第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性(含详细答案解析及考点分析)
26.1.2反比例函数图像性质(第2课时)解析
-2
y
-1 y3
A
B
o y1 y2
C 4
x
五、大显身手：
1、已知反比例函数 P（-1，2），则这个函数的图象位于（ D）。 A、第二、三象限 B、第一、三象限
y k x（k≠0）的图象经过点
C、第三、四象限 D、 第二、四象限
2、已知反比例函数
y 1 x
，下列结论不正确 的是（ D ）。
2.已知点A（－3，a），B（－2，b）， 2 在双曲线 y＝－ 上，则 a___b(填>、 x < =或<)。
做一做：
1．用“＞”或“＜”填空： （1）已知 x1，y1 和 x2，y2 是反比例函数 y
x 量与函数的对应值．若 x x 0 ，则 0 1 2
的两对自变
> y >y．
1 2
A、 图象经过点（1,1）
C、当x＞1时，0＜y＜1
B、图象在第一、三象限
D、 当x＜0时， y随x的增大而增大。
k 3、如图，函数y= 和y=－kx+1(k≠0)在同 x
一坐标系内的图象大致是 （
6
D）
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5Hale Waihona Puke x-5O（A）x1 x2 x3； （C） x1 x2 x3； （B） x3 x1 x2； （D） x1 x3 x2 .
3．已知（ 1 ，y1 ），（ 3，y2），（ 2，y3）是反比例函数
2 的图象上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是 y x 5 4．已知反比例函数 y ．（1）当x＞5时，0 < y < 1； 0<y<1 x
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳本文介绍了新人教版九年级数学下册第26章反比例函数的知识点和研究目标。
其中，重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用。
难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。
基础知识包括反比例函数的概念和反比例函数的图象。
反比例函数的图象与x轴、y轴无交点，称取点关于原点对称。
反比例函数的图象的形状是双曲线，与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
图象关于原点对称，对称性是反比例函数的重要性质。
如图1所示，设点P（a，b）在双曲线上。
作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积等于三角形PAO和三角形PBO的面积之和。
由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上。
作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积为（图2）。
需要注意的是，双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
直线与双曲线的关系有两种情况：一种是两图象必有两个交点，另一种是两图象没有交点；当有交点时，这两个交点关于原点成中心对称。
反比例函数与一次函数有联系。
求函数解析式的方法有两种：待定系数法和根据实际意义列函数解析式。
需要注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上。
在解决问题时，可以充分利用数形结合的思想。
对于例题，若y是x的反比例函数，则应选C或A。
对于已知函数的图象在第二、四象限内和y随x的增大而减小的情况，可以求出k的值。
已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限时，可以确定它的图象位于第三象限。
若反比例函数经过点（a，b），则直线不经过的象限为第四象限。
若P （2，2）和Q（m，n）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过第一、三、四象限。
对于函数的增减性问题，需要分别讨论。
y轴作垂线，得到三个小矩形和一个三角形，它们的面积之和为20平方单位，求函数的解析式．2）已知函数y=f(x)的图象如图所示，其中ABCD为一矩形，E为函数图象上一点，且E在ABCD内部．若矩形ABCD的长为4，宽为2，求函数的解析式．答案：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，由题意可列出方程组：a+b+c=54a+2b+c=2016a+4b+c=80解得a=2，b=-4，c=7，因此函数的解析式为y=2x²-4x+7．2）设函数解析式为y=f(x)=kx+m，由题意可得：f(0)=m=2f(2)=2k+m=4f(4)=4k+m=0解得k=-1/2，m=2，因此函数的解析式为y=-1/2x+2．1) 在图中，通过每个点作两条垂线段，分别与x轴和y轴围成一个矩形。
中考数学必考考点专题13反比例函数含解析
专题13 反比例函数1．反比例函数：形如y＝xk（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k、1-=kxy。
2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。
对称中心是：原点。
它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3．性质:（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
5．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
【例题1】（2019山东枣庄）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x 轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1 B．C．D．2【答案】A专题知识回顾专题典型题考法及解析【解析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．∵等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1故选：A．的图【例题2】（2019湖南郴州）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y=4x象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．【答案】8【解析】∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，的图象上，又∵反比例函数y=4x∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1×4＝2，2∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案为：8．【例题3】（2019江苏镇江）如图，点A(2，n)和点D是反比例函数y＝mx（m＞0，x＞0）图像上的两点，一次函数y＝kx＋3（k≠0）的图像经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE ⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．（1）S△OAB＝________，m＝________；（2）已知点P(6，0)在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．【答案】见解析。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象和性质(第3课时) 课件
O
x
B
SAOB SOMB SOAM 2 4 6.
(2)解法二:
y x 2,当x 0时, y 2, N(0,2).
ON 2.
1
1
SONB
ON 2
x B
2 4 4, 2
y A
N
SONA
1 ON 2
xA
1 2 2 2. 2
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
y y = —kx
y=-x
y=x
0
12
x
.如图,在y 1 (x 0)的图像上有三点A,B,C, x
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A ,B ,C 三点, 111
边结OA,OB,OC,记OAA , OBB , OCC 的
（2）根据图象写出反比y例函数的值大于一次函数的值 的x的取值范围。
M（2，m）
-1 0 2
x
N（-1，-4）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
解（1）∵点N（-1，-4）在反比例函数图象上
4
∴k=4,
∴y= x
y
又∵点M（2，m）在反比例函数图象上
∴m=2 ∴M（2，2）
∵点M、N都y=ax+b的图象上 M（2，m）
（1）分别求直线AB与双曲线的解析式； （2）求出点D的坐标；
(3）利用图象直接写出当x在什 么范围内取何值时，y1>y2．
5、如图，已知反比例函数 y 12 的图象与一次函数 x
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数》教材分析文字讲义含例题及练习题及答案
第二十六章反比例函数教材分析练习及答案一. 本章的地位和作用函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。
现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。
应用反比例函数解决实际问题，尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一.反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的“变化和对应”思想有了深层的理解。
在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法。
二.本章知识结构：实际问题建立数学模型函数图象反比例函数性质确定函数解析式实际应用三.课程教学目标：1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法；四.教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用 . 教学难点：反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用。
五. 课时安排：（总课时约 9 课时）17.1反比例函数约3课时；17.2实际问题与反比例函数约 4课时；数学活动 小结约2课时.六. 教学建议：本章教学内容主要分为三大部分： 第一部分：反比例函数的概念；第二部分：反比例函数的图象及其性质； 第三部分：反比例函数的应用 .根据这三部分教学内容，提以下几点教学建议：第一部分：反比例函数的概念：1.在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数的图象及性(精编)
