几何五大模型之精讲精练

五大模型

一、 等积变换模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

b

a

S 2S 1 D

C B

A

如左图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

二、 鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B A

图⑴ 图⑵

推理过程连接BE ，再利用等积变换模型即可 三、 蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A B

C

D

O

b

a S 3

S 2S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2

a b +．

四、 相似模型

相似三角形性质：

G

F E A

B

C

D （金字塔模型）

A

B

C

D

E

F G （沙漏模型）

①

AD AE DE AF

AB AC BC AG

===

； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样

改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

五、 燕尾定理模型 S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ；

S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ；

【例 1】 （第3届华杯赛试题）

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：长方形的面积是 平方厘米．

红

红

绿

黄

21平方厘米

【例 2】 (2007年六年级希望杯二试试题)

如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC =,且2AD DE =．则两块地ACF 和CFB 的面积比是_________．

F E D

C

B

A

【例 3】 （北京市第一届“迎春杯”刊赛）

如图．将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D ，BC 边延长2倍到E ，CA 边延长3倍到F ．如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是 ．

F

E

D

C

B A

【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若

AOM ∆、ABO ∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是 ．

【例 5】 如右图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，ABC ∆由这6部

分组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么ABC ∆的面积是多少平方厘米？

N M O C

B A

F E D C

B A 5()

3()6()4()

2()1()

【例 6】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．

D A

B

C E

F

G

【例 7】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，已知

5AH =cm ，3HF =cm ，求AG .

H

G

F E

D C

B

A

【例 8】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB .

O F E

D

C

B

A