高中数学-《指数与指数幂的运算》课件

C．1 或 2a－1
D．0
()
计算 a＋2 a－1＋ a－2 a－1(a≥1)的值．
设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值．
若 x>0，y>0，且 x－
xy－2y＝0，求2y＋x－2
xy的值． xy
1．注意(n a)n、n an性质上的区别：(1)(n a)n＝a(n>1， 且 n∈N*)；(2)一般地，若 n 为奇数，则n an＝a；若 n 为 偶数，则n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
温馨提示：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负 去掉绝对值符号．
类型二 条件根式的化简
思路分析：先借助代数式有意义确定出x的取值范围， 再进行根式的化简．
解：∵代数式 2x－1＋ 2－x有意义 ∴22－x－x1≥≥00 ∴12≤x≤2
∴ 4x2－4x＋1＋24 (x－2)4＝ (2x－1)2＋24 (x－2)4 ＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x) ＝2x－1＋4－2x＝3
1．an叫做a的 n次幂 ，a叫做幂的底数，n叫做幂 的指数 ，n必须ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正整数，这样的幂叫做正整数指数幂 ．
2．正整数指数幂的运算法则
同底数的幂 相乘：底数 不变指数相
加
同底数的幂 相除：底数 不变指数相
减
幂的乘方 ：底数不 变指数相
乘
am·an＝ am＋n
am÷an＝am－n (m>n，a≠0)
3．y＝ax(a>0 且 a≠1)为指数函数，“a>0 且 a≠1”不能忽 略，其单调性受 a>1 与 0<a<1 制约，指数函数的图象均过点 (0,1)． 4．对数运算与指数运算是互逆运算，a>0 且 a≠1，ab＝N⇔ b＝logaN.理解对数运算的性质，真数为正的条件，能用换底 公式 logaN＝llooggbbNa 进行化简运算． 5．y＝logax(a>0 且 a≠1)与 y＝ax(a>0 且 a≠1)互为反函数， 其图象均过(1,0)点，其单调性受 a>1 与 0<a<1 的制约． 6．y＝xα(α 为常数，α∈R)叫幂函数，结合 y＝x，y＝x2，y
2．正确运用根式运 算性质进行运算变换.
1.利用根式的运算性 质进行化简． 2．条件求值问题.
地球上的生物，除了病毒等少数种类以外，所有的生 物体都是由细胞构成的，生物体之所以能够存在，完全依 赖于细胞，因为生物体的一切生命活动就是在细胞内进行 的．那么细胞是怎样增多的呢？现代生物学告诉人们细胞 是通过分裂不断产生的，在众多分裂形式中有一种叫做有 丝分裂，它分裂时遵循如下特点：1个细胞分裂1次产生2个， 分裂2次产生4个，分裂3次产生8个，那分裂n次，它会产生 多少个呢？2个细胞分裂n次呢？这就需要用到本节的知识— —指数．
解： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2 ＝ ( 3)2＋2 3· 2＋( 2)2＋ 22－2×2 3＋( 3)2－
22－2×2 2＋( 2)2 ＝ ( 3＋ 2)2＋ (2－ 3)2－ (2－ 2)2 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|－|2－ 2| ＝ 3＋ 2＋2－ 3－(2－ 2) ＝2 2
答案：D
4. (－5)2＝________，[ (－5)2]2＝________.
5．求( a－2)2＋ (2－a)2＋3 (2－a)3的值．
类型一 根式的化简与运算 【例 1】 求下列各式的值．
5 (1)
(－3)5；(2)4
(－3)2；(3)4
(π－4)2；(4)
(a－b)2.
思路分析：根据根式的定义，注意偶次根式与奇次根 式的不同，用根式的性质解题．
3．要正确区分指数函数与幂函数的定义及性质，牢 记两类函数表达式的形式．
4．关于底数含有参数的指数函数、对数函数讨论的 问题是学习中的重点与难点，解决这些问题最基本的方法 是以“底”大于1或大于0小于1分类.
