第八章 恒定电流的磁场_6.

} ⇒ ∫ Bx = dBx
∫ By = dBy
GGGG B = Bxi + By j + Bzk
∫ Bz = dBz
例题8-1 载流长直导线的磁场 设有长为L的载流直
导线，其中电流为I。计算距离直导线为a处的P点的
磁感应强度。
G
解：任取电流元 Idl
I
据毕奥-萨伐尔定律，此G电
流G元d B在G =P点4μπ磁0 I感d应rlG3×强rG度dB为
K
μ0 4π
Idl sinα r2
dB 的方向：
K dBK
⊥
K r
K
——满足右手螺旋关系
dB ⊥ Idl
GG GG ddBB IdIldl
磁感应强度的矢量式：
G dB =
μ0
G Idl
×
K r
4π r3
Biot-Savart定 律的微分形式
∫ ∫ G
B=
G dB
=
μ0
L
4π
I
d
G l
×
G r
L r3
§8-1 恒定电流
一、电流 电流密度
1. 电流: 电荷的定向运动。 形成条件 (导体内)：
导体内有可以自由运动的电荷(载流子)； 导体内要维持一个电场。
载流子：电荷的携带者，如自由电子（金属导体） 空穴（半导体)、正负离子（电解液）
电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量。
I = dq dt
单位： A(安培)。 方向：正电荷运动的方向
(2) β1, β2 的正负：由垂线转向连线顺电流为正，
逆电流为负。
I
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
β1
=
−
π 2
β2
=
π 2
Idl α L
r
B = μ0I 2πa
β2
β1 a β
GG ddBB P
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一
端的连线垂直于导线 B = μ0I 4πa
β1 = 0
2πR
I dl r
R
I
x
O
G d B⊥
G dB
θ
θ
G
P d B//
因
r2 = R2 + x2;
sin θ
=
R r
=
(R2
R
+
x2
)
1 2
所以
B=
μ0 IR 2
2( R 2
+
x
2
)
3 2
=
μ0 2π
(R2
IS
+
x2
)3 2
S = πR2
所以
B=
μ0 IR 2 2(R2 + x2 )32
=
μ0 2π
IS
的大小。
S⊥
B
磁感应线 ——磁感应线密集处磁场强；磁感应线稀疏处磁场弱。
2. 常见磁感线分布：
I I
直电流
圆电流
I
I
螺线管电流
3. 磁感应线的性质 与电流套链 闭合曲线(磁单极子不存在？) 互不相交 方向与电流成右手螺旋关系
I B
4. 与静电场电场线比较 相同点：描述方法相同、不相交 不同点：静电场是有源无旋场，磁场为无源的涡旋场
因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。
GG
∫∫SB ⋅ dS = 0
高斯定理的积 分形式
穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就 是稳恒磁场的高斯定理。
激发静电场的场源（电荷）是电场线的源头或 尾闾，所以静电场是属于发散式的场，通过一闭合 曲面的电通量可以不为零，可称作有源场；
而磁场的磁感线无头无尾，总是闭合的，通过 任意闭合曲面的通量为零，所以磁场称作无源场。
L
cos
90 D
dl⊥
+
B
L
cos θ
dl//
= 0 + ∫LBr dα
∫= μ 2 π 0 I r d α
0 2π r
= μ0I
结果一样！
环路不包围电流
Q
I
α
L2
L1
O
P
v∫ ∫ ∫ G G
KG
KG
B • dl = B ⋅d l + B ⋅d l
L
L1
L2
∫ ∫ = μ 0 I ( d α − d α ) = 0
恒定电流：电流的大小和流向不随时间而变化。
2.电流密度 精确描述导体中电流分布情况，是空
间位置的矢量函数。 电流密度矢量定义：
j = dI dS
单位：Ａ／ｍ２
方向与该点正电荷运动方向一致；
大小等于垂直于电流方向的单位面积的电流。
电流强度与电流密度的关系为
GG
GG
I = ∫∫ j ⋅ endS = ∫∫ j ⋅dS
逐对抵消，所以P点 B的大小为G
G
I dl
r d B⊥ d B
R
I
xθ θ G
O
P d B//
∫ ∫ ∫ B =
LdB//
=
dB sinθ
L
= μ0 4π
I d l sinθ L r2
∫ = μ0I sinθ 4πr 2
2 πR
dl
0
=
μ0I sinθ 4πr 2
2πR
B
=
μ0I sinθ 4πr 2
5
二、安培环路定理
G
在恒定电流的磁场中，磁感应强度 B矢量沿任
一闭合路径 L的线积分（即环路积分）,等于什么?
