极小值原理及应用
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离散系统的极小值原理
u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]
极小值原理及其应用
假设同定理5-1。
若 u* (t) 和 t f * 是使性能指标取最小值的最优解，x* (t)
为相应的最优轨线，则必存在n 维向量函数
，
使得 (t )
x*(t)和, u*(t), t f满* 足如(下t)必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
(t) H
x
式中哈密顿函数
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x* (t), (t), u* (t), t]
min
u (t )
H[x* (t
x(t f
)
（5-4）
③ 哈密顿函数相对最优控制为极小值
H (x*, u*, ) min H (x*, u, ) （5-5） u (t )
④ 哈密顿函数沿最优轨线保持为常数
当 t f 固定时
H[x* (t), u* (t), (t)]
（5-6）
H[x* (t f ), u* (t f ), (t f )] const
x为* (为t) 为相应的最优轨线，则必存在非零常向量 及 n 维向量函数 (t) ，使得 x*(t), u*(t), t f * 和 (t) 满足如下必要条件：
① x(t) 及 (t)满足下述正则方程：
x(t) H
式中哈密顿函数
(t) H
x
H (x, ,u) T (t) f (x,u)
H (x, ,u) L(x,u) T (t) f (x,u)
② x(t) 及 (t)满足边界条件：
x(t0 ) x0
(t f ) 0
③ 哈密顿函数相对最优控制取绝对极小值
H[x*(t), (t), u*(t)] min H[x*(t), (t), u(t)] u (t )
最优控制课件第3章
第三章 极小值原理及应用
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
Dong Jie 2014. All rights reserved.
经典变分法局限性： 1、应用前提： a ）控制量 u(t)的取值无约束。 b ） f、L、Φ等函数对其自变量二次连续可微，要求哈密 尔顿函数关于控制变量的偏导数存在 。 2、实际控制要求：
a ）控制量u受不等式约束，如：M i (u ) 0 ，i=1,2,3……
b ）性能指标有时关于u并不可微，要求哈密尔顿函数 关于控制变量的偏导数不存在 。
一般:对于实际系统根据物理意义有最优解 极小值原理 有唯一解－－ 最优解
－－－－－－－－
－－－－－－－－
但是，对于线性系统可以证明极小值原理既是泛函取最小 值的必要条件，也是充分条件。
Optimal Control Theory
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Date: File:
05.04.2015 OC_CH3.6
Optimal Control Theory & its Application
②在最优轨线上，与最优控制u*相对应的H函数取绝对极小 值，即 或 沿最优轨线
③H函数在最优轨线终点满足
Optimal Control Theory
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Optimal Control Theory & its Application
取哈密尔顿函数为
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x* 和最优协态矢量λ*满足下列关系式： ①沿最优轨线满足正则方程
当g中不含x时
Optimal Control Theory
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第7章 极小值原理
−1≤ u ≤1
求最优控制和最优轨迹，使如下性能指标取得极小值。
T H = L(x,u,t) +λ f (x,u, t) 解：哈密尔顿函数为 − x1 +u = [λ λ2] 1 1 = λ (−x1 +u) +λ2x1 x1 & λ* = λ* −λ* 2 1 1 & = − ∂H −(∂g )T γ 协状态方程： λ & ∂x ∂x λ* = 0 2
m H[x*， *， ， ] = H[x*， *， *， ] in λ u t λ u t
u∈ U
∂H ∂g = −( )T γ ∂u ∂u
§7－1 极小值原理
3) H 函数在最优轨线终点处的值决定于
∂Φ T ∂N +µ =0 H + ∂t f ∂t f t =t f
J = x1(1 )
§7－1 极小值原理
* * 运用极小值原理： H[x*,u*, λ ] = m H[x*, u, λ ] in u≤ 1 * * * * = m {λ (u − x1 ) +λ2x1} in 1 u≤ 1 * * * * = −λ x1 +λ2x* + m {λ u} in 1 1 1 u≤ 1
求满足如下不等式约束条件
u ≤1
t ∈[0, t f ]
x0 = [x10 x20]T
tf
的控制 u(t) ，使系统自某一初始状态