2．1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式
目标要求
热点提示
1.理解n次方根及根式 的概念．
解：(1)5 (－3)5＝－3；
4 (2)
(－3)2＝4
32＝
3；
4 (3)
(π－4)2＝
4－π；
a－b (a>b) (4) (a－b)2＝|a－b|＝0 (a＝b).
b－a (a<b)
温馨提示：(1)求偶次方根应注意，正数的偶次方 根有两个．
(2)根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，
应注意两者运算顺序是否可换，如对m an仅当 a≥0 时，
＝x3，y＝x21，y＝x－1 的图象，了解它们的性质．
二、地位作用 幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数， 是高中数学函数部分的主体内容，是函数理论的主要载体， 特别是指数函数、对数函数，更是历年高考的重点、热 点．从简单函数性质到复合函数知识、从容易题到压轴难 题，都可能以它为背景编拟．
恒有m an＝(m a)n，若 a<0，则不一定．
(3)根式的性质，n 为奇数时，n an＝a，n 为偶数时，
n an＝|a|＝ a (a≥0) －a (a<0) .
要在理解的基础上，记准，记熟，会用，用活．
【例 2】 计算： 5＋2 6＋ 7－4 3－ 6－4 2.
思路分析：本题需把各项被开方数变为完全平方的形 式，然后再利用根式运算的性质．
温馨提示：进行根式的化简时，我们经常忘记条件， 根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度 注意．
【例 4】 根据已知条件求值．
(1)已知 x＝21，y＝23，求
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y； y
(2)已知 a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a>b>0，
求
a－ a＋
b的值． b
思路分析：应先据已知条件进行化简后求值．
解：(1)
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y y
＝(
x＋ x－y
y)2－(
x－ x－y
y)2＝4x－xyy.
将 x＝12，y＝32代入上式，得
4 原式＝
21－12×23 23＝4－1613＝－24
31＝－8 3.
(2)∵a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，∴aa＋b＝b＝4. 6.
(am)n＝ amn
积的乘方： 各因子乘方
的积
(ab)m＝ am·bm
3 1.
－8的值是
A．2
C．±2
B．－2 D．－8
()
4 2.
16运算的结果是
A．2 C．±2
B．－2 D．以上都不对
()
3．若(x－5)0有意义，则x的取值范围是 ( )
A．x>5
B．x＝5
C．x<5
D．x≠5
解析：∵(x－5)0有意义，∴x－5≠0，即x≠5.
三、学法指导 1．三种基本初等函数的概念、图象及性质．要在理 解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察、归纳得 出一般图象及性质．这种由特殊到一般的研究问题的方法 是学习数学的基本方法．另外，注意类比三种函数的图象 与性质，搞清楚三者之间的区别与联系．
2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0 且a≠1)互为反函数，所以它们的定义域和值域互换，它们 的对应关系是互逆的．它们的单调性是一致的，在掌握这 两类函数的性质时，要结合图象来加以理解和记忆．
∵a>b>0，∴ a> b.
(
a－ a＋
bb)2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－＋22
44＝120＝51，
∴
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
温馨提示：在对所求式子进行化简的过程中，要注意 平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用．
化简3 a3＋4 (1－a)4的结果是
A．1
B．2a－1
本章概览 一、内容概述 1．通过本章学习，要了解指数函数、对数函数的实 际背景，理解指数函数、对数函数的概念，理解五种幂函 数，会运用它们解决一些实际问题． 2．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算，注意当 指数从整数指数推广到了有理数指数后，幂的意义及指数 运算性质中均增加了“底数大于0”，即“a>0”或“a>0， b>0”．
2．整数指数幂满足不等性质：若a>0，则an>0. 3．正整数指数幂满足不等性质： (1)若a>1，则an>1； (2)若0<a<1，则0<an<1，其中n∈N*.