线性方程组的直接法和迭代法

线性方程组的直接法

直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

线性方程组迭代法

迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。

1. 线性方程组的直接法

直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。

1.1 Cramer 法则

Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。

定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，

解为1212,,...,n n D D D

x x x D D D

=

==i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。 Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。 2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组

1231231

2311

x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩有唯一解。 解：2111111

11011(1)11001A a a a a a a ==--=---

所以当1a

≠时，方程组有唯一解。

定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。 定理3齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。 1.2 Gauss 消元法

Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。

1.2.1 用Gauss 消元法为线性方程组求解

eg ：Gauss 消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：

()()()123283211223x y z L x y z L x y z L +-=⎧⎪

--+=-⎨⎪-++=-⎩

这个算法的原理是：首先，要将1L 以下的等式中的

x 消除，然后再将2

L 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。

在刚才的例子中，我们将13

2

L 和2L 相加，就可以将2L 中的x 消除了。

然后再将

1L 和3L 相加，就可以将3L 中的x 消除。

方程组则变为：

281112

225

x y z y z y z +-=⎧⎪⎪

+=⎨⎪+=⎪⎩

现在将24L -和3L 相加，就可将3L 中的

y 消除，方程组变为：

281112

21

x y z y z z +-=⎧⎪⎪

+=⎨⎪-=⎪⎩

这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是1z =-。然后直接带入，立即就可得出

第二个答案：

3y =和最后一个答案2x =。这样，我们利用高斯消元法解决

了这个方程组。

2. 线性方程组迭代法

迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。

2.1 Jacobi 迭代法

2131321,11,2,1

,2,1000...............00n n n n n n a a a L a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦ 112233

1,1,...n n n n a a a D a a --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦

1213 1.11,232,12,343,0...0...0......00n n n n n a a a a a a a a a U --⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦

对于线性方程组Ax b =则

A L D U =++，即将A 分解为一个严格下三

角矩阵、一个对角阵和一个严格上三角矩阵之和，从而可写出Jacobi 迭代格式的

矩阵表示形式为：

(1)1()(1)

()k k x D L U x D b +--=-++，其迭代矩阵

1()J D L U -=-+)称为雅可比迭代矩阵.

将线性方程组Ax b =变为一个通解方程组x

Bx f

=+，对其进行迭代式

改写，

(1)()

,0,1,2....k k x Bx f k +=+=矩阵B 为迭代矩阵