转移到状态空间原点的时间最短。即使如下性能指标取极小值：
J = ∫ dt
0
§7－2 时间最优控制问题
哈密尔顿函数为：
H[x(t)， (t)， (t)] =1+λ (t)x2(t) +λ2(t)u(t) u λ 1
最优控制第2章 极小值原理
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
2015-03-24
20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
2015-03-24
西工大最优控制课程 第五章 极小值原理及其应用-2
解得：
x1(t) 1 Rsin(t ) x2(t) Rcos(t )
消去t，得 ( x1 1)2 x22 R2
当 u(t) 1时， x1 x1 1
解得： x1(t) 1 Rsin(t ) x2(t) Rcos(t )
消去t，得 ( x1 1)2 x22 R2
两种情况下的相轨迹如图所示：
使系统从已知初始状态 x(t0 ) x0 转移到目标集中某
一终态x(tf)时，目标泛函取最小值，其中tf未知。
min J
u j (t ) 1
tf t0
dt
tf
t0,
j
1,2,, m
Hamilton函数
H[ x(t), u(t), (t), t] 1 T { f [ x(t), t] B[ x(t), t]u(t)}
U=-1
U=+1
• 最优轨线最后一段必为下列两条开关线之一
0 ( x1, x2 ) ( x1 1)2 x22 1, x2 0 0 ( x1, x2 ) ( x1 1)2 x22 1, x2 0
• 由于控制作用的切换时间为π，倒数第二段的开关线为
1 ( x1, x2 ) ( x1 3)2 x22 1, x2 0 1 ( x1, x2 ) ( x1 3)2 x22 1, x2 0
奇异最短时间控制系统
设在区间
t0
,
t
f
中，至少对一个分量，存在一个（或多
个）子区间 t1, t2
的 t t1 , t2 ，有
且t1
,
t2
j
t0
,
t
f
，使得对所有
n
qj (t ) bij [ x (t ), t]i (t ) 0
x1(t) 1 Rsin(t ) x2(t) Rcos(t )
消去t，得 ( x1 1)2 x22 R2
当 u(t) 1时， x1 x1 1
解得： x1(t) 1 Rsin(t ) x2(t) Rcos(t )
消去t，得 ( x1 1)2 x22 R2
两种情况下的相轨迹如图所示：
使系统从已知初始状态 x(t0 ) x0 转移到目标集中某
一终态x(tf)时，目标泛函取最小值，其中tf未知。
min J
u j (t ) 1
tf t0
dt
tf
t0,
j
1,2,, m
Hamilton函数
H[ x(t), u(t), (t), t] 1 T { f [ x(t), t] B[ x(t), t]u(t)}
U=-1
U=+1
• 最优轨线最后一段必为下列两条开关线之一
0 ( x1, x2 ) ( x1 1)2 x22 1, x2 0 0 ( x1, x2 ) ( x1 1)2 x22 1, x2 0
• 由于控制作用的切换时间为π，倒数第二段的开关线为
1 ( x1, x2 ) ( x1 3)2 x22 1, x2 0 1 ( x1, x2 ) ( x1 3)2 x22 1, x2 0
奇异最短时间控制系统
设在区间
t0
,
t
f
中，至少对一个分量，存在一个（或多
个）子区间 t1, t2
的 t t1 , t2 ，有
且t1
,
t2
j
t0
,
t
f
，使得对所有
n
qj (t ) bij [ x (t ), t]i (t ) 0
现代控制理论课件-第六章 极小值原理
⑴ 满足正则方程
x*
k
1
H
x*
k
，u* k ，* k 1
k
1，k
f x* k ，u* k ，k
*
k
H
x*
k
，u* k ，* xk
k
1，k
⑵ 相对于最优控制，哈密尔顿函数达极小值，即
H x* k ，u* k ，* k 1，k H x* k ，uk ，* k 1，k
⑶ 及满足以下边界条件及横截条件
x*
0
x0，*
N
x* N ，N x N
同理，对不同的边界情况，只需选取相应的边界条 件及横截条件，条件1、2不变。当控制变量不受限 制时，则条件2与控制方程
等效。
H
x*
k ，u* k ，* uk
k
1，kபைடு நூலகம்
0
§ 6.3 极小值原理解最短时间控制问题
一般情况下，非线性受控系统的最短时间控制问题的 解析解是很困难的，本节只讨论线性定常受控系统的 最短时间控制问题。
比较上述极小值原理与变分法所得的结果，可以发现 两者的差别仅在⑵。 极小值原理的严格证明很复杂，下面的证明将重于物 理概念的阐述，尽量避免烦琐的数学推导。 设系统动态方程为：
xt f xt，ut，t
边界条件为：xt0 x0 ，为简单起见，假设终端时刻 t f
及终端状态 x t f 均为自由。控制变量 ut 受有界闭集 约束，即 utU
性能指标为：
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
则使性能指标 J 达到极小的最优控制 u* t 及最优状态 轨线 x* t 必须满足以下条件：
5 最优控制-极小值原理
* j
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
第七章极小值原理与典型最优控_...