内容基本要求略高要求较高要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题一、反比例函数的定义函数kyx=（k为常数，0k≠）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx=与kyx=-（0k≠）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象是双曲线；当0k>时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k<时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx=（0k≠）的取值范围是0x≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k>时，双曲线kyx=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x≠，即0x>或0x<的缘故．如果笼统地叙述为0k<时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．四、反比例函数解析式的求法反比例函数的图象及性质反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.一、反比例函数的定义及解析式的确定【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【例2】 已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）A ． 正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．以上都不是【例3】 若函数||1a y x-=是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±【例4】 已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．【例5】 已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数，求m 的值．【例6】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．【例7】 如图，点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上，且横坐标为2． 若将点P 先向右平移两个单位，例题精讲再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．()50y x x=-> B ．()50y x x=> C ．()60y x x=-> D ．()60y x x=>【例8】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．二、反比例函数的图象及性质1.反比例函数的图象分布及增减性【例9】 在下图中，反比例函数21k y x+=的图象大致是（ ）ABC D【例10】 函数ky x=（0k >）的图象可能是（ ）A. B. C. D.【例11】 函数ky x=与y kx b =+在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）ABCD【例12】 函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）AD【例13】 函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）ABC D【例14】 已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a by x+=在同一坐标系中的图象不可能是() A. B. C. D.【例15】如图，反比例函数1kyx-=与一次函数(1)y k x=+只可能是（）A. B. C. D.【例16】反比例函数2(0)ky kx=≠的图象的两个分支分别位于．【例17】已知点()1P a，在反比例函数kyx=（0k≠）的图象上，其中223a m m=++（m为实数），则这个函数的图象在第_____象限．【例18】已知反比例函数的图象经过点()21P-，，则这个函数的图象位于（）A．第一、三象限B．第二、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【例19】反比例函数()2231my m x-=-的图象所在的象限内，y随x增大而增大，则反比例函数的解析式是（）A．4yx=B．4yx=-C．4yx=或4yx=-D．不能确定【例20】反比例函数()2231my m x-=-的图象所在的象限内，y随x增大而增大，则反比例函数的解析式是．【例21】在反比例函数5kyx-=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．5k>B．0k>C．5k<D．0k<【例22】已知反比例函数12myx-=的图象上两点A（1x，1y），B（2x，2y），当12x x<<时，有12y y<，则m 的取值范围是__ ___．【例23】 已知3b =，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，如果点（a ，3）在双曲线上1by x+=，则_____a =．【例24】 若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反比例函数2y x=-图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的大小关系是（ ）A ．12b b <B ．12b b = C ．12b b > D ．大小不确定【例25】 已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()()1227,,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ． 12y y =C ． 12y y <D ． 无法确定【例26】 若点A （1-，1y ）、B （2，2y ）、B （π，3y ）都是反比例函数21k y x+=的图象上，试比较1y 、2y 、3y 的大小关系 ．【例27】 反比例函数3y x=-的图象上有三点，（2-，a ），（1-，b ），（1，c ） ，比较a ，b ，c 大小．【例28】 反比例函数21m y x-=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点． ⑴比较1b 与2b 的大小； ⑵求m 的取值范围．2.与反比例函数有关的面积不变性【例29】 反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【例30】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例31】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B 点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 .【例32】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）A ．12S S >B ．1S =2SC ．1S <2SD ．不能确定【例33】 在函数ky x=(0x >)的图像上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形12AAOA 、12BB OB 、12CC OC 的面积分别为A S 、B S 、C S ，试比较三者大小.【例34】 在平面直角坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．【例35】 过反比例函数()0ky k x=>的图象上的一点分别作x y ，轴的垂线段，如果垂线段与x y ，轴所围成的_4矩形面积是6，那么该函数的表达式是______;若点()3A m -，在这个反比例函数的图象上，则 m =______.【例36】 如图，在反比例函数2y x=(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．【例37】 过原点作直线交双曲线ky x=(0k >)于点A 、C ，过A 、C 分别作两坐标轴的平行线，围成矩形 ABCD ，如图所示．⑴知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；⑵若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能够确定，请予求出；如果不能确定，试说明原因．【例38】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数ky x=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S．⑴求B点的坐标和k的值；⑵当92S=时，求P点坐标；⑶写出S关于m的函数关系式．【例39】已知图中的曲线是反比例函数5myx-=（m为常数）图象的一支．⑴这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正比例函数2y x=的图象在第一象内限的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当OAB∆的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．【例40】两个反比例函数kyx=和1yx=在第一象限内的图象如图所示，点P在kyx=的图象上，PC x⊥轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论： ①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．【例41】 两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x=的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？k 2x【例42】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．四、反比例函数的应用【例43】 某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的关系式为 ．【例44】 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ．【例45】 已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）【例46】 在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离s （米）成反比例函数关系，其图象如图所示，()5,1P 在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．)F (牛【例47】某闭合电路中，电源电压不变，电流I(A)与电阻()RΩ成反比例，如下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）Ａ．8IR=Ｂ．8IR=-Ｃ．4IR=Ｄ．2IR=OMR(欧姆)I(安培)【例48】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ）是气体体积V （m3 ）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于54m3 B．小于54m3C．不小于45m3D．小于45m3。
6.2反比例函数的图像和性质(共11张)
第10页，共11页。
正、反比例函数的图象与性质(xìngzhì)的比较：
解析 式
图象
正比例函数
y kx ( k 0)
直线
反比例函数
y k ( k 0) x
双曲线
位置
k＞0，一、三象限； k＜0，二、四象限．
增减 性
k＞0，y随x的增大而增大； k＜0，y随x的增大而减小．
k＞0，一、三象限；
y
y
y
y
O
x
A
O
x
B
O
x
C
O
x
D
y
图1
O
x
第8页，共11页。
LQ @ LQZX
如图，动点P在反比例函数
图像的一个(yī ɡè)
分支上，过点P作PA⊥x轴于点A、PB⊥y轴于点B，
当点P移动时，△OAB的面积大小是否变化？为
什么？
y
B
P
OA
x
第9页，共11页。
LQ @ LQZX
反比例函数的图象与性质：
第2页，共11页。
1．反比例函数 y k ( k 的0 )图象经过点（－1， 2），那么这个
反比例函数的解析式为x
，y图象在2 第
二象、限四，
x
它的图象关于
成原中点心对称．
2．反比例函数 y k ( k 0 )的图象与正比例函数
的图象交于点A（1，mx），则m＝ 2 ，反比例函数的y解析2式x
⑴ 求v关于t的函数解析式和自变量t的取值 范围；
⑵ 画出所求函数的图象；
⑶ 从A市开出一列火车，在40分内（包括40分）
到达B市可能吗？在50分内（包括50分）呢？如有 可能，那么此时对火车的行驶速度有什么要求？
反比例函数的图象与性质-ppt课件
法
技 合问题
巧
解决这类问题，一般先设出几何图形中未知边的长，然
点
拨 后结合函数图象，用含未知数的代数式表示出几何图形与
图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质列方
程（组）求几何图形中的未知量或函数表达式.
6.2 反比例函数的图象与性质
例
如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的边
B． y2＜y3＜y1
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
■考点一
反比例函数图象的画法
1. 反比例函数图象的画法（描点法）
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
2. 反比例函数图象的特点
反比例函数 y=
（k
为常数，且 k≠0）的图象由
双曲线 分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线
叫做双曲线
（1）轴对称图形，对称轴分别是①第二、四象限
解
读 算；
（2）需要注意的是，画反比例函数图象时应尽量多取一
些点，描点越多，图象越准确.
