管理运筹学 第五章 动态规划

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运筹学 第05章 动态规划

运筹学 第05章 动态规划

动态规划模型
动态规划模型如下
u1 ,,u n
opt R rk xk , u k
n k 1
表示求和或加权求和 opt表示求最优(最大值 或最小值) Xk表示k阶段状态可能 的取值范围,称为状态 可能集合 Uk表示k阶段决策可能 的取值范围,称为决策 允许集合
x1
决 策 Z
x2 x1 表示决策所依赖的资源和环境
Z表示目标函数
x2 表示决策后的资源和环境状况
动态规划概念(2)
例如,前面讲过的生产计划问题就是一次决策
某工厂用三种原料生产三种产品,已知的条件如 下表所示,试制订总利润最大的日生产计划
产品所需原料数量 (公斤/ 件) 原料P1 原料P2 原料P3 产品的利润 (千元/ 件) 产品Q1
贝尔曼方程
对于无后效性的多阶段决策过程,根据最 优性原理和贝尔曼函数定义,可得
f k xk optrk xk , uk f k 1 xk 1 其中,xk 1 Tk xk , uk 称为动态规划基本方程,也称为 贝尔曼方程
uk
动态规划问题求解步骤(1)
k阶段决策uk是决定下一步走到哪里,有
u1∈{a,b,c} u2(a)∈{d,f},u2(b)∈{d,e} ,u2(c)∈{d,e,f} u3∈{t}
示例(5.2-3)
状态转移方程
xk+1=uk
阶段效应rk(xk , uk ) 取为从xk 走到uk 的路线 长度,如r1(s , a) =9 贝尔曼函数 fk(xk ) 定义为从xk 走到 t 的最短 路线 贝尔曼方程
f k xk opt ri xi , ui
n u k ,,u n i k
为了将从初始状态xk 出发的k-后部子过程的 最优策略和最终的最优策略相区别,称前 者为条件最优策略

管理运筹学第5章动态规划

管理运筹学第5章动态规划
递推关系的建立
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质,建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解,最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发,逆向推算出达到目标状态的最优决策,逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段,从最后阶段开始,依次向前推算出每个阶 段的最优决策,直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题,可以避免 重复计算,提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级,以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题,逐一求解最优解,最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系,以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题,通过将原问题分解 为子问题,逐个求解并存储子问题的解,避免了重复计算,提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题,如资源分配、生产计 划、物流调度等,这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算,动态规划能够显著提高计算效率,尤 其在处理大规模问题时,能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段,每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移

管理运筹学 第5章 动态规划

管理运筹学 第5章  动态规划

第一阶段:
* * * * 最优解: x = 0 x = 1 x = 0 x = 1 1 2 3 4
练习.
1.石油输送管道铺设最优方案的选择问题.下图中A为出 发点,E为目的地,B,C,D分别为三个必须建立油泵加压 站的地区,图中的线段表示管道可铺设的位置,线段旁 的数字为铺设管道线所需的费用.问如何铺设管道才使 总费用最小.

- -
0
0 0
0
0 0


0
0
0
0 1 1 1 1
20 20 20 20
20 20 20 1
第三阶段:
s3
0 1 2 3 4
x3
r ( s , x ) f ( s 4 x ) 3 3 3 4 3 3
0 1 2 - - - - -
f 3 ( s3 )
0 0 0 0 11
x *3
0 0 0 0 1
咨询项目类型 待处理客户数 处理每个客户所 处理每个客 需工作日数 户所获利润
1 3 4 7 2 8 11 20
1 2 3 4
4 3 2 2
解:用动态规划来求解此题。 我们把此问题分成四个阶段,第一阶段我们决策将 处理多少个第一种咨询项目类型中的客户,第二阶段决 策将处理多少个第二种咨询项目类型中的客户,第三阶 段、第四阶段我们也将作出类似的决策。我们设 s k =分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所 有客户的总工作日(第k阶段的状态变量)。 x k =在第k种咨询项目中处理客户的数量(第k阶段 的决策变量)。 已知 s 1 =10 并有 s T ( s , x ) s 3 x , T ( s , x ) s x ,s 3 2 2 2 2 2
件重量为wi公斤,每件价值ci元。现有一只可装载重量W 公斤的背包,求各种物品应各取多少件放入背包,使背 包中物品的价值最高。 这个问题可以用整数规划模型来描述。设xi为第i种 物品装入背包的件数(i =1, 2, …, n),背包中物品的总 价值为z,则 Max z = c1x1+c2x2+ … +cnxn s.t. w1x1+w2x2+…+wnxn≤W x1, x2, …, xn0 且为整数。