1. 长直电流的磁场
I
在垂直于导线的平面内任
G
作的环路上取一点，到电流的
B
距离为r，磁感应强度的大小：
B = μ0I 2πr
由几何关系得
G
I
B
O dα
θG
r L
dl P
Gdl • cGos θ = rdα
dB = μ0 qnvSdl sinθ
4π
r2
设电流元内共有dN个以速度v运动的带电粒子：
d N = nS d l
每个带电量为q的粒子以速度v通过电流元所 在位置时，在P点产生的磁感应强度大小为
B=
dB dN
=
μ0 4π
qv sin θ r2
矢量式：
G B
=
μ0 4π
G qv
×
r3
K r
其方向G根据右手G 螺G
S
S
G en
dS θ
G j
§8-2 磁感应强度
一、 基本磁现象
(1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。任一磁 铁总是两极同时存在。
(3)同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
(4)地球本身为一个大磁体， 地球磁体N、S极与地理南北极不 是同一点。存在磁偏角。
1819年,奥斯特实验首次发 现了电流与磁铁间有力的作用，
2 π L1
L2
结果为零！
表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢 量的环流为零。
安培环路定理
G
在磁场G中， B 矢量沿任一闭合曲线的线积
分（也称 B矢量的环流），等于真空中的磁导
率μ0乘以穿过以该闭合曲线为边界的任意曲面 的各恒定电流的代数和。
GG
∫LB ⋅ dl = μ 0∑ I
I I为正值
电流I的正负规定：积
GG
Φ = ∫SB ⋅ dS
注意: (1)磁通量单位： Wb(韦伯)
(2)对闭合曲面：
面积元的法线正方向：垂直向外
G BG
线穿出：
+
B 线穿入： -
例：如图，已知B，R，求通过圆柱面的磁通量
R
B
2
§8-3 毕奥－萨伐尔定律
一、毕奥－萨伐尔（Biot-Savart）定律
1.电流元的磁场
G
K
电流元 I dl 长为dl，到场点的位矢为 r
绕行方向 I
分路径的绕行方向与电流 成右手螺旋关系时，电流I
I为负值
为正值；反之I为负值。
6
GG
∫LB ⋅ dl = μ 0∑ I
物理意义：
qv
y
GG Bv G
+q
Fm x
z
方向：小磁针北极的指向
qv，B和F三者间满足右手螺旋法则
单位：T（特斯拉）, Gs（高斯） 1T = 104 Gs
KK BK = BK(x, y, z,t) KB =KB(x, y, z) B = B0
——一般磁场 ——恒定磁场 ——均匀磁场
1
一些磁场的大小：
人体磁场极弱， 如心电激发磁场 约3×10-10T。测 人体内磁场分布 可诊断疾病，图 示磁共振图像。
dB ∝ Idl
K
dB dB dB
∝ ∝ =
1
r2 sin
α
(
K Idl ,
K r)
K
Idl sinα (Idl ,
k
r2
K r
)
dB
P
G r
I
G dl
dB
=
k
Idl
sin
α
K (Idl ,
K r)
r2
其中 k=10-7 NA-2
令 k = μ0 , 4π
μ0 = 4π ×10−7 NA−2
dB =
G
旋法则， B 垂直 v 、rG
B
组成G的平G 面。q为正，B
r
为 vG×r 的G 方G向；q为
v ×r 负，B 与
相反。
的方向 +q
G v
垂直于纸面向外
G B
×
r
−q
G v
垂直于纸面向内
§8-4 稳恒磁场的高斯定理与安培环路定理
一、稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，
穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，
2.磁通量(magnetic flux)
(1)磁通量的定义：穿过磁场中任一给定曲面的磁感应线
K 总条数。 n (2)磁通量的计算：
均匀场中的平面：K K Φm = BS cosθ (B, S )
非均匀场中的曲面：
对所取微元，磁通量：G G dΦ = BdS cosθ = B ⋅ dS
θ B
en
dS
对整个曲面，磁通量：
（2）在磁场中的P点处存在着一个特定的方向， 当电荷沿此方向或相反方向运动时，所受到的磁力 为零，与电荷本身性质无关；
（3）在磁场中的P点处，电荷沿与上述特定方向 垂 直 的 方 向 运 动 时 所 受 到 的 磁 力 最 大 ( 记 为 Fm) ， 并且Fm与qv的比值是与q、v无关的确定值。