6.2 反比例函数的图象与性质
第26章反比例函数知识点梳理(教案)
学生小组讨论环节，大家的表现总体良好，但也有一些小组在分享成果时表达不够清晰。为了提高学生的表达能力和逻辑思维，我将在接下来的课程中加强对学生的引导，培养他们善于总结、清晰表达的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图像特点这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图像的绘制和性质的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体在不同时间下的速度，并绘制反比例函数图像。
3.针对学生的反馈，及时调整教学方法和策略，确保他们能够掌握核心知识点。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对反比例函数的概念和图像特征的理解普遍较好，他们能够较快地掌握反比例函数的定义和基本性质。然而，我也注意到在将反比例函数应用于解决实际问题时，部分学生感到有些困难。这让我意识到，我们在教学中不仅要重视理论知识的学习，还要加强实践应用的培养。
在讲授新课的过程中，我尝试通过提问和生活实例的引入，激发学生的学习兴趣。这种方法效果不错，学生们的积极性很高，能够主动参与到课堂讨论中。但同时，我也发现有些学生在讨论中偏离了主题，这可能是因为我对问题的引导不够明确。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设置，确保学生们能够围绕核心知识点展开讨论。
举例：讲解反比例函数表达式时，强调k≠0的重要性，并通过图像展示x=0时函数无意义的情况。
反比例函数图像和性质教学课件
THANK YOU
反比例函数图像和性质教学 课件
contents
目录
• 反比例函数简介 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用举例 • 反比例函数与其他知识点的关联
01
反比例函数简介
反比例函数的定义
1 2
反比例函数
形如 (f(x) = frac{k}{x}) (其中 (k neq 0)) 的函数 被称为反比例函数。
反比例函数的渐近线
反比例函数的图像没有界限，但可以无限接近两条渐近线，分别是 (y = 0) 和 (x = 0)。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和其他科学领域中，反比例函数有广泛的应用，例如电阻、电容和电感 之间的关系。
02
反比例函数的图像绘 制
使用数学软件绘制反比例函数图像
软件选择
选择适合的数学软件，如 GeoGebra、Desmos等，这些
运动与减肥的关系
在减肥过程中，运动量与减肥效果之 间存在反比关系，即当运动量增大时 ，减肥效果不一定更明显，需要合理 控制饮食和运动量。
05
反比例函数与其他知 识点的关联
与一次函数的关联
一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k和b是常数，且k≠0。当b=0时，一次函数退化为正比例函数 ，其图像是一条过原点的直线。反比例函数与正比例函数在形式上相似，只是自变量x的次数为-1。 因此，反比例函数的图像也位于坐标轴的两侧，并随着x的增大而趋近于无穷远。
一次函数和反比例函数在图像上都是单调的，但方向相反。一次函数随着x的增大而增大或减小，而 反比例函数则随着x的增大而减小或增大。
人教版初三下册数学第26章知识点：反比例函数的图象及性质
人教版初三下册数学第26章知识点：反比例函
数的图象及性质
查字典数学网初中频道为您整理了人教版初三下册数学第26章知识点：反比例函数的图象及性质，希望帮助您提供多想法。
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反比例函数y=k/x的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。
它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
画反比例函数的图象时要注意的问题：
(1)画反比例函数图象的方法是描点法;
(2)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是k≠0，因此不能把两个分支连接起来。
k≠0
(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质:
y=k/x(k≠0)的变形形式为xy=k(常数)所以：
(1)其图象的位置是：
当k﹥0时，x、y同号，图象在第一、三象限;
当k﹤0时，x、y异号，图象在第二、四象限。
(2)若点(m,n)在反比例函数y=k/x(k≠0)的图象上，则点(-m,-n)也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。
(3)当k﹥0时，在每个象限内，y随x的增大而减小;
当k﹤0时，在每个象限内，y随x的增大而增大;
以上就是查字典数学网为大家整理的人教版初三下册数学
第26章知识点：反比例函数的图象及性质，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!。
中考数学点对点-反比例函数问题(解析版)
反比例函数专题知识点概述 1．反比例函数：形如y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k 、 1-=kx y 。
2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x 。
对称中心是：原点。
它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3．性质:（1）当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小； （2）当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
5．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
例题解析与对点练习【例题1】（2020•德州）函数y =kx 和y ＝﹣kx +2（k ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解析】在函数y =kx 和y ＝﹣kx +2（k ≠0）中，当k ＞0时，函数y =kx 的图象在第一、三象限，函数y ＝﹣kx +2的图象在第一、二、四象限，故选项A 、B错误，选项D 正确，当k ＜0时，函数y =kx 的图象在第二、四象限，函数y ＝﹣kx +2的图象在第一、二、三象限，故选项C 错误， 【对点练习】（2019广西贺州）已知0ab <，一次函数y ax b =-与反比例函数ay x=在同一直角坐标系中的图象可能( )【答案】A【解析】若反比例函数ay x=经过第一、三象限，则0a >．所以0b <．则一次函数y ax b =-的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数ay x=经过第二、四象限，则0a <．所以0b >．则一次函数y ax b =-的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A 正确。
9、反比例函数图像和性质1- 答案
反比例函数图像和性质1垂直于x 轴，则有S △OCQ =2k ；S 矩结论：若A（x，y）则B（-x，-y）③模型三：三角形面积转四边形（重要）如图，已知反比例函数k y x=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P 做PA⊥x 轴，交x 轴于点A，过C 做CD⊥x 轴，交x 轴于点D，则OPC PADC S S ∆=梯形.④模型四：反比例函数和k 字型全等△ACO≌△ODB⑤模型五：反比例函数和矩形（了解）在矩形AOBC 中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E，则CE a CF b =.⑥设点法（掌握）（1）知k，设成（a，ak ）（2）不知k，设成（a，b）（注意：ab=k）（3）有中点，特殊点，设中点和特殊点的坐标题型一：k 的几何意义1．如图，已知动点P 在反比例函数的图像()20y x x=<上，PA x ⊥轴于正半轴上，当点A 的横坐标逐渐变小时，PAB 的面积将会()A．越来越小B．越来越大C．不变D．先变大后变小【答案】C 【详解】解：如图，连接OP ，PA x ⊥ 轴，1||12OPA S k ∴== ，PA y ∥ 轴，∴PAB 与OPA 的边PA 的高相等，1PAB OPA S S ∴== ，∴当点A 的横坐标逐渐变小时，PAB 的面积不变，始终等于1．故选：C．2．如图，函数()()120,0,0,0a b y a x y b x x x=>>=>>的图像与平行于x 轴的直线分别相交于,A B 两点，且点A 在点B 的右侧，点C 在x 轴上，ABC 的面积为2，则（）A．2a b -=B．2b a -=C．4a b -=D．4b a -=【答案】C 【详解】解：由题意可设,a A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,b B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11222ABC A a b S AB y m m m ⎛⎫=⋅=-⋅= ⎪⎝⎭△，∴4a b -=，故选：A．3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过第一象限点A ，且ABCD Y 的面积为6，则k ＝（）．A．6B．3C．9D．12【答案】A 【详解】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：∴90AED BOC ∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴,BC AD BC AD =∥，∴ADE BCO ∠=∠，AED BOC ∴ ≌（AAS ），平行四边形ABCD 的面积为6，∴6ABCD ABOE S S == 矩形，∴6k =；故选：A．4．在平面直角坐标系中，反比例函数k y x=的部分图象如图所示，AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上，若ABP 的面积为2，则k 的值为．【答案】4-【详解】解：设反比例函数的解析式是：k y x=，设A 的点的坐标是(),m n ．则AB m =-，OB n =，mn k =．∵AB y ⊥轴，∴AB x 轴，∴2AOB ABP S S == ，∴1•22AB OB =，即122mn -=，∴4mn =-，则4k mn ==-．故答案是：4-．5．如图，点A 在双曲线4y x=-上，过点A 作AB x 轴，交双曲线6y x =-于点B ，点C 、D 都在x 轴上，连接AD 、BC ，若四边形ABCD 是平行四边形，则ABCD Y 的面积为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B 【详解】解：∵点A 在双曲线4y x=-上，B 在双曲线6y x =-上，且AB x 轴，∴A、B 则4A b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，6B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴46AB b b=-+，故ABCD Y 的CD 边上高为b，∴46S 462ABCD b b b ⎛⎫=-+⋅=-+= ⎪⎝⎭．故选：B．6．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，AB y ⊥轴于点B ，反比例函数()80y x x =>的图象与线段AB 交于点C ，且3AB BC =，则AOB 的面积为．【答案】12【详解】解：连接OC ，如图，∵8k =，∴1||42BOC S k == ，∵3AB BC =，∴312AOB BOC S S == ．故答案为：12．7．如图，在平面直角坐标系中，点A、D 分别在x 轴，y 轴上，AB x ⊥轴，与()120y x x =>交于点B，与()240y x x =>交于点C，四边形OBCD 为平行四边形，平行四边形OBCD 的面积是；【答案】2【详解】解：如图，过C 作CK y ⊥轴于K ，而AB x ⊥轴，∴四边形ACKO 是矩形，∴4ACKO S =矩形，90CKD OAB ∠=∠=︒，AO CK =，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴BO CD =，∴Rt Rt ABO KDC ≌，∵1212ABO S =⨯= ，∴1CKD S = ，∴平行四边形OBCD 的面积是4112--=；故答案为：28．如图，点A 是反比例函数()0ky x x=>的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数()50y x x=-<的图象于点B，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C、D 在x 轴上，若平行四边形ABCD 的面积为11，则k 的值为．