运筹学第5章:动态规划

运筹学第5章:动态规划
x1 , x 2 , x3 i 1
10
3
例3 第一阶段:给第三市场分配
s1 有0~9种可能,第一阶段最优决策表如下:
为什么与例1 的第一阶段的表有差别?
11
例3 第二阶段:给第二市场分配
s2 有0~9种可能,第二阶段最优决策表如下:
12
例3 第三阶段:给第一市场分配
由边界条件 s3=9,第三阶段最优决策表如下:
4
1838 1768 1762 1698 1692 1686 1628 1622 1616 1610 s 2 =2 s 2 =3 s 2 =4 s 2 =5
第三阶段最优决策表
第四阶段:初始库存量 s4=0 由状态转移方程: s3=s4+x4-60 可知 x46,由阶段效果递推公式有: f4(0,6)=d4(0,6)+f3*(0,10) =706+1902=2322 得第四阶段最优决策表,如下
得第三阶段最优决策表,如下
8 9 1908 1832 1756 1680 1604 s 2 =6 10 1902* 1826* 1750* 1674* 1598* s 2 =7 x 3 * f 3 (s 3 ,x3 *) 10 10 10 10 10 1902 1826 1750 1674 1598
将 s2= s1 + x1 – 600= x1 – 600 代入 f1(s1,x1) 得:
由此回溯:得最优生产–库存方案 x1*=600,s2*=0; x2*=700,s3*=0; x3*=800,s4*=300; x4*=900。
9
5.2.2 资源分配问题
例3 某公司有9个推销员在全国三个不同市场推销货物,这三个市
第三步:(第二、三、四季度) 总效果 f2(s2,x2)=0.005 x22+s2+ f3*(s3) 将 s3= s2 + x2 - 700 代入 f2(s2,x2) 得:

运筹学第三版课后习题答案 (2)

运筹学第三版课后习题答案 (2)

运筹学第三版课后习题答案第一章:引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科,旨在解决实际问题中的决策和优化问题。

它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。

b)运筹学可以应用于各个领域,如物流管理、生产计划、流程优化等。

它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。

c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。

习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。

它可以帮助制定最佳的生产计划,优化供应链管理,提高运输效率等。

运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题,优化医疗资源分配等。

1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域,如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。

在物流管理中,可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局,提高货物的运输效率。

在生产计划中,可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期,降低生产成本。

在供应链管理中,可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理,提高供应链的效率。

在流程优化中,可以使用运筹学方法优化业务流程,提高整体效率。

习题2在物流管理中,可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划,以提高运输效率和降低成本。

在生产计划中,可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量,以降低生产成本和提高产能利用率。

在供应链管理中,可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度,以提高整体效率和减少库存成本。

在流程优化中,可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配,以提高流程效率和客户满意度。

第二章:线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法,用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。

其一般形式为:max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中,c是目标函数的系数向量,x是决策变量向量,A是约束矩阵,b是约束向量。

习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题,如生产计划、供应链管理、资源分配等。

运筹学第五章 目标规划

运筹学第五章 目标规划

第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 (1)目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标,由于资源稀缺和其它原因,这些目标可能无法同时达到,可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到,总的目的是要给出一个最优的结果,使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法,人们把目标按重要性分成不同的优先等级,并对同一个优先等级中的不同目标赋权,使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标;有两类变量:决策变量和偏差变量;两类约束:资源约束(也称硬约束)和目标约束(也称软约束)。

(2)模型特征。

目标规划的一般模型:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子,+-rk rk ωω,为目标权系数,+-k k d d ,为偏差变量。

1)正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分;负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值,所以有0i i d d +-⨯=。

2)硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束;软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值,但允许发生正、负偏差,通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距,于是称它们为目标约束。

3)优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标,但决策者在要求达到这些目标时,是有主次或缓急之分的。