N[ x(t f ), t f ] 0
N T H (t f ) ( )v, t t f t f t f
N T (t f ) ( )v, t t f x x
13
极小值原理与变分学
区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数
x - n 维向量, f - n 维向量函数
u – m 维控制向量函数
容许控制
u Rm
- 是一给定的有界集合
假定终端时间 t f 满足 N[ x(t f ), t f ] 0
4
假设 f 对于 x , u 具有连续的偏导数
这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 u 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 x 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 u 和给定的初始条件 ， x(t 0 ) 在所考虑的控制区域内，式（ 1）确定了一个唯一 的容许解
T
8
特性指标为
J [ x(t ), t ] t t
tf
t t f
0
(t )}dt {H [ x(t ),u(t ), (t ), t ] (t ) x
T t0
9
积分可得
J { [ x(t ), t ] (t ) x(t )
T
t t f t t0
H 0 u(t ) R 1 (t ) BT (t ) (t ) u
A(t ) x B(t )u x
x(t 0 ) x 0
(t f ) Sx(t f )
27
确定闭环控制
假设 则得
N T H (t f ) ( )v, t t f t f t f
N T (t f ) ( )v, t t f x x
13
极小值原理与变分学
区别在于极值条件不同 极小值原理的极值条件是 Hamilton 函数
x - n 维向量, f - n 维向量函数
u – m 维控制向量函数
容许控制
u Rm
- 是一给定的有界集合
假定终端时间 t f 满足 N[ x(t f ), t f ] 0
4
假设 f 对于 x , u 具有连续的偏导数
这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数 u 保证了存在唯一的属于式（1）的容许轨线 x 可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数 并假定对于一个容许的 u 和给定的初始条件 ， x(t 0 ) 在所考虑的控制区域内，式（ 1）确定了一个唯一 的容许解
T
8
特性指标为
J [ x(t ), t ] t t
tf
t t f
0
(t )}dt {H [ x(t ),u(t ), (t ), t ] (t ) x
T t0
9
积分可得
J { [ x(t ), t ] (t ) x(t )
T
t t f t t0
H 0 u(t ) R 1 (t ) BT (t ) (t ) u
A(t ) x B(t )u x
x(t 0 ) x 0
(t f ) Sx(t f )
27
确定闭环控制
假设 则得
第04章：极小值原理及其应用
H
H U
存在，且
H 0 U
得出的
H 0 U
绝对极小，如图4-1（a）所示时， 即为条件（4-21）式。所以极小值原理可以解决变 分法所能解决的问题，还能解决变分法不能解决的 问题。如何应用条件（4-21）式，这是一个关键， 我们将用具体例子来说明。
4.3 最短时间控制问题
节省时间意味着提高生产率或先发制人取得军事 行动的胜利。所以人们很早就开始了对最短时间控 制的研究，这方面的研究结果很多，这里先就简单 的重积分系统的最短时间控制展开讨论。 在前面的绪论中列举了火车快速行驶问题。设火车质 量m=1，把运动方程写成状态方程形式，令 x1 x, x2 x 可化为下面的最短时间控制问题。
T H f |U U ( ) |U U X X
（4-10）
（4பைடு நூலகம்11）
T G (t f ) X (t f ) X (t f )
（4-12）
显然，方程（4-9）和（4-11）为共轭方程，立即 求得积分
1
t
当 U U U 时，
X (t ) X (t1 )
t
t1
f ( X ,U U , t )dt
两式相减可得这一段的 X (t )
X (t ) [ f ( X ,U U , t ) f ( X ,U , t )]dt （4-6） t
这时又有系统的状态方程为而状态变量的变分满足方程49引入变量及哈密顿函数410411412显然方程49和411为共轭方程立即求得积分即最终求得了由于的有限改变而引起的最优轨线的变化特别是末值状态的变化下面研究由引起的最优性能指标的改变由于故有414综合48412413和414等式可以建立与有限改变量之间的关已知中的任意时刻并以表示或用哈密顿函数的表达式410表示可得415于是定常系统末值型性能指标固定末端受约束情况下极小值原理得以证明