【答案】6【详解】解：过点B 作BM x ⊥轴，过点A 作AN x ⊥轴，则90BMC AND ∠=∠=︒，四边形ABCD 为平行四边形，BC AD ∴∥，BC AD =，BCM ADN ∴∠=∠，在BCM 和ADN △中BMC AND BCM ADN BC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCM ADN ∴ ≌，11ABCD ABMN S S ∴== 矩形，又5ABMN S k =+ 矩形，511k ∴+=，6k ∴=．故答案为：6．9．如图，点A 是反比例函数()0k y x x=>的图象上一点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C，延长AC 至点B，使2BC AC =，点D 是y 轴上任意一点，连接AD ，BD ，若ABD △的面积是6，则k =．【答案】4【详解】解：如图，连结OA 、OB ，∵AB x ⊥轴，∴OD AB ∥．∴6OAB ABD S S == ．∵2BC AC =，∵11223AOC AOB S k S === ，∴4k =，∵图象位于第一象限，则0k >，∴4k =．故答案为：4．10．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在k y x =（0k >）上，且AD x ⊥轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若5ABE S =△，则k =．【答案】10【详解】解：设BC 与x 轴交于点F ，连接DF OD 、，如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，AD BC =，AD x ⊥，BC x ∴⊥轴，BC y ∴∥轴，OF BC ⊥，12ODF S OF AD =⋅ ，12BCE S BC OF =⋅ ，12ADF S AF AD =⋅ ，12ABC S AF BC =⋅ ，ODF BCE S S ∴= ，ADF ABC S S =△△，OAD ODF ADF S S S =- ，ABE BCE ABC S S S =- ，5OAD ABE S S \== ，2OAD k S = ，10k ∴=，0k > ，10k ∴=，故答案为：10．题型二：反比例函数的中心对称性1．如图，已知双曲线2y x=与正比例函数y kx =的图像交于,A B 两点，过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两平行线交于点C ，则ABC 的面积为()A．1B．2C．4D．与k 值有关【答案】C 【详解】解：设点A 的坐标为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据中心对称的性质知点B 的坐标为2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∴点C 的坐标为2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴4AC a=，2BC a =，则ABC 的面积为14242a a ⨯⨯=，故选C ．2．如图，直线()0y mx m =＜与双曲线k y x=交于A，B 两点，AH y ⊥轴于点H，若AHB 的面积为5，则k 的值为．【答案】5-【详解】解：根据反比例函数的对称性可知AOH BOH S S = ，∵AHB 是面积为5，∴AOH 的面积是2.5，∴1|| 2.52k =，∵双曲线位于二、四象限，∴k＝5-．故答案为：5-.3．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x =-的图象交于A，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数3y x =的图象于点C，连接BC ，则ABC 的面积为（）A．1B．3C．5D．7【答案】C 【详解】解：连接OC ，设AC 与y 轴交于点D，如图，∵反比例函数2y x=-与函数y kx =的图象为中心对称图形，∴O 为AB 的中点，∴AOC COB S S =△△，∵由题意得A 点在2y x=-上，B 点在3y x =上，∴()12112D A A AO S OD AD x y -⋅=⋅== ，132212OD C C C S OD CD x y =⋅=⋅=；∴52AOC AOD COD S S S △△△=+=，∴5ABC AOC COB S S S =+=．故选：C．3．如图，点A 在反比例函数6y x=的图象上，直线AO 交反比例函数另一支图象于点B，过A、B 两点分别作AM x ⊥轴于M，BN y ⊥轴于N，连接MN ，则四边形ABNM 面积为．【答案】9【详解】解：设点6,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据反比例函数的对称性质，求得点6,B a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴可得到()6,0,0,M a N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，四边形ABNM 面积为()16692AOM BON MON S S S a a-++=+⋅-⋅=△△△，故答案为：9．4．如图，已知反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx =图象的一个交点为()4,,A m AB x ⊥轴，且AOB 的面积为4．(1)求k 和m 的值；(2)若两函数图象的另一交点为C ，直接写出点C 的坐标__________．【答案】(1)18,2k m ==(2)()4,2--【详解】（1）解：∵()4,,A m AB x ⊥轴，且AOB 的面积为4，∴4,OB AB m==∴114422OB AB m ⨯⨯=⨯=，解得2m =，∴()4,2A将点()4,2A 代入y mx =中，得42m =，∴12m =，将点()4,2A 代入k y x =中，得428k =⨯=；（2）∵18,2k m ==,∴反比例函数解析式为8y x =，一次函数解析式为12y x =，当812x x =时，解得124,4x x ==-当4x =-时，()1422y =⨯-=-，∴点C 的坐标()4,2--．5．如图，正比例函数14y x =与反比例函数1y x =的图象相交于,A C 两点，AB x ⊥轴于点B ，CD x ⊥轴于点D ，则四边形ABCD 的面积为．【答案】2【详解】解：∵正比例函数14y x =与反比例函数1y x =的图象相交于A、C 两点，∴141y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：11212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，22212x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵AB x ⊥轴于点B ，CD x ⊥轴于点D ，∴AB CD ∥，12AB CD ==，2OB =∴四边形ABCD 是平和四边形，∴11144422222ABCD AOB S S OB AB ==⨯⋅=⨯⨯⨯= ．故答案为：2．题型三：三角形面积转四边形面积1．如图，在平面直角坐标系中，点(),6A m 、()3,B n 均在反比例函数()0k y k x=>的图象上，若AOB 的面积为8，则k 的值为（）．A．3B．6C．9D．12【答案】B 【详解】：如图，过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∵点(),6A m 、()3,B n 均在反比例函数()0k y k x=>的图象上，∴63k m n ==，解得：2n m =，∴()3,2B m ，∴2BD m =,6AC =，3OD =，OC m =,∵AOC BOD S S =△△，∴8AOB AOC BOD ABDC ACBD S S S S S =+-== 梯形梯形，∴()()126382m m +-=，解得：1m =或1m =-（不符合题意，舍去）∴66k m ==，故选B2．如图，(3,2)A m +、2,2m B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是反比例函数(0)k y k x=≠图象上两点，连接OA 、OB ，求OAB 的面积．【答案】52【详解】解：点(3,2)A m +、(2,)2m B --是函数(0)k y k x=≠图象上的两点，∴2(3)2()2m k m =+=--，解得6m =-，6k =-，(3,2)A \-、(2,3)B -，作AM x ⊥轴于M ，BN x ⊥轴于N ，∴由反比例函数k 的几何意义可知132AOM BON S S k === ，∴()()15233222AOB BON AOM AMNB AMNB S S S S S =+-==⨯+⨯-= 梯形梯形．3．如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x=<的图象交于点A ，B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，，点B 的横坐标为4-．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOC 的面积．【答案】(1)反比例函数的解析式为8y x=-，一次函数的解析式为6y x =+(2)12【详解】（1）解：将()24A -，代入反比例函数解析式得：42k =-，解得：8k =-，∴反比例函数的解析式为：8y x=-， 点B 在反比例函数图象上，且点B 的横坐标为4-，∴当4x =-时，824y =-=-，()42B ∴-，，把()24A -，，()42B -，代入一次函数解析式得：4224k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：16k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为：6y x =+；（2）解：在6y x =+中，当0y =时，60x +=，解得：6x =-，()60C ∴-，，6OC ∴=，11641222AOC A S OC y ∴=⋅=⨯⨯= ．4．如图，直线y mx n =+与反比例函数()0k y x x=>的图象交于()2,3A ，()6,B t 两点，与坐标轴分别交于点C 和点D，连接OA ，OB．(1)求直线AB 与反比例函数的表达式．(2)求OAB 的面积．(3)观察该函数图象，请直接写出不等式k mx n x+>的解集．【答案】(1)142y x =-+，6y x =(2)8(3)26x <<【详解】（1）解：由题意，得：236k t =⨯=，∴6,1k t ==，∴反比例函数的解析式为：6y x=，()6,1B ，把()2,3A ，()6,1B 代入一次函数解析式，得：2361m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：124m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为：142y x =-+（2）∵142y x =-+，当0x =时，4y =，当0y =时，8x =，∴()()0,4,8,0C D ，∵()2,3A ，()6,1B ，∴OAB 的面积为1114842818222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；（3）由图象可知，k mx n x+>的解集为：26x <<．5．如图，直线y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图像交于点A．点B，与x 轴相交于点C，其中点A 的坐标为(24)-，，点B 的纵坐标为2．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围．(3)求AOB 的面积．【答案】(1)6y x =+，8y x =-(2)42x -<<-(3)6【详解】（1）解：m y x=的图像经过(24)-，，∴248m xy ==-⨯=-．∴8y x=-．2y =时，82x-=，得4x =-．∴(4,2)B -．设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，则4224k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得16k b =⎧⎨=⎩∴解析式为6y x =+．（2）解：如图，由(2,4),(4,2)A B --，得一次函数的值大于反比例函数的值时，42x -<<-（3）解：如图，直线AB 交y 轴于点D，0x =时，66y x =+=；0y =时，60x +=，得6x =-，∴(0,6),(6,0)D C -∴6OD =，6OC =．∴11166626218666222AOB OCD ODA OCB S S S S =--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=--= ．题型四：反比例函数和k 字型全等1．如图，已知点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，连接OA，若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB，则点B 所在反比例图像的函数关系式是．