第五章 物流运筹学——动态规划

第五章 物流运筹学——动态规划
即由第 阶段的状态 利用这个原理,可以把多阶段决策问题求解过程表示成一个连续的递推过程,由后向前逐步计算。
的单件重量和装载收费如表5-1所示,又规 由于它表示了由 段到 段的状态转移
因此,在物流管理中,如何进行决策,制定一个最优的设备维护更新策略,是非常重要的。
第三节 动态规划模型的建立与求解
定货物2和货物3都至多装两件。问如何装 但假设初始状态虽已给定,终点状态有多个,需比较到达不同终点状态的各个路径及最优指标函数值,以选取总效益最正确的终点状
3
• 【例5-1】〔生产与存储问题〕工厂在3个季度中
• 安排某种产品的生产方案。假设该季度生产此
种产x
x2
• 品 〔吨〕,那么本钱为 元。假设当季
生产的
• 每吨产品未销售a k 掉,那么进库,季末需付存储费,
• 产品每季的存储费为1元。现估计3个季度对该 产
• 品的需求量 分别为100吨,110吨和120吨,
3
j 仪器
1
2
3
10
9
14
9
12
10
6
5
8
7
• 【例5-4】〔机器负荷问题〕设某机器可以在高、
• 低两种不同的负荷下进行生产。假设年初x 有 台
• 机器在高负荷下进行生产,那么产品年a产 8x


0.3
y
• 机器的年折损率

0.1
;假设年b 初5有y 台机器在
• 负荷下进行生产,那么产品年产量
,机器

• 年折损率
。假设初始时有性能正常的机器
1000
• 台,要求制定机器负荷的四年分配方案,确定每

8
A

管理运筹学 第5章

管理运筹学 第5章

B1
8 4
6
3
B2
2 4
42 B3 5
C1
1 4
6
D1 3
C2 3
E
4 3 D2 C3 3
v2,4= v2,4(s2 ,x2 ,x3 ,x4) = v2,4(B3 ,C2 ,D2 ,E)=9
v2,4= v2,4(s2 ,x2 ,x3 ,x4) = v2,4(B1 ,C2 ,D2 ,E)=11
v2,4= v2,4(s2 ,x2 ,x3 ,x4) = v2,4(B1 ,C3 ,D2 ,E)=13
Operational Research
(3) k=1,s1={0,1,…,8},[1~3]
f1(s1) = max{ g1(s1,x1)+ f2(s1-x1)}
0≤x1≤s1
分别求出s1为不同值时的f1(s1)及x*1,计算结果如下表:
S1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x*1 0 0,1 0 0,3 4 5 4 4 4 f1(s1) 0 5 26 40 80 90 106 120 140
短路,从最后一个阶段开始,由后向前逐步递推。
(1)当k=4时,S4 ={ D1 D2 } 按f4 的定义有
f4(D1)=3 f4(D2)=4 (2)当k=3时,S3 ={ C1 C2 C3 }
B1
8 4
6
f3(C1) = d3(C1 , D1)+ f4(D1) Min
2 A4
5
3
B2
2 4
d3(C1 , D2)+ f4(D2)
Operational Research
5.1.2.6 指标函数
(1)第k阶段指标函数: rk(sk,xk) 它是状态变量和决策变量

运筹学第5章:动态规划

运筹学第5章:动态规划
– 指某阶段某状态下到终端状态的总效果,它是一个递推公式 指某阶段某状态下到终端状态的总效果,
fk (sk , xk ) = hk (dk (sk , xk ), fk1(sk1, xk1 )
6
动态规划的步骤
– hk 是一般表达形式,求当前阶段当前状态下的阶段最优 是一般表达形式, 总效果
(1) 如最短路问题,是累加形式,此时有 如最短路问题,是累加形式,
14
生产–库存管理问题 连续变量) 库存管理问题(连续变量 例2 生产 库存管理问题 连续变量
第三步: 第二 第二, 四季度) 第三步:(第二,三,四季度 总效果 f2(s2,x2)=0.005 x22+s2+ f3*(s3) 将 s3= s2 + x2 - 700 代入 f2(s2,x2) 得:
回 溯 得 此 表
12
生产–库存管理问题 连续变量) 库存管理问题(连续变量 例2 生产 库存管理问题 连续变量
设某厂计划全年生产某种产品A.其四个季度的订货量分别为 设某厂计划全年生产某种产品 .其四个季度的订货量分别为600 公斤, 公斤 公斤, 公斤和 公斤和1200公斤.已知生产产品 的生产费 公斤. 公斤,700公斤,500公斤和 公斤 已知生产产品A的生产费 用与产品的平方成正比,系数为0.005.厂内有仓库可存放产品, 用与产品的平方成正比,系数为 .厂内有仓库可存放产品, 存储费为每公斤每季度1元 求最佳的生产安排使年总成本最小. 存储费为每公斤每季度 元.求最佳的生产安排使年总成本最小.
1260* 10 1188 9 1116 8 1044 7 972 6 900 5 s1=5
第二阶段最优决策表
s2 2 3 4 5 6 7
x2* f2(s2,x2*) 10 1260 9 1182 8 1104 7 1026 6 948 5 870