H U
存在，且
H 0 U
得出的
H 0 U
绝对极小，如图4-1（a）所示时， 即为条件（4-21）式。所以极小值原理可以解决变 分法所能解决的问题，还能解决变分法不能解决的 问题。如何应用条件（4-21）式，这是一个关键， 我们将用具体例子来说明。
4.3 最短时间控制问题
节省时间意味着提高生产率或先发制人取得军事 行动的胜利。所以人们很早就开始了对最短时间控 制的研究，这方面的研究结果很多，这里先就简单 的重积分系统的最短时间控制展开讨论。 在前面的绪论中列举了火车快速行驶问题。设火车质 量m=1，把运动方程写成状态方程形式，令 x1 x, x2 x 可化为下面的最短时间控制问题。
T H f |U U ( ) |U U X X
（4-10）
（4பைடு நூலகம்11）
T G (t f ) X (t f ) X (t f )
（4-12）
显然，方程（4-9）和（4-11）为共轭方程，立即 求得积分
1
t
当 U U U 时，
X (t ) X (t1 )
t
t1
f ( X ,U U , t )dt
两式相减可得这一段的 X (t )
X (t ) [ f ( X ,U U , t ) f ( X ,U , t )]dt （4-6） t
这时又有系统的状态方程为而状态变量的变分满足方程49引入变量及哈密顿函数410411412显然方程49和411为共轭方程立即求得积分即最终求得了由于的有限改变而引起的最优轨线的变化特别是末值状态的变化下面研究由引起的最优性能指标的改变由于故有414综合48412413和414等式可以建立与有限改变量之间的关已知中的任意时刻并以表示或用哈密顿函数的表达式410表示可得415于是定常系统末值型性能指标固定末端受约束情况下极小值原理得以证明
极小值原理
极小值原理极小值原理是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
极小值原理的核心思想是在给定条件下，某个函数在局部最小值点处的导数为零。
在这篇文档中，我们将深入探讨极小值原理的定义、应用和相关概念。
首先，我们来了解一下极小值原理的定义。
在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个数a，使得在a的某个邻域内，对任意的x，都有f(a)≤f(x)，那么称f(a)是函数f(x)在该邻域内的一个极小值。
而极小值原理则指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极小值点。
极小值原理在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学中，许多自然现象都可以通过极小值原理来进行描述和解释。
例如，光的传播路径往往是使光程取极小值的路径，这就是光的折射定律的基础。
在工程学中，极小值原理也被广泛应用于优化问题的求解，例如最优化设计和控制系统的设计等。
除了极小值原理的基本概念外，我们还需要了解一些相关的概念和定理。
例如，极值定理指出，如果函数f(x)在点a处可导，并且在该点的导数为零，那么a可能是f(x)的极值点。
另外，拉格朗日乘数法是一种利用极小值原理求解约束条件下极值的方法，它在优化问题中有着重要的应用。
在实际问题中，我们常常需要利用极小值原理来求解最优化问题。
例如，在工程设计中，我们希望找到一个函数的极小值点，以获得最优的设计方案。
而在物理学中，我们也需要利用极小值原理来描述和解释各种自然现象。
因此，深入理解和掌握极小值原理对于解决实际问题具有重要意义。
总之，极小值原理是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过深入学习和理解极小值原理，我们可以更好地解决实际问题，提高问题求解的效率和准确性。
希望本文对您对极小值原理有更深入的了解和认识，谢谢阅读！。
教材第3章极小值原理
（3—13） （3—14）
∫ δ J t f
=∂ ∂tf
⎢⎣⎡Φ + μ T N +
tf tf
+δ
tf
Ψdt
⎤ ⎥⎦
t=t f
δ
tf
=
⎡ ⎢ ⎢⎣
∂Φ ∂t f
+ ∂N T ∂t f
⎤ μ + Ψ⎥ δ t f
⎥⎦ t =t f
（3—15）
[ ] ∫ δ
Jx
=d
xT (t f
)∂ ∂x
Φ + μT N
dt
∫ δ
Jw
=
δ
wT
(t
f
)
∂Ψ ∂ w
t=t f
−
tf t0
δ
wT
d dt
∂Ψ ∂ w
dt
∫ δ
Jz
=δ
zT
(t f
)
∂Ψ ∂ z
t=t f
−
tf t0
δ
zT
d dt
∂Ψ ∂ z
dt
把式（3—15）～式（3—19）代入式（3—11）整理可得
（3—17） （3—18） （3—19）
δ J '=δ Jt f +δ Jx +δ Jw +δ Jz
x = f [x(t) , u(t) , t]
x(t) ∈ Rn