【答案】3y x=【详解】如图，设A（m，n），过作AC⊥x 轴于C，过B 作BD⊥x 轴于D，∵点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，∴3=-mn ，AC=n，OC=-m，∵将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAC+∠AOC=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OAC=∠BOD，在△ACO 和△ODB 中，ACO BDO OAC BOD OA OB ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACO≌△ODB，∴AC=OD=n，CO=BD=-m，∴B（n，-m），设过点B 的反比例函数的解析式为k y x=，∴3k mn =-=，∴点B 所在反比例图像的函数关系式为3y x=，故答案为：3y x=2．如图，在平面直角坐标系中，直线22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，点D 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上．(1)求k 的值；(2)若将正方形沿x 轴负方向平移m 个单位长度后，点C 恰好落在该反比例函数的图象上，则m 的值是多少？【答案】(1)3k =；(2)1m =【详解】（1）解：作DF x ⊥轴于点F在22y x =-+中，令0x =，解得：2y =，即B 的坐标是()0,2．令0y =，解得1x =，即A 的坐标是()1,0．则2OB =，1OA =，∵90BAD ∠=︒，∴90BAO DAF ∠+∠=︒，又∵90BAO OBA ∠+∠=︒，∴DAF OBA ∠=∠，又AB AD =，90BOA AFD ∠=∠=︒，∴()AAS OAB FDA ≌ ，∴2AF OB ==，1DF OA ==，∴3OF =，∴点D 的坐标是()31，，将点D 的坐标()31，代入k y x=得：3k =；（2）作CE y ⊥轴于点E，交反比例函数图象于点G，与（1）同理可证，OAB EBC ≌ ，∴2OB EC ==，1OA BE ==，则可得3OE =，∴点C 的坐标是()2,3，则点G 的纵坐标是3，把3y =代入3y x =得：1x =，即点G 的坐标是()1,3，∴211CG =-=，即1m =．3．如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数4k y y x x==和的图象的四个分支上，则实数k 的值为（）A．4-B．14-C．14D．4【答案】A 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在4y x=上，∵OB OA =，90AOB BDO ACO ∠=∠=∠=︒，∴90CAO AOC BOD ∠=︒-∠=∠∴AOC OBD ≌．∴4122AOC OBD S S k === ．∴4k =±，∵A 点在第二象限，∴4k =-．故选：A．4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）的图象分别交于A，B 两点，以AB 为斜边向外作等腰直角三角形ABC ，然后将ABC 沿直线AB 折叠，点C 的对应点C '刚好落在x 轴上，若点C '的坐标为()20，，点B 的纵坐标为2，则该反比例函数表达式中k 的值为（）A．73B．83C．3D．165【答案】B【详解】解：如图，作BE x ⊥轴，垂足为E ，作AF x ⊥轴，垂足为F ，90AC B ∠'=︒ ，90BC E AC F ∴∠'+∠'=︒，90EBC BC E ∠'+∠'=︒ ，EBC AC F ∴∠'='，90BEC C FA ∠'=∠'=，AC BC '='，(AAS)BEC C FA ∴'' ≌，BE C F ∴='，EC AF '=，点A 、点B 在反比例函数图象上，点C '的坐标为(2,0)，点B 的纵坐标为2．(4,)4k A ∴，(2k B ，2)，EC AF '= ，224k k ∴-=，解得83k =．故选：B ．题型五：设点法1．如图，在Rt ABC △中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，AC x ∥轴，点D 是AB 的中点，点C、D 在()0,0k y k x x =≠<的图象上，则k 的值为（）A．2-B．4-C．6-D．8-【答案】D 【详解】解：设()0,A b ，根据题意()()444C b B b --+，，，，，∵点D 是AB 的中点，∴()22D b -+，，∵点C、D 在()0,0k y k x x=≠<的图象上，∴()422k b b =-=-+，解得2b =，∴48k b =-=-，故选：D．2．如图，点A，B 分别在反比例函数1y x =和4y x =的图象上，且AB x ∥轴，连接OB 与反比例函数1y x =的图象交于点C，连接AC ，则ABC 的面积为（）A．34B．98C．32D．3【答案】A 【详解】解：设1,A a a （），则1,B a a（4），∴直线OB 为214y x a =，由2141y x a y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得212x a y a =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴122C a a（，），∴()11134224ABC S a a a a ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭故选：A．3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y k x=>的图象经过点()()2,,6,,A m B n AC x ⊥轴于点,C BD y ⊥轴于点D ，AC 交BD 于点E ．若3BE AE =，则k 的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B 【详解】解：∵()2A m ，，()6B n ，，AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴62CE OD n AC m BD OC DE ======，，，，∴4AE AC CE m n BE BD DE =-=-=-=，，∵3BE AE =，∴()43m n =-，即43m n -=，∵反比例函数()0k y k x=>的图象经过点()2A m ，、()6B n ，，∴26k m n ==，∴3m n =，∴223m n ==，，∴24k m ==，故选：B．4．如图，Rt BOC 的一条直角边OC 在x 轴正半轴上，双曲线k y x=过BOC 的斜边OB 的中点A，与另一直角边BC 相交于点D．若BOD 的面积是6，则k 的值是（）A．6-B．4-C．4D．6【答案】C 【详解】解：如图，过点A 作AE OC ⊥于E，∵BC OC ⊥,∴AE BC ∥．∴,OAE OBC OEA OCB ∠=∠∠=∠，∴OAE OBC △∽△．∴2211()()24OAE OBC S OA S OB === ．∵2OAE k S =，∴42OBC OAE S S k == ．∴622OBC OCD BOD k S S S k ∠=+=+= ．解得，4k =；故选：Ｃ5．如图，点A 为函数18y x =（0x >）图象上一点，连结OA ，交函数2y x=（0x >）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO AC =，则三角形ABC 的面积为.【答案】12【详解】解：设点A 的坐标为18,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为2,b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 点C 是x 轴上一点，且AO AC =，∴点C 的坐标为()2,0a ，设直线OA 的解析式为y kx =，则18ka a=，∴218k a =，∴直线OA 的解析式为218y x a =，∴2218b b a =⋅，∴221892a b ==，∴3a b=±（负值不合题意，舍去），∴11812222181861222ABC AOC BOC a S S S a a a b b =-=⋅⋅-⋅⋅=-=-= ，故答案为：12．6．如图，在AOBC 中，对角线AB OC 、交于点E ，双曲线k y x =经过A E 、两点，若AOBC 的面积为18，则k 的值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【详解】解：过A 作AM x ⊥轴于M ，过E 作EN x ⊥轴于N ，设(,)A a b ，(,)E c d ，则AM EN ，AM b =，OM a =，ON c =，EN d =，k ab cd ==，A 、E 在双曲线上，∴三角形AOM 与三角形OEN 的面积相等，四边形AOBC 是平行四边形，AE BE ∴=，AM EN ∥ ，MN NB ∴=，12EN AM ∴=，即12d b =，k ab cd == ，12OM ON ∴=，根据三角形的中位线，可得MN BN =，OM MN BN ∴==，平行四边形的面积18OB AM =⨯=，318a b ∴⨯=，6ab =，即6k =；故选：B．题型六：反比例函数和矩形1．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心恰好在反比例函数()00ky k x x，=≠<上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为．【答案】4-【详解】解：设矩形ABCD 的对称中心的坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则点A 的坐标为22m k m ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴点C 的坐标为302m ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2kAB BC m m==-，∵矩形ABCD 的面积为8，∴8AB BC ⋅=，∴28km m-⋅=，∴4k =-，故答案为：4-．2．如图，矩形ABCD 的边AD 与y 轴平行，顶点A 的坐标为()46-，，点B 与点D 在反比例函数()120y x x=-<的图像上，则经过点C 的反比例函数的函数关系式为．【答案】6y x=-【详解】解：∵AD 与y 轴平行，顶点A 的坐标为()46-，，∴D 的横坐标为4-，又D 在反比例函数()120y x x=-<的图像上，∴1234y =-=-，∴()4,3D -，∴633AD =-=，∵四边形ABCD 是矩形，AD 与y 轴平行，∴AB CD x ∥∥轴，，AD BC y ∥∥轴，∴B 的纵坐标为6，又B 在反比例函数()120y x x=-<的图像上，∴126x=-，解得2x =-，∴()2,6B -，∴()2,3C -，设经过点C 的反比例函数的函数关系式为k y x=，则236k =-⨯=-，∴6y x=-．故答案为：6y x=-．3．如图，A 为双曲线6y x =上的一点，AB x ⊥轴，垂足为B ，AB 交双曲线2y x=于E ，AC y ⊥轴，垂足为C ，AC 交双曲线2y x=于D ，连接DE ，则ADE 的面积是．【答案】43【详解】设6,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭，6,3a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1233AD a a a =-=，624AE a a a=-=，∴1244233ADE S a a =⨯⨯= ，故答案为：43．4．如图，已知四边形OABC 是矩形，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，双曲线()0ky k x=≠过OB 的中点E，且与边BC 交于点D，若DOE 的面积为7.5，则k 的值是（）A．5B．10C．15D．203【答案】B【详解】解：设点E 坐标为()x y ，，∵E 是OB 的中点，∴B 点的坐标为()22x y ，，则点D 的坐标为22k y y ⎛⎫⎪⎝⎭，，DOE △的面积为7.5，27.515OBD S ∴=⨯= ，∴1221522k x y y ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，xy k = ，∴解得：10k =．故选：B．5．如图，已知双曲线()110y x x =>，()240y x x =>，点P 为双曲线24y x=上的一点，且PA x ⊥轴于点A，PB y ⊥轴于点B，PA 、PB 分别交双曲线11y x=，24y x =于D、C 两点，则PCD的面积为（）A．32B．94C．98D．2【答案】C【详解】解：∵PA x ⊥轴于点A，PB y ⊥轴于点B，∴点P 和点C 的纵坐标相同，点P 和点D 的横坐标相同，设点P 坐标位4(,)m m，则1(,)D m m ，4(,)4m C m ，∴344m PC m m =-=，413=PD m m m=-，∴11339= (2248)PCD S PC PD m m == ，故选：C6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点,A B在x轴的正半轴上，反比例函数2(0)y xx=>的图象经过顶点D，分别与对角线AC、边BC交于点,E F，连接AF．若点E为AC的中点，则ACF△的面积为（）A．43B．1C．23D．