回归系数的统计推断

l xx 0.225, t 0.025 (10) 2.228
进一步可得总体需求函数的95%置信带
300 250 200 150 100 50 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
此置信带有95%的置信度包含了相应的总体值.
下限
上限
182.4361 170.5002 158.5319 146.5089 134.3836 122.0373 109.1191 94.62254 77.56355 58.92609 39.7168 20.28655 0.753925
238.4519 218.8322 199.2449 179.7123 160.282 141.0727 122.4353 105.3763 90.87965 77.96151 65.6152 53.48985 41.46688
8 6
下面求得个点95%置信区间为
xi
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
其中
ˆi y
210.444 194.6662 178.8884 163.1106 147.3328 131.555 115.7772 99.9994 84.2216 68.4438 52.666 36.8882 21.1104
例2 某市场连续12天卖 出黄瓜的价格和数量的调 查数据如下：
x i(元/公斤） yi (公斤)
1.00 0.90 0.80 0.70 0.70 0.70 0.70 0.65 0.60 0.60 0.55 0.50 55 70 90 100 90 105 80 110 125 115 130 130
2 2
2 ( x x ) 2 2 1 i 其中 Sy ˆi S n l xx
六、y的样本变差的分解
ˆx ˆ a ˆb y
ˆ i ( yi y ˆi ) yi y
n
n
ˆx , y a ˆx ˆi a ˆb ˆ y b i
ˆ i y ) ( yi y ˆi ) yi y ( y
且
x
i 1
n
2 i
840, yi 33700, xi yi 5260
2 i 1
n
(1) 试建立供给量对价格的线性回归方程; (2) 对所建立的线性回归方程进行显著性检验 (α =0.05). 销量 价格 解 (1) 计算 l xx
10
2 2 x 10 x 200 i i 1 10
U 即比值 越大,说明x 对 Q Y 的线性影响就越强.
ˆl , ˆ i y )2 b U ( y xy
i 1 n
n
ˆl ˆ i )2 l yy b Q ( yi y xy
i 1
七、回归方程的显著性检验 假设变量Y与x变量满足 Y= a + bx+ε (*)
其中ε是随机误差,假定ε～N(0,σ2).
ˆl 793.6, Q l U 762 ，代入得 U b xy yy
( n 2)U F 83.34 5.32 Q
所以拒绝原假设,供给量 y 和价格 x 线性关系显著.
九．利用Excel进行回归分析的步骤 (1) 将试验数据录入到Excel表中，建立数据文件； (2) 在Excel菜单“插入”的下拉菜单中依次选择 “图表”、 “散点图”，并根据问题的实际情况选择合适的散点图类型， 并在“输入区域”输入正确的数据范围或用鼠标拖过数据区， 依次单击“下一步”及“确定”，即可得两变量的散点图; (3) 根据散点图做初步的直观分析， 如果两变量之间具有 比较明显的线性关系，再进一步作一元线性回归分析； (4) 在Excel的菜单“工具”的下拉菜单中选择“数据分 析”，并在分析工具窗口选择“回归”，单击“确定”； (5) 在“输入区域”分别输入正确的X值与Y值的数据范围 或用鼠标拖到相应的数据区，根据实际问题的需要再分别设 置输出选项（标志、常数项为零、置信度、残差情况及正态 概率图等），单击“确定”；并选择“输出区域”为新工作 表（也可指定为本工作表的一个数据区域）； (6) 根据软件分析的结果，做出相应的分析。
0
~ F (1, n 2)
因此对于给定的显著性水平α,当 F >Fα (1,n-2)时,则
否定原假设, 即认为回归方程是显著的.
