列的傅立叶变换(DTFT)
(一) 序列的傅立叶变换
1. 定义
X
(e
jT
)
x(n)e jnT
n
1序列的傅里叶变换(DTFT)
z变换 X z x k z k
k
对于离散序列 xk ：
s j , T , kT k
z e jω
傅氏变换 X e
jω
j kω
k
x k e
X
第
2．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
13 页
σ 0, s j
H j H s s j
3. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z e jω
X jω X z z e jω
X
与z变换之关系
j Im s
虚轴( s j )
第
14 页
j Im z
单位圆 ( z e j ) 1 Re z
k 0
x(kTs )e
k 0
- jkTs
x(k ) Z k X ( z )
k 0
e jTs Z
(B)
X
表明单位圆上的Z变换就是序列的频谱
第
2. ZT与LT的关系
Z变换也可由LT推得：
4 页
x(t ) xs (t ) X s ( s) X ( z )
LT
T ( t ) 抽样
e sTs Z
将（A)两边取LT：
X s ( s ) [ x(t ) (t kTs )]e-st dt
k 0
[ x(kTs )e skTs (t kTs )dt]
k 0
x(kTs )e
k 0
skTs
第 1 页
信号与系统§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
n
T O T 2T 3T
t
xn
x(nT ) ejnΩT
n 令x(nT ) x(n), ΩT ω
1 O 1 2 3
n
F x(t )δT (t )＝ x(n) e F x n X j《nω信号与系统》BUPT尹霄丽 ejω
z变 换
X z xn zn n
s j, T ,
nT n
对 于 离 散 序 列xn：
z ejω
傅氏变换
X ejω x n ejnω
n
《信号与系统》BUPT尹霄丽
2．频率的比较
模拟角频率 Ω，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ω，量纲：弧度； ejω是周期为 的2 π周期函数 关系：ω ΩT
§8.9 序列的傅里叶 变换（DTFT)
《信号与系统》BUPT尹霄丽
一．定义
DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频
xtT t
率响应作准备，从抽样信
号的傅里叶变换引出：
Fx(t)δT (t)
F
x(nT
)δ
(t
nT
)
表示
DTFTxn X ejω xnejnωd ω n
IDTFT X ejω xn 1 π X ejω ejnω d ω 2π π
《信号与系统》BUPT尹霄丽
二．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
1. 三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
《DTFT变换》PPT课件
精选PPT
3
D T F T[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
ID[X T (ej) F ]x ( T n ) 2 1 X (ej)ej n d
X (ej)ej n d [ x (m )e j m ]ej n d m
x(m)
ej(nm)d
m
ej(nm )d2(nm )
实序列的DTFT的模是偶函数，相位为 奇函数。
对于实序列，一般只需分析 0 之间的 离散时间傅里叶变换。
精选PPT
29
2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应
2.10.1 传输函数与系统函数
设系统初始状态为零，输出端对输入为单 位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲 响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω)
式中a, b为常数
3. 乘以指数序列 DT[a FnxT (n)]X(1ej) a
精选PPT
12
4. 时移与频移 设X(e jω)=DTFT［x(n)］， 那么 FT[x(nn0)]ejn0X(ej) FT[ej0nx(n)]X(ej(0))
x(n)乘以复指数序列，也称调制性
精选PPT
13
5. 时域卷积定理
精选PPT
14
6. 频域卷积定理
设 y(n)=x(n)·h(n) ，
则
Y ( e j ) 2 1 X ( e j ) * H ( e j ) 2 1 X ( e j ) H ( e j( ) ) d
证明：Y(ej) x(n)h(n)ejn
n
x(n)[ 1
H(ej)ejnd]ejn
对照z变换定义，z变换收敛域应满足：| h(n)zn | n
比较得：|z|=1 ，即系统稳定要求收敛域包含单位圆。
序列傅里叶变换
jω
d 则 DTFT [ nx( n ) ] = j X dω
(e )
jω
jω
( 5 ) 反折性：
Байду номын сангаас
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
则 DTFT [ x( − n ) ] = X
(e )
− jω
DTFT的性质 的性质
( 6 ) 卷积性：
若 DTFT [ x1 ( n ) ] = X 1 (e ),
∞
( 7 ) 帕塞瓦尔定理（能量定理）：
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
jω
则
n=-∞
∑
1 x( n ) = 2π
2
∫π
−
π
X (e ) d ω
jω
2
jω X 逆 变 换 x ( n ) = IDT F T e 1 π jω jω n = ∫−π X e e d ω 2π
( ) ( )
n = −∞
∑
∞
x (n )e
− jω n
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
序列傅里叶变换X(ejw )也称离散时间傅里叶变换. (Discrete Time Fourier Transform)缩写为DTFT. 注意:这里序列傅里叶变换与离散傅里叶变换不同.