3【答案】A【详解】解： 反比例函数2(0)y xx=>的图象经过矩形ABCD的顶点D，设2,D mm⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABCD是矩形，且点E为AC的中点，E∴点纵坐标为1m，代入反比例函数解析式得2x m=，∴12,E mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭B∴点横坐标为3m，F∴点横坐标为3,m代入反比例函数解析式，23ym =，∴2 3,3F mm⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22433 CFm m m=-=，32AB m m m=-=，∴114422233 ACFS CF AB mm=⋅=⨯⨯=故选：A．课后练习1．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11(0)k y x x =>及22(0)ky x x=>的图象分别交于点A，B ，连接OA ，OB ，已知12k k -的值为8，则OAB 的面积为（）A．2B．3C．4D．4-【答案】C【详解】解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP 的面积为12k ，BOP △的面积为22k ，AOB ∴ 的面积为()12121222k k k k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，128k k -= ，AOB ∴ 的面积为1842⨯=，故选：C．2．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(3,4)-，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的函数图象经过顶点B ，则k 的值为（）A．32-B．32C．12-D．16【答案】A【详解】解：由点A 的坐标()3,4-，得5OA ==，∵四边形OABC 是菱形，∴AB CO ∥，5AB OA ==，∴点B 的坐标为()8,4-．∵点B 在反比例函数()0ky x x=<的图象上，∴8432k =-⨯=-．故选：A．3．如图，点A 是反比例函数()0ky x x=<图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点D，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且ABC 的面积为12，则求k 的值为（）A．12-B．8-C．6-D．6【答案】A【详解】解：过点A 作AE x ⊥轴于E，如图，设,AD a AE b ==，则点A 的坐标为(,)a b -，∴k ab =-，∵点D 为线段AB 的中点，∴DB AD a ==，∴2AB a =，∴1122ABC S AB AE =⋅= ，即12122a b ⨯⋅=，∴12ab =，∴12k =-，故选：A．4．如图，O 是坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 的坐标为()3,4-，顶点C 在x 轴的负半轴上，反比例函数()270y x x=-<的图像经过顶点B，则平行四边形OABC 的面积为（）A．27B．18C．15D．12【答案】C【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于点D，过点B 作BE x ⊥轴于点E，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB x ∥轴，∴直线AB y ⊥轴，∴B、A、D 三点共线，∵90BEC DOE BDO ∠=∠=∠=︒，∴四边形BDOE 是矩形，∵函数()270y x x=-<的图象经过顶点B，∴27BDOE S =矩形，∵平行四边形OABC 的顶点A 的坐标为()3,4-，∴34AD DO ==，，∴27BD DO ⋅=，即427BD ⨯=，∴274BD =，∴2715344OC AB BD AD ==-=-=，∴154154OABC S OC OD =⋅=⨯= ，故选C．5．如图，点A 在双曲线3y x=上，点B 在双曲线ky x=上，点,C D 都在x 轴上，若四边形ABCD 是矩形，且它的面积是4，则k 的值是．【答案】7【详解】解：延长BA 交y 轴于E ，如图，∵BCOE S k =矩形，33ADOE S ==矩形，矩形ABCD 的面积为4，∴4BCOE ADOE S S -=矩形矩形，即34k -=，而0k >，∴7k =．故答案为：7．6．如图，反比例函数()60y x x=-<的图象经过点A，反比例函数()0ky x x =<的图象经过点B，AB 所在直线垂直x 轴于点C，M 是y 轴上一点，连接MA ，MB ，若95MAB S =△，则k 的值等于．【答案】 2.4-【详解】解：设点A 横坐标为m ，则OC m =-，依题意得：点A 、B 的横坐标均为m -，点A 在反比例函数6y x=-的图象上，∴点A 的纵坐标为：6m-， 点B 在反比例函数ky x=的图象上，∴点B 的纵坐标为：6k ，∴66k k AB m m m+=--=-， 95MAB S =△，∴1925AB OC ⋅=，即：169()()25k m m +⋅-⋅-=，解得： 2.4k =-，故答案为： 2.4-．7．点A 在函数2(0)y x x =-<的图象上，点B 在函数3(0)y x x=>的图象上，如图所示，O 为坐标原点，AB x 轴，则OAB 的面积为．【答案】52【详解】解：设BA 与y 轴交于点D ，∵AB x 轴，点A 在函数2(0)y x x =-<的图象上，点B 在函数3(0)y x x=>的图象上，∴1313,21222OBD OAD S S =⨯==⨯-= ，∴35122AOB OBD OAD S S S =+=+= ，故答案为：52.8．如图，点A 是反比例函数3y x =的图象上一点，AB y ∥轴交x 轴于点B，AD BC ∥，ABCD S =四边形．【答案】3【详解】解：如图，过点A 作AH y ⊥轴交y 轴于点H，AH y ⊥轴，AH x ∴∥轴，AB y ∥，AH AB ∴⊥，90ABO BOH OHA HAB ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOH 是矩形，AH BO ∴=，AD BC ∥，ADH BCO ∴∠=∠，在AHD 和BOC 中，90AHD BOC ADH BCO AH BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴()AAS AHD BOC ≌ ，AHD BOC S S ∴= ，∴四边形ABCD 的面积等于矩形ABOH 的面积，点A 是反比例函数3y x=的图象上一点，∴3ABCD ABOH S S AB BO xy ==⋅==四边形四边形．9．如图，直线y ax =与双曲线k y x=交于A、B 两点，过点A 作AM x ⊥轴，垂足为点M，连接BM ，若6ABM S =△，则k 的值是．【答案】6-【详解】解：因为直线y ax =与双曲线k y x=交于A、B 两点，所以A，B 两点关于坐标原点成中心对称，即OA OB =，所以AMO BMO S S =△△．又因为6AMB S =△，所以1632AMO S =⨯=△．所以32k =，解得6k =±．又反比例函数图象位于第二、四象限，所以0k <，所以6k =-．故答案为：6-．10．如图，已知直线()0y kx k =≠与双曲线m y x =交于()4,2A ，B 两点，则不等式m kx x<的解集为．【答案】40x -<<或4x >．【详解】解：∵将点()4,2A 代入m y x =及()0y kx k =≠，得：428m =⨯=，24k =，解得：12k =，∴直线12y x =与双曲线8y x=．∴182x x=，解得4x =±，当4x =-时，2y =-，∴()42B --，．∵40x -<<或4x >时，正比例函数落在反比例函数图象上方，即m kx x <，∴不等式m kx x<的解集为40x -<<或4x >，故答案为：40x -<<或4x >．11．如图，正比例函数y x =-与反比例函数1y x=-的图像相交于A，C 两点，AB x ⊥轴于B，CD x ⊥轴于D，则四边形ABCD 的面积为．【答案】2【详解】解：联立方程组1y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得1111x y =⎧⎨=-⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩，∴点()()1,1,1,1A C --，∵AB x ⊥轴于B，CD x ⊥轴于D，∴1,1,1,1AB OB OD CD ====,∴2,BD =∴111,122ADB BCD S AB BD S CD BD =⋅==⋅= ，所以211ADB BCD ABCD S S S +===+ 四边形，故答案为：212．如图，在平面直角坐标系中，点()()2,6,4,A B n 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，连接,,OA OB AB ，则AOB 的面积为．【答案】9【详解】解：将()2,6A 代入()0k y x x =>得，62k =，解得，12k =，∴12y x=，将()4,B n 代入12y x =得，1234n ==，即()4,3B ，如图，延长AB 交x 轴于C，设直线AB 的解析式为y ax b =+，将()2,6A ，()4,3B 代入得，2643a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得，329a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴392y x =-+，当0y =时，3902x -+=，解得，6x =，即()6,0C ；∴116663922AOB AOC OBC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= ，故答案为：9．13．如图，反比例函数(0)m y x x=>的图象与一次函数6y kx =+的图象交于点(1,5)B ，(,1)C n ．(1)求m 和k 的值；(2)求点C 的坐标，并根据图象直接写出关于x 的不等式6(0)m k x x x ≤+>的解集；(3)连接OB ，OC ，求BOC 的面积．【答案】(1)5m =，1k =-；(2)15x ≤≤(3)12【详解】（1）解：把(1,5)B 代入(0)m y x x=>得到，51m =，∴5m =，把(1,5)B 代入6y kx =+得到，56k =+，∴1k =-；（2）由（1）得到5y x=，6y x =-+，把(,1)C n 代入6y x =-+得到16n =-+，解得5n =，∴点(5,1)C ，由图象可知，当15x ≤≤时，6(0)m k x x x ≤+>，即不等式6(0)m k x x x ≤+>的解集为15x ≤≤；（3）设直线6y x =-+与x 轴交于点D，与y 轴交于点A，当0x =时，66y x =-+=，当0y =时，06x =-+，解得6x =，∴点A 的坐标是()0,6，点D 的坐标是()6,0，∴6OA OD ==，∴11166616112222BOC ABO OCD AOD S S S S =--=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，即BOC 的面积为12．14．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x =和n y x=的图象的四个分支上，则n 的值=．【答案】3-【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，AC 、BD 的交点为O，如图，过点A 作AM x ⊥轴于M，过点D 作DN y ⊥轴于N，则90AMO DNO ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90MON AOD ∠=∠=︒，AO OD =，∴90AOM DON AON ∠=∠=︒-∠，∴()AAS AMO DNO ≌△△，∴AMO DNO S S =△△，∵12AMO S n =△，32DNO S =△，∴1322n =，则3n =±，∵反比例函数n y x=的图象位于第二、四象限，∴3n =-，故答案为：3-．15．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，Rt ABC 的顶点在y 轴的正半轴上，点B ，点C 在第一象限，且直角边AC 平行于x 轴，反比A 例函数y =k x(0k ≠且0)x >的图象经过点B 和边AC 的中点D ，则k 的值为．【答案】12【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，∴4AC ==，∵D 为AC 的中点，∴2AD DC ==，设2,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵直角边AC 平行于x 轴，3BC =∴4,32k B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵,B D 在反比例函数图象上，∴432k k ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，解得：12k =，故答案为：12．16．如图，点A，B 是函数0)k y x x=<（图象上两点，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C，AC 交OB 于点D．若ADO △的面积为3，点D 为OB 的中点，则k 的值为．【答案】8-【详解】解：设点(22)B m n ，，4mn k ∴=，D 为OB 的中点，()D m n ∴，，AC x ⊥轴，k A m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，(4)A m n ∴， ADO △的面积为3，()114322AOD S AD OC n n m ∴=⋅=-⨯= 2mn ∴=48k mn ∴=-=-故答案为：-8．17．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心均在反比例函数()0,0k y k x x=≠>上，若矩形ABCD 的面积为6，则k 的值为．【答案】3【详解】解：设矩形的对称中心为E，连接OA 、OE ，过E 作EF OC ⊥垂足为F，∵点E 是矩形ABCD 的对称中心，∴12BF FC BC ==，12EF AB =，设OB a =，AB b =，∵ABCD 的面积为6，∴6BC b =，3BF FC b==，∴点31,2b b E a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵12AOB EOF S k S == ，∴111122322ab a b b k ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭，即：3ab k ==，故答案为：3．。