（3—44）
始端条件为
x(t0 ) = x0
终端约束为
（3—45）
N [x(t f ) , t f ] = 0 N ∈ Rm m ≤ n
控制约束为
，t f 待定
（3—46）
g[x(t) , u(t) , t] ≥ 0 u(t) ∈ Rr g ∈ Rl l ≤ r ≤ n
第八章 极小值原理
均自由。经过同变分法中的类似推导，最后得
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0
Ja
x t x
f ，t tf
f
tf
T x
tf
x
tf t f
，t
f
H
x
tf
，u
tf
，
tf
，t f t f
tf t0
H
x，u，λ，t
x
&T
x
H
x，u，λ，t
u
T
u
H
x，u，λ，t λ
*T tbiu*i t *T tbiui t
由此可得最优控制规律为
L.S.Pontryagin
第一节 连续系统的极小值原理
设连续系统动态方程为：
x&t f xt，ut，t
(8-1)
边界条件可以固定、自由或受轨线约束，控制变量 ut 属于m维 有界闭集U，即
性能指标为：
utU Rm
(8-2)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
(8-3)
J x
tf
，t f
tf t0
F
xt，ut，t dt
为极小。
(8-9)
设对应于最优情况的性能指标为 J u* ，仅考虑由于 u* t 偏离 ut
时的性能指标为 J u ，则按最优的定义，下式必然成立
J u J u* J 0
设 u* t 偏离 ut 足够小 ut u* t ut
(8-10)
H x* t，u* t ，λ* t ，t c
t t0，t f
(8-31)
如果终端时刻 t f 自由，则
H x* t，u* t ，λ* t ，t 0
极小值原理——精选推荐
§ 7. 3 极小值原理极小值原理是前苏联数学家庞特里亚金首提. 是变分法的延伸和推广,亦称极大值原理是解决控制和状态受约束最优控制问题的有力工具. 极小值原理的一种表述及其应用(不证) 1. 极小值原理 定理7.3 设==00()[(),(),],()xt f x t u t t x t x ， 指标=+⎰0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T ，约束∈()()u t U 容许控制集，Hamilton 函数=+(,,,)[,,][,,]TH x u λt F x u t λf x u t ，则*()u t 是最优控制的必要条件是:*()u t 和相应的*()x t , *()λt 满足系统方程，∂=∂H x λ； (7.16)伴随方程，∂=-∂H λx； (7.17) 极值条件，******≤∈[,,,][,,,],,H x u λt H x u λt u u U ；(7.18)边界条件，∂=∂()()x T SλT x 。
(7.19)对(7.12)~(7.15’)，改变的只是极值条件和边界条件。
说明：1) 只有*()u t 才能使Hamilton 函数为全局最小(故名)若无控制约束, 则有∂∂=/0H u .2)边值条件自然含=00()x t x →确定状态和伴随向量. 3)非充要条件。
对线性系统，条件是充要的。
4)解题步骤类似§2中用变分法<1> 作Hamilton 函数→极值条件→待定u (t )； <2> 若伴随方程中无x ，则求出λ；<3>若待定最优控制中不含x →即已求得()u t ；(否则就要解规范方程组)，<4>求出,x J **(若要计算)。
2. 自由终端状态的最优控制举例例 7.5 求状态方程为==,(0)1xu x ， 指标为=⎰1min ()d J x t t ，控制约束为()[1,1]u t ∈-，的最优控制。
最优控制第六章极小值原理
以 w u，w * u*代入上式，便得
H x*, *,u,t H x*, *,u*,t
(35)
上式表明，如果哈密尔顿函数H看成 utU 的
函数，那么最优轨迹上与最优控制u*(t)相对应的
H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的
一个重要结论。
定理 设系统状态方程为
xt0 x0
Nxt f ,t f 0
(48)
这就是著名的极小值原理。
下面对定理作些说明： 1) 定理的第一、第二个条件，即式(41)～式
(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题， 且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其
中，第二个条件：min H x*, *,u,t H x*, *,u*,t uU
(45)
u u
3) H函数在最优轨迹终点处的值决定于
H
Φ
T
N
0
(46)
t f
t f tt f
4) 协态终值满足横截条件
