奇偶函数的性质及其应用

奇偶函数的性质及其应用

一、知识点总结

奇偶函数的性质

1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：

a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；

c.图像关于原点（0,0）对称；

d.若0∈d则f（0）=0;

e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。

2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：

a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;

b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；

c.图像关于y轴对称；

d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性

二、奇偶函数性质的应用

热点题型一：利用奇偶性求参数的值

例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b 的值为 .

解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0

a-1+2a=0，解得b=0,a=

故a+b=.

点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）

为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.

例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.

解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数

∴f（x）=0，

即：=0，∴a=1

解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数

∴f（-x）=-f（x）

即：=-

整理得（2a-2）（2x+1）=0

∴2a-2=0

解之得a=1

点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。

热点题型二：利用奇偶性求函数解析式

例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。

解：当x0

∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）

∴f（-x）=-x（1-x）

∵f（x）是r上的奇函数

∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）

∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x （2）

综合（1）（2）得

点评：对于偶函数有f（-x）=f（x）=f（|x|），可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。

热点题型四：利用奇偶函数图像解题

例5 已知f（x）是定义在r的偶函数且f（2）=0，在区间[0，+∞)递增，求f（x）的解集 .

分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如：

点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.

热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题

例6 已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则（）

（-25）

（80）

（11）

（-25）

解：∵f（x）是r上的奇函数

∴f（-x）=-f（x）

∵f（x-4）=-f（x）

∴f（x-4）=f（x）

∴的图像关于直线x=2对称

又f（x）的图像关于点（0,0）对称

∴f（x）是周期函数且最小正周期t=4（2-0）=8

f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）

∵f（x）在 [0,2]是增函数

∴f（x）在[-2,0] 上是增函数

∴f（-1）

即：f（-25）

故选d.

点评：本题综合的函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，在知识的交汇处命题，考察了了学生的综合应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1）若函数f（x）关于直线x=a，x=b 对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=2b-a.

2）若函数f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=2b-a.

3）若函数f（x）关于点（a，0），直线x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=4b-a.