八年级数学下册 11.2 反比例函数的图象与性质 如何使用反比例函数图象的对称性解题素材 (新版)苏科版
如何使用反比例函数图象的对称性解题？
难易度：★★★★
关键词：反比例函数图象-对称性．
答案：
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x ，y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点（其特点为：点A（a，b）关于原点对称点的坐标为（-a，-b））.
【举一反三】
典题：如图，正比例函数y=mx与反比例函数y=（m、n是非零常数）的图象交于A、B 两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（）
A、（-2，-4）
B、（-2，-1）
C、（-1，-2）
D、（-4，-2）
思路导引：本题考查了反比例函数图象的对称性．函数知识的考查是每年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多积累规律．此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标．
标准答案：
解：∵正比例函数y=mx与反比例函数y= 的两交点A、B关于原点对称，
∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（-1，-2）．
故选C．。
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第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性一．选择题（共14小题）1．（2015•黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．2．（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（）A．B．C．D．4．（2015•温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2015•广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．（2015秋•龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．7．（2015•上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（）A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+18．（2015•泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2015•江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣110．（2014•宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）11．（2014•兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣212．（2014•江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称13．（2014秋•宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A． B． C．πD．4π14．（2013•三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）二．填空题（共10小题）15．（2013春•保靖县校级月考）如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k 0．16．（2012•济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）17．（2012春•城北区校级月考）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为．18．（2012春•凤冈县校级期中）如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是．19．（2011秋•长阳县期末）请你写出一个反比例函数的解析式使它的图象在第一、三象限．20．（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是．21．（2008秋•昆明校级期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是．22．（2006•旅顺口区）如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为．23．（2015•上城区一模）已知直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是．24．（2014•恩施州）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为．三．解答题（共6小题）25．（2013春•自贡期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜4时，求x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜2，且x≠0时，求y的取值范围．26．（2012•南昌模拟）给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣11 23 4 …﹣﹣﹣y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第象限；②函数图象的对称性是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x=时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；在x＜0时，当x=时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．27．（2012春•润州区校级期中）如图，点A在反比例函数的图象在第二象限内的分支上，AB⊥x轴于点B，O是原点，且△AOB的面积为1．试解答下列问题：（1）比例系数k=；（2）在给定直角坐标系中，画出这个函数图象的另一个分支；（3）当x＞1时，写出y的取值范围．28．（2011•阳江模拟）如图，点C是反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的一点，直线y=ax+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，作CH⊥x轴于点H，交直线AB于点F，作CG⊥y轴于点G，交直线AB于点E．已知四边形OHCG的面积为6．（1）求双曲线的解析式；（2）若E、F分别为CG和CH的中点，求△CEF的面积；（3）若∠BAO=α，求AE•BF的值（用α表示）29．（2009•北京）如图，A、B两点在函数y=（x＞0）的图象上．（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．30．作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜3时，求x的取值范围；（3）当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围．第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2015•黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；正比例函数的图象．【专题】分类讨论．【分析】根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．故选B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．2．（2015•兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：A．【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．3．（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象．【分析】利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可．【解答】解：反比例函数y=﹣图象的是C．故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键．4．（2015•温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，故B选项错误；C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故C选项错误；D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．（2015•广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据一次函数的图象性质得到y=﹣x+1经过第一、二、四象限；根据反比例函数的图象性质得到y=﹣分布在第二、四象限，然后对各选项进行判断．【解答】解：函数y=﹣x+1经过第一、二、四象限，函数y=﹣分布在第二、四象限．【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=（k≠0）的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数的图象．6．（2015秋•龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断．【解答】解：当kb＞0时，函数y=的图象过一三象限，当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b 的图象过一二三象限，当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过二三四象限，故排除CD，当kb＜0时，函数y=的图象过二四象限，当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过一三四象限，当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象过一二四象限，故排除A，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．7．（2015•上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（）A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数、一次函数、正比例函数及二次函数的图象性质逐一解答．【解答】解：A、当x=0或y=0时，原式无意义，图象与坐标轴无交点，故正确；B、y=2x+1的图象过（0，1）和（﹣，0），图象与坐标轴有交点，故错误；C、y=﹣x过（0，0），图象与坐标轴有交点，故错误；D、y=﹣x2+1过（0，1），（±1，0），图象与坐标轴有交点，故错误．【点评】本题考查函数的图象特点，掌握各类函数的图象性质是解决本题的关键．8．（2015•泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】反比例函数的图象．【分析】首先根据反比例函数的比例系数确定图象的大体位置，然后根据自变量的取值范围确定具体位置．【解答】解：∵比例系数k=﹣2＜0，∴其图象位于二、四象限，∵x＞0，∴反比例函数的图象位于第四象限，故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是牢记反比例函数的性质．9．（2015•江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y=x和y=﹣x对称．