X
(e ) : 物理意义上 : 表示信号 x(n)的频域特性.
jω
即称为 x ( n )的频谱.
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
2） 频 域 特 性 ：
X
(e ) (e ) e = R e X ( e ) + X (e ) : 为 幅 度 谱 ; ϕ ( w ) : 为 相 位 谱 . X ( e ) , ϕ ( w ) 都 是 w的 连 续 函 数 .
d 则 DTFT [ nx( n ) ] = j X dω
(e )
jω
jω
( 5 ) 反折性：
Байду номын сангаас
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
则 DTFT [ x( − n ) ] = X
(e )
− jω
DTFT的性质 的性质
( 6 ) 卷积性：
若 DTFT [ x1 ( n ) ] = X 1 (e ),
∞
( 7 ) 帕塞瓦尔定理（能量定理）：
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
jω
则
n=-∞
∑
1 x( n ) = 2π
2
∫π
−
π
X (e ) d ω
jω
2
jω X 逆 变 换 x ( n ) = IDT F T e 1 π jω jω n = ∫−π X e e d ω 2π
( ) ( )
n = −∞
∑
∞
x (n )e
− jω n
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
序列傅里叶变换X(ejw )也称离散时间傅里叶变换. (Discrete Time Fourier Transform)缩写为DTFT. 注意:这里序列傅里叶变换与离散傅里叶变换不同.
X
(e ) : 物理意义上 : 表示信号 x(n)的频域特性.
jω
即称为 x ( n )的频谱.
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
2） 频 域 特 性 ：
X
(e ) (e ) e = R e X ( e ) + X (e ) : 为 幅 度 谱 ; ϕ ( w ) : 为 相 位 谱 . X ( e ) , ϕ ( w ) 都 是 w的 连 续 函 数 .
归纳4种傅里叶变换.ppt
x(t )
X ( jk0 )
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk0
)
1 Tp
Tp / 2 x(t )e jk0t dt
Tp / 2
反 : x(t )
X ( jk 0 )e jk0t
k
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 周期的
频域信号 非周期的 离散的
时域：连续、周期（周期为Tp） 频域：非周期、离散（谱线间隔为2π/Tp）
.,
4种傅里叶变换
.,
4种傅里叶变换2.连续傅里叶变换(FT)
非周期连续时间信号 FT 非周期连续频谱
x(t)
正变换：
0
X ( j ) x(t)e jtdt
t
X ( j )
反变换：
0
x(t) 1 X ( j )e jtd
2
.,
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 连续的 非周期的
频域信号 非周期的 连续的
时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
.,
4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
.,
--t
s
2 T
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jn d
2
.,
---
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的
频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T）
傅里叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT
傅⾥叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT 傅⾥叶级数（FS）周期为 T 的函数f(t),ω=2πT. 正交基为{e jnωt},n=0,±1,±2,⋯。
f(t)=∞∑n=−∞C n e−jωnt C n=<f(t),e jnωt><e jnωt,e jnωt>=∫T f(t)e−jnωt dt∫T e jnωt e−jnωt dt=1T∫Tf(t)e−jnωt dt连续时间的傅⾥叶变换（FT）F(ω)=∫∞−∞f(t)e−jωt dtf(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω离散时间序列的傅⾥叶变换（DTFT)它⽤于离散⾮周期序列分析对应频域连续周期(周期为 2π)，条件是x(n) 绝对可和或者能量有限，即∑∞n=−∞|x(n)|<∞∑∞n=−∞|x(n)|2<∞。
X(e jω)=∞∑n=−∞x(n)e−jωn(1)x(n)=12π∫π−πX(e jω)e jωn dω(2)式(1)中，ω为数字⾓频率，它是模拟域频率Ω对采样频率f s的归⼀化，即ω=ΩT s=Ω/f s Z变换由z=e jω代⼊上式得X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n周期序列的离散傅⾥叶级数（DFS）x(n) 是周期为 N 的周期序列，可以看做X(k)的傅⾥叶级数频域展开，离散周期 ---> 周期离散，周期都为N。
˜X(k)=N−1∑n=0˜x(n)e−j2πN nk=N−1∑n=0˜x(n)W nk N k∈Z˜x(n)=1NN−1∑k=0˜X(k)e j2πN nk=1NN−1∑k=0˜X(k)W−nkNn∈Z W N=e−j2πN有限长序列的离散傅⾥叶变换（DFT）x(n) 为有限长序列，长度为 N 。
其他值都为 0 。