运筹学教案动态规划

运筹学教案动态规划

运筹学教案动态规划教案章节一:引言1.1 课程目标:让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。

让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。

1.2 教学内容:动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法:讲授法:介绍动态规划的基本概念和特点。

案例分析法:分析动态规划在实际问题中的应用。

教案章节二:动态规划的基本思想2.1 课程目标:让学生理解动态规划的基本思想。

让学生学会将问题转化为动态规划问题。

2.2 教学内容:动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法:讲授法:介绍动态规划的基本思想。

练习法:通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。

教案章节三:动态规划的求解方法3.1 课程目标:让学生掌握动态规划的求解方法。

让学生学会使用动态规划算法解决问题。

3.2 教学内容:动态规划的求解方法:自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现:表格化和递归化的方法3.3 教学方法:讲授法:介绍动态规划的求解方法。

练习法:通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。

教案章节四:动态规划的应用实例4.1 课程目标:让学生了解动态规划在实际问题中的应用。

让学生学会使用动态规划解决实际问题。

4.2 教学内容:动态规划在优化问题中的应用:如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用:如控制库存、制定计划等4.3 教学方法:讲授法:介绍动态规划在实际问题中的应用。

案例分析法:分析实际问题,让学生学会使用动态规划解决实际问题。

教案章节五:总结与展望5.1 课程目标:让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。

让学生展望动态规划在未来的发展。

5.2 教学内容:动态规划的基本概念、思想和应用的总结。

动态规划在未来的发展趋势和挑战。

5.3 教学方法:讲授法:总结动态规划的基本概念、思想和应用。

讨论法:让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。

教案章节六:动态规划的优化6.1 课程目标:让学生了解动态规划的优化方法。

运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划

运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划

C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由,可以递推得其余阶段的铺设路线,如阶 段3在C1点的决策是D1,阶段4在D1点的决策只有E点; 由于到E点是整个铺设管道的终点,至此,决策过程完成, 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的, 如A---B3---C1---D1---E,它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2,从B3点出发,只有C1、C3两种可 选择的点, 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果; C1点既是阶段2铺设管道的终点,又是阶段3 铺设管道的起点;
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小,其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外

运筹学第五章动态规划

运筹学第五章动态规划

和 dk 2 (sk ));
(4) 允许决策集: D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程: s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态; (5) 阶段指标: v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ,k4,3,2,1;
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念:
【例5.1】 如图5.1所示,在处有一水库,现需从点铺设一条 管道到点,弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度,请找出一条由到的修建线路,使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段: k4,3,2,1;
(2) 状态变量: s k 表示第 k 个月月初的库存量;
(3) 决策变量: dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下,要定
购的商品量, dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便,后面将分别依次用 ,
的 来x sk 情 代k y况 替k 下,要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程:
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解(要求板书) 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 , A 为 水 库 , 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地,试找出给各供水目的地供水的 最短路线。