1.回归系数的F检验
(1) 提出原假设 H0:b=0;
(2) 选择统计量
( n 2)U F ~ F (1, n 2) Q
(3) 对给定的显著性水平α, 查临界值Fα (1,n-2), 得拒绝域
率值 p =4.34×10-6 << 0.05，所以认为回归方程是显著的。
(3) a 的95%置信区间是 (182.435 , 238.454) b 的95%置信区间是 （-197.047 , -118.508）
(4) 经验回归方程：
ˆ i 210.444 157.778 xi y (1.21 10 ) ( 4.34 10 )
第8.4节
回归系数的统计推断
一、估计量的性质
二、回归估计量的方差
三、总体方差 2的一个无偏估计量 四、a和b 的区间估计
五、 E ( yi )的区间估计
六、y 的样本变差的分解 七、回归方程的显著性检验 八、回归分析的表述
九、利用Excel进行回归分析的步骤
一、估计量的性质
ˆ均为相互独立正态变量 (3) 由于a y1 , ˆ, b
若 H0:b=0成立,则(*)变成 Y= a +ε,自变量x对因变量Y 没有线性影响,即回归方程不显著;若假设不成立,则自变 量x对因变量Y有线性影响,即线性方程是显著的.所以,假 设检验的原假设为 H0: b = 0 ; 备择假设为 H1: b ≠ 0. 由于
F
Q
U ( n 2) H 成 立
α
Fα(1, n-2) F
单侧假设检验
为F >Fα (1,n-2);
(4) 代入样本信息,F落入拒绝域则拒绝原假设,线性关系 显著; 落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
八、回归分析的表述 我们从一组样本数据进行回归系数的估计，得到经 验回归方程，因为还要进行区间估计、显著性检验，所 以必须求出回归估计量的标准误 S a ，以及判定系 ˆ , Sb ˆ 数 R 2，通常可写成表达式：
2
n
n
n
ˆl ˆ i )2 l yy b Q ( yi y xy
i 1
i 1
i 1
总平方和lyy(SST) = 回归平方和U(SSR) + 残差平方和Q(SSE)
其中
l yy ( yi y )2 ,
i 1
n
当lyy 给定后, 由U与Q的相
对大小可刻画 x 对Y 的线性 影响程度：
ˆx ˆi a ˆ b y R2 i ( ) ( )
其中括号内填写相应的t-检验显著性概率值。这样就较全
面地表述了样本回归估计式.
例1 为确定某商品供给量 y 和价格 x 之间的关系，任取10 对数据作为样本，算得平均价格为 x 8(元), 平均供给量为
n i 1
y 50(千克),
二、回归估计量的方差
2 2 x 1 ˆ) (2) Var (a ˆ) ( ), Var (b n l xx l xx 2
ˆ 分别是a、b 的无偏估计量； (1) 估计量 a ˆ, b
y2 , , yn
的
线性组合，根据正态分布的性质，它们也一定是正态的.
(1) 扰动
(2) 自变量
2 2
ˆ t ( n 2) S ˆ , b ˆ t ( n 2) S ˆ ) (b b b
2 2
E ( yi ) 的区间估计 五、
E ( yi )的置信水平为 1 的区间估计是
ˆ i t ( n 2) S y ˆ i t ( n 2) S y (y ˆi , y ˆi )
解 打开Excel，建立数据文件如下 表所示 ：
数据文件
试就黄瓜销量与价格进行 回归分析.
调用线性回归分析程序：单击“工具”—“数据分析”— “回归”— 确定，便得到如下图所示的对话框
确定后，便输出结果
由此可知：
(1) R2 = 0.889， S = 8.360 = (698.889/10)0.5， 平方和分解 SST = 6300 =5601.111+698.889=SSR+SSE (2) 回归方程的显著性检验，从 t 检验和F检验均有显著性概
l xy xi yi 10 xy 1260
l xy ˆ b 6.3 l xx
回归方程为
i 1
l yy yi2 10 y 2 8700
i 1
10
ˆ x 0.4 ˆ yb a
ˆ 0.4 6.3 x y
解 (2) H0: b=0 查表得
F (1, n 2) F0.05 (1,8) 5.32 ， 故拒绝域为F >5.32
n
回 ˆ i 的分散程度,(由x因素引起） 故 U ( y ˆ i y )2 反映了 y 归 i 1 平 n 方 ˆ i )2 反映了由其他因素对 y i影响程度, Q ( yi y i 1 残差平方和 和
且U
ˆ x (a ˆ x )] b ˆ 2 ( x x )2 b ˆ 2l b ˆl ˆ ˆ [( a b b i i xx xy
n
n
ˆ i y ) 2 ( yi y ˆ i )2 U Q l yy ( yi y ) ( y
2 i 1
n
n
n
i 1