t f
Φ
x
t
f
N T
x t f
tt f
(47)
5) 满足边界条件
J1
Ψ
x T
Ψ x
Φ t f
N T t f
tt f
t f
d xT
tf
Φ
x
N T x
Ψ x
t t
f
wT
Ψ w tt f
zT
Ψ z
tt f
09讲 最优控制-极小值-时间最短
18
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
1 u sgn x1 x2 x2 2
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最优控制——极小值原理 3. 连续系统极小值原理
x1 0 1 x1 t f 0 , 0 x t x2 0 1 f 2 u 1
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
双积分环节时间最优控制问题
min J tf 1 0 1 x1 0 x u x 2 0 0 x2 1
线性定常系统时间最优控制问题的提法
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应用极小值原理确定最优控制系统
Ｊ ， ：ｆ 一ｂ：Ｊ ｄ ｔ
即 Ｆ ：１
线 ｔ
线性 调节器要求 从任意 的初 始状 态调节 回平 衡状态 ， 其调节 过程 中， 状态变量 就是偏 差， 而偏差 又有正负 ， 因此性能 指标 中取 ｘ的平方 。在 ｘ的 ｎ个分量 中， 大小 各不相 同 ， 性 在
ｉ ｔ ＝ｆｘ ｔ． 【）ｔ （） ｉ 【）ｕ Ｉ 】 Ｉ ｔ， 给定 的初 始状 态 为 ｘ ） （ ＝ｘ
式 中 ｘ ｔ为 ｎ维状态向量 ， （ 为有界 闭集Ｑ 的 Ｐ 控制 向量 ， 下列 不等式约束 （ ） ｕＩ ） 维 受
ｇ ｘ ｔ， （） Ｉ ≥０ ｔ （） ｕ ｔ ，】
ｇｘ ｔ， （ ，】 ｍ维连 续可 微 的向量函数 ， 中 ｍ≤Ｐ ｔ （ Ｕ ｔ ｔ是 ） ） 其 。系统 由初始状 态 终端 状态 ｘｔ ， （） 终端时 间 ｔ 未确定 ， 而终端状 态 ｘｔ要 满足下列 终端约束 ： （） ｒ
能指标 中不能同等对 待 ， 用加权 的方法予 以区别 ， 即每个 Ｘ 以加权 系数 ｑ。 乘 ｌ 加权 后性能指 标为
Ｊ』； ｄＪ ｔｄ ＝ ｔ Ｑｔ ｔｎ ：ｔ ｘ
ｑ． ０ … ０ ０
式 中 Ｏ为加权 阵 即
０ ｑ２ ０ ０
Ｑ＝
０ ０ ０
在一般情 况下 ， Ｑ阵也 可 以不是对角 线矩 阵 ， 虑到 实际情况 ， 考 ｕ不能无穷 大 ， 对性 能指 标中 ｕ 应加 以约束 ， ｕ有约束 的性能 指标为 对
Ｊ ＋ｕＲ ｄ ＇ Ｕ］ ｔ ￣
式 中 Ｑ及 Ｒ阵都是 正定 的 ， Ｕ 当 为纯量 时 ， Ｒ亦为纯量 。
（ 下转第 ２ ６页 ）
维普资讯
鲫 第期 。 年 州
嚣 。Ｅ Ａ院 。 学Ａ Ｌ
即 Ｆ ：１
线 ｔ
线性 调节器要求 从任意 的初 始状 态调节 回平 衡状态 ， 其调节 过程 中， 状态变量 就是偏 差， 而偏差 又有正负 ， 因此性能 指标 中取 ｘ的平方 。在 ｘ的 ｎ个分量 中， 大小 各不相 同 ， 性 在
ｉ ｔ ＝ｆｘ ｔ． 【）ｔ （） ｉ 【）ｕ Ｉ 】 Ｉ ｔ， 给定 的初 始状 态 为 ｘ ） （ ＝ｘ
式 中 ｘ ｔ为 ｎ维状态向量 ， （ 为有界 闭集Ｑ 的 Ｐ 控制 向量 ， 下列 不等式约束 （ ） ｕＩ ） 维 受
ｇ ｘ ｔ， （） Ｉ ≥０ ｔ （） ｕ ｔ ，】
ｇｘ ｔ， （ ，】 ｍ维连 续可 微 的向量函数 ， 中 ｍ≤Ｐ ｔ （ Ｕ ｔ ｔ是 ） ） 其 。系统 由初始状 态 终端 状态 ｘｔ ， （） 终端时 间 ｔ 未确定 ， 而终端状 态 ｘｔ要 满足下列 终端约束 ： （） ｒ
能指标 中不能同等对 待 ， 用加权 的方法予 以区别 ， 即每个 Ｘ 以加权 系数 ｑ。 乘 ｌ 加权 后性能指 标为
Ｊ』； ｄＪ ｔｄ ＝ ｔ Ｑｔ ｔｎ ：ｔ ｘ
ｑ． ０ … ０ ０
式 中 Ｏ为加权 阵 即
０ ｑ２ ０ ０
Ｑ＝
０ ０ ０
在一般情 况下 ， Ｑ阵也 可 以不是对角 线矩 阵 ， 虑到 实际情况 ， 考 ｕ不能无穷 大 ， 对性 能指 标中 ｕ 应加 以约束 ， ｕ有约束 的性能 指标为 对
Ｊ ＋ｕＲ ｄ ＇ Ｕ］ ｔ ￣
式 中 Ｑ及 Ｒ阵都是 正定 的 ， Ｕ 当 为纯量 时 ， Ｒ亦为纯量 。
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最优控制--极大值原理
将 X * ,U* 代入J可得:
J = ∫ [ X *(t) +U*(t)]dt = 8.64
* 0
1
例2: m J (u) = in
1 1 2 2 ∫0 (x +u )dt 2
x = −x + u x(0) =10
求
•
0
u*a)对U没
约
b) |u| ≤ 0.3 解:a) λ(1) = 0