管理运筹学讲义第5章目标规划.pptx

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石家庄经济学院 14
管理科学与工程学院
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础 上考虑:首先是产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的产 量;其次是充分利用设备有效台时;再次是利润 额不小于56元。求决策方案 。
石家庄经济学院 15
这样在考虑产品决策时,便成为多目标决策问题。 目标规划方法是解这类决策问题的方法之一。 下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。
1.设x1,x2为决策变量,此外,引进正、负偏差变量 d+,d- 。 正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分;负偏 差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。
石家庄经济学院 9
石家庄经济学院 4
管理科学与工程学院
第二节 目标规划的数学模型
为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别, 先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。
例1 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知有关数据见下表。 试求获利最大的生产方案。
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料(kg) 2 1 11
设备(hr)
1 2 10
管理科学与工程学院
4.目标规划的目标函数
当每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能缩小偏 离目标值。因此目标规划的目标函数只能是
min z=f(d+,d-)。
石家庄经济学院 13
管理科学与工程学院
其基本形式有三种:
• (1) 要求恰好达到目标值,即正、负偏差变量都要尽可 能地小,这时 min z=f(d++d-)
利润(元/件) 8 10
石这是求获利最大的单目标的规划问题,用 x1,x2分别表示Ⅰ、Ⅱ产品的产量,其线性规划 模型表述为:
目标函数: max z 8x1 10x2

《运筹学》 第五章习题及 答案

《运筹学》 第五章习题及 答案

《运筹学》第五章习题1.思考题(1)试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。

(2)动态规划的阶段如何划分?(3)试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。

(4)试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。

(5)试述建立动态规划模型的基本方法。

(6)试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。

2.判断下列说法是否正确(1)动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。

(2)动态规划只是用来解决和时间有关的问题。

(3)对于一个动态规划问题,应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。

(4)在用动态规划的解题时,定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。

(5)在动态规划模型中,问题的阶段等于问题的子问题的数目。

(6)动态规划计算中的“维数障碍”,主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。

3.计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4.计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5.计算从A 到B、C、D 的最短路线。

已知各线段的长度如下图所示。

6.设某油田要向一炼油厂用管道供应油料,管道铺设途中要经过八个城镇,各城镇间的路程如下图所示,选择怎样的路线铺设,才使总路程最短?7.用动态规划求解下列各题(1).222211295max x x x x z -+-=;⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ;(2).33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ;8.某人外出旅游,需将3种物品装入背包,但背包重量有限制,总重量不超过10千克。

物品重量及其价值等数据见下表。

试问每种物品装多少件,使整个 背包的价值最大?913 千克。

物品重量及其价值的关系如表所示。

试问如何装这些物品,使整个背包 价值最大?10 量和相应单位价值如下表所示,应如何装载可使总价值最大?303011 底交货量,该厂的生产能力为每月600件,该厂仓库的存货能力为300件,又 每生产100件产品的费用为1000元。

大学运筹学经典课件第五章动态规划

大学运筹学经典课件第五章动态规划

生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合,构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域,利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中,每个阶段的决策只与 当前状态有关,而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程,通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程,可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题,如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法, 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略,实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力,对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型,涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则,将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解,常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法(记忆化搜索)

运筹学课件 第五章动态规划

运筹学课件 第五章动态规划
2013-11-30 11

(1)在第四阶段 此时只要再走一步即到终点⑩ (B地)。 目前状态 s4可以是⑧或⑨,可选择的下一状 态X4 是⑩ 所以f4 (8) =d4 (8, 10) =3, f4 (9)=d4 (9, 10)=4 (2)在第三阶段 在第三阶段,还需两步才能到达终点,此时 f3 ( s3)=min{d3 ( s3,X3)+f4 (s4)} 目前状态s3可 以是⑤、⑥、⑦,可选择的下一状态X3有两个 点⑧或⑨
通过计算,可知从 A地到 B地总路程最小 值为 11。
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三、动态规划的基本概念

1、阶段: 把所给问题的过程恰当地分为 若干个相互联系的阶段,以便能按一定的次序 去求解。描述阶段的变量称为阶段变量,常用 k 表示。 阶段的划分,一般是根据时间和空间的自然 特征来划分,但要便于把问题的过程能转化为 多阶段的决策过程,如例 1中可分为4个阶段来 求解,k=1, 2, 3, 4。
uk
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* pk ,n 表示sk sn的最优策略, 则最优值函数
基本方程 f k ( sk ) opt vk ( sk , u k ) f k 1 ( sk 1 ) u k Dk sk 1 Tk ( sk , u k ) k 1,2, , n f (s ) 0 n 1 n 1 这是一个逆推方程.
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4.策略 策略:决策按顺序构成的序列,用p表示。
p k ,n ( sk ) : 第k阶段起至第n阶段止的策略 pk ,n ( sk ) {uk ( sk ), uk 1 ( sk 1 )... , un ( sn )} 当k 1时. p1,n ( s1 )为全过程策略. p1,n ( s1 ) P ,n ( s1 ) 1
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主要内容