X(k)=N−1∑n=0x(n)W−nkN0⩽DFT 与 DTFT 、z变换的关系X(k) =X(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k} \\ X(k) = X(z)|_{z=W_N^{-k}} Matlab仿真信号的抽样，CFT，DFT 和 FFTts=0.5; %采样时间间隔df=1.0;fs = 1/ts; %采样频率n2 = 50/ts; %time=[0,50]之间采样n1 = fs/df;N = 2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2))); %nextpow2(N) returns the first P such that 2.^P >= abs(N).%当序列是2的幂次⽅时，FFT⾼效df = fs/N; %设置分辨率t = 0:0.01:50;y = cos(2/5*pi*t);subplot(2,2,1);plot(t,y,'k:'); %绘制余弦信号hold ont2=0:ts:50;y2=cos(2/5*pi*t2);stem(t2,y2,'k'); % 画⽕柴杆图，对余弦信号抽样axis([0 10 -1.2,1.2]);title('抽样信号: \rm x_{s}(t)');xlabel('t');line([0 10],[0 0],'color',[0 0 0]);hold offk=-N:N;w = df*k;Y = 0.01*y*exp(-j*2*pi*t'*w);% 计算CFTY=abs(Y);subplot(2,2,2);plot(w,Y,'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('连续傅⾥叶变换: X(f)');xlabel('f');subplot(2,2,3);Y1=y2*exp(-j*2*pi*t2'*w); % 计算离散傅⾥叶变换Y1=Y1/fs;plot(w,abs(Y1),'k');title('离散傅⾥叶变换 \rm X_{s}(f)');xlabel('f');axis([-fs/2-1,fs/2+1,0,8*pi+0.5]);Y2=fft(y2,N); %使⽤FFT计算离散傅⾥叶变换Y2=Y2/fs;f=[0:df:df*(N-1)]-fs/2; %调整频率坐标subplot(2,2,4);plot(f,fftshift(abs(Y2)),'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('快速傅⾥叶变换：\rm X_{s}(f) ');xlabel('f');由此可见，FFT 可以很好地表现 CFT 的频谱图。
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
由于序列的傅里叶变换 变换在单位圆上的取值 由于序列的傅里叶变换是z变换在单位圆上的取值， 序列的傅里叶变换是 在单位圆上的取值， 因而，它的基本性质与z变换的基本性质有许多相同之 因而，它的基本性质与z变换的基本性质有许多相同之 处。这里只给出结论，略去证明。 这里只给出结论，略去证明。 (1)线性 (1)线性 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x1(n)]=X1(ejω) a、b为任意常数 (2)序列的位移 (2)序列的位移 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω)
0 0
频域位移， 频域位移，对应时域的调制 (4)序列的线性加权 (4)序列的线性加权 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ n x(n)]=j[
d dω
X(ejω) ]
时域的线性加权，对应频域微分 时域的线性加权， (5)序列的反褶 (5)序列的反褶 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ x(-n)]=X(e-jω) ] )]=X 时域反褶， 时域反褶，对应频域反褶
返回
3.s 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
σ = 0, s = j
H(j
) = H(s) s=j
4.z平面单位圆上的z 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变 DTFT） 换（DTFT）
z = 1, z = e
jω
X(jω) = X(z) z=ejω
返回
三．序列傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质
返回
一．定义
DTFT(DiscreteDTFT(Discrete-time Fourier transform)
x(t ) δT (t)
0 0
频域位移， 频域位移，对应时域的调制 (4)序列的线性加权 (4)序列的线性加权 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ n x(n)]=j[
d dω
X(ejω) ]
时域的线性加权，对应频域微分 时域的线性加权， (5)序列的反褶 (5)序列的反褶 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ x(-n)]=X(e-jω) ] )]=X 时域反褶， 时域反褶，对应频域反褶
返回
3.s 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
σ = 0, s = j
H(j
) = H(s) s=j
4.z平面单位圆上的z 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变 DTFT） 换（DTFT）
z = 1, z = e
jω
X(jω) = X(z) z=ejω
返回
三．序列傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质
返回
一．定义
DTFT(DiscreteDTFT(Discrete-time Fourier transform)
x(t ) δT (t)
变换与序列的傅里叶变换(DTFT).