1 2 1 2 H = x + u + λ(−x + u) 2 2 ∂H =0 ∂u U* = −λ ∂H • = −x + λ λ =− x(0) =10 ∂x • λ(1) = 0 x = −x + u = −x − λ
X t 2) t0 , X (t0 ) = X0 给定， (t f )自由， f 未给定，
∂φ |t f 确定t f 边界条件： X (t0 ) = X0 , λ(t f ) = ∂X
3)
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
1−ts
λ(ts ) = e
所以
−1 =1, ts = 0.307
1 0.5
U* (t) =
0 ≤t < 0.307
0.307 ≤t ≤1
x(t) −1
x(t) =
•
0 ≤t < 0.307
x(t) − 0.5 0.307 ≤t ≤1
c1et +1
0 ≤t < 0.307
x(t) =
c2et + 0.5 0.307 ≤t ≤1
极小值原理
解：为简单计，取 2。问题是要确定最优控 u * (0), u * (1); N 制 最优轨迹x* (1)，x* (2)及最优性能泛函 * 2 [ x(0)],先考虑最后一 J 步，即由状态 (1)，转移到x(2)这一步。如果采用控制 (1),则有 x u 1 2 1 2 1 2 1 x(2) x(1) u (1), J1[ x(1)] u (1) Cx (2) u (1) c[ x(1) u (1)]2 2 2 2 2 最优控制u (1)应使由状态x(1)出发时J1[ x(1)]为最小，故有 J1[ x(1)] u (1) c[ x(1) u (1)] 0 u (1) cx(1) * c x(1) * x(1) 因此得u * (1) , J 1[ x(1)] , x (2) 1 c 2 1 c 1 c 实际上，它们都是这一 段初始状态x(1)的函数。
综上可得： c 最优控制为u (0) x ( 0) 1 2c c c * u (1) x(1) x(0) 1 c 1 2c 最优轨迹为x* (0) x0
*ห้องสมุดไป่ตู้
1 c x (1) x(0) 1 2c 1 1 x* (2) x(1) x(0) 1 c 1 2c
2）求 (t )以确定u的切换点 H 由协态方程 (1 )得＋＝－ ，其解为＝－ ＋Ce t 1 1 x 当t f 1时 (t f ) (1) 0, C e, 故切换点：令 1, 得t 1 ln 2 0.307
二、补充说明
1、式H [ x* (t ), u * (t ), * (t ), t ] H [ x* (t ), u (t ), * (t ), t ] 说明当u (t )和u (t )都从容许的有界集中取 值时，
综上可得： c 最优控制为u (0) x ( 0) 1 2c c c * u (1) x(1) x(0) 1 c 1 2c 最优轨迹为x* (0) x0
*ห้องสมุดไป่ตู้
1 c x (1) x(0) 1 2c 1 1 x* (2) x(1) x(0) 1 c 1 2c
2）求 (t )以确定u的切换点 H 由协态方程 (1 )得＋＝－ ，其解为＝－ ＋Ce t 1 1 x 当t f 1时 (t f ) (1) 0, C e, 故切换点：令 1, 得t 1 ln 2 0.307
二、补充说明
1、式H [ x* (t ), u * (t ), * (t ), t ] H [ x* (t ), u (t ), * (t ), t ] 说明当u (t )和u (t )都从容许的有界集中取 值时，
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H：哈密顿函数
(2)边界条件为
(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最大值,即
11
定理3-1极小值原理的中心内容是,使性能泛函达到 最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到 最小值 极小值原理。 定理3-2极大值原理的中心内容是,使性能泛函达到 最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到 最大值 极大值原理。
H 0 u
不能成立的，即 u有约束，或H对u不连续可微，
3.由状态方程和协态方程
H x λ H t λ x
及相应边界与横截条件求出 x t 与 λ t 。
4．将 x t 与 λ t 代入 ut ，可求出 u t
主要内容
3.1 极小值原理的提出
3.2 连续系统极小值原理
积分型最优控制问题 综合型最优控制问题
3.3 离散系统极小值原理（自学）
1
3.1 极小值原理的提出
古典变分法存在的问题
2
(1) 在一般情况下，可以将控制函数U(t)所受到的约束条件
利用如下形式的不等式来表示.