动态规划的举例
基本概念与原理
动态规划的应用
第一节 动态规划的举例
最短路径问题 下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最短路径。
B 2 1 1 6 4 A 3 2 4 B3 7 3 5 1 8 C3 1 6 D 2 3 B2 7 2 C2 7 5 6 E C 1 6 D 1 10 8
(4) . 能够正确地写出状态转移方程,至少要能正确反映状态 转移规律。如果给定第k阶段状态变量sk的值,则该段的决策变 量 uk 一经确定,第 k+1 段的状态变量 sk+1 的值也就完全确定,即 有sk+1=Tk(sk ,uk)
( 5 ).根据题意 , 正确地构造出目标与变量的函数关系 —— 目标 函数,目标函数应满足下列性质: 1) 可分性,即对于所有k 后部子过程,其目标函数仅取决于状 态sk及其以后的决策 uk ,uk+1,┈,un,就是说它是定义在全过程和 所有后部子过程上的数量函数。
阶段1 本阶段始 点(状态) A 本阶段各终点(决策) B1
4+12=16
B2
B3
B4
2+12=14
到E的最 短距离
14
本阶段最优终 点(最优决策) B4
3+13=16 3+14=17
最后,可以得到:从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E。
以上计算过程及结果,可用下图表示,可以看到,以上方法不 仅得到了从 A到E的最短路径,同时,也得到了从图中任一点到 E 的 最短路径。
比较 1.3726075472977×1014 次。 若用1亿次/秒的计算机计算需要约508天。
讨论: 1、以上求从 A到E 的最短路径问题,可以转化为四个性质完全 相同,但规模较小的子问题,即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短 路径问题。 第四阶段:两个始点D1和D2,终点只有一个; 阶段4 本阶段始点 本阶段各终点(决策) (状态) E 到E的最短距离 本阶段最优终点 (最优决策)
1)要能够正确地描述受控过程的变化特征。 2)要满足无后效性。即如果在某个阶段状态已经给定,那么在该阶段以 后,过程的发展不受前面各段状态的影响,如果所选的变量不具备无 后效性,就不能作为状态变量来构造动态规划的模型。 3)要满足可知性。即所规定的各段状态变量的值,可以直接或间接地测 算得到。一般在动态规划模型中,状态变量大都选取那种可以进行累 计的量。此外,在与静态规划模型的对应关系上,通常根据经验,线 性与非线性规划中约束条件的个数,相当于动态规划中状态变量sk的

状态转移方程 sk+1=Tk(sk, xk):某一状态以及该状态下的决策, 与下一状态之间的函数关系。

指标函数

阶段指标函数vk(sk, xk):从状态sk出发,选择决策xk所产 生的第k阶段指标。
过程指标函数Vk,n(sk, xk, xk+1,…, xn):从状态sk出发, 选择决策xk,xk+1, …, xn所产生的过程指标。
12 B1 14 A 3 2 4 3 B2 2 4 8 3 1 C3 1 11 6 12
2
6 1
C1 6 11 7 5
8
10 D1 10 0 E D2 6
13 4 7
C2
6
B3
14 7 5
B4
12
以上过程,仅用了22次加法,计算效率远高于穷举法。
从最后一个阶段开始,从终点向始点方向逐阶段逆推,找 出各点到终点的最短路,当逆推到始点时,也即找到了从始点 到终点的全过程的最短路,这种从后向前逆推的方法叫逆序解 法。
2.基本方程
最优指标函数f k(sk):从状态sk出发,对所有的策略Pk,n,过程 指标Vk,n的最优值,即
f k (sk )
opt
xk Dk ( sk )
{Vk ,n ( s k , Pk ,n )}
对于可加性指标函数,上式可以写为
f k ( sk )
opt
xk Dk ( sk )
{vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
阶段2 本阶段始点 (状态) B1 B2 B3 B4 本阶段各终点(决策) C1 2+12=14 4+12=16 4+12=16 7+12=19 C2 1+11=12 7+11=18 8+11=19 5+11=16 C3 6+11=17 2+11=13 3+11=14 1+11=12
到E的最 短距离
第二节 基本概念与原理