(圆内)
反因果序列
z R
1
X (z) x(n)zn
n
例： x(n) anu(n 1) (0 a 1)
解
X (z) Z
x(n)
1
n
az 1
n
n 1
a 1 z
n
1
a 1 z a1z
z 1 z a 1 az1
z a
j Im[z]
anu(n 1)
n 0
Re[z]
(圆环)
园环内极点——因果子序列 z变换的极点 园环外极点——反因果子序列 z变换的极点例： Nhomakorabeax(n)
an bn
n0 (0 a b 1)
n 1
解
X (z) Z
x(n)
1
1 az
1
1
1 bz1
2z2 (a b)z (z a)(z b)
a z b
jIm[z]
[注]双边序列z变换的收敛域边界为
z变换式一定要注明收敛域才能唯一地确定序列
➢ z变换收敛域的形式与序列的形式相对应：
n
x(n) z n R z R
n
z平面
j Im[s]
jΩ
j Im[z]
0
s平面
(s j )
σ
Re[s]
0
z平面
z平面 两个特殊点—— 0 和∞点 有限 z 平面（0 < |z| < ∞ ）
Re[z]
X (z) x(n)zn n
n=0 时，与z 无关
L L x(2)z2 x(1)z x(0) x(1)z1 x(2)z2 L L
根据非零值范围的不同，序列分为：
有限长序列
n1 n n2
反因果序列
z R
1
X (z) x(n)zn
n
例： x(n) anu(n 1) (0 a 1)
解
X (z) Z
x(n)
1
n
az 1
n
n 1
a 1 z
n
1
a 1 z a1z
z 1 z a 1 az1
z a
j Im[z]
anu(n 1)
n 0
Re[z]
(圆环)
园环内极点——因果子序列 z变换的极点 园环外极点——反因果子序列 z变换的极点例： Nhomakorabeax(n)
an bn
n0 (0 a b 1)
n 1
解
X (z) Z
x(n)
1
1 az
1
1
1 bz1
2z2 (a b)z (z a)(z b)
a z b
jIm[z]
[注]双边序列z变换的收敛域边界为
z变换式一定要注明收敛域才能唯一地确定序列
➢ z变换收敛域的形式与序列的形式相对应：
n
x(n) z n R z R
n
z平面
j Im[s]
jΩ
j Im[z]
0
s平面
(s j )
σ
Re[s]
0
z平面
z平面 两个特殊点—— 0 和∞点 有限 z 平面（0 < |z| < ∞ ）
Re[z]
X (z) x(n)zn n
n=0 时，与z 无关
L L x(2)z2 x(1)z x(0) x(1)z1 x(2)z2 L L
根据非零值范围的不同，序列分为：
有限长序列
n1 n n2
dtft公式
dtft公式DTFT公式DTFT全称为离散时间傅里叶变换，是数字信号处理中一种重要的分析工具。
DTFT可以将以时间为自变量的离散序列在频域上进行分析，其公式如下：$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}$$其中，$x(n)$为离散时间域信号，$X(\omega)$为其对应的离散频率域信号，$\omega$为角频率。
在DTFT公式中，$e^{-j\omega n}$是傅里叶变换中的核函数，也被称为旋转因子。
旋转因子的频率为$\omega$，控制了离散序列在频域上的变化。
DTFT公式常被用于信号分析、信号滤波、通信系统设计等领域。
下面我们通过一些例子，来说明DTFT公式的应用。
例1：信号分析考虑如下的离散时间域信号：$$x(n)=\sin\left(\frac{\pi}{4}n\right),\quad-\infty<n<\infty$$应用DTFT公式，可以求出其离散频率域信号：$$\begin{aligned}X(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}\\&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sin\left(\frac{\pi}{4}n\right)e^{-j\omega n}\\ &=\frac{1}{2j}\left(e^{j\frac{\pi}{8}}-e^{-j\frac{\pi}{8}}\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(e^{j\frac{\pi}{4}}\right)^n\delta(\omega-\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi}{n})\\\end{aligned}$$上式中，$\delta(\omega)$为单位脉冲函数，$\delta(\omega-\omega_0)$表示在$\omega=\omega_0$时，函数值最大的单个脉冲。
序列的傅里叶变换dtft
的关系。
公式
DTFT的公式为 X(k) = ∑ x(n) * e^(-j * 2 * pi * k * n / N)，其 中 x(n) 是输入序列，N 是序列
长度，k 是频率索引。
意义
通过DTFT，我们可以将信号从 时间域转换到频率域，从而更好 地分析信号的频率成分和频率特
性。
DTFT的性质
线性性
1 2
运算量
FFT（快速傅里叶变换）是DFT的一种快速算法， 相对于DFT大大减少了运算量。而DTFT没有快速 算法，计算量较大。
应用场景
FFT主要用于实时信号处理和频谱分析，而DTFT 主要用于理论分析和数学推导。
பைடு நூலகம்
3
结果
FFT的结果是离散的频谱，而DTFT的结果是连续 的频谱。
DTFT、DFT和FFT在实际应用中的选择
FFT的应用场景与限制
应用场景
FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理、频谱分析等领域，如音频处理、雷达信号处理、通信系统 等。
限制
虽然FFT算法提高了DFT的计算效率，但对于大规模数据，FFT仍然需要较高的计算资源和时间。此外 ，FFT算法对于非周期性信号和非线性信号的处理效果不佳。
DTFT与DFT/FFT的关系和区
计算公式
DTFT的计算公式为 X(k) = N∑_{n=0}^{N-1} x(n)e^{j*2*pi*kn/N}，其中 x(n) 是离散时间信号，N 是信号长度，k 是频 率索引。
计算步骤
根据计算公式，DTFT的数值计算步骤包括将离散时间信号展开成多 项式形式，然后对每个频率分量的指数进行求和运算。
利用计算机编程语言实现DTFT计算
编程语言
可以使用各种编程语言实现DTFT 的计算，如 Python、C、Matlab 等。
公式
DTFT的公式为 X(k) = ∑ x(n) * e^(-j * 2 * pi * k * n / N)，其 中 x(n) 是输入序列，N 是序列
长度，k 是频率索引。
意义
通过DTFT，我们可以将信号从 时间域转换到频率域，从而更好 地分析信号的频率成分和频率特
性。
DTFT的性质
线性性
1 2
运算量
FFT（快速傅里叶变换）是DFT的一种快速算法， 相对于DFT大大减少了运算量。而DTFT没有快速 算法，计算量较大。
应用场景
FFT主要用于实时信号处理和频谱分析，而DTFT 主要用于理论分析和数学推导。
பைடு நூலகம்
3
结果
FFT的结果是离散的频谱，而DTFT的结果是连续 的频谱。
DTFT、DFT和FFT在实际应用中的选择
FFT的应用场景与限制
应用场景
FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理、频谱分析等领域，如音频处理、雷达信号处理、通信系统 等。
限制
虽然FFT算法提高了DFT的计算效率，但对于大规模数据，FFT仍然需要较高的计算资源和时间。此外 ，FFT算法对于非周期性信号和非线性信号的处理效果不佳。
DTFT与DFT/FFT的关系和区
计算公式
DTFT的计算公式为 X(k) = N∑_{n=0}^{N-1} x(n)e^{j*2*pi*kn/N}，其中 x(n) 是离散时间信号，N 是信号长度，k 是频 率索引。
计算步骤
根据计算公式，DTFT的数值计算步骤包括将离散时间信号展开成多 项式形式，然后对每个频率分量的指数进行求和运算。
利用计算机编程语言实现DTFT计算
编程语言
可以使用各种编程语言实现DTFT 的计算，如 Python、C、Matlab 等。
序列的DTFT
~ ~( n ) IDFS X ( k ) 反变换： x 1 N ~ X ( k )e
j 2 nk N
1 N
~ nk X (k )WN
k 0
N 1
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k ) DFS [ x(n )] x(n )e
n 0 N 1 j 2 nk N nk x(n )WN n 0 2 nk N N 1 k 0 N 1
~ X (k ) ~ X (k )
为周期序列，周期为N。
周期序列的DFS小结
• DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然 是无穷长序列，但是只要知道它一个周期 的内容（一个周期内信号的变化情况）， 其它的内容也就都知道了，所以这种无穷 长序列实际上只有N个序列值的信息是有用 的，因此周期序列与有限长序列有着本质 的联系。
k
2 ，代入 0T N
~ 因 ~ (nT )是离散的，所以 X ( k0 )应是周期的。 x ~ 而且，其周期为 2 / T N0 ，因此 X (k0 )
应是N点的周期序列。
又由于 j 2rn e e e e 所以求和可以在一个周期内进行，即
2 j ( k rN ) n N
T0为周期
X (k )e jk 0t
基频：0 2 / T0 k次谐波分量：e jk0t 基频：0 2 / N k次谐波分量：e jk0n
N 为周期的周期序列： x ( n)
k
X ( k )e jk0n
周期为N的正弦序列其基频成分为：
e1 (n) e
•
x a (t )
~
n
jmx序列的傅里叶变换(DTFT)
位发生了变化,即 : yss (n) = A H (e jω ) sin( nω + ϕ (ω )).
其中 : DTFT [ h( n)] = H (e jω ) = H (e jω ) e jϕ (ω ) → 频率响应
frequency response
4
H (e ) = H (e ) e
jω
jω
18
0 < a1 < 1
低通
19
3 1 1 y(n) − y(n −1) + y(n − 2) = x(n) + x(n −1) 4 8 3
(2)
3 −1 1 −2 1 −1 Y ( z) − z Y ( z) + z Y ( z) = X ( z) + z X ( z) 4 8 3 1 1 −1 z(z + ) 1+ z Y (z) 3 3 = H(z) = = 3 1 2 X (z) 1− 3 z−1 + 1 z−2 z − z+ 4 8 4 8
Rez
1 z> 2
15
( 4) 求系统的单位样值响应 ; (5) 求该系统的频率响应 , 画出幅频特性曲线 .
1 z(z + ) 3 H(z) = 1 1 (z − )( z − ) 2 4
10 7 z z (4) H ( z ) = 3 − 3 1 1 z− z− 2 4
1 z> 2
10 1 n 7 1 n h(n) = [ ( ) − ( ) ]u(n) 3 2 3 4
n = −∞
x ( n ) e − jn ω ∑
∞
X (e )是以2π为周期的周期函数
jω
2
DTFT [ x(n)] = X (e jω ) = 1 IDTFT [ X (e )] = x(n) = 2π
其中 : DTFT [ h( n)] = H (e jω ) = H (e jω ) e jϕ (ω ) → 频率响应
frequency response
4
H (e ) = H (e ) e
jω
jω
18
0 < a1 < 1
低通
19
3 1 1 y(n) − y(n −1) + y(n − 2) = x(n) + x(n −1) 4 8 3
(2)
3 −1 1 −2 1 −1 Y ( z) − z Y ( z) + z Y ( z) = X ( z) + z X ( z) 4 8 3 1 1 −1 z(z + ) 1+ z Y (z) 3 3 = H(z) = = 3 1 2 X (z) 1− 3 z−1 + 1 z−2 z − z+ 4 8 4 8
Rez
1 z> 2
15
( 4) 求系统的单位样值响应 ; (5) 求该系统的频率响应 , 画出幅频特性曲线 .
1 z(z + ) 3 H(z) = 1 1 (z − )( z − ) 2 4
10 7 z z (4) H ( z ) = 3 − 3 1 1 z− z− 2 4
1 z> 2
10 1 n 7 1 n h(n) = [ ( ) − ( ) ]u(n) 3 2 3 4
n = −∞
x ( n ) e − jn ω ∑
∞
X (e )是以2π为周期的周期函数
jω
2
DTFT [ x(n)] = X (e jω ) = 1 IDTFT [ X (e )] = x(n) = 2π
z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)资料
常用的Z变换是一个有理函|z数|＝R，x－用两个多项式之|z比|＝R表x＋示：
X (z) P(z) Q(z)
8
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是 X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
0 | z |
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)， 如图所示。
11
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
jIm[z]
o
Re[z]
δ(n)的收敛域(全部Z平面)
12
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 例 求矩ˇ 形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收ˇ敛域。
解
N 1
X (z) RN (n)zn zn
n
(2-3)
7
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就
jIm[z]
是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即
Rx-<|z|<Rx+
收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中 的阴影部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当o然Rx-可以小到零R，e[z]R x+可以大到无穷大。
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
3
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二.变换域分析法
信号与系统的频域分析、‵复频域分析。 1.连续时间信号与系统：
拉普拉斯变换和傅里叶变换。 拉普拉斯变换可将微分方程转化为代数方程。
X (z) P(z) Q(z)
8
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是 X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
0 | z |
所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)， 如图所示。
11
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
jIm[z]
o
Re[z]
δ(n)的收敛域(全部Z平面)
12
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换 例 求矩ˇ 形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收ˇ敛域。
解
N 1
X (z) RN (n)zn zn
n
(2-3)
7
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就
jIm[z]
是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即
Rx-<|z|<Rx+
收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中 的阴影部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当o然Rx-可以小到零R，e[z]R x+可以大到无穷大。
1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域
分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统：
序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
3
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二.变换域分析法
信号与系统的频域分析、‵复频域分析。 1.连续时间信号与系统：
拉普拉斯变换和傅里叶变换。 拉普拉斯变换可将微分方程转化为代数方程。
8.9 序列的傅里叶变换(DTFT)
(2)
3 1 1 2 1 1 Y ( z) z Y ( z) + z Y ( z) = X ( z) + z X ( z) 4 8 3 1 1 1 z(z + ) 1+ z Y(z) 3 3 = H(z) = = 3 1 X (z) 1 3 z1 + 1 z2 z2 z + 4 8 4 8
16
(3) 画H ( z )的零极点分布图 , 并指出收敛域 ; ( 4) 求系统的单位样值响应 ; (5) 求该系统的频率响应 , 画出幅频特性曲线 .
2
或π
ω
10
例 8-22
x(n)
求一阶离散系统的频率响应。 求一阶离散系统的频率响应。
∑
y (n)
z 1
a1 < 1
y (n) a1 y (n 1) = x(n)
Y ( z ) a1 z 1Y ( z ) = X ( z )
( z > a1 )
Y ( z) 1 z H ( z) = = = 1 X ( z ) 1 a1 z z a1
H(e jω )是周期函数, 若采样间隔为T =1, 则周期为2π.
