《杨辉三角和两数和的乘方》综合实践活动课(案例)

案例7-8

《杨辉三角和两数和的乘方》综合实践活动课

一、案例分析

《杨辉三角和两数和的乘方》是教材中安排的一篇阅读材料，课程总目标对本届的要求：通过教师在平时教学中渗透或通过学生课外阅读，了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以扩展整式乘法。

本节是在学习了整式乘法的基础上进行的，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础。通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养。

在上完完全平方公式之后，从学生作业反馈中发现，学生易丢2ab

项，平时，在数学竞赛中时常有

3

()

a b 的公式应用，也曾看到中考

把杨辉三角作为考点。对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补。

二、学情分析

本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑

战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式。对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予及时的引导、点拨和激励评价。对新知学习都力求从学生实际出发，。以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究。

三、教学目标

1.通过实验操作，引导学生观察分析，形成数形结合思想。

2.通过例题的延伸训练，初步体会运用类比思想研究数学问

题。

3.通过研究杨辉三角的数学规律，培养学生由特殊到一般的归

纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）。在小组讨论、

探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力。

4.通过杨辉三角数学中的介绍，增强学生民族自豪感。

四、教学重点

杨辉三角的发现、理解、和初步应用。

五、教学难点

3

的实验操作和结论得出，以及对赋值法验证理解。

()

a b

六、教学策略与手段

采用“问题解决”的教学模式，遵循“创设情境——合作交流—

—解决问题———明晰新知———感悟新知———应用拓展—

——升华新知”的思路来组织教学过程。借组多媒体辅助手段，通过学生动手实践、观察、分析、猜想、组织讨论、合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报成果，得到结论后进行总

结，及时进行反馈应用和反思式总结。

七、学生准备

1.布置学生通过google搜索有关杨辉三角资料，并进行阅读和

理解；

2. 学生自制正方形和长方形的硬纸板，立方体和长方体的硬纸盒（长度和数量按教师指定制作）。

八、 教师准备

1. 教师设计教学方案，安排教学活动；

2. 制作多媒体课件；

3. 教师预设教学过程中可能出现的问题；

4. 教师确定对学生学习进行评价的内容和维度。 九、 教学过程

（一） 合作学习，形成技能

师：请同学们准备好2张正方形、2张长方形的纸片（见图1）。将它们拼成一个大正方形，并运用面积之间的关系，验证完全平方式。

生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式222()2a b a ab b +=++。 师：归纳面积验证的思路，大整块面积=所有小块面积之和。 师：请同学们准备好两个立方体、8个长方体的纸盒（见图3）。将它们撘成一个棱长为()a b +的立方体，并运用体积之间的关系，写出一条

恒

等

式

。

图2

图1

生：四人小组合作，动手操作完成，写出一条恒等式。 生：33223()33a b a a b ab b +=+++。

师：我们已经得到了2()a b +和3()a b +展开公式，试想4()?a b += 生：学生先独立完成，然后同桌讨论交流。 生

1

：

4222222432234

()()()(2)(2)...464a b a b a b a ab b a ab b a a b a b ab b +=++=++++==++++生2：

433223432234

()()()()(33)...464a b a b a b a b a a b ab b a a b a b ab b +=++=++++==++++师：我们也知道 1()a b a b +=+。下面将计算结果中各展开式的每项系数排列成下表（简称系数表）：

1234

()()()()a b a b a b a b ++++

11 121 1331 1

4

641

图3

师：因上表图形如三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称它为杨辉三角，并提出课题。

【设计意图：通过合作学习，从不同角度训练学生的思维，即提高学生学习兴趣，又培养合作团队精神和创造能力。】

（二）介绍杨辉，感受成就

杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家，数学教育家，著作甚多，他编著的数学书共5种21卷，著有《详解九章算法》12卷（1261年）、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家、物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal，1623—1662），他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

【设计意图：了解数学家杨辉及其成就，增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探究精神，以鼓励学生探究的热情。】

（三）探求规律，形成新知