基本概念 基本方程 最优化原理 动态规划步骤
1.基本概念

阶段 k :把所给问题的过程恰当地分成若干相互联系的段 落,以便按照一定次序求解,描述阶段的变量称为阶段变 量。表示决策顺序的离散的量,阶段可以按时间或空间划 分。

状态sk:能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数量, 也可以是字符,数量状态可以是连续的,也可以是离散的。也就 是每阶段初始的出发点,在最短路问题中,各个节点就是状态; 生产库存问题中,库存量是状态;物资分配问题中,剩余的物资 量是状态。
第三节 动态规划的应用

背包问题 资源分配问题 设备负荷分配问题


动态规划要求过程指标具有可分离性,
即: Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) =
vk(sk,xk)+Vk+1(sk+1,xk+1, …, xn)
称指标具有可加性, 或 Vk,n(sk, xk, xk+1, …, xn) = vk(sk, xk)×Vk+1(sk+1, xk+1, …, xn) 称指标具有可乘性。
C1 C2 C3
8+10=18 7+10=17 1+10=11
6+6=12 5+6=11 6+6=12
12 11 11
D2 D2 D1
分析得知:如果经过C1,则最短路为C1-D2-E; 如果经过C2,则最短路为C2-D2-E; 如果经过C3,则最短路为C3-D1-E。
第二阶段:有 4 个始点 B1,B2,B3,B4 ,终点有 C1,C2,C3 。对始点 和终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路 径问题:
k 1,2, , n
对于可乘性指标函数,上式可以写为
f k ( sk )
opt
xk Dk ( sk )
{vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
k 1,2,, n
上式中“opt”表示“max”或“min”。 以上式子称为动态规划最优指标的递推方程,是动态规划的基本方程。
第六章 动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法, 这种方法把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系较 容易的单阶段问题,解决了这一系列较容易的单阶段问题, 也就解决了这个困难的多阶段决策问题。 用动态规划可以解决管理中的最短路问题、装载问题、库 存问题、资源分配问题、生产过程最优化问题等。 动态规划是求解一类问题的方法,是解决问题的原理,而 不是一种特殊的算法,故需要有丰富的想象去建模,创造性 地去求解。
12 13 14 12
本阶段最优终 点(最优决策) C2 C3 C3 C3
分析得知:如果经过B1,则走B1-C2-D2-E; 如果经过B2,则走B2-C3-D1-E; 如果经过B3,则走B3-C3-D1-E; 如果经过B4,则走B4-C3-D1-E。
第一阶段:只有1个始点A,终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和 终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题:
2)要满足递推关系,即
Vk ,n ( sk , uk , sk 1, uk 1,, sn1 ) k [ s k , uk ,Vk 1 ( sk 1,, sn1 )]
3)函数 k [ s k , uk ,Vk 1 ( sk 1,, sn1 )] 对其变元Vk+1来说要严格单 调。
D1 D2
10 6
10 6
E E
分析得知:从D1和D2到E的最短路径唯一。
第三阶段:有三个始点C1,C2,C3,终点有D1,D2,对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1,C2,C3到D1,D2 的最短路 径问题:
阶段3 本阶段始点 (状态) 本阶段各终点(决策) D1 D2 本阶段最优终点 到E的最短距离 (最优决策)
p1 ( s1 ) {u1 ( s1 ), u2 ( s2 ), , uk ( sk ), un ( sn )}
则对上述策略中所隐含的任一状态而言,第k子过程上对应于该 状态的最优策略必然包含在上述全过程最优策略p1*中,即为
pk ( s k ) {u k ( s k ), u k ( s ), , u 1 k 1 n ( s n )}
维数.而前者约束条件所表示的内容,常就是状态变量sk所代表的内
容。
( 3 ).正确地定义决策变量及各阶段的允许决策集合 Uk(sk) , 根据经验,一般将问题中待求的量,选作动态规划模型中的决 划)转换为 动态规划模型时,常取前者的变量xj为后者的决策变量uk。
4
4
用穷举法的计算量:
如果从A到E的站点有k个,除A、E之外每站有3个位置则
总共有3k-1×2条路径; 计算各路径长度总共要进行 (k+1) 3k-1×2次加法以及
3k-1×2-1次比较。随着 k 的值增加时,需要进行的加法和比 较的次数将迅速增加;
例如当 k=20时,加法次数为
4.2550833966227×1015 次,
4.动态规划步骤
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