定义：磁感应强度 大小： B = Fm
逐渐揭开了磁现象与电现象的内
在联系。
I
N S
1822年，安培提出分子电流假设:磁现象的电本质 ——运动的电荷产生磁场。
二、 磁感应强度
设带电量为q，速度为v的运动试探电荷处于 磁场中，实验发现：
（1）当运动试探电荷以同一速率v沿不同方向通
但过磁磁力场的中方某向点却P时总，是电与荷电所荷受运动磁方力向的（大vG小）是垂不直同；的，
∫ ∫ ∫ B • dl = B cos θdl = Br dα
L
L
L
∫ ∫ = μ 2 π 0 I r d α = μ 0 I 2 π d α
0 2π r
2π 0
= μ0I
如果沿同一路径但改变绕
行方向积分：
GG
∫ ∫ B • dl = B cos( π − θ ) d l
L
L
= ∫L− B cos θ dl ∫ = − 2π μ 0 I d α
Idl
α
∫ B = μ0 4π
I d l sin α L r2
L
r
∫ = μ0 β2 I cos β d β
4π β1 a
=
μ0I 4πa
(sin
β2
− sin
β1 )
aβ
G
dB
P
3
B
=
μ0I 4πa
(sin
β2
−
sin
β1 )
注(1) β1, β2 分别是直电流I始末端和场点间连线与 垂线的夹角。
β2
=
π 2
(3)P点位于导线延长线上，B=0
I
α Idl
L r
β2
β1 a
G ddBB P
例题8-2 载流圆线圈轴线上的磁场: 设有圆形线圈L， 半径为R，通以电流I。求轴线上一点磁感应强度。
I dl
R
I
O
G
r
dB
xθ P
解： 在场点P的磁感强度大小为
d
G B
=
μ0 4π
I
GG dl ×r
r3
G
和 dBG各//，电由流于元圆的电磁流场具方G有向对不称相性同，，其可电分流解元为的ddBB⊥G⊥
0 2π
G B
OI
L
G B
r
dα G dl
P
= −μ0I
结果为负值！
GG
∫ ( ) 可认为电流为-I ，则结果可写为
B• dl
L
= μ0
−I
如果闭合曲线不在垂直于导线
的平面内：
GG G G G
∫ ∫ B • dl = L
L B ⋅ (d l⊥ + d l// )
L
Hale Waihona Puke Baidu
I dl⊥ dl
dl//
∫ ∫ =
B
地球磁场约 5×10-5T。 超导磁体能激 发高达25T磁 场；原子核附 近可达104T； 脉冲星表面高 达 108T。
大型电磁铁磁 场可大于2T。
三、磁感应线和磁通量
1. 磁感线——表示方法： G
⑴磁感应线上任意一点的切向代表该点 B 的方向；
B
⑵垂直通过某点单位面积上的磁感应线数目等于该点
G B
(R2
+
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x = 0
B = μ 0I 2R
（2）在远离线圈处 x >> R, x ≈ r
载流线圈 的磁矩
若线圈有N匝
B = μ 0 IS = μ 0 IS 2π x3 2π r3
引入
G m
=
G ISen
G
G
m = NISen
G B
=
μ0 2π
G m r3
4
例题8-3 载流直螺线管内部一点的磁场 已知：电流I，长为L，匝数N，求内部一点的磁场
Biot-Savart定 律的积分形式
三、毕奥－萨伐尔定律的应用 G 先将载流导体分割成许多电流元 Idl
G 写出电流元 Idl 在所求点处的磁感应强度，然后按 照磁感应强度的叠加原理求出所有电流元在该点磁 感应强度的矢量和。
实际计算时要首先建立合适的坐标系，求各电流元的 分量式 dBx、dBy 、dBz ，然后再对各分量积分。
dB方向根据右手螺旋定则 确定。
由于直导G线上所有电流元 在该点 dB方向相同
α Idl L
r
aβ
G dB
P
GG
B = ∫ d B 矢量积分可变为标量积分
∫ ∫ L
B=
d B = μ0
I d l sinα
L
4π L r2
由几何关系有：
I
sinα = cos β r = a sec β
l = a tan β dl = asec2 β d β
K L → ∞时， B=μ0nI
其中 n = N 为单位长度上的匝数 L
四、 运动电荷的磁场
电荷运动
形成
电流
磁场
G 设电流元 Idl ，横截面积S，单位体积内有n 个定向运动的正电荷，每个电荷电量为q，定向速 度为v。
单位时间内通过横截面S的电荷量即为电流强度I:
I = qnvS
电流元在P点产生的磁感应强度