【解答】解：把x=1代入y=，得y=3，故A点坐标为（1，3）；∵A、B关于y=x对称，则B点坐标为（3，1）；又∵B和C关于原点对称，∴C点坐标为（﹣3，﹣1），∴点C的横坐标为﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要求同学们要熟练掌握，灵活运用．10．（2014•宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】函数思想．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．11．（2014•兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】由反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点A（﹣2，1），根据反比例函数与正比例函数是中心对称图形，可得另一个交点为：（2，﹣1）继而求得答案．【解答】解：如图，反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点A（﹣2，1），∴另一个交点为：（2，﹣1），∴方程=mx的实数根为：x1=2，x2=﹣2．故选：C．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014•江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】根据反比例函数的对称性进行解答即可．【解答】解：∵双曲线y=﹣的两个分支分别在二、四象限，∴两个分支关于原点对称，关于直线y=x对称，故A、B选项正确；此双曲线的每一个分支关于直线y=﹣x对称，故C选项正确；故只有选项D错误．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，要求同学们要熟练掌握．13．（2014秋•宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A． B． C．πD．4π【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】先利用切线的性质得到⊙A的半径为1，再根据反比例回事图象的对称性得到点B 的坐标为（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半径为1，则可判断⊙A与⊙B关于原点中心对称，⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，所以图中两个阴影部分面积的和等于⊙A的面积，然后根据圆的面积公式计算．【解答】解：∵点A的坐标为（2，1），且⊙A与x轴相切，∴⊙A的半径为1，∵点A和点B是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），同理得到⊙B的半径为1，∴⊙A与⊙B关于原点中心对称，∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分完全重合，∴⊙A的阴影部分与⊙B空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①第二、四象限的角平分线y=﹣x；②第一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．14．（2013•三明）如图，已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（4，3）【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】压轴题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y=mx过原点，双曲线y=的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故选：C．【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．二．填空题（共10小题）15．（2013春•保靖县校级月考）如图是反比例函数y=的图象，那么k与0的大小关系是k ＞0．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数图象所经过的象限判定系数k的符号．【解答】解：因为反比例函数y=的图象经过第一象限，所以k＞0．故答案是：＞．【点评】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．16．（2012•济宁）如图，是反比例函数y=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是k＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是①②④（在横线上填出正确的序号）【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．针对四个说法依次分析可得答案．【解答】解：①根据函数图象在第一象限可得k﹣2＞0，故k＞2，故①正确；②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；故答案为：①②④．【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质．17．（2012春•城北区校级月考）如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1，k2，k3的大小关系为k1＜k2＜k3．【考点】反比例函数的图象．【分析】本题考查反比例函数与的图象特点．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y=的图象在第二象限；故k1＜0；y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；综合可得：k1＜k2＜k3．故填k1＜k2＜k3．【点评】反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象据原点越远，k的绝对值越大．18．（2012春•凤冈县校级期中）如图：三个函数，，，由此观察k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．【考点】反比例函数的图象．【分析】首先根据图象的位置判断比例系数的符号，然后根据谁距离远点远谁的绝对值大来判断同一象限内的反比例函数的比例系数的大小即可．【解答】解：读图可知：三个反比例函数y1=的图象在第二象限；故k1＜0；，，，在第一象限；且的图象距原点较远，故有：k1＜k3＜k2；综合可得：k1＜k3＜k2．故答案为k1＜k3＜k2．【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象据原点越远，k的绝对值越大．19．（2011秋•长阳县期末）请你写出一个反比例函数的解析式使它的图象在第一、三象限…．【考点】反比例函数的图象．【分析】反比例函数（k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是2．（正数即可，答案不唯一）【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k＞0，只要是大于0的所有实数都可以．例如：2．故答案为：y=等．【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限；（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．20．（2010•长沙）已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是m＜1．【考点】反比例函数的图象．【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答．【解答】解：由图象可得：k＞0，即1﹣m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．21．（2008秋•昆明校级期中）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），要使一次函数值大于反比例函数值，则x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】要使一次函数值大于反比例函数值，即一次函数图象在反比例函数上方，从而求出x的取值范围．【解答】解：已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于点A（﹣1，m）、B（3，n），根据其图象可知x的范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限．22．（2006•旅顺口区）如图所示是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据图象可得：要使y1＞y2，需图象y1在图象y2的上方．【解答】解：根据图象可得当y1＞y2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3．【点评】主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．（1）反比例函数y=kx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2）一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．23．（2015•上城区一模）已知直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是（﹣，2）．【考点】反比例函数图象的对称性．【分析】由直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=相交于点（，﹣2），即可得出函数解析式，再求另一个交点坐标．【解答】解：∵直线y=（a﹣2b）x与双曲线y=，相交于点（，﹣2），∴a﹣2b==﹣3，xy=3b+a=﹣∴直线为y=﹣3x．双曲线为y=﹣．解方程组：，解得：，．∴另一个交点为（﹣，2）．故答案为：（﹣，2）．【点评】此题主要考查了反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．24．（2014•恩施州）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与⊙O相交，某同学在⊙O内做随机扎针实验，针头落在阴影区域内的概率为．【考点】反比例函数图象的对称性；几何概率．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数的对称性得到阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，然后面积的比求针头落在阴影区域内的概率．【解答】解：因为阴影区域内的面积等于圆心角为90度的扇形面积，所以针头落在阴影区域内的概率=．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点．也考查了几何概率．三．解答题（共6小题）25．（2013春•自贡期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x=﹣2时，求y的值；（2）当2＜y＜4时，求x的取值范围；（3）当﹣1＜x＜2，且x≠0时，求y的取值范围．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质．【分析】（1）把x=﹣2代入函数解析式可得y的值；（2）（3）根据函数图象可直接得到答案．【解答】解：（1）当x=﹣2时，y==3；（2）当2＜y＜4时：＜x＜3；（3）由图象可得当﹣1＜x＜2且x≠0时，y＜﹣6或y＞3．【点评】此题主要考查了画反比例函数图象，以及根据图象解不等式，关键是正确画出图象，能从图象中得到正确信息．26．（2012•南昌模拟）给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣11 23 4 …﹣﹣﹣y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第一三象限；②函数图象的对称性是（C）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x=1时，函数y有最小（大，小）值，且这个最值等于2；在x＜0时，当x=﹣1时，函数y有最大（大，小）值，且这个最值等于﹣2；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】（1）x在分母，那么x不能为0；（2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形；（3）①观察所得图象看在哪两个象限即可；②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称；③找到每个象限内图象的最低点或最高点所对应的自变量和函数值即可；④应根据函数最低点自变量的取值判断相应变化；（4）在同一平面直角坐标系中作出直线y=﹣2x+1，看有没有交点即可．【解答】解：（1）自变量x的取值范围是x≠0；（2）①列表：1 2 3 4 …x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣﹣。