正多边形的计算

正多边形的计算之万法归宗解直角三角形

仪陇县银山初级中学董兴胜各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆和内切圆的圆心重合叫正多边形的中心。外接圆半径叫正多边形的半径.内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形的每

一边所对的圆心角叫中心角,中心角的度数是

n

360。

笔者在教学中，发现学生对涉及有关正多边形的计算时，比如计算正多边形的边长，半径，正多边形的周长，正多边形的面积，或者是两个正多边形有关比值的计算，往往无从下手，表现在一遇到题就去画图，下手就算，既费时，又方向不清，结果往往是无功而返。通过多年的教学经验总结，提出了化归思想，即任何正多边形的计算问题都可以转化为一个重要的直角三角形，从而将正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。

首先来认识一下正多边形的基本知识，仅以N＝３，４５６为例。

一计算正N边形的内角（如下图）

很容易知道正n边形的每个内角都等于

二将正N边形分割成等腰三角形（如下图所示）

设O为各正多边形的中心，即外接圆和内切圆的圆心，正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．

三将正N边形分割成直角三角形（如下图所示）

这一步只需要作正多边形的边心距，边心距又把上一步n 个等腰三角形分成了个２N 个直角三角形，这些直角三角形也是全等

的．因此正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。

通过这三步，实质是把正多边形的问题向直角三角形转化．由于这些直角三角形的斜边都是正n 边形的半径R ，一条直角边是正n 边形的边心距r n ，另一条直角边是正n 边形边长a n 的一半，一

个锐角是正n 边形中心角 的一半，即 ，所以，就把正n 边形的有关计算归结为解直角三角形问题．为了让学生理解深刻，容易记忆，笔者特总结出如下的口诀和图形：

一个中心，两条半径，

两半径之夹角等于中心角之一半，半径夹角之对边等于边长之一半

说明：一个中心指外接圆和内切圆二心合一，两条半径指外接圆半径R ｎ为直角三角形斜边，内切圆半径ｒｎ为一直角边，夹角

度数为180/n 。另一直角边2

a n 为边长的一半。

四 运用举例：

1 正六边形ABCDEF 的半径是R,求正六边形的边长a 6 面积

S 6.

解：按此法只需要作出如下的直角三角形

其中OH=r 6 ， OA=R 6 ， AH=26a

， OH ⊥AB ，∠AOH=6180 =30° ∵OA AH

= 30sin

∴ 30sin ⋅=OA AH

∴R AH 2

1= ∴R AH a ==26 ∵R

r 630cos =

∴R r 236= S 6=26623362321621R R R r a =⋅⋅⋅=⨯⋅⋅ 举一反三，据此可求出圆的内接正三角形，正方形的边长，面积

2 求一个圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长比 解：设圆的半径为R ，三个重要直角三角形如图所示

显然R 3=R 4=R 6=R,由第一个图中直角三角形中三角函数关系

得，sin60゜=OA AH 可得AH ＝OA sin60゜，

进一步得出a 3=2 OA sin60゜=2R sin60゜

同理可得a 4=2R sin45゜，a 6=2R sin30゜比较可得如下式子： a 3: a 4: a 6= sin60゜: sin45゜: sin30゜=1:2:3

可举一反三，求出周长比，面积比，边心距之比等。

当然还有很多结论可以据此归纳，总的解题思想就是将复杂的正多边形问题转化为我们所熟悉的直角三角形，体现了化归思想，万变不离其宗，只需要记住一个图一个口诀，稍加练习，学生都能应付自如，再不会出现盲目的一遇到题目就开始找圆规画图，拉开架势四处连线，被众多的题目牵着走。通过这种转化体现了将数学问题模型化，学生就会形成经验技能，运用这种转化方法，也能体现有效教学理念，让学生在很短时间掌握精要，以一当十，以不变的图形口诀应万变的图形题型，同时也能将解直角三角形的知识加以运用，使知识更加系统化结构化。