i [U (t )] 0
给定系统的状态方程 初态 X(t0)=X0，
终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约 束条件是 则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性 能泛函
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：
10
(1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存 在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t) 满足规范方程：
。
5. 验算。因为最小值原理解最优控制问题不是充分条件， 因此，解出后须代入性能指标J的表达式进行验算。
14
例 3-1 给定一阶线性系统和初始条件
其中控制作用u(t)（控制函数）的约束条件为 要求确定控制函数u(t) ，使性能泛函 达到极小值 。
12
用极小值（极大值）原理解最优控制问题的一般步骤
（1）列出哈密顿函数
（2）求出使H极小（或极大）时的最优控制 的关系。可分为两种情况： λ t xt
0 能成立的，就用此式求 u t和 a u 的关系； H
和
， u t
λ t ，xt
b
则用极小值原理分析H表达式,求出使H最小时的 u t 和 λ t ， xt 的关系式。但此时x与 λ 仍是未知数，下一 步求出 x、λ 后再代入求 u 。 13
i 1, 2,..., m
当控制函数U(t)受到上述不等式约束,并且最优控制
取决于闭集性约束的边界时，特别要求H/U(t)有定义， 古典变分法便不再适用了。
ā
(2) 在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数
[X ( tf ) ,tf ], L[X(t),U(t),t] ,
变量具有“充分”的可微性. 例如：
X ( t0 ) X 0
（2）边界条件为
(t f ) 0 （3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0ttf）取极值，即
H 0 U
5
说明：
(1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下， H 等价 0 U (2)在控制函数U(t)受到闭集性约束 的条件下，控 制方程 H 0 未必是最优控制问题的解的必要条件之一。 U a. b. Hamilton函数H [ X(t)，(t)， U(t)，t]在闭子集内可能 不存在极值点，以H/U 来求极小值点难以奏效。
8
说明: (1)用古典变分法求解控制向量无界时的泛函极值 问题是最小值原理的一个特例。 (2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值 是一致的。
令哈密顿函数为： 则 若令哈密顿函数为： 则 结果是一致的，只是二式中的协态变量(t)是互为反号的。
9
定理3-2 （积分型最优控制问题的极大值原理）
为容许控制域，是以U(t)为元素的m维实函数空间中的一
个闭子集。
容许控制
要求：确定满足约束条件的最优控制U*(t) ，使系统从给定的 初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函达到极小值。
4
如果不考虑约束条件 ，那么该最优控制 问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下： （1）设U*(t)是最优控制， X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则 必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t) ，使得X(t)与
结论：
控制方程
必要条件。
H 0 不是问题3-1所给定的最优控制问题解的 U
6
定理3-1 （积分型最优控制问题的极小值原理）
给定系统的状态方程 初态 X(t0)=X0，
终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约 束条件是 则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性 能泛函
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：
7
(1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存 在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t) 满足规范方程：
H：哈密顿函数
(2)边界条件为
(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最小值,即
f [X(t), U(t) ,t] 对它们的自
J u (t ) dt
t0
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tf
3.2 连续系统极小值原理
1、积分型最优控制问题
问题 3-1 初始条件 给定系统状态方程
X ( t0 ) X 0
(t ) f [ X (t ),U (t ), t ] X
终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，U(t)是m维控制变量， 其所受约束条件是：
(t) 满足规范方程
其中
控制函数 U(t) 不受约束 H X (t ) f [ X (t ),U (t ), t ] 或只受开集性的约束的 情况下的最小值原理 (t ) H X
H L[ X (t ),U (t ), t ] T (t ) f [ X (t ),U (t ), t ]