6
通带
LP
0
ωs
2
ωs
ω
BP
HP
BS
AP
7
二、频响特性的几何确定法
H ( j ω ) = H ( s ) s = jω H ( e ) = H ( z ) z = e jω
M
jω
H ( z) = k
∏ (z z ) ∏ (z p )
如果Z变换的收敛域不包括单位圆， 如果Z变换的收敛域不包括单位圆， 则其离散时间傅里叶变换就不存在。 则其离散时间傅里叶变换就不存在。
序列的傅里叶变换(DTFT)——非周期序列的频谱
2
e j t e jn ：前者是连续信号不同频率的复指数 分量；后者是序列在不同频率的复指数分量。 ：前者是模拟角频率；后者是数字角频率。 x(t) x(n)：x(t)连续时间信号在时域的表示，可 分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加，分量的 复振幅为X()；x(n)是离散时间信号在时域的表示，可 分解为不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为 X(e j)。 X( ) X(e j) ：X( )是连续信号的频谱密度， 是频谱的概念；X(e j)是序列的傅里叶变换，与X( ) 在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作 用，可以看作是序列的频谱。
H(e j)
1 h(n)
c
c=/4
0
n
1 j 解： h(n) = IDTFT[ H(e ) ] 2
H (e j )e jn d
sin n 1 1 jn 4 e d Sa ( n ) 2 / 4 n 4 4
/4
8
3.4 离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series
N 1 n 0
e
2 ( k r )n N
改变求和顺序
1 N
N 1 n 0
e
j
2 ( k r )n N
1 1 1 e 2 j (k r ) N 0 N 1 e
n 1 j 2 rn N
j
2 (k r ) N N
(k r ) (k r )
也就是
n
x (n)
存在条件：序列必须绝对可和。
5
例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ，求此序列的 傅里叶变换X(e j) 。 解： X(e j) = DTFT[ x(n) ]
e j t e jn ：前者是连续信号不同频率的复指数 分量；后者是序列在不同频率的复指数分量。 ：前者是模拟角频率；后者是数字角频率。 x(t) x(n)：x(t)连续时间信号在时域的表示，可 分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加，分量的 复振幅为X()；x(n)是离散时间信号在时域的表示，可 分解为不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为 X(e j)。 X( ) X(e j) ：X( )是连续信号的频谱密度， 是频谱的概念；X(e j)是序列的傅里叶变换，与X( ) 在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作 用，可以看作是序列的频谱。
H(e j)
1 h(n)
c
c=/4
0
n
1 j 解： h(n) = IDTFT[ H(e ) ] 2
H (e j )e jn d
sin n 1 1 jn 4 e d Sa ( n ) 2 / 4 n 4 4
/4
8
3.4 离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series
N 1 n 0
e
2 ( k r )n N
改变求和顺序
1 N
N 1 n 0
e
j
2 ( k r )n N
1 1 1 e 2 j (k r ) N 0 N 1 e
n 1 j 2 rn N
j
2 (k r ) N N
(k r ) (k r )
也就是
n
x (n)
存在条件：序列必须绝对可和。
5
例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ，求此序列的 傅里叶变换X(e j) 。 解： X(e j) = DTFT[ x(n) ]
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表示
1 π X ejω ejnω dω 2π π
DTFT x n X ejω x n ej nω
n
IDTFT X ejω
xn
1 2π
πX
π
ejω
ej nω dω
二．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系第5 页
第
1．三种变换的比较
6
页
变换名称 信号类型 变量
t
xn
x(nT ) ejnΩT
n
令x(nT ) x(n), ΩT ω
1 O 1 2 3
n
F x(t)δT (t)＝ x(n)ejnω F xn X ejω
n
与z变换之关系
jIm s 虚轴(s j )
O
Re s
第 3
页
jIm z
O
单位圆
(z ej ) 1
Re z
X z xnzn n
n
2．频率的比较
第 8
页
模拟角频率 Ω，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ω，量纲：弧度； ejω是周期为 的2 π周期函数 关系：ω ΩT
第
3．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
9 页
σ 0, s jΩ
H jΩ H s s jΩ
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
z 1, z ejω
X jω X z zejω
令z ejω , z 1,即单位圆上的z变换
周期为
2
X ejω X z zejω
逆变换
第 4
页
xn 1
2π j
z 1 X z zn1 d z
1 2π j
z 1 X ejω ejnω ejω d ejω
1 π X ejω ejnω ejωje jωdω 2π j π
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
jΩ
s σ jΩ
z esT
拉氏变换
Xs s xnT esnT
n
第 7
页
esT z,
nT n
z变换
X z xn zn n
s j, T ,
nT n
对于离散序列 xn：
z ejω
傅氏变换
X ejω x n ejnω
§8.9 序列的傅里叶 变换（DTFT)
北京邮电大学电子工程学院
一．定义
第 2
页
DTFT:Discrete-time Fourier transform
为研究离散时间系统的频
xtT t
率响应作准备，从抽样信
号的傅里叶变换引出：
Fx(t)δT (t)
F
x(nT
)δ
(t
nT
)
n
T O T 2T 3T