5 粘性流体运动的基本性质解析

5.2 粘性流体运动的旋涡扩散性
流体具有粘性是旋涡产生和消失的原因， 通过涡量输运方程可以说明旋涡的扩散性。 5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
不可压缩粘性流体的运动微分方程(N-S 方程)为 Du u 1 u u f p 2 u
Dt t

根据向量分析，有
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： 满足Laplace方程的函数φ称为调和函数，由调 和函数 φ 的极值原理可知， φ 在求解域内不可能有 极值，又由于流动边界为静止固体壁面，因而速 度势函数方程2φ=0只有常数解。在求解域内速度 势函数φ处处为常数，即流体的流动速度为零，流 体是静止的。这一结论与粘性流体是运动的这一 前提相矛盾，从而证明了在这种情况下粘性流体 运动必然有旋。
5.1 粘性流体运动的有旋性
由上述的分析可以说明，只有在粘性项 ν2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的 情况下，粘性流体运动才可能是无旋的。 例如：①不可压缩粘性流体绕旋转圆柱 体的定常流动；②不可压缩粘性流体在两个 共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋 转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速 分布为uθ1/r的情况。
高等流体力学
5 粘性流体运动 的基本性质
5 粘性流体运动的基本性质
粘性流体的运动特征与理想流体运动存 在着巨大的差别。 从数学角度 看，N-S方程与Euler方程的 阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程， 后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导 致所要求的定解条件的个数以及解法不同。
5 粘性流体运动的基本性质
1 u2 u 2 p u uΩ f t 2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
根据向量分析，有
uΩ Ω u Ω u u Ω u Ω
5.1 粘性流体运动的有旋性
Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程，加上无 旋流动条件以后，方程中的二阶偏导数项消失， 变成了一阶偏微分方程。因此，粘性流体流动的
无滑移边界条件(ut=0)就多余了。也就是说，对于
不可压缩理想流体流动的基本方程，其满足无滑
移边界条件的解一般是不存在的。或者说，粘性
u2 u2 u u u u uΩ 2 2
5.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程
N-S方程变成
对上式两端进行旋度运算，可得
u 1 u2 2 uΩ f p u t 2
5.1 粘性流体运动的有旋性
虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同 的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说 来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套 方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。 对于不可压缩粘性流体的基本方程组是 u 0 Du 1 f p 2 u Dt 当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为 u n 0 ， ut 0
运动的不可能性。
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (1) 若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体 运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则连续性方程为
2 0
而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为 u=0 或φ=0，因此，边界上的速度势函数φb为常数。
从 物理角度 看：①粘性流体运动时，由于流 体与静止固体壁面的相互作用，总是会产生旋涡； ②由于流体所具有的粘性，在其运动过程中不遵 循理想流体运动时的涡量守恒规律；③由于粘性 流体运动中存在不可逆过程，流体运动的机械能 并不守恒。
因此，与非粘性流体运动相比较，粘性流体 运动具有三个方面的基本性质：运动的有旋性、 涡旋的扩散性与能量的耗散性。
由以上方程组及其边界条件可以解出速度场u和压强场p。
5.1 粘性流体运动的有旋性
先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相 矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。 如果运动是无旋的，则必存在速度势函数φ，且 u 连续性方程变成
Leabharlann Baidu
2 0
N-S方程变成
Du 1 f p 2 Dt
流体在一般情况下，是不可能作无旋流动的。这 就从反面证明了粘性流体运动总是有旋的。
5.1 粘性流体运动的有旋性
此外，还可以从物理概念上来理解。对于不 可压缩粘性流体，如假设它作无旋流动，则在N-S 方程中将不出现粘性项 ν2u ，这意味着粘性将不
影响速度场与压力场，显然，这是与实际流动相
矛盾的。这从另一个侧面说明了粘性流体作无旋
5.1 粘性流体运动的有旋性
粘性流体运动必然有旋的情形分析： (2) 若 N-S 方程中的粘性项 ν2u0 ，则粘性流 体运动必然有旋。
用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则有u=φ，于是
2 u 2 2 0
由此可见，若流动无旋，则粘性项 ν2u 必为 零。因此，若粘性项 ν2u0 ，则粘性流体运动必 有旋。
而
2 2 0
5.1 粘性流体运动的有旋性
这样，在无旋流动的假设下，不可压缩粘性流体的基 本方程组变为速度势方程(Laplace方程)和欧拉运动方程
2 0
Du 1 f p Dt 它与不可压缩理想流体的基本方程组完全相同。现在 的问题是方程组完全相同，而在固体壁面处的边界条件却 不一样。对于不可压缩粘性流体沿固体壁面流动，应满足 无滑移条件，即 un=0 ， ut=0 ；而不可压缩理想流体，在固 体壁面处， un=0，ut一般不等于零。