导数及其应用复习专题

高考数学导数及其应用学案

类型一：利用导数研究函数的图像

例1、设a v b,函数y=(x-a) 2(x-b)的图象可能是()

例2、若函数y f(x)的导函数在区间［a,b ］上是增函数，则函数y f(x)在区间 ［a,b ］上的图象

A .

B .

C . D

类型二：导数几何意义的应用

练习1.如右图：是f (x )的导函数, /(x)的图象如右图所示，贝U f (x )的

2.设f '( x)是函数f (x)的导函数，y=f '( x)的图象如右图所示，贝U y=f (x)的

例3、(1)求曲线y X在点1,1处的切线方程。(2)求抛物线y=x2过点

2x 1

5,6的切线方程

2

练习：若存在过点(1,0)的直线y x3和y 9都相切，则a等于( )

4

A.-1 或-25

B. 1 或彳

C. 7或-25

D.-或7

64 4 4 64 4

7.曲线y= x2—2x+ a与直线y= 3x+ 1相切时，常数a的值是_____________ .

类型三：利用导数研究函数的单调性

例4、已知a, b 为常数，且a^0,函数 f (x) =-ax+b+axlnx , f(e)=2

(e=2.71828… 是自然对数的底数).

(I)求实数b的值；

(II )求函数f (x)的单调区间；

例5、已知函数f(x)= ax_1在(一2,+^ )内单调递减，求实数a的取值范围

x 2

练习：若函数y=-x3—】ax2+ (a—1) x+1在区间(1, 4)内为减函数，在区间

3 2

(6, +x)内为增函数，试求实数a的取值范围

类型四：导数与极值

ln x

例6、求函数f x 的极值。

x

例7、已知f x x33ax2bx a2在x 1有极值0,求常数a,b的值

x

3 2

练习1、已知f(x)=x +ax+(a+6)x+1有极大值和极小值，则 a 的取值范围是()

(B ) -3 v a v 6

2、直线y = a 与函数f(x) = x 3-3x 的图象有相异的三个公共点，则求 a 的取值范围。 类型五：导数与最值

例8已知函数f(x)=(x-k)e x .

(1)求f(x)的单调区间；

⑵求f(x)在区间［0,1 ］上的最小值.

练习：已知函数f(x)= ax 3— 6ax 2 + b ,问是否存在实数 a 、b ，使f(x)在［—1,2］上取得最大值3, 最

小值—29?若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由.

类型六：导数的综合应用

例9、设函数f(x) x ax 2 blnx ，曲线y f (x)过点P( 1,0),且在P 点处的

切斜线率为2.

(I )求a , b 的值；

(II )证明：f(x) 2x 2 .

例10、已知函数f(x)= 罟「在x=1处取得极值2.

x 2 b

(1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 当m 满足什么条件时，函数 f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增？

例 11、设 f (x) ln x , g(x) f (x) f (x).

(I)求g(x)的单调区间和最小值；

1

(n)讨论g(x)与g(-)的大小关系；

x

(A ) -1 v a v 2 (C ) a v -1 或 a > 2 (D ) a v -3 或 a > 6

1

(川)求a的取值范围，使得g(a) g(x) v_对任意x > 0成立.

a

类型七：生活中的导数

例12、用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖)，问使矩形边长为多少时，其体积最大？

例13、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克) 与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y —10(x 6)2，其中3

x 3

为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.

(I)求a的值。

(II )若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.