《材料力学》第9章压杆稳定习题解-精选.pdf

（f ） l 0.7 5 3.5m （下段）； l 0.5 5 2.5m （上段）
故图 e 所示杆 F cr 最小，图 f 所示杆 Fcr 最大。
[ 习题 9-3] 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接， 但第一根杆 （图 a）的基础放在弹性
地基上，第二根杆（图 b）的基础放在刚性地基上。 试问两杆的临界力是否均为 Pcr
下标 e 表示端部 end 的意思。 若取下截离体为研究对象， 则 M e 的
转向为逆转。
M ( x) Pcr v( x) M e
EIv "
M (x) M e Pcr v( x)
EIv " Pcr v( x) M e
"
v
Pcr v(x)
Me
，令
2
k
Pcr ，则 k 2
1
EI
EI
EI
Pcr EI
v" k 2v k 2 M e P cr
2 EI min (2.l ) 2
？为什么？并由此判断压杆长因数
是否可能大于 2。
2
螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，
把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为
l 的压杆是否偏于安全？
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。 因为 (a) 的下支座不同于 (b) 的下支座， 所以它们的
5
其最小解是： kL 2 ，或 k
2 。故有： k 2 L
2
(0.5L) 2
Pcr ，因此： EI
2 EI Pcr (0.5L ) 2 。
解得：
A Fcr ， B Ck
，
F cr sin kl
cos kl
Ck
整理后得到稳定方程： kl tan kl
C
20
EI / l
用试算法得：
kl 1.496
故得到压杆的临界力： Fcr
(1.496)2 EI l
2 EI ( 2.1l )2 。
因此，长度因素
当 C 0 时，
可以大于 2。这与弹性支座的转动刚度 。
看作下端固定 （固定于底座上） 、上端自由、 长度为 l 的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。
[ 习题 9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为
Pcr 的欧拉公式。
EI ，长度为 l 的等截面中心受压直杆的临界应力
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[ 解 ] ： 设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反
力为 Pcr ，水平反力为 0，约束反力偶矩两端相等，用 M e 表示，
Pcr
2 EI ( .l ) 2 。由这公式可知， 对于材料和截面相同的压杆，
它们能承受的压力与 原压相的相当长度 l 的平方成反比， 其中， 为与约束情况有关的长
度系数。
（a） l 1 5 5m
（b） l 0.7 7 4.9m
（c） l 0.5 9 4.5m
（d） l 2 2 4m
（e） l 1 8 8m
弹性支座较合适。这种情况，
2 ，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座
上）、上端自由、 长度为 l 的压杆” 算出来的临界力要小。 譬如，设转动刚度 C M
EI 20
，
l
则：
Pcr固端 Pcr弹簧
2.12 22
1.1025 ， Pcr固端
1.1025 Pcr ,弹簧 。因此，校核丝杆稳定性时，把它
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把 A、B 的值代入（ a）得：
v M e (1 cos kx) v' M e k sin kx
Pcr
Pcr
边界条件：③ x L ； v 0 ： 0 M e (1 cos kL) ， 1 coskL 0 Pcr
④ x 0 v' 0 ： 0 M e k sin kL Pcr
sin kL 0
以上两式均要求： kL 2n ， (n 0,1,3,......)
解： 挠曲线微分方程与坐标系的 y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（ b）图与（ a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
"
EIw
M ( x) 。（ c ）、 (d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：
EIw " M ( x) ，显然，这微分方程与（ a）的微分方程不同。
第九章 压杆稳定 习题解
[ 习题 9-1] 在§ 9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆， 按图 a 所示坐标系及挠度曲线
形状，导出了临界应力公式 Pcr
2EI l2
。试分析当分别取图
b,c,d
所示坐标系及挠曲线形
状时，压杆在 F cr 作用下的挠曲线微分方程是否与图
是否相同。
a 情况下的相同，由此所得 Fcr 公式又
M
EI 20
，
l
且无侧向位移，则：
EIw " M (x) Fcr ( w)
令 Fcr EI
k 2 ，得：
w" k 2 w k 2
微分方程的通解为： w Asin kx B coskx
w ' Ak coskx Bk sin kx
由边界条件： x 0 ， w 0， w '
M Fcr ； x l ， w CC
上述微分方程的通解为：
v
Asin kx B coskx
Me
……………………………
.(a)
Pcr
v' Ak cos kx Bk sin kx
边界条件：① x 0； v 0 ： 0 A sin 0 B cos0 M e ； B Pcr
Me。 Pcr
② x 0 v' 0 ： 0 Ak cos0 Bk sin 0 ； A 0 。
临界力只与压杆的抗弯刚度、 长度与两端的支承情况有关， 与坐标系的选取、 挠曲线的
位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：
2 EI
Pcr
l2 。
1
[ 习题 9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图
f
所示杆在中间支承处不能转动）？
解：压杆能承受的临界压力为：
临界力计算公式不同。 (b) 为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素
2 ，其临界
力为： Pcr
2 EI min ( 2.l ) 2
。但是，
(a)
为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
2 ，因此，不能用 Pcr
2 EI min ( 2.l ) 2
来计算临界力。
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为了考察（ a）情况下的临界力， 我们不妨设下支座 （ B）的转动刚度 C
C 有关， C越小，则
值越大。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相
对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能
看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以
